2020-2021学年大同市浑源县九年级（上）期末数学试卷(含答案解析)

2020-2021学年大同市浑源县九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30・0分）

1.一元二次方程。+I）2=9可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是％+1=3,则

另一个一元一次方程是（）

A.x-1=-3B,x-1=3C.x+1=3D.x+1=-3

2.下列图形中，不是中心对称图形的是（)

A.正方形B.正六边形C.圆D.五角星

3.有一个正方体，6个面上分别标有1〜6这6个整数，投掷这个正方体一次，则出现向上一面的数

字为偶数的概率是（）

A-ic-iD-；

4.用配方法解方程/-以-3=0时，原方程应变形为（）

A.(%-2)2=7B.(X+2)2=7C.(%+4)2=19D.(x-4)2=13

5.如图所示，A,B,C,。是圆上的点，41=68。，44=40。.则z.D的

度数为

A.30°

B.40°

C.28°

D.56°

<

a40

6.关于x的一元一次方程（a-2）x+4x-6=0,且关于x的不等式组-无解，则符合条件

>3

的非负整数a的积为（）

A.0B.3C.4D.5

7.将二次函数y=的图象向下平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式为（）

A.y-x2—1B.y=%2+iC.y（x—l）2D.y（x+I）2

8.“杂交水稻之父”袁隆平和他的团队探索培育的“海水稻”在某试验田的产量逐年增加，2018

年平均亩产量约500公斤，2020年平均亩产量约800公斤.若设平均亩产量的年平均增长率为4,

根据题意，可列方程为（）

A.500（1+x）=800B.500（1+2x）=800

C.500（1+x2）=800D.500（1+x）2=800

9.二次函数丫=一/+.+©的图象如图所示，点4（40在（）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

10.如图，在AABC中，ZC=84°,分别以点4B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别

交于点M,N,作直线MN交4c于点。；以点8为圆心，适当长为半径画弧，分别交84,BC于点

E,F,再分别以点E,尸为圆心，大于：EF的长为半径画弧，两弧交于点P.若此时射线BP恰好经

过点C,则NA的大小是（）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.已知等腰三角形的两边长是方程M-9x+18=0的两个根，则该等腰三角形的周长为.

12.如图，在平面直角坐标系中，已知点Po的坐标为（1,0）,将线段OP。按逆时针方向旋转45。，再将

其长度伸长为OP。的2倍，得到线段。匕；又将线段0匕按逆时针方向旋转45。，长度伸长为0匕的

2倍，得到线段OP?；如此下去，得到线段。「3，。”，…。匕5为正整数）•那么点「6的坐标是，

点「2014的坐标是.

13.如图，点4、B、C、。在同一个圆上，若乙4=90。，CD=2,BC=3,

个圆的直径为.

14.将一枚六个面编号分别为1、2、3、4、5、6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次

掷出的点数为a,第二次掷出的点数为b,则使关于4、y的方程组仁:1:七二？只有正数解的概

率为______

15.如图，在Rt△ABC中，4B=90°,LA=30°,AC=2^3+2,四边形8DEF

是△ABC的内接正方形（点。、E、F在三角形的边上）厕此正方形的局长是

三、解答题（本大题共9小题，共83.0分）

16.解方程:

(x—y=4

⑴(3%+y=16

2%+y=4

⑵.%+2y=5

17.解下列方程

⑴(X—3)2=(3x+1)2

(2)x2—8%=-12

(3)3x2-4x-1=0(用配方法)

(4)5--7%+1=0

18.某班兴趣小组对函数y=-/+2|刈的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整.

（1）自变量的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：

_55

X—-3-2-10123—

~22

_55

—-301010-3—

y~4~4

(1)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出

该图象的另一部分；

(2)观察函数图象，当y随x增大而减小时，则x的取值范围是:

(3)进一步探究函数图象发现：

①函数图象与x轴有个交点，所以对应方程-/+2|x|=0有个实数根；

②方程一/+2|x|=-1W个实数根；

③若关于x的方程—/+2|x|=有4个实数根，贝切的取值范围是.

19.有五张正面分别写有数字-3,-2,1,2,3的卡片，它们的背面完全相同，现将这五张卡片背

面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为a的值，然后再从剩余的四张卡片中随机抽取

一张，以其正面的数字作为b的值，用列表法或树状图法求点(a,b)在反比例函数y=：图象上的

概率.

