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文档简介
江苏盐城市时杨中学2024届高三最后一卷数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.在边长为1的等边三角形中,点E是中点,点F是中点,则()A. B. C. D.2.已知为等比数列,,,则()A.9 B.-9 C. D.3.已知,,分别是三个内角,,的对边,,则()A. B. C. D.4.若直线的倾斜角为,则的值为()A. B. C. D.5.在精准扶贫工作中,有6名男干部、5名女干部,从中选出2名男干部、1名女干部组成一个扶贫小组分到某村工作,则不同的选法共有()A.60种 B.70种 C.75种 D.150种6.函数(且)的图象可能为()A. B. C. D.7.若复数满足,则()A. B. C. D.8.若向量,则()A.30 B.31 C.32 D.339.某公园新购进盆锦紫苏、盆虞美人、盆郁金香,盆盆栽,现将这盆盆栽摆成一排,要求郁金香不在两边,任两盆锦紫苏不相邻的摆法共()种A. B. C. D.10.以,为直径的圆的方程是A. B.C. D.11.在菱形中,,,,分别为,的中点,则()A. B. C.5 D.12.函数与的图象上存在关于直线对称的点,则的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在中,角,,所对的边分别边,且,设角的角平分线交于点,则的值最小时,___.14.已知向量,且向量与的夹角为_______.15.(5分)如图是一个算法的流程图,若输出的值是,则输入的值为____________.16.的展开式中含的系数为__________.(用数字填写答案)三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在直三棱柱中,,,D,E分别为AB,BC的中点.(1)证明:平面平面;(2)求点到平面的距离.18.(12分)已知函数.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若,且,求的值.19.(12分)已知集合,,,将的所有子集任意排列,得到一个有序集合组,其中.记集合中元素的个数为,,,规定空集中元素的个数为.当时,求的值;利用数学归纳法证明:不论为何值,总存在有序集合组,满足任意,,都有.20.(12分)设函数.(1)当时,求不等式的解集;(2)若对恒成立,求的取值范围.21.(12分)在中,内角的对边分别为,且(1)求;(2)若,且面积的最大值为,求周长的取值范围.22.(10分)如图,四棱锥中,底面为直角梯形,,,,,在锐角中,E是边PD上一点,且.(1)求证:平面ACE;(2)当PA的长为何值时,AC与平面PCD所成的角为?
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
根据平面向量基本定理,用来表示,然后利用数量积公式,简单计算,可得结果.【详解】由题可知:点E是中点,点F是中点,所以又所以则故选:C【点睛】本题考查平面向量基本定理以及数量积公式,掌握公式,细心观察,属基础题.2、C【解析】
根据等比数列的下标和性质可求出,便可得出等比数列的公比,再根据等比数列的性质即可求出.【详解】∵,∴,又,可解得或设等比数列的公比为,则当时,,∴;当时,,∴.故选:C.【点睛】本题主要考查等比数列的性质应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题.3、C【解析】
原式由正弦定理化简得,由于,可求的值.【详解】解:由及正弦定理得.因为,所以代入上式化简得.由于,所以.又,故.故选:C.【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形,三角函数恒等变换等基础知识;考查运算求解能力,推理论证能力,属于中档题.4、B【解析】
根据题意可得:,所求式子利用二倍角的正弦函数公式化简,再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后,将代入计算即可求出值.【详解】由于直线的倾斜角为,所以,则故答案选B【点睛】本题考查二倍角的正弦函数公式,同角三角函数间的基本关系,以及直线倾斜角与斜率之间的关系,熟练掌握公式是解本题的关键.5、C【解析】
根据题意,分别计算“从6名男干部中选出2名男干部”和“从5名女干部中选出1名女干部”的取法数,由分步计数原理计算可得答案.【详解】解:根据题意,从6名男干部中选出2名男干部,有种取法,从5名女干部中选出1名女干部,有种取法,则有种不同的选法;故选:C.【点睛】本题考查排列组合的应用,涉及分步计数原理问题,属于基础题.6、D【解析】因为,故函数是奇函数,所以排除A,B;取,则,故选D.考点:1.函数的基本性质;2.函数的图象.7、B【解析】
由题意得,,求解即可.【详解】因为,所以.故选:B.【点睛】本题考查复数的四则运算,考查运算求解能力,属于基础题.8、C【解析】
先求出,再与相乘即可求出答案.【详解】因为,所以.故选:C.【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算,考查了学生的计算能力,属于基础题.9、B【解析】
