高考数学 特色题型汇编：多项选择题-平面解析几何（基础、中档、压轴）（原卷及答案）（新高考地区专用）

多项选择题——平面解析几何（基础、中档、压轴）

1.下列双曲线的渐近线方程为y=±gx的是（）

22222，

A.—-/=1B.—-^-=1C.汇-尤2=1D.二一二=1

4424416

2.点尸在圆G：/+y2=i上，点。在圆C2：/+y2-6x+8y+24=0上，则（）

A.IPQI的最小值为3B.IPQI的最大值为7

4

C.两个圆心所在的直线斜率为一3

D.两个圆相交弦所在直线的方程为6x-8y-25=0

3.设圆锥曲线C的两个焦点分别为E，E，若曲线C上存在点尸满足

|P制:出国:|P闾=4:3:2,则曲线C的离心率可以是（）

123

A・：B.4C.-D.2

232

4.已知圆C:/+y2=i,则下列曲线一定与圆C有公共点的是（）

A.过原点的任意直线

B.x+y+2022=0C.（x-l）2+/=l

D.以（2,0）为圆心且半径超过3的圆

5.直线>=丘-1与圆C:（x+3）2+（y-3）2=36相交于A,B两点,则线段AB的长度可能

为（）

A.36B.4石C.12D.14

6.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C:>2=4x的焦点为F,点尸在抛物线C上，

若△抬尸为等腰三角形，则直线AP的斜率可能为（）

A.逑B.一还C.1D.一逑

7523

7.已知直线/：X+»-4=0,圆O:/+y2=2,M是/上一点，MA,M8分别是圆。的

切线，贝（I（）

A.直线/与圆。相切B.圆O上的点到直线/的距离的最小值为0

C.存在点M,使NAMB=90。D.存在点M,使为等边三角形

8.已知曲线C的方程为2-上=1,下列说法正确的是（）

mn

A.若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则加>-〃>0B.曲线C可能是圆

C.若〃7〃<0,则曲线C一定是双曲线D.若C为双曲线，则渐近线方程为

尸后

9.已知点A（a,〃），直线/：ar+hy+c=0,圆O:/+y2=l,圆C:f+y2=c2.下列命

题中的真命题是（）

A.若/与圆C相切，则A在圆。上B.若/与圆。相切，则A在圆C上

C.若/与圆C相离，则A在圆。外D.若/与圆。相交，则A在圆C外

10.已知点〃卜&,0）,7V（V2,O）,若某直线上存在点P,使得=则称

该直线为“好直线”，下列直线是“好直线''的是（）

A.x+y=0B.x+y-3=0C.2x+y=0D.2x+y-3=0

11.已知直线/过点（3,4）,点A（—2,2）,3（4,—2）到/的距离相等，贝»的方程可能是（）

A.x-2y+2=0B.2x-y-2=0

C.2x+3>?-18=0D.2x-3y+6=0

12.已知圆d+/=4上有且仅有三个点到直线I的距离为1,则直线/的方程可以是（）

A.x-y+l=0B.6x—y+\/37-0

C.x-y-y/2=0D.x=-l

13.已知圆M:（x+cos，）2+（y-sin6>）2=1,直线l:y=kx,下面四个命题，其中真

命题是（）

A.对任意实数％与e,直线/与圆M相切

B.对任意实数k与。，直线/与圆〃有公共点

C.对任意实数。，必存在实数3使得直线/与圆M相切

D.对任意实数3必存在实数。，使得直线/与圆M相切

14.2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回

地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面

直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点产（0,2）,椭圆的短

轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G.若过原点。的直线与上半椭圆交于点4,

与下半圆交于点B,则（）

C.4AB尸面积的最小值是4D.AFG的周长为4+4正

15.已知线段8c的长度为4,线段AB的长度为加，点2G满足A。=QC，OG-AC=0，

且G点在直线AB上，若以所在直线为x轴，BC的中垂线为＞轴建立平面直角坐标

系，则（）

A.当％=4时，点G的轨迹为圆

'19'