20.如图，你能对(甲)图案进行适当的运动变化，使它与(乙)图案重合吗？写出你的操作过程.

(甲)（乙）

21.在平面直角坐标系中，已知抛物线丫=一：/+6:+4瓦©为常数)的顶点为「，等腰直角三角形

4BC的顶点4的4的坐标为(0,-1),C的坐标为(4,3),直角顶点B在第四象限.

(1)如图，若该抛物线过4B两点，求抛物线的函数表达式；

(2)平移(1)中的抛物线，使顶点P在直线4C上滑动，且与直线4C交于另一点Q.

①点M在直线AC下方，且为平移前(1)中的抛物线上的点，当以M,P,Q三点为顶点的三角形是等

腰直角三角形时，写出所用符合条件的点M的坐标；

②取BC的中点N,连接NP,BQ.试探究而餐是否存在最大值？若存在，求出该最大值：若不存在，

请说明理由.

22.如图，4c是。。的直径，P4是。。的切线，4为切点，连接PC交。。于

点B连接4B,且PC=10,PA=6.

求：(1)0。的半径；

(2)cos/B4C的值.

23.如图1,点。是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长。。到点G,0C至IJ点E,使0G=20D,0E=

20C,然后以0G、0E为邻边作正方形0EFG,连接4G,DE.

(1)求证：DE14G；

(2)正方形4BCD固定，将正方形0EFG绕点。逆时针旋转a角(0。<a<360。)得到正方形OE'F'G',如

图2.

①在旋转过程中，当4O4G'是直角时，求a的度数;

②若正方形4BCD的边长为1,在旋转过程中，求4F'长的最大值和此时a的度数，直接写出结果不必

说明理由.

图2

24.将函数y=x2—ax+a(x<a)的图象记为图象G.

(1)设图象G最低点为“，求点M的坐标(用含a的式子表示).

(2)当图象G和x轴有且只有一个公共点时，直接写出a的取值范围.

(3)矩形/BCD的对称中心为坐标原点0,且边均垂直于坐标轴，其中点4的坐标为(2,1-a).

①当图象G在矩形4BCD内部(包括边界)对应的函数值y随x的增大而逐渐减小时，设此时图象G在矩

形48CD内部(包括边界)的最高点纵坐标和最低点纵坐标的差为I,求，与a之间的函数关系式.

②当图象G和矩形ABCD的边有公共点时，设公共点为点P(当存在多个公共点时，设其中一个为P).若

直线4P将矩形4BCD分成两部分图形的面积比为1：5,直接写出此时点P的坐标.

参考答案及解析

1.答案：D

解析：解：•・•(X+1)2=9,

・,•％+1=±3,

・•・x+1=3或x4-1=-3,

故选O.

利用直接开平方法可得出》+1=±3,即可得出另一个一元一次方程.

本题考查了解一元一次方程-直接开平方法.解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左

边，把常数项移项等号的右边，化成/=a(aNO)的形式，利用数的开方直接求解.

(1)用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a(a>0)；a/=b®,b同号且aK0)：(%4-

a)2=b(bN0)；。(％+6)2=。(。,。同号且。力0).法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数

化为1,再开平方取正负，分开求得方程解”.

(2)用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点.

2.答案：D

解析：解：力、正方形是中心对称图形，故本选项错误；

反正六边形是中心对称图形，故本选项错误：

C、圆是中心对称图形，故本选项错误；

。、五角星不是中心对称图形，故本选项正确：

故选D

根据中心对称的定义，结合选项进行判断即可.

本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的关键是旋转180。后能够重合.

3.答案:C

解析：解：根据概率公式：P(出现向上一面的数字为偶数)=：=：.故选C.

oN

投掷这个正方体会出现1到6共6个数字，每个数字出现的机会相同，即有6个可能结果，而这6个数

中有2,4,6三个偶数，则有3种可能.

用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比.

4.答案：A

解析：解：%2—4%—3=0,

x2—4%=3,

x2—4x+4=3+4,

(x-2)2=7,

故选：A.

移项，配方，变形后即可得出选项.

本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键.

5.答案：C

解析：解：•••44+48=41,且41=68。，44=40。，

NB=N1-4A=28°；

=28°.

