湖南省洞口县2025届高一数学第二学期期末学业质量监测模拟试题含解析

湖南省洞口县2025届高一数学第二学期期末学业质量监测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如图，各棱长均为的正三棱柱，、分别为线段、上的动点，且平面，，中点轨迹长度为，则正三棱柱的体积为（）A． B． C．3 D．2．下图是实现秦九韶算法的一个程序框图，若输入的，，依次输入的为2,2,5，则输出的（）A．10 B．12 C．60 D．653．已知圆的圆心为（-2,1），其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（）A． B．C． D．4．直线与平行，则的值为()A． B．或 C．0 D．－2或05．已知，，则等于（）A． B． C． D．6．下列各点中，可以作为函数图象的对称中心的是（）A． B． C． D．7．若平面∥平面，直线∥平面,则直线与平面的关系为()A．∥ B． C．∥或 D．8．已知不等式的解集为，则不等式的解集为()A． B．C． D．9．已知向量，且，则().A． B．C． D．10．若关于x，y的方程组无解，则（）A． B． C．2 D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．某球的体积与表面积的数值相等，则球的半径是12．在正方体中，是的中点，连接、，则异面直线、所成角的正弦值为_______.13．已知，则的最小值为_______．14．若，则的值为_______.15．化简：．16．数列中，，，，则的前2018项和为______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．设函数和都是定义在集合上的函数，对于任意的，都有成立，称函数与在上互为“互换函数”．（1）函数与在上互为“互换函数”，求集合；（2）若函数（且）与在集合上互为“互换函数”，求证：；（3）函数与在集合且上互为“互换函数”，当时,，且在上是偶函数,求函数在集合上的解析式．18．在△ABC中，AC=4，，．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若D为BC边上一点，，求DC的长度．19．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高，所在直线方程为.（1）求顶点的坐标；（2）求直线的方程.20．已知角终边上有一点，求下列各式的值．（1）；（2）21．已知向量，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若向量与垂直，求的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

设的中点分别为，判断出中点的轨迹是等边三角形的高，由此计算出正三棱柱的边长，进而计算出正三棱柱的体积.【详解】设的中点分别为，连接.由于平面，所以.当时，中点为平面的中心，即的中点（设为点）处.当时，此时的中点为的中点.所以点的轨迹是三角形的高.由于三角形是等边三角形，而，所以.故正三棱柱的体积为.故选：D【点睛】本小题主要考查线面平行的有关性质，考查棱柱的体积计算，考查空间想象能力，考查分析与解决问题的能力，属于中档题.2、D【解析】，，判断否，，，判断否，，，判断是，输出.故选.3、C【解析】设直径的两个端点分别A（a，2）、B（2，b），圆心C为点（-1，1），由中点坐标公式得解得a=-4，b=1．∴半径r=∴圆的方程是：（x+1）1+（y-1）1=5，即x1+y1+4x-1y=2．故选C．4、A【解析】

若直线与平行,则,解出a值后,验证两条直线是否重合,可得答案.【详解】若直线与平行,

则,

解得或,

又时,直线与表示同一条直线,

故,

故选A.本题考查的知识点是直线的一般式方程,直线的平行关系,正确理解直线平行的几何意义是解答的关键.5、D【解析】

通过化简可得，再根据，可得，利用同角三角函数可得，则答案可得.【详解】解：，又，得，即，又，且，解得，，故选：D.【点睛】本题考查三角恒等变形的化简和求值，是中档题.6、B【解析】

首先利用辅助角公式将函数化为，然后再采用整体代入即可求解.【详解】由函数，所以，解得，当时，故函数图象的对称中心的是.故选：B【点睛】本题考查了辅助角公式以及整体代入法求三角函数的中心对称点，需熟记三角函数的性质，属于基础题.7、C【解析】

利用空间几何体，发挥直观想象，易得直线与平面的位置关系.【详解】设平面为长方体的上底面，平面为长方体的下底面，因为直线∥平面，所以直线通过平移后，可能与平面平行，也可能平移到平面内，所以∥或.【点睛】空间中点、线、面位置关系问题，常可以借助长方体进行研究，考查直观想象能力.8、B【解析】

首先根据题意得到，为方程的根，再解出的值带入不等式即可.【详解】有题知：，为方程的根.所以，解得.所以，解得：或.故选：B【点睛】本题主要考查二次不等式的求法，同时考查了学生的计算能力，属于简单题.9、D【解析】