B.当64加48时，点G的轨迹为椭圆，且椭圆的离心率取值范围为

C.当加=2时，点G的轨迹为双曲线，且该双曲线的渐近线方程为y=±宿

D.当机=5时，3CG面积的最大值为3

16.双曲线C的两个焦点为耳,入，以C的实轴为直径的圆记为。，过K作。的切线与

3

。交于M,N两点,且cos/ENg=g,则。的离心率为（）

A.@B.-C.—.当

222

17.若实数x,y满足》-44=2"5,则下列说法正确的是（

A.x的最小值是4B.x的最大值是20

C.若关于y的方程有一解，则X的取值范围为［4/6)u{20}

D.若关于y的方程有两解，则x的取值范围为［16,20)

18.设抛物线C：V=8x与直线y=相交于不同的两点A、B,弦A3的垂直平分

线与x轴交于P,与C的准线交于Q.下列结论正确的是()

A.-2<m<2B.弦AB中点的纵坐标是定值

C.存在唯一的也使得N4P8=60。D.存在唯一的加使得|PQ|=|AB|

19.已知。为坐标原点，点41,1)在抛物线C:f=2p)，(p>0)上，过点3(0,-1)的直线

交C于尸，Q两点，则()

A.C的准线为y=-lB.直线AB与C相切

C.\OP\-\OQ\>\OAfD.\BP\\BQ\>\BA\2

20.已知O为坐标原点，过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F的直线与C交于两点，

其中A在第一象限，点A/(p,O),若IAFHAMI,则()

A.直线A8的斜率为2#B.\OB\=\OF\

C.\AB［>4\0F\D.NOAM+NO3M<180°

21.已知椭圆J+《=l的左右焦点分别为％F2,抛物线y2=2px(p>0)与椭圆共焦

点，若两曲线的一个交点为P,则下列说法正确的是()

A.p=4B.|尸制+归闾=6C.|”|=3D.4W鸟的面积为2石

22.已知曲线C是平面内到定点F(0,1)和定直线/：y=T的距离之和等于4的点的轨迹,

若尸(“。,九)在曲线C上，则下列结论正确的是()