6.答案：A

解析：解：丫(a-2)x+4x-6=0是关于x的一元二次方程，

a—2+4K0,即a。一2,

解不等式x-a<0得％<a,

解不等式昔>(得：x>5,

•••不等式组无解，

，QW5,

则符合条件的非负整数a的值为0、1、2、3、4、5,

符合条件的非负整数a的积为0,

故选：A.

根据一元一次方程的概念得出a4-2,由不等式组无解得出a的取值范围，从而确定出非负整数a的

值，继而得出答案.

本题主要考查一元一次方程的概念和解一元一次不等式组，解题的关键是掌握一元一次方程的概念

和解一元一次不等式组的能力.

7.答案：A

解析：本题考查二次函数图象的平移规律，难度较小.二次函数图象平移遵循上加下减的原则，将

二次函数y=x2向下平移一个单位得到二次函数的解析式为y=X2-1.

8.答案：D

解析：解：水稻亩产量的年平均增长率为X,

根据题意得:500(1+x)2=800,

故选：D.

设水稻亩产量的年平均增长率为x,根据“2018年平均亩产x(l+增长率产=2020年平均亩产”即

可列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论.

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题

的关键.

9.答案：D

解析：解：・•・对称轴在y轴右边，

•1,b>0,

••・抛物线与y轴的交点在负半轴，

•••c<0,

•••点(hC)在第四象限.

故选：D.

根据抛物线的对称轴在y轴右边可得：a,b异号,所以b>0,根据抛物线与y轴的交点在负半轴可

得：c<0.所以点(b,c)在第四象限.

本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数的图象确定二次函数的字母系数的取值范

围是解题的关键.

10.答案：B

解析：解：在AABC中，ZC=84°,

•••AA+Z.ABC=180°-84°=96°,

根据作图过程可知：

DM是4B的垂直平分线，BO是乙4BC的平分线，

•••OM是4B的垂直平分线，

:.DB—DAf

・••乙DBA=乙4,

•・・8。是〃8。的平分线，

・•.Z.DBA=乙DBC,

••・Z.A=Z.DBA=乙DBC,

・・・3〃=96°,

•••/.A=32°.

故选:B.

根据三角形内角和定理可得N4+N4BC=96。，根据作图过程可得。M是48的垂直平分线，BD是

41BC的平分线，可得NZ=4DBA=NDBC,进而可得结果.

本题考查了作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法.

II.答案：15

解析：解：%2—9x+18=0,

(x-3)(x-6)=0,

所以%1=3,%2=6,

因为3+3=6,所以等腰三角形的两腰为6、6,底边长为3,

所以三角形周长=6+6+3=15.

故答案为：15.

利用因式分解法解方程得到与=3,g=6,再根据三角形三边的关系得等腰三角形的底为3,腰为

6,然后计算三角形的周长.

本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个

一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解，这

样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).

12.答案：(0,-64)或(0,-26)；(0,-22014)

解析：解：由题意可得出：OPi=2,OP2=4,OP3=8,

故P6点在y轴负半轴上，OP$=26,

则点的坐标是(0,-64)或(0,—26)；

•••2014+8=251...6,

・・•点02014的坐标与点P6的坐标在y轴的负半轴上，

二点「2014的坐标是：(0,-22014).

故答案为：(0,—64)或(0,—26)；(0,—22。14).

根据题意得出。匕=2,OP2=4,OP3=8,进而得出P点坐标变化规律，进而得出点P6的坐标以及

点「2014的坐标.

此题主要考查了坐标的旋转问题；得到相应的旋转规律及。匕的长度的规律是解决本题的关键.

13.答案：V13

D

解析：解：连接8D,

C

•・•点4、B、C、。在同一个圆上,

・・・+4c=180。,\\：//

vZ.A=90°,

R

:.ZC=90°,

・・.80就是直径，

•・,CD—2,BC—3,

BD=3+32=713，

故答案为：V13-

连接8。，根据圆内接四边形对角互补可得=90。，根据90。的圆周角所对的弦是直径可得8。是直

径，再利用勾股定理计算出BD长即可.

此题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，以及勾股定理，关键是掌握圆内接四边形对角

互补，90。的圆周角所对的弦是直径.

14.答案：

解析：解：当a-2b=0时，方程组无解；

②当a—2b力0时，方程组的解为由a、b的实际意义为1,2,3,4,5,6可得.