运用平面向量的加法的几何意义，结合等式，把其中的向量都转化为以为起点的向量的形式，即可求出的表示.【详解】,,故本题选D.【点睛】本题考查了平面向量加法的几何意义，属于基础题.10、A【解析】

由题可知直线与平行,再根据平行公式求解即可.【详解】由题,直线与平行,故.故选：A【点睛】本题主要考查了二元一次方程组与直线间的位置关系,属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、3【解析】试题分析：，解得.考点：球的体积和表面积12、【解析】

作出图形，设正方体的棱长为，取的中点，连接、，推导出，并证明出，可得出异面直线、所成的角为，并计算出、，可得出，进而得解.【详解】如下图所示，设正方体的棱长为，取的中点，连接、，为的中点，则，，且，为的中点，，，在正方体中，且，则四边形为平行四边形，，所以，异面直线、所成的角为，在中，，，.因此，异面直线、所成角的正弦值为.故答案为：.【点睛】本题考查异面直线所成角的正弦值的计算，考查计算能力，属于中等题.13、【解析】

运用基本不等式求出结果.【详解】因为，所以，，所以，所以最小值为【点睛】本题考查了基本不等式的运用求最小值，需要满足一正二定三相等.14、【解析】

把已知等式展开利用二倍角余弦公式及两角和的余弦公式，整理后两边平方求解．【详解】解：由，得，，则，两边平方得：，即．故答案为．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题．15、0【解析】原式＝＋＝－sinα＋sinα＝0.16、2【解析】

直接利用递推关系式和数列的周期求出结果即可．【详解】数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an+2＝an+1﹣an，则：a2＝a2﹣a1＝1，a4＝a2﹣a2＝﹣1，a5＝a4﹣a2＝﹣2，a1＝a5﹣a4＝﹣1，a7＝a1﹣a5＝1，…所以：数列的周期为1．a1+a2+a2+a4+a5+a1＝0，数列{an}的前2018项和为：（a1+a2+a2+a4+a5+a1）+…+（a2011+a2012+a2012+a2014+a2015+a2011）+a2017+a2018，＝0+0+…+0+（a1+a2）＝2．故答案为：2【点睛】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，数列的周期的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）见解析（3），【解析】

（1）利用列方程，并用二倍角公式进行化简，求得或，进而求得集合.（2）由，得（且），化简后根据的取值范围，求得的取值范围.（3）首先根据为偶函数，求得当时，的解析式，从而求得当时，的解析式.依题意“当，恒成立”，化简得到，根据函数解析式的求法，求得时，以及，进而求得函数在集合上的解析式.【详解】（1）由得化简得，，所以或．由解得或，，即或，．又由解得，．所以集合，或，即集合．（2）证明：由，得（且）．变形得，所以．因为，则，所以．（3）因为函数在上是偶函数，则．当，则，所以．所以，因此当时，．由于与函数在集合上“互换函数”，所以当，恒成立．即对于任意的恒成立．即．于是有，，．上述等式相加得，即．当（）时,，所以．而，，所以当时，，【点睛】本小题主要考查新定义函数的理解和运用，考查二倍角公式和特殊角的三角函数值，考查指数运算和指数函数的值域，考查根据函数的奇偶性求函数的解析式，考查化归与转化的数学思想方法，考查分析、思考与解决问题的能力，属于难题.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）或【解析】

（Ⅰ）由正弦定理得到，在结合三角形内角的性质即可的大小；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得的大小，在中，利用余弦定理即可求出边的长．【详解】（Ⅰ）在中，由正弦定理得，所以．因为，所以，所以．（Ⅱ）在中，．在中，由余弦定理，得，即，解得或．经检验，都符合题意．【点睛】本题主要考查正弦定理与余弦定理，属于基础题．19、（1）；（2）【解析】

（1）根据边上的高所在直线方程求出的斜率，由点斜式可得的方程，与所在直线方程联立即可得结果；（2）设则，代入中，可求得点坐标，利用两点式可得结果.【详解】（1）由边上的高所在直线方程为得，所以直线AB所在的直线方程为，即联立解得所以顶点的坐标为（4,3）（2）因为在直线上，所以设则，代入中，得所以则直线的方程为，即【点睛】本题主要考查直线的方程，直线方程主要有五种形式，每种形式的直线方程都有其局限性，斜截式与点斜式要求直线斜率存在，所以用这两种形式设直线方程时要注意讨论斜是否存在；截距式要注意讨论截距是否为零；两点式要注意讨论直线是否与坐标轴平行；求直线方程的最终结果往往需要化为一般式.20、（1）