A.曲线C关于x轴对称B.曲线C关于y轴对称

C.-2M02D.1^J|PF|4

23.“脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体如图,

X2+y2=4,y>0

“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线C,其方程为V2.则

_+2_=1,y<0

49

下列说法正确的是（）

A.曲线C包含的封闭图形内部（不含边界）有11个整数点（横、纵坐标均为整数）

B.曲线C上任意一点到原点距离的最大值与最小值之和为5

C.若A（0,一亚）、B（0,75）,P是曲线C下半部分中半椭圆上的一个动点，则cosZAPB

的最小值为一［

D.画法几何的创始人加斯帕尔・蒙日发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都

在与椭圆同中心的圆上，称该圆为椭圆的蒙日圆；那么曲线C中下半部分半椭圆扩充为

整个椭圆C：$卷=1（_34”3）后，椭圆。的蒙日圆方程为：x2+y2=\3

24.对于平面直角坐标系内的任意两点尸（公乂），Q（W，%），定义它们之间的一种“距

离”为11尸。1=上—引+|乂一%|,己知不同三点A,B,C满足||ACll+ll8Cll=llABll,则下

列结论正确的是（）

A.A,B,C三点可能共线B.A,B,C三点可能构成锐角三角

形

C.A,B,C三点可能构成直角三角形D.4B,C三点可能构成钝角三角形

25.已知双曲线=（。＞0）的左右焦点分别为K，双曲线C上两点A,

a

8关于坐标原点对称，点P为双曲线C右支上上一动点，记直线孙，PB的斜率分别为

噎，L，若的=PF»F2,则下列说法正确的是（）

A.a=4B.a=2

3

c.耳心的面积为£D.耳心的面积为1

26.已知直线，：ox+切-2=0,圆C:（x-4+（y-与2=2,则下列结论正确的有（）

A.若a-b=l,则直线/恒过定点（2,-2）B.若。=匕,则圆C可能过点（0,3）

C.若〃+从=2,则圆C关于直线/对称

D.若/+从=1,则直线/与圆C相交所得的弦长为2

27.曲线C的方程为‘一+二一=1,则下列说法正确的是（）

16+49+2

A.存在实数2使得曲线C的轨迹为圆B.存在实数2使得曲线C的轨迹为椭圆

C.存在实数2使得曲线C的轨迹为双曲线

D.无论2（2>-16且%*-9）取何值，曲线C的焦距为定值

28.阿基米德是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，享有“数学之神”的称号.若

抛物线上任意两点A,B处的切线交于点尸，则称△PAB为“阿基米德三角形已知抛

物线Y=8y的焦点为凡过抛物线上两点A,3的直线的方程为x-y+2=0,弦AB的

中点为C,则关于“阿基米德三角形"△「/",下列结论正确的是（）

A.点尸（6,-2）B.PC_Lx轴C.PALPBD.PFYAB

29.已知0为坐标原点，点尸（。方）在直线/：辰-y-4=0（AeR）上，是圆

V+y2=2的两条切线，A,B为切点、,则（）

A.直线/恒过定点（O,4）B.当△E48为正三角形时，|。"=2五

C.当时，上的取值范围为（YO，-旬[",+℃）

D.当PO.PA=14时，a+b的最大值为40

30.数学中有许多优美的曲线，星形曲线就是其中之一，它最早是由古希腊天文学家发

现的，罗默、伯努利、莱布尼兹等数学家都研究过其性质在工业生产中，利用星形曲线

的特性，能设计出一种超轻超硬材料，展现了数学模型的广泛性和应用性.已知星形曲

22

线E：W+/=1，设P（x,y）为E上任意一点，则（）

A.曲线E与坐标轴有四个交点B.次区Uy区1

C.曲线E有且只有两条对称轴D.|x|+|y|<l

31.第24届冬季奥林匹克运动会圆满结束.根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬

奥会开、闭幕式的场馆.国家体育场"鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架

是离心率相同的椭圆，若椭圆q+£=l（q＞4＞（）9lW肓/C2：

a\4

＞0）的离心率相同，且6＞的.则下列正确的是（)