易知a,b都为大于。的整数，则两式联合求解可得x=二，y=产，

2b-a'2b-a

:使％、y都大于0则有％=二>0,y=白四>°，

2b—a2b—a

二解得a<pb>裁者a>pb<|，

•••a,b都为1到6的整数，

••・可知当a为1时b只能是1,2,3,4,5,6；或者a为2,3,4,5,6时b无解，

这两种情况的总出现可能有6种；

(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6),

又掷两次骰子出现的基本事件共6X6=36种情况，故所求概率为=白=*

QOO

故答案为：

O

首先分两种情况：①当a-2b=0时，方程组无解;

②当a-2b力0时，方程组的解为由a、b的实际意义为1,2,3,4,5,6可得.把方程组两式联合

求解可得刀=黑二，y-\四，再由X、y都大于0可得X=誓^>0,y=《的>0,求出a、b的范围，

2b—a2b—a2b—a2b—a

列举出a,b所有的可能结果，然后求出有正数解时，所有的可能，进而求出概率.

此题主要考查了列表法求概率，以及二元一次方程的解法，题目综合性较强.

15.答案:4v5

解析：解：设正方形的边长为心

•・•四边形BDEF是△4BC的内接正方形，

・・•△EDC为直角三角形，

「八DEV3

tan6003

・・•=30°,

・・・BC=^AC=1x(2V3+2)=V3+1,

・•・x4-=V34-1

解得：x=V3»

，正方形的周长是4百，

故答案为：4V3.

设正方形的边长为％,由锐角三角函数可知6=告=磊=枭，易得BC=x+&,由含30。直

角三角形的性质可得BC=^AC,易得％,可得结果.

本题主要考查了正方形的性质，含30。直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，设正方形的边长为

X,利用方程思想是解答此题的关键.

16.答案：解：⑴分，

(3x+y=16②

②+①得：4%=20,即％=5,

将％=5代入①得：—y=—1,即y=1,

则方程组的解为11:；

o、，2x+y=4①

+2y=5②

①x2—②得：3%=3,即％=1,

将％=1代入①得2+y=4,即y=2

则方程组的解为｛；Z2-

解析：⑴利用加减消元法求出解即可；

(2)利用加减消元法求出解即可.

此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法.

17.答案：解：(1)•••(x-3)2=(3x+

(x-3)2-(3x+I)2=0,

・•・(%—3+3%+1)(%—3—3%—1)=0,

解得：%=1或％=-2.

(2)•・,x2-8x=-12,

・•・/-8%+16=4,

:.(%—4)2=4,

・•・x=6或％=2.

(3)v3x2-4%—1=0,

x2——%4--=

-(-I)2

2±V7

(4)5X2-7X+1=0,

・•・a=5,b=—7,c=1,

•••△=49—20=29,

7±V29

AX=

解析：(1)根据因式分解法即可求出答案.

(2)根据配方法即可求出答案.

(3)根据配方法即可求出答案.

(4)根据公式法即可求出答案.

本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型.

18.答案：-l<x<0,x>13320<n<1

解析：解：(1)补充图象另一部分如下:

(2)从图象看，当y随x增大而减小时，贝反的取值范围是：—l<x<0,x>1；

故答案是：—1<%<0,x>1；

(3)从图象看①函数图象与x轴有3个交点，所以对应方程-/+2|x|=0有3个实数根;

②方程一/+2|x|=—1有一2个实数根；

③若关于x的方程一/+2|x|=n有4个实数根，则n的取值范围是0<n<1,

故答案为：3,3；2；0<n<l.

(1)根据函数的对称性补充图象如图所示;

(2)、(3)观察图象即可求解.

本题考查的是函数图象与性质,通常在补全图象的基础上，通过观察函数图象来求解问题

19.答案：解：画树状图为：

123

-2123-3123-3.223-3.213-3-212

所有可能出现的结果共有20个,这些结果出现的可能性相等,

点(a,b)在反比例函数y=:图象上的可能性有4个，分别是(一2,-3),(-3,-2),(2,3),(3,2),

••・点(a,b)在反比例函数y=洲象上的概率概率是P=^=|.

解析：画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出点(a,b)在反比例函数y=:图象上的结果数，

然后根据概率公式求解.

