对函数概念的再认识 教案 高中数学新湘教版必修第一册（2022-2023学年）

3.1函数

3.1.1对函数概念的再认识

最新课程标准学科核心素养

1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的

基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，

1.了解函数的有关概念.(数学抽象)

建立完整的函数概念.

2.会求函数的定义域和简单的值域.(数学运

2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念

算)

中的作用.

3.会判断函数是否是同一个函数.(数学运算)

3了.解构成函数的要素.

4.能求简单函数的定义域.

新知初探

教材要点

要点一函数的概念

一般地，设A,B是两个非空的________,如果按照某种确定的对应关

概念系f,对于集合A中的任何一个数X,在集合B中都有________的数y

和它对应，那么称这样的对应f：A-B为定义于A取值于B的函数.

对应关系y=f(x),(xGA,yGB)

要定义域________的取值范围

素f宜域与xGA对应的函数值组成的集合{f(x)|xWA}

状元随笔对函数概念的4点说明：

(I)非空性：函数定义中的集合A,B必须是两个非空实数集.

(2)任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.

(3)单值性：每一个自变量有唯一的函数值与之对应.

(4)方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对

应所确定的关系就不一定是函数关系.

要点二两个函数相等

两个函数.穴x)和以x),当且仅当有相同的定义域U且对每个xGU都有/(x)=g(x)时，叫作相

等.

状元随笔由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以确定一个函数只需要两个要素：定

义域和对应关系.即要检验给定的两个变量(变量均取数值)之间是否具有函数关系，只要检验:

(1)定义域和对应关系是否给出；

(2)根据给出的对应关系，自变量x在定义域中的每一个值是否都有唯一的函数值y和它对

应.

要点三常见函数的定义域和值域

1.一次函数_/(x)=ax+b(aWO)的定义域为,值域是.

2.二次函数式幻=加+法+以〃#0)的定义域是,当«>0时，值域为

，当“V0时、值域为.

基础检测

1.思考辨析(正确的画“J”，错误的画“X”)

(1)函数的定义域和值域一定是无限集合.()

(2)任何两个集合之间都可以建立函数关系.()

(3)函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合.()

(4)两个函数的定义域和值域相同就表示同一函数.()

2.下列可作为函数y=/(x)的图象的是()

A.{x|x-l}B.{x|xWl}

C.{x|x>l}D.{x|x<l}

4.若於）=x-4TL则幽=.

题型探究

题型1函数关系的判断

例1(1)下列从集合A到集合B的对应关系/是函数的是()

A.A={-1,0,1},B={0,1},/：A中的数平方

B.A={0,1},B={-1,0,1},f：A中的数开方

C.A=Z,B=Q,ftA中的数取倒数

D.A={平行四边形},B=R,f：求A中平行四边形的面积

(2)设4={必)三》忘2},8={x|lWxW2},能表示从集合A到集合B的函数关系的是()

方法归纳

(1)判断所给对应是否为函数的方法

①首先观察两个数集A，B是否非空；

②其次验证对应关系下，集合A中x的任意性，集合B中y的唯一性，既不能没有数y对

应数x,也不能有多于一个的数y对应x.

(2)根据图形判断对应是否为函数的方法步骤

①任取一条垂直于x轴的直线/；

②在定义域内平行移动直线/;

③若/与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的

交点，则不是函数.

跟踪训练1(1)(多选)已知集合例={-1,1,2,4},N={1,2,4},给出下列四个对应关

系：①y=『，②y=x+l,③y=x-l,④y=|x|.其中不能构成从M到N的函数的是()

A.①B.②

C.③D.④

(2)图中所给图象是函数图象的个数为()

A.1B.2

C.3D.4

题型2求函数的定义域

例2(1)函数+2的定义域为()

A.{x|-3<xW0}

B.{x|-3VxWl}

C.{x[x<-3或-3VxW0}

D.{x[x<-3或-3<xWl}

(2)函数41)=@一m°+7^方的定义域为()