c.如果两个椭圆C?,C分别是同一个矩形（此矩形的两组对边分别与两坐标轴平行）

的内切椭圆（即矩形的四条边与椭圆C2均有且仅有一个交点）和外接椭圆，则言=忘

D.由外层椭圆G的左顶点A向内层椭圆C2分别作两条切线（与椭圆有且仅有一个交点

的直线叫椭圆的切线）与交于两点M,N,G的右顶点为8,若直线A"与BN的斜

率之积为]，则椭圆的离心率为,

32.己知椭圆C:[+，■=1（。＞0,6＞0）的焦点分别为《，6,焦距为2c,过尸2的直线

与椭圆C交于A,5两点.|A段=3|明向邳=忸用=娅’,若”班的周长为20,

则经过点（乎，亭）的直线（）

A.与椭圆C可能相交B.与椭圆C可能相切

C.与椭圆C可能相离D.与椭圆C不可能相切

33.黄金比例被公认为是最具美感的比例，其值为K=或二L已知椭圆

2

E：5+A=l（4＞人＞0）的离心率0=长，设坐标原点为。，椭圆的右焦点为F,左顶点

crh2

为A,下顶点为8,过点尸且垂直于1轴的直线交椭圆于点尸和。，则（）

川K

A.、=—B.b2=acC.ZABF＞90D.ZPOQ=90

a22

22

34.已知双曲线C：+-方=117>0,6>0）的左右焦点为耳，工，左右顶点为A，4,

过尸2的直线/交双曲线C的右支于尸，。两点，设N%A=/，当直线/绕

着尸2转动时，下列量保持不变的是（）

A.△PQA的周长B.勿;。的周长与2|p@之差

tana八

C.----D.tana-tanp

tan/

22

35.如图，已知椭圆C:二+与=l（4>〃>0）,A，A,分别为左、右顶点，Bt,&分别

crtr

为上、下顶点，片，巴分别为左、右焦点，点尸在椭圆C上，则下列条件中能使。的

离心率为避二1的是（）

2

A.\OFt\-\OA2\=\OBtf

B.3M4=90。

c.轴，且PO〃44

D.四边形A与A,鸟的内切圆过焦点6，F2

36.已知圆C：（x-5『+（y-3）2=2,直线/：y=ax+\,则下列说法正确的是（）

A.当。=0时，直线/与圆C相离

B.若直线/是圆C的一条对称轴，则q=：

C.已知点N为圆C上的动点，若直线/上存在点P,使得NNPC=45。，则。的最大值

呜

D.已知M（5,3+a）,A（sj）,N为圆C上不同于"的一点，若NM4N=90。，贝打的

最大值为述里2

4

37.已知。为坐标原点，圆M：（x-cose），（y-siney=1,则下列结论正确的是（）

A.圆“与圆/+丁=4内切

B.直线xcosa+ysina=0与圆例相离

C.圆M上到直线x+y=&的距离等于1的点最多两个

D.过直线x+y=3夜上任一点P作圆M的切线，切点为A,B,则四边形面积

的最小值为G

38.已知点P是坐标平面X。），内一点，若在圆O:/+y2=l上存在A,8两点，使得

.=%那（其中k为常数，且%>0）,则称点P为圆。的“倍分点”.则（）

A.点Q（2,0）不是圆。的“3倍分点”

B.在直线/：y=x-2上，圆。的倍分点”的轨迹长度为2立

C.在圆。:（了-6『+丫2=1上，恰有1个点是圆。的“2倍分点”

D.若川：点尸是圆。的“1倍分点”，〃：点P是圆。的“2倍分点”，则用是〃的充分不

必要条件

39.在平面直角坐标系xOy中，过点M（2,0）的直线/与抛物线C：9=2〃乂（〃>0）交

于48两点，点N（玉,%）（%*0）为线段AB的中点，且怛N|=|QV|,则下列结论正确

的为（）

A.%为_4。3的外心B.M可以为C的焦点

C./的斜率为'D.X。可以小于2

%

40.若动直线上侬-y+4-4zn=0与圆。:口一4）2+。一5）2$9相交于4,8两点,则（）

A.|A4的最小值为4&B.CACB的最大值为-7

C.0408（。为坐标原点）的最大值为78D.ACM8的最大值为18

41.法国数学家加斯帕・蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”.他发现与椭圆

相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭

圆的蒙日圆.若椭圆「会+方=1（。>八0）的蒙日圆为C：/+y2=#,过C上的动

点用作r的两条切线，分别与c交于「，。两点，直线PQ交r于A,B两点,则（）

A.椭圆「的离心率为4B.MP。面积的最大值为:/

C.M到「的左焦点的距离的最小值为（2-a）〃

D.若动点。在「上，将直线D4,08的斜率分别记为勺，k2,则秘2=-g

42.已知抛物线C：yJ2px（P>0）的焦点/与圆E:F+y2-2x=o的圆心重合，直线/

与C交于4芭，/1）、8（々，力）两点，且满足：0408=0（其中。为坐标原点且A、B均

不与。重合），则（）

A.=16,乂必=T6B.直线/恒过定点（4,0）

C.A、B中点轨迹方程：y2=2x-4D.&AO3面积的最小值为16

22

43.已知椭圆E：?+q=l,过椭圆E的左焦点耳的直线4交E于A,8两点（点A在

x轴的上方），过椭圆E的右焦点马的直线4交E于C,。两点，则（）

A.若A耳=2耳B,则4的斜率忆=乎B.|M|+4忸制的最小值为与

C.以A耳为直径的圆与圆x?+y2=4相切

9QQ

D.若4,4,则四边形AO8C面积的最小值为关

49

44.双曲线C:£-g=l（a8>0）的虚轴长为2,片,工为其左右焦点，P,Q,R是双曲线

ab'