间接法求解,两盆锦紫苏不相邻,被另3盆隔开有,扣除郁金香在两边有,即可求出结论.【详解】使用插空法,先排盆虞美人、盆郁金香有种,然后将盆锦紫苏放入到4个位置中有种,根据分步乘法计数原理有,扣除郁金香在两边,排盆虞美人、盆郁金香有种,再将盆锦紫苏放入到3个位置中有,根据分步计数原理有,所以共有种.故选:B.【点睛】本题考查排列应用问题、分步乘法计数原理,不相邻问题插空法是解题的关键,属于中档题.10、A【解析】
设圆的标准方程,利用待定系数法一一求出,从而求出圆的方程.【详解】设圆的标准方程为,由题意得圆心为,的中点,根据中点坐标公式可得,,又,所以圆的标准方程为:,化简整理得,所以本题答案为A.【点睛】本题考查待定系数法求圆的方程,解题的关键是假设圆的标准方程,建立方程组,属于基础题.11、B【解析】
据题意以菱形对角线交点为坐标原点建立平面直角坐标系,用坐标表示出,再根据坐标形式下向量的数量积运算计算出结果.【详解】设与交于点,以为原点,的方向为轴,的方向为轴,建立直角坐标系,则,,,,,所以.故选:B.【点睛】本题考查建立平面直角坐标系解决向量的数量积问题,难度一般.长方形、正方形、菱形中的向量数量积问题,如果直接计算较麻烦可考虑用建系的方法求解.12、C【解析】
由题可知,曲线与有公共点,即方程有解,可得有解,令,则,对分类讨论,得出时,取得极大值,也即为最大值,进而得出结论.【详解】解:由题可知,曲线与有公共点,即方程有解,即有解,令,则,则当时,;当时,,故时,取得极大值,也即为最大值,当趋近于时,趋近于,所以满足条件.故选:C.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数性质的基本方法,考查化归与转化等数学思想,考查抽象概括、运算求解等数学能力,属于难题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
根据题意,利用余弦定理和基本不等式得出,再利用正弦定理,即可得出.【详解】因为,则,由余弦定理得:,当且仅当时取等号,又因为,,所以.故答案为:.【点睛】本题考查余弦定理和正弦定理的应用,以及基本不等式求最值,考查计算能力.14、1【解析】
根据向量数量积的定义求解即可.【详解】解:∵向量,且向量与的夹角为,∴||;所以:•()2cos2﹣2=1,故答案为:1.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的定义,属于基础题.15、或【解析】
依题意,当时,由,即,解得;当时,由,解得或(舍去).综上,得或.16、【解析】由题意得,二项式展开式的通项为,令,则,所以得系数为.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析;(2).【解析】
(1)通过证明面,即可由线面垂直推证面面垂直;(2)根据面,将问题转化为求到面的距离,利用等体积法求点面距离即可.【详解】(1)因为棱柱是直三棱柱,所以又,所以面又,分别为AB,BC的中点所以//即面又面,所以平面平面(2)由(1)可知////所以//平面即点到平面的距离等于点到平面的距离设点到面的距离为由(1)可知,面且在中,,易知由等体积公式可知即由得所以到平面的距离等于【点睛】本题考查由线面垂直推证面面垂直,涉及利用等体积法求点面距离,属综合中档题.18、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)直接代入再由诱导公式计算可得;(Ⅱ)先得到,再根据利用两角差的余弦公式计算可得.【详解】解:(Ⅰ);(Ⅱ)因为所以,由得,又因为,故,所以,所以.【点睛】本题考查了三角函数中的恒等变换应用,属于中档题.19、;证明见解析.【解析】
当时,集合共有个子集,即可求出结果;分类讨论,利用数学归纳法证明.【详解】当时,集合共有个子集,所以;①当时,,由可知,,此时令,,,,满足对任意,都有,且;②假设当时,存在有序集合组满足题意,且,则当时,集合的子集个数为个,因为是4的整数倍,所以令,,,,且恒成立,即满足对任意,都有,且,综上,原命题得证.【点睛】本题考查集合的自己个数的研究,结合数学归纳法的应用,属于难题.20、(1)或;(2)或.【解析】试题分析:(1)根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组,分别求解集,最后求并集(2)根据绝对值三角不等式得最小值,再解含绝对值不等式可得的取值范围.试题解析:(1)等价于或或,解得:或.故不等式的解集为或.(2)因为:所以,由题意得:,解得或.点睛:含绝对值不等式的解法有两个基本方法,一是运用零点分区间讨论,二是利用绝对值的几何意义求解.法一是运用分类讨论思想,法二是运用数形结合思想,将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透,解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用,这是命题的新动向.21、(1)(2)【解析】
(1)利用二倍角公式及三角形内角和定理,将化简为,求出的值,结合,求出A的值;(2)写出三角形的面积公式,由其最大值为求出.由余弦定理,结合,,求出的范围,注意.进而求出周长的范围.【详解】解:(1)整理得解得或(舍去)又;(2)由题意知,又,,又周长的取值范围是【点睛】本题考查了二倍角余弦公式,三角形面积公式,余弦定理的应用,求三角形的周长的范围问题.属于中档题.22、(1)证明见解析;
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