本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n,再从中选出符

合事件4或B的结果数目m,然后根据概率公式求出事件4或B的概率.

20.答案：解：如图，

(甲)(Z.)

先将(甲)图案向右平移5个单位，再以点C为旋转中心，顺时针旋转90。即可得至IJ(乙)图案.

解析：根据平移和旋转变换的定义和性质求解可得.

本题主要考查几何变换的类型，解题的关键是掌握平移变换和旋转变换的定义.

21.答案：解：⑴•••等腰直角三角形SBC的顶点4的坐标为(0,-1),C的坐标为(4,3)

二点B的坐标为(4,-1).

•••抛物线过B(4,—1)两点，

"{-1x16+4b+c=-lr解得：b=2,c=-1,

•••抛物线的函数表达式为：y=—+

(2)方法一:

i)・・T(0,-1),C(4,3),

・•・直线AC的解析式为：y=x-l.

设平移前抛物线的顶点为Po,则由(1)可得P。的坐标为(2,1),且P。在直线AC上.

・・,点P在直线4c上滑动，・•.可设P的坐标为-1),

则平移后抛物线的函数表达式为：y=-771)2+m-1.

y=x—1

解方程组:y=—1(x-m)2+—1)'

x2=m—2

解得以二t.r?2=6一3'

・••P(m,m—1),Q(m—2,m—3).

答图i

①当PQ为直角边时：点M到PQ的距离为2或(即为PQ的长).

由4(0,—1),8(4,—1),P()(2,l)可知，

△4BP。为等腰直角三角形，且BPO^LAC,BPO=2>/2.

如答图1,过点B作直线/"/AC,交抛物线丫=一：/+2%-1于点用，则M为符合条件的点.

•••可设直线，1的解析式为：y=x+瓦，

-1),•••-1=4+瓦,解得瓦=一5,

・,・直线人的解析式为：y=x-5.

解方程组『一1,得：上工，恃=一；，

(y=--xz+2x-1(%=-1(%=一7

M2(-2,-7).

②当PQ为斜边时：MP=MQ=2,可求得点M到PQ的距离为夜.

如答图2,取4B的中点F,则点尸的坐标为(2,—1).

由4(0,-1),F(2,—1),Po(2,l)可知：

△AFP。为等腰直角三角形，且点F到直线4C的距离为

过点F作直线，2〃4C,交抛物线丫=一：/+2%-1于点时，则M为符合条件的点.

•••可设直线，2的解析式为：y=x+B，

：.-l=2+b2,解得力2=-3,

・••直线，2的解析式为：y=x-3.

y=x—3

=1+V5x2=1—Vs

解方程组21，得:

y=--%+2x—=-2+Vs"?2=2_Vs;

•••M3(l+V5,-2+V5),M4(l-V5,-2-V5).

综上所述，所有符合条件的点的坐标为：

M“1(4,—1),M2(-2,-7),M3(l+V5,—2+V5)»“4(1—

V5.-2-V5).

方法二：

•••4(0,1),C(4,3),

-ICA-y=x-i,

•••抛物线顶点P在直线4c上，设

••・抛物线表达式：y=-+

•••Uc与抛物线的交点Q«-2,t-3),

•••一M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形，P(t,t-1),

①当M为直角顶点时，-|t2+2t-l=t-3,

t=1±V5>

+V5.V5-2).M2(l-V5,-2-V5).

②当Q为直角顶点时，点M可视为点P绕点Q顺时针旋转90。而成，

将点Q(t-2,t-3)平移至原点Q'(0,0),则点P平移后P'(2,2),

将点P'绕原点顺时针旋转90。，则点M'(2,-2),

将0(0,0)平移至点Q(t-2,t-3),则点M'平移后即为点-5),

—t?+2t—1=t-5,

2

方=4,t2=—2,

1),M2(-2,-7),

③当P为直角顶点时，同理可得M2(-2,-7),

综上所述，所有符合条件的点”的坐标为：“1(4,-1),

时2(—2,—7),M3(l+V5,-2+V5),M4(l-V5,-2-V5).

存在最大值•理由如下：

由i)知PQ=2应为定值，则当NP2+BQ2取最小值时，

而餐有最大值•

如答图2,取点B关于4c的对称点B',易得点B'的坐标为(0,3),

BQ=B'Q.