上的三点，过户作C的切线交其渐近线于A,8两点.己知的内心/到y轴的距离

为1.下列说法正确的是（）

A.AB入外心M的轨迹是一条直线

B.当。变化时，一AO3外心的轨迹方程为犬+“2/=贮^

4

C.当P变化时，存在Q,R使得PQR的垂心在C的渐近线上

D.若X,y,Z分别是PQ,QR,PR中点，则二世的外接圆过定点

45.阿基米德的“平衡法”体现了近代积分法的基本思想，他用平衡法求得抛物线弓形（抛

物线与其弦A8所在直线围成的图形）面积等于此弓形的内接三角形（内接三角形A8C

的顶点C在抛物线上，且在过弦A8的中点与抛物线对称轴平行或重合的直线上）面积

43

的].现已知直线y=-x+]P与抛物线£'：>2=2〃*（0>0）交于4B两点，且A为第一

象限的点，E在A处的切线为/,线段的中点为。，直线。C〃工轴所在的直线交E

于点C,下列说法正确的是（）

A.若抛物线弓形面积为8,则其内接三角形的面积为6

B.切线/的方程为2x-2y+p=0

C.若414=5.°（〃£巾），则弦AB对应的抛物线弓形面积大于

A+&++4T

D.若分别取AG的中点匕，匕，过匕，匕且垂直y轴的直线分别交£于。「G，

=

则SA4CG+SABCC[*S/S8C

参考答案:

1.AD

【分析】5-¥=1的渐近线方程为：y=±-x,卫-m=1的渐近线方程为：y=+^x.

ab~acrb-b

【详解】A选项，?-9=1的渐近线方程为＞=±3》，A正确；

B选项，二-*=1的渐近线方程为：y=+^x,B错误；

422

C选项，£-/=1的渐近线方程为：y=±2x,C错误；

4

2"21

D选项，2v1—工=1的渐近线方程为：y=±：x,D正确.

4162

故选：AD

2.ABC

【分析】分别找出两圆的圆心G和C?的坐标，以及半径,和R,利用两点间的距离公式求

出两圆心间的距离|GG|,根据大于两半径之和，得到两圆的位置关系是外离，又尸为

圆C，上的点，。为圆C?上的点，便可求出其最值，用斜率公式求出此心.

【详解】圆G：，+y2=i的圆心坐标G(0,0),半径尸=1

圆G：Y+y2-6x+8y+24=(),即＜一3尸+(y+4＞=1的圆心坐标QgT),半径R=1

/•圆心距|C£|=J(T-0y+(3-0)2=5

又户在圆G上，。在圆G上

则|p@的最小值为|PQL=|GC2|-R_r=3,最大值为|PgL为GG|+R+r=7.

故A、B正确；

-4-04

两圆圆心所在的直线斜率为右心=-；下=-7,C正确；

圆心距|CG|=J(-4-0)2+(3-0)2=5大于两圆半径和,两圆外离，无相交弦，D错误.

故答案为：ABC

3.AC

【分析】结合椭圆和双曲线的定义和离心率的求法，即可求得结果.

【详解】若曲线是椭圆则其离心率为

a2a|产甲+|「石|4+22

若曲线是双曲线则其离心率为e=~=~=|pl|'Ippl=一­=3；

a2a|Pr||-|rr；|4-22

故选：AC

4.AC

【分析】A选项，根据点与圆的位置关系判断：B选项，根据点到直线距离判断；CD选项，

根据圆心距与半径的关系判断.

【详解】A选项：原点在圆C内部，所以过原点的任意直线与圆C相交，所以A正确；

2022

B选项：圆心C到直线x+y+2022=0距离〃=石>1,相离，所以B错误；

C选项：圆心距d=le(0,2),所以两圆相交，所以C正确；

D选项：弓>3时，圆心距d=2<0-4,两圆为内含关系，无公共点，所以D错误；

故选：AC.

5.BC

【分析】直线过定点〃在圆内，易知直线与MC垂直时弦长最短，直线过圆心时

弦长最长.

【详解】直线>=日-1过圆C内一定点(0,-1),当直线经过圆C的圆心时，IA刚有最大值

12；当(0,-1)为线段A3中点时，I有最小值2而，所以2jTTw|4B区12.故选：BC.

6.AB

［分析】由抛物线的定义求得|AF|=、，设P(C,2t),得到归川=/一户,

分|Pq=|A尸|、|PF|=|ft4|^|AF|=|B4|,三种情况讨论，结合选项，即可求解.

