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文档简介
江苏省南师附中2024年高考数学一模试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.在中,角所对的边分别为,已知,则()A.或 B. C. D.或2.已知函数f(x)=,若关于x的方程f(x)=kx-恰有4个不相等的实数根,则实数k的取值范围是()A. B.C. D.3.“学习强国”学习平台是由中宣部主管,以深入学习宣传新时代中国特色社会主义思想为主要内容,立足全体党员、面向全社会的优质平台,现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的热门。该款软件主要设有“阅读文章”、“视听学习”两个学习模块和“每日答题”、“每周答题”、“专项答题”、“挑战答题”四个答题模块。某人在学习过程中,“阅读文章”不能放首位,四个答题板块中有且仅有三个答题板块相邻的学习方法有()A.60 B.192 C.240 D.4324.已知向量,,且与的夹角为,则()A. B.1 C.或1 D.或95.等比数列若则()A.±6 B.6 C.-6 D.6.已知,其中是虚数单位,则对应的点的坐标为()A. B. C. D.7.年部分省市将实行“”的新高考模式,即语文、数学、英语三科必选,物理、历史二选一,化学、生物、政治、地理四选二,若甲同学选科没有偏好,且不受其他因素影响,则甲同学同时选择历史和化学的概率为A. B.C. D.8.已知函数是奇函数,则的值为()A.-10 B.-9 C.-7 D.19.如果直线与圆相交,则点与圆C的位置关系是()A.点M在圆C上 B.点M在圆C外C.点M在圆C内 D.上述三种情况都有可能10.已知函数的图象在点处的切线方程是,则()A.2 B.3 C.-2 D.-311.设函数在定义城内可导,的图象如图所示,则导函数的图象可能为()A. B.C. D.12.赵爽是我国古代数学家、天文学家,大约在公元222年,赵爽为《周髀算经》一书作序时,介绍了“勾股圆方图”,亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的).类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形,它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设,若在大等边三角形中随机取一点,则此点取自小等边三角形(阴影部分)的概率是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知抛物线的焦点为,过点且斜率为1的直线交抛物线于两点,,若线段的垂直平分线与轴交点的横坐标为,则的值为_________.14.设复数满足,则_________.15.若复数满足,其中为虚数单位,则的共轭复数在复平面内对应点的坐标为_____.16.的展开式中,常数项为______;系数最大的项是______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知椭圆过点,设椭圆的上顶点为,右顶点和右焦点分别为,,且.(1)求椭圆的标准方程;(2)设直线交椭圆于,两点,设直线与直线的斜率分别为,,若,试判断直线是否过定点?若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,请说明理由.18.(12分)在中,角,,的对边分别为,,,,,且的面积为.(1)求;(2)求的周长.19.(12分)已知动圆Q经过定点,且与定直线相切(其中a为常数,且).记动圆圆心Q的轨迹为曲线C.(1)求C的方程,并说明C是什么曲线?(2)设点P的坐标为,过点P作曲线C的切线,切点为A,若过点P的直线m与曲线C交于M,N两点,则是否存在直线m,使得?若存在,求出直线m斜率的取值范围;若不存在,请说明理由.20.(12分)已知,函数有最小值7.(1)求的值;(2)设,,求证:.21.(12分)已知函数的图象向左平移后与函数图象重合.(1)求和的值;(2)若函数,求的单调递增区间及图象的对称轴方程.22.(10分)直线与抛物线相交于,两点,且,若,到轴距离的乘积为.(1)求的方程;(2)设点为抛物线的焦点,当面积最小时,求直线的方程.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
根据正弦定理得到,化简得到答案.【详解】由,得,∴,∴或,∴或.故选:【点睛】本题考查了正弦定理解三角形,意在考查学生的计算能力.2、D【解析】
由已知可将问题转化为:y=f(x)的图象和直线y=kx-有4个交点,作出图象,由图可得:点(1,0)必须在直线y=kx-的下方,即可求得:k>;再求得直线y=kx-和y=lnx相切时,k=;结合图象即可得解.【详解】若关于x的方程f(x)=kx-恰有4个不相等的实数根,则y=f(x)的图象和直线y=kx-有4个交点.作出函数y=f(x)的图象,如图,故点(1,0)在直线y=kx-的下方.∴k×1->0,解得k>.当直线y=kx-和y=lnx相切时,设切点横坐标为m,则k==,∴m=.此时,k==,f(x)的图象和直线y=kx-有3个交点,不满足条件,故所求k的取值范围是,故选D..【点睛】本题主要考查了函数与方程思想及转化能力,还考查了导数的几何意义及计算能力、观察能力,属于难题.3、C【解析】
四个答题板块中选三个捆绑在一起,和另外一个答题板块用插入法.注意按“阅读文章”分类.【详解】四个答题板块中选三个捆绑在一起,和另外一个答题板块用插入法,由于“阅读文章”不能放首位,因此不同的方法数为.故选:C.【点睛】本题考查排列组合的应用,考查捆绑法和插入法求解排列问题.对相邻问题用捆绑法,不相邻问题用插入法是解决这类问题的常用方法.4、C【解析】
由题意利用两个向量的数量积的定义和公式,求的值.【详解】解:由题意可得,求得,或,故选:C.【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式,属于基础题.5、B【解析】
根据等比中项性质代入可得解,由等比数列项的性质确定值即可.【详解】由等比数列中等比中项性质可知,,所以,而由等比数列性质可知奇数项符号相同,所以,故选:B.【点睛】本题考查了等比数列中等比中项的简单应用,注意项的符号特征,属于基础题.6、C【解析】
利用复数相等的条件求得,,则答案可求.【详解】由,得,.对应的点的坐标为,,.故选:.【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义,考查复数相等的条件,是基础题.7、B【解析】