A.{x|x2-2且x制}

B.{x|x>-2}

C(x|x>-2且xH3

D.{x|x>-2}

方法归纳

求给出解析式的函数的定义域的基本步骤

常见函数的定义域

(1次x)为整式型函数时，定义域为R；

(2)由于分式的分母不为0,所以当兀0为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数的集

合；

(3)由于偶次根式的被开方数非负，所以当兀0为偶次根式型函数时，定义域为使被开方数为

非负的实数的集合；

(4)函数y=x°中的x不为0；

(5)如果函数是由一些简单函数通过四则运算构成的，那么它的定义域是各个简单函数定义

域的交集.

跟踪训练2(1)函数yu)=,②巧一,的定义域为()

4XSXN

A.{x|xWO}

B{X|XW-9

C(x|xW0且x力一芬

D.{x|-l<x<0)

(2)函数y=等的定义域为.

题型3两个函数是相等函数的判断

例3(多选)下列各组函数是相等函数的是()

A：/U)=A/—2x3与8(%)=犬•y/—2x

8双外=%与且(%)=疡

C於)=x°与g(x)=9

D；/(x)=x2-x+1与8(。=57+1

方法归纳

判断相等函数的三个步骤和两个注意点

(1)判断相等函数的三个步骤

(2)两个注意点：

①在化简解析式时，必须是等价变形；

②与用哪个字母表示无关.

跟踪训练3下列函数中与函数y=f是相等函数的是()

\.U-\rB.y—x•|.r|

C.y=?D.y=(《)4

题型4函数值与函数的值域

例4⑴设危)=*+2,g(x)=《p求:

①/⑵,尬+3),g(a)+g(0)(aW-2)；

②g"2)),4g(2)).

(2)求下列函数的值域.

①y=3-4x,%€(-1>3］；

③y=x-“一2x.

方法归纳

1.函数求值的方法

(1)己知兀r)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得式a)的值.

(2)求人g(a))的值应遵循由里往外的原则.

2.求函数值域的常用方法

(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到.

(2)配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法.

(3)换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域.对

于Kt)=ar+6土，ex+d(其中a,b,c,d为常数，且acWO)型的函数常用换元法.

(4)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形

式，便于求值域.

跟踪训练4(1)下列函数中，值域为(0,+8)的是()

A.y=《B.y=t

C.y=[D.y=/+l

(2)已知函数大的=霆.

求火2)；欢1)).

易错辨析忽略参数取值范围致误

例5若函数*x)=—=不的定义域为R,则实数巾的取值范围是________.

八Vmx2-mx+2

解析：函数1的定义域为R，

八Vmx2-mx+2

即/nx2-"tr+2>0恒成立.

当初=0时，易知成立，

当机#0时，需满足1m>0,

（A=m2—8m<0,

：.0<m<8,

综上所述，0Wm<8.

答案：0Wm<8

易错警示

易错原因纠错心得

由函数的定义域求参数时，若二项系数含有

漏掉了，”=0的情况致误，

参数，一定要分情况讨论，否则容易发生错

错误答案：0<巾<8.

误.

课堂练习

1.下列各图中，一定不是函数图象的是（）

2.函数yu）=q至的定义域为（）

A.{X|X<|)B.[X|X<|)

C.^x|o<x<1}D.{X|X〈：且X.O}

3.下列各组函数中，表示相等函数的是（）

A./(x)=Vx7,g(x)=(«)2

B.4用=疹，g(x)=|x|

C巩r)=l,g(x)=x°

口次工尸含，双犬尸土

4.已知函数式x)=上,又知犬。=6,则f=.

5.已知函数式x)=W+5x+2.

(1)求7U)的定义域；

⑵若a>0,求加-1)的值.

参考答案

新知初探

要点一

实数集唯一确定x

要点三

l.RR

个2RF4ac-b2-+.8)\(-8,4-ac-b2l］

［基础检测］

1.答案：⑴X(2)X(3)X(4)X

2.解析：由函数的定义可知D正确.