【详解】由题意，抛物线C：V=4x的焦点为尸(1,0),

5Q

因为A（-j0）,由抛物线的定义，可得|AF|=j,

设P（户2）,可得|PF|=〃+]jpA卜jK+；j+4/，

当附=|AF|时，可得『=：,所以吟±8，则如=士苧，所以B正确;

当|PF|=|/科时，此时方程无解；

当|AF|=|PA|时，可得产=，所以尸]，士近），则％=土逑，所以A正确.

，27

故选：AB

7.BD

【分析】对于A选项，分析圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系，若4=,，则直线/

与圆。相切，若d片r,则直线/与圆。不相切；对于B选项，圆。上的点到直线/的距离

的最小值为圆心到直线的距离减去半径长;对于C选项，当MO最短时，有最大的张角ZAMB；

对于D选项，考虑NAA但能否等于60。.

【详解】对于A选项，圆心到直线的距离d=层j=2V2>V2=r,所以直线和圆相离，

vlz+lz

故A错误；

对于B选项，圆。上的点到直线/的距离的最小值为d-r=&，故B正确；

对于C选项，当。时，NAA仍有最大值60。，故C错误；

对于D选项，当OM，/时，/WB为等边三角形，故D正确.

故选：BD.

8.BD

【分析】根据各选项及曲线的特征一一判断即可；

22

【详解】解：因为曲线C的方程为二-工=1,

tnn

曲线C为焦点在X轴上的椭圆，贝|J《+£=1,

对于A：BP-n>m>Q故A错误;

-ntnf

对于B:当〃=2T2>0时曲线。表示圆，故B正确;

对于C：若帆=-"=1,满足皿<0,曲线C为炉+丁=1,表示圆，故C错误;

对于D：若工-二=1为双曲线，贝打””>(),

mn

当时，右=1表示焦点在y轴上的双曲线，其渐近线方程为y=±、区，

[72>0mnvn

当时，C-£=1表示焦点在x轴上的双曲线，其渐近线方程为y=±、区，故D正

〃<0—〃一mVn

确;

故选：BD

9.ABD

【分析】利用直线与圆的位置关系及点到直线距离公式，得到方程或不等式，判断出点与圆

的位置关系.

|.|

【详解】选项A：若/与圆C相切，则/?c,=卜|,a2+b2=l,所以A在圆。上，A正

yja'+b2

确;

选项B：若/与圆O相切，则/IdI,=1,ai+bi=cl，所以A在圆C上，B正确;

y/a2+b2

|c|

选项C：若/与圆C相离，则/J>|d，a2+b2<l,所以A在圆。内，C错误;

Va+b~

选项D：若/与圆。相交,a2+b2>c2,所以A在圆C外，D正确.

故选：ABD

10.BD

【分析】由题意，点P应该是在双曲线/-y2=l上，即“好直线”就是与双曲线有交点的直

线.

【详解】由题意，c=&,2a=2,。=1,，〃入?-/=i,双曲线的方程为

"好直线''就是与双曲线有交点的直线,

x2—y2=1

对于A,联立方程’八，解得(r)-9=l无解,故A不是“好直线”；

x+y=0

fx2—V2=1S4

对于B,联立方程，八，解得元=1，y=7，故B是“好直线”；

[x+y-3=033

对于C,联立方程][一)/,解得-3f=1，无解，故C不是“好直线”；

[2x+y=0

x2—y2=\

对于D,联H方程1，八，解得3X2-12X+10=0，A=122-4X3X10=24X)，即

2x+y-3=0

直线2x+y-3=0与双曲线有交点，

故D是“好直线”；

故选BD.

11.BC

【分析】分直线/斜率存在和不存在进行讨论.当/斜率存在时，设其方程为y-4=Z(x-3),

根据点到直线的距离公式列出关于左的方程，解方程即可求直线/的方程.

