人教版高数必修一第10讲：对数与对数运算(学生版)

对数与对数运算____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________理解对数的概念；能够说明对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的相互转化，并能运用指对互化关系研究一些问题.一、对数的定义一般地，如果的次幂等于,就是，那么数叫做以为底的对数，记作，叫做对数的底数，叫做真数。特别提醒：1、对数记号只有在，时才有意义，就是说负数和零是没有对数的。2、记忆两个关系式：①；②。3、常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。为了简便,的常用对数，简记作：。例如：简记作;简记作。4、自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e为底的对数，以e为底的对数叫自然对数。为了简便，的自然对数，简记作：。如：简记作；简记作。二、对数运算性质：如果有：特别提醒：1、对于上面的每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数记号都有意义时，等式才成立。如是存在的，但是不成立的。2、注意上述公式的逆向运用：如；三、对数的换底公式及推论：对数换底公式：两个常用的推论:（1）（2）四、两个常用的恒等式：，类型一指数式与对数式的相互转化例1：将下列指数式与对数式进行互化．(1)3x＝eq\f(1,27)； (2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x＝64；(3)5－eq\s\up10(\f(1,2))＝eq\f(1,\r(5))； (4)logeq\r(2)4＝4；(5)lg0.001＝－3; (6)＝－1.练习1：将下列指数式与对数式进行互化．(1)e0＝1；(2)(2＋eq\r(3))－1＝2－eq\r(3)；(3)log327＝3；(4)log0.10.001练习2：将下列对数式与指数式进行互化．(1)2－4＝eq\f(1,16)；(2)53＝125；(3)lga＝2；(4)log232＝5.类型二对数基本性质的应用例2：求下列各式中x的值．(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lgx)＝1；练习1：已知log2(log3(log4x))＝log3(log4(log2y))＝0，求x＋y的值．练习2：(2014～2015学年度陕西宝鸡市金台区高一上学期期中测试)已知4a＝2，lgx＝a，则x＝______.类型三对数的运算法则例3：计算(1)loga2＋logaeq\f(1,2)(a>0且a≠1)；(2)log318－log32；(3)2log510＋log50.25；练习1：(2014～2015学年度陕西宝鸡市金台区高一上学期期中测试)计算log535＋2log2eq\r(2)－log5eq\f(1,50)－log514的值．练习2：(2014～2015学年度山西太原市高一上学期期中测试)计算：2log510＋log50.25的值为________．类型四带有附加条件的对数式的运算例4：lg2＝a，lg3＝b，试用a、b表示lg108，lgeq\f(18,25).练习1：已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，求lgeq\r(45).练习2：若lgx－lgy＝a，则lg(eq\f(x,2))3－lg(eq\f(y,2))3等于()A．eq\f(a,2) B．a C．eq\f(3a,2) D．3a类型五应用换底公式求值例5:计算：lgeq\f(1,2)－lgeq\f(5,8)＋lg12.5－log89·log278.练习1:计算(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)．练习2:log89·log32的值为()A．eq\f(2,3) B．1 C．eq\f(3,2) D．2类型六应用换底公式化简例6:已知log89＝a，log25＝b，用a、b表示lg3.练习1:(2014～2015学年度安徽合肥一中高一上学期期中测试)已知log23＝a，log37＝b，则log1456＝()A．eq\f(ab＋3,ab＋1) B．eq\f(ab＋3,ab＋1) C．eq\f(b＋3,ab＋1) D．eq\f(ab－3,ab＋1)练习2:已知log72＝p，log75＝q，则lg5用p、q表示为()A．pq B．eq\f(q,p＋q) C．eq\f(1＋pq,p＋q) D．eq\f(pq,1＋pq)1、使对数loga(－2a＋1)有意义的aA．0＜a＜eq\f(1,2)且a≠1 B．0＜a＜eq\f(1,2)C．a＞0且a≠1 D．a＜eq\f(1,2)2、(2014～2015学年度辽宁沈阳二中高一上学期期中测试)已知x、y为正实数，则下列各式正确的是()A．2lgx＋lgy2＝2lgx＋2lgy B．2lg(x＋y)＝2lgx·2lgyC．2(lgx·lgy)＝2lgx＋2lgy D．2lg(xy)＝2lgx·2lgy3、(2014～2015学年度宁夏银川一中高一上学期期中测试)若lg2＝a，lg3＝b，则eq\f(lg12,lg15)等于()A．eq\f(2a＋b,1－a＋b) B．eq\f(2a＋b,1＋a＋b)C．eq\f(a＋2b,1－a＋b) D．eq\f(a＋2b,1＋a＋b)4、．log52·log425等于()A．－1 B．eq\f(1,2)C．1 D．25、化简logeq\f(1,a)b－logaeq\f(1,b)的值为()A．0 B．1C．2logab D．－2logab__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么x－eq\f(1,2)等于()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2\r(3))C．eq\f(1,2\r(2)) D．eq\f(1,3\r(3))2．若f(10x)＝x，则f(3)的值为()A．log310 B．lg3C．103 D．3103．如果lgx＝lga＋3lgb－5lgc，那么()A．x＝a＋3b－c B．x＝eq\f(3ab,5c)C．x＝eq\f(ab3,c5) D．x＝a＋b3－c34．方程2log3x＝eq\f(1,4)的解是()A．eq\f(\r(3),3) B．eq\r(3)C．eq\f(1,9) D．95．eln3－e－ln2等于()A．1 B．2C．eq\f(5,2) D．3能力提升6．若log(1－x)(1＋x)2＝1，则x＝________.7．若logx(2＋eq\r(3))＝－1，则x＝________.8．已知log32＝a，则2log36＋lo