甲同学所有的选择方案共有种,甲同学同时选择历史和化学后,只需在生物、政治、地理三科中再选择一科即可,共有种选择方案,根据古典概型的概率计算公式,可得甲同学同时选择历史和化学的概率,故选B.8、B【解析】
根据分段函数表达式,先求得的值,然后结合的奇偶性,求得的值.【详解】因为函数是奇函数,所以,.故选:B【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值,考查数形结合思想.意在考查学生的运算能力,分析问题、解决问题的能力.9、B【解析】
根据圆心到直线的距离小于半径可得满足的条件,利用与圆心的距离判断即可.【详解】直线与圆相交,圆心到直线的距离,即.也就是点到圆的圆心的距离大于半径.即点与圆的位置关系是点在圆外.故选:【点睛】本题主要考查直线与圆相交的性质,考查点到直线距离公式的应用,属于中档题.10、B【解析】
根据求出再根据也在直线上,求出b的值,即得解.【详解】因为,所以所以,又也在直线上,所以,解得所以.故选:B【点睛】本题主要考查导数的几何意义,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11、D【解析】
根据的图象可得的单调性,从而得到在相应范围上的符号和极值点,据此可判断的图象.【详解】由的图象可知,在上为增函数,且在上存在正数,使得在上为增函数,在为减函数,故在有两个不同的零点,且在这两个零点的附近,有变化,故排除A,B.由在上为增函数可得在上恒成立,故排除C.故选:D.【点睛】本题考查导函数图象的识别,此类问题应根据原函数的单调性来考虑导函数的符号与零点情况,本题属于基础题.12、A【解析】
根据几何概率计算公式,求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可.【详解】在中,,,,由余弦定理,得,所以.所以所求概率为.故选A.【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题,是基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、1【解析】
设,写出直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理求得,由抛物线定义得焦点弦长,求得,再写出的垂直平分线方程,得,从而可得结论.【详解】抛物线的焦点坐标为,直线的方程为,据得.设,则.线段垂直平分线方程为,令,则,所以,所以.故答案为:1.【点睛】本题考查抛物线的焦点弦问题,根据抛物线的定义表示出焦点弦长是解题关键.14、.【解析】
利用复数的运算法则首先可得出,再根据共轭复数的概念可得结果.【详解】∵复数满足,∴,∴,故而可得,故答案为.【点睛】本题考查了复数的运算法则,共轭复数的概念,属于基础题.15、【解析】
把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简,求出得答案.【详解】,,则,的共轭复数在复平面内对应点的坐标为,故答案为【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意义准确计算是关键,是基础题.16、【解析】
求出二项展开式的通项,令指数为零,求出参数的值,代入可得出展开式中的常数项;求出项的系数,利用作商法可求出系数最大的项.【详解】的展开式的通项为,令,得,所以,展开式中的常数项为;令,令,即,解得,,,因此,展开式中系数最大的项为.故答案为:;.【点睛】本题考查二项展开式中常数项的求解,同时也考查了系数最大项的求解,涉及展开式通项的应用,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)直线过定点,该定点的坐标为.【解析】
(1)因为椭圆过点,所以①,设为坐标原点,因为,所以,又,所以②,将①②联立解得(负值舍去),所以椭圆的标准方程为.(2)由(1)可知,设,.将代入,消去可得,则,,,所以,所以,此时,所以,此时直线的方程为,即,令,可得,所以直线过定点,该定点的坐标为.18、(1)(2)【解析】
(1)利用正弦,余弦定理对式子化简求解即可;(2)利用余弦定理以及三角形的面积,求解三角形的周长即可.【详解】(1),由正弦定理可得:,即:,由余弦定理得.(2)∵,所以,,又,且,,的周长为【点睛】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用,三角形的面积公式,也考查计算能力,属于基础题.19、(1),抛物线;(2)存在,.【解析】
(1)设,易得,化简即得;(2)利用导数几何意义可得,要使,只需.联立直线m与抛物线方程,利用根与系数的关系即可解决.【详解】(1)设,由题意,得,化简得,所以动圆圆心Q的轨迹方程为,它是以F为焦点,以直线l为准线的抛物线.(2)不妨设.因为,所以,从而直线PA的斜率为,解得,即,又,所以轴.要使,只需.设直线m的方程为,代入并整理,得.首先,,解得或.其次,设,,则,..故存在直线m,使得,此时直线m的斜率的取值范围为.【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的应用,涉及抛物线中的存在性问题,考查学生的计算能力,是一道中档题.20、(1).(2)见解析【解析】
(1)由绝对值三解不等式可得,所以当时,,即可求出参数的值;(2)由,可得,再利用基本不等式求出的最小值,即可得证;【详解】解:(1)∵,∴当时,,解得.(2)∵,∴,∴,当且仅当,即,时,等号成立.∴.【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式及基本不等式的简单应用,属于中档题.21、(1),;(2),,.【解析】
(1)直接利用同角三角函数关系式的变换的应用求出结果.(2)首先把函数的关系式变形成正弦型函数,进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果.【详解】(1)由题意得,,(2)由,解得,所以对称轴为,.由,解得,所以单调递增区间为.,【点睛】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,正弦型函数的性质的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力,属于基础题型.22、(1);(2)【解析】
(1)设出两点的坐标,由距离之积为16,可得.利用向量的数量积
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