【详解】当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为x=3,此时点A到直线/的距离为5,点

B到直线/的距离为1,此时不成立；

当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y-4=&(x-3),即日-y+4-3Z=0,

•.•点A(-2,2),8(4,-2)到直线的距离相等，

|-2k-2+4-3左||4氏+2+4-342

--—rr=~~L=J—/2I解得&=4，或左=2,

小+1“2+13

当人=-：时，直线/的方程为y-4=-：(x—3),整理得2x+3y—18=0,

当％=2时，直线/的方程为＞—4=2(x—3),整理得2x-y-2=0.

综上，直线/的方程可能为2x+3y_18=0或2x_y_2=()

故选：BC.

12.BCD

【分析】根据点到直线距离公式，结合圆的性质进行求解即可.

【详解】因为圆V+y2=4的半径为2,圆心为。(0,0),圆V+丁=4上有且仅有三个点到直

线/的距离为1,

所以圆心到直线/的距离为I.

y/2

A：圆心。(0,0)到直线x-y+l=0的距离为了O111=w<l,不符合题意;

B：圆心。(0,0)至U直线6x-y+用=0的距离为丁坤—,=1,符合题意;

J6+(T)2

C：圆心。(0,0)到直线尤7-夜=0的距离为卜闽=1,符合题意;

JF+(T)2

D：圆心0(0。到直线x=-1的距离为1,符合题意,

故选：BCD

13.BD

【分析】根据圆的标准方程确定圆的圆心坐标，利用点到直线的距离公式求出圆心M到直

线/的距离d,结合三角函数的值域与选项即可得出结果.

【详解】由题意知，

圆心坐标(-cose,sin。)，半径为1,

圆心M到直线/的距离为

.|-Zcose-sin6|Jl+公|sin(e+a)|,.,,,.,、

d=------T———'=-----------j=^=——-=|sin(6»+a)|„I(其中iantz=%),

Vl+FVl+F

所以对任意实数左与0,直线/与圆”有公共点，且对任意实数3

必存在实数。，使得直线/与圆加相切.

故选：BD.

14.ABD

【分析】由题意可得从c,然后可得“，可判断A；由椭圆性质可判断B；取特值，结合

0A长度的取值范围可判断C；由椭圆定义可判断D.

【详解】由题知，椭圆中的几何量6=c=2,得。=20，则2a=4应，A正确;

AB=OB+OA=2+OA,由椭圆性质可知24。442血，所以44AB42+2夜，B正确;

记衣3则SW=SW+S°"W°A~+；°B。入皿吟⑶

=OAsin6+2sin9=(0A+2)sinJ

取，=£,则SMF=1+:OA41+!X2及<4,C错误；

622

由椭圆定义知，AF+4G=2a=4夜，所以.AAG的周长Z,=FG+4&=4+4血，D正确.

故选：ABD

15.BCD

【分析】根据题意可知：点A的轨迹为以8为圆心，半径为机的圆8,点O为线段A8的中

点，点G为线段AC的中垂线与直线A8的交点，则|G4|=|GC，利用图形结合圆锥曲线定

义理解分析.

【详解】根据题意可知：点力的轨迹为以8为圆心，半径为机的圆8,点。为线段A8的中

点，点G为线段AC的中垂线与直线AB的交点，则（训=|G[

当机=4时，线段AC为圆B的弦，则AC的中垂线过圆心B,点G即点B,A错误；

当6«切48时，如图1,点G在线段A6上，连接GC

则|G[+|G@=|G4|+|G@=|钻|=加

点G的轨迹为以B,C为焦点，长轴长为机的椭圆，即a=£,c=2

则椭圆的离心率《=—=—?,B正确；

“相朦3

当G为椭圆短轴顶点时，一8CG面积的最大

若加=5时，则a=[,c=2,6=J”?-《最大面积为bc=3,D正确；

当〃z=2时，过点C作圆8的切线，切点为M,W

若点A在劣弧MN（不包括端点M，N）上，如图2,点G在8A的延长线上，连接GC

则|GB|-\GC\=\GB\-\GA\=\AB\=2

点G的轨迹为以8,C为焦点，长轴长为机的双曲线的左半支

若点A在优弧MN（不包括端点M，N）上，如图3,点G在A8的延长线上，连接GC

则I因TG8|=|GA|TG网=|A8|=2

，点G的轨迹为以B,C为焦点，长轴长为机的双曲线的右半支

则点G的轨迹为双曲线

：,a=l,c=2,b=4d-a。=5渐近线方程为>=±夕=±£r,C正确；

故选：BCD.