答案：D

3.解析：要使函数)，=看有意义，

则必须卜二.31,

彳0.

故选C.

答案：c

4.解析：式3)=3-VSn=3-2=l.

答案：1

题型探究

例1解析：(1)对B,集合A中的元素1对应集合B中的元素±1,不符合函数的定义：对

C,集合A中的元素0取倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应,不符合函数的定义；

对D,A集合不是数集，故不符合函数的定义.综上，选A.

(2)A中，函数的值域为{y|0WyW2},不满足条件；B中，函数的值域为{y|0WyW2},不满

足条件；C中，在0Wx<2内，一个x有两个y与之对应，不满足条件；D中，每个x都有

唯一确定的y与之对应，是函数关系.故选D.

答案：(1)A(2)D

跟踪训练1解析：⑴①中，当x=4时，y=42=164N,故不能构成函数.②中，当x=T

时、y=-l+l=(MN,故不能构成函数；③中，当x=T时，y=-lT=-2&N,故不能构

成函数；④中，当尢=±1时，y=W|=ieN,当x=2时，y=|x|=2GN,当x=4时，y=|M

=4CN,故构成函数.故选ABC.

(2)根据函数的概念可知③④是函数的图象.故选B.

答案：(l)ABC(2)B

例2解析：(I)要使函数(r)有意义，

则[1-XN"解得xwi且存-3,

(X+3H0,

所以函数於)的定义域为{x|xWl且x#-3},即{小<-3或-3<xWl}.故选D.

(2)要使函数兀0有意义，

Xh工

则2解得x2-2且xW；,故选A.

,x+2>0,2

答案：⑴D(2)A

跟踪训练2解析：(1)要使函数/U)有意义，

-x>0,

则解得xWO且xW-点故选C.

2x2—3x—2H0

(2)：函数解析式为丫=粤,

...x+320且xW2,

；.x）一3且x#2.

答案：⑴C(2){x|x2-3且xW2}

例3解析：A中，定义域都是(-8,0],但解析式不相同；B中，g(x)=>/记=仅|与人》)=尤

解析式不同；C、D是相等函数.

答案：CD

跟踪训练3解析：函数y=『的定义域为R,对于A项，〃=/的定义域为R,对应法则与

y=f一致，则A正确；对于B项，y=x•|x|的对应法则与y=/不一致，则B错误；对于

C项，y=?的定义域为3xW0},则C错误；对于D项，y=(4)4的定义域为{.很20},则

D错误：故选A.

答案：A

例4解析：⑴①^2)=2X22+2=10；

1”+3)=2(a+3)2+2=2a2+12a+20；

g(a)+g(O)=++/

②g(A2))=g(10)=康=*

M2))=X9=2xG)+2=T

(2)①因为XG(-1,3］,所以-12W-4x<4,所以-9W3-4XV7,

所以函数y=3-4x,xC（-l,3］的值域是［-9,7）.

②因为，=含=写詈=2-2W2,

x+1

所以函数)，=含的值域为{)，仅42}.

③设、1—2x=r,则r20,

所以y=~Y'■—/=：(一/—2r+1)=—［(，+1)2+1,

因为f20,所以yW手

所以函数y=x——2x的值域为(―8,Aj.

跟踪训练4解析：(1)A中，由x20得y=420,...〉=4。20)的值域为［0,+°°),A不

符合；B中，设«=f,由x>0得f=4>0,由y=5(f>0)的图象知其值域为(0，+8),B符

合；C中，由y=［(xWO)的图象知，y=:的值域为(-8,0)U(0,+8),C不符合；D中，y

=f+l2l,值域为［1,+°°),不符合.

(2)须2)=翳(

②匕

八71+23

,欣)尸尼)宅力

3

答案：(1)B(2)见解析

［课堂练习］

1.解析：对于A选项，由图象可知，存在x同时对应两个函数值y,A选项中的图象不