连接QF,FN,QB',易得FN〃PQ,且FN=PQ,

四边形PQFN为平行四边形.

•••NP=FQ.

•••NP2+BQ2=FQ2+B'Q2>FB'2=22+42=20.

.•.当B'、Q、F三点共线时，NP2+BQ2最小，最小值为20.

PQ2的最大值为为=|.

NP2+BQ2

解析：(1)先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式;

(2)i)首先求出直线4c的解析式和线段PQ的长度，作为后续计算的基础.

若AMPQ为等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：

①当PQ为直角边时：点M到PQ的距离为2夜.此时，将直线4c向右平移4个单位后所得直线（y=x-

5）与抛物线的交点，即为所求之M点；

②当PQ为斜边时：点M到PQ的距离为近.此时，将直线4c向右平移2个单位后所得直线⑶=x-3）与

抛物线的交点，即为所求之M点.

”）由。）可知，PQ=2&为定值，因此当NP2+BQ2取最小值时，NP；：；Q2有最大值・如答图2所示,

作点B关于直线4c的对称点B',由分析可知，当B'、Q、尸（48中点）三点共线时，NP?+BQ2最小,

最小值为线段B'F的长度.

本题为二次函数中考压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、几何变换（平

移，对称）、等腰直角三角形、平行四边形、轴对称-最短路线问题等知识点，考查了存在型问题和

分类讨论的数学思想，试题难度较大.

22.答案：解：（1）•••?!（?是。。的直径，P4是。0的切线，

•••CA1PA,

即"4C=90°,

VPC=10,PA=6,

AC=y/PC2-PA2=8，

OA=-AC=4,

2

・・・。0的半径为4；

（2）・・・4。是。。的直径，P4是O。的切线，

:.Z.ABC=Z-PAC=90°,

・•・ZP+ZC=90°,Z.BAC+ZT=90°,

:.Z.BAC=乙P,

在Rt△PAC中，coszP=祟=卷=|,

3

:.cosZ-BAC=

解析：（1）由AC是。。的直径，P4是。。的切线，根据切线的性质，即可得NPZC=90°,又由PC=10,

P4=6,利用勾股定理即可求得AC的值，继而求得。。的半径：

（2）由4c是。。的直径，P4是。。的切线，根据圆周角定理与切线的性质，即可得44BC=NP4C=

90°,又由同角的余角相等，可得4BZC=4P,然后在Rt/kPAC中，求得COSNP的值，即可得cos^BAC

的值.

此题考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理以及三角函数的定义.此题难度适中，注意掌握数

形结合思想与转化思想的应用.

23.答案：解：（1）如图1,延长ED交4G于

点H,

•・,点。是正方形/BCD两对角线的交点，

・•・0A=0。，0A10。，

•・,0G=0E,

在A/OG和aDOE中，

0A=0D

/.AOG=4DOE=90°,

0G=0E

**•△AOG=^DOE,

:.乙AGO=乙DEO,

v/.AGO+LGAO=90°,

/.Z.GAO+ADEO=90°,

・・・^AHE=90°,

即DEIAG；

(2)①在旋转过程中，/O4G'成为直角有两种情况:

(I)4由0。增大到90。过程中，当N04G'=90。时，

,:OA=OD=-OG=-OG',

22

.♦.在Rt△04G'中，sm^.AG'0=悬=}

"G'O=30°,

vOA1OD,OALAG',

：.OD//AG',

乙DOG'=^AG'O=30°,

即a=30°；

(H)a由90。增大到180。过程中，当N6MG'=90。时,

同理可求NBOG'=30°,

a=180°-30°=150°.

综上所述，当4CMG'=90。时，a=30。或150。.

②如图3,当旋转到4、。、F'在一条直线上时，4F'的长最大，

•.•正方形4BCD的边长为1,

・•・0A=0D=0C=0B=—,

2

v0G=2。。，

・・.0G'=0G=VL

・・.OF'=2,

・・・4〃=40+0尸'=立+2,

2

v“0E'=45°,

此时a=315°.

解析：(1)延长ED交4G于点“，易证AAOG三△DOE,得到NAGO=NDE。，然后运用等量代换证明

AAHE=90。即可；

(2)①在旋转过程中，N04G'成为直角有两种情况：a由0。增大到90。过程中，当/。47'=90。时，a=

30°,a由90。增