16.AC

【分析】依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过耳作圆。的切线切点为G,利用正弦定理

结合三角变换、双曲线的定义得到力=3。或。=»,即可得解，注意就M,N在双支上还是

在单支上分类讨论.

【详解】［方法一］:几何法，双曲线定义的应用

M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过F,作圆。的切线切点为B,

3

所以OB_LF|N,因为cosN大鸣=g>0,所以N在双曲线的左支，

|OB|=a,|0用=0,|耳B|=b,]^ZFtNF2=a,由即cosc=],则sina=

a5

|NA|=-a,|NF2|=-a

g-|网=为

5f3。八。

-a-\—a-2b=2。,

2【2)

2b=a,e=——

2

选A

情况二

3

若M、N在双曲线的两支，因为85/6叫=弓>0,所以N在双曲线的右支,

所以|OB|=a,|06|=c,|耳B|=b,设NF、NF°=a,

34

由cos/KNg=《,即cosa=-贝ijsina=

5

35

|NA|=-«,|NF2|=-a

|N^|-|NF,|=24Z

22

所以2b=3a,即2=：,

a2

所以双曲线的离心率6=£="75=当

选C

［方法二］:答案回代法

A选项e=—

2

特值双曲线

2

过后且与圆相切的一条直线为y=2（x+石），

两交点都在左支,，N（-■|有,一|6）,

.•.|用|=5,|西|=1,出国=2石，

3

则cos/£”=w，

C选项6=姮

2

22

特值双曲线1-=1,耳卜加,0）,F?（如,0卜

过耳且与圆相切的一条直线为y=|（x+屈卜

两交点在左右两支，N在右支，，N（孩旧

.•.|NF,|=5,|NI^|=9,|^|=2x/i3,

3

则cosN片叫=g,

［方法三］:

依题意不妨设双曲线焦点在X轴，设过6作圆。的切线切点为G,

若M,N分别在左右支,

3

因为OGLNf；,且cosN耳性=g>0,所以N在双曲线的右支,

X|OG|=a,\OF\=c,\GF\=b,

设/耳”=0,2FF、N=0,

|想__2c

在△耳N6中,7fzi-----------1--------------------------------------

sinpsin(cr+/7)sina

故_2c_______«_______=^_

sin(a+p)-sin/sinasin(a+/?)-sin£sina

sinacosp+cosasin/3-sinpsina

h3.0ab.4

而cosa=-，smp=—,cospn=—,故sina=—,

5cc5

代入整理得到力=3a,即2=：,

a2

所以双曲线的离心率e=?=JiT|^=半

Ml^l-RI2caC

故---------!--=-----即--------------------------=-----

sin夕一sin（a+夕）sincrsiny3-sinacos/7-cosasinpsina

代入cosa=°,sin/?=-,sina=-,整理得到：「二！,

5c54b+2a4

故a=»，故6=

故选：AC.

17.BD

【分析】设f=6,贝竭知止[0,6],原方程即为-2f+]=4^,将f当成变量，设

/(?)=-2?+|,g(r)=GA,止[。,4],原方程有解等价于广⑺的图象和g(r)的图象

有公共点，即可利用数形结合解出.

【详解】当x=0时，解得y=o,符合题意；当x>0时，令r=6，则fNO,又x-yNO,

则即则原方程可化为-2f+^=G^•设〃f)=-2r+5,g⑺=4^7,

■[0,五],则/⑺的图象是斜率为-2的直线的一部分，g(f)的图象是以原点为圆心，半

径为五的四分之一圆，则问题等价于的图象和g。)的图象有公共点，观察图形可知,

当直线与圆相切时，由讨=&，解得X=2O；当直线过点(o,«)时，；=五，解得x=4：

当直线过点(«,o)时，]=24，解得x=16.因此，要使直线与圆有公共点，则