自动控制原理 第3版 课件 陶洪峰 第1-5章 概论、控制系统数学模型-频域分析法

自动控制原理AutomaticControlTheory1.使用教材及参考文献使用教材：江南大学陶洪峰、谢林柏主编《自动控制原理》(第3版)，机械工业出版社2023

本教材获奖情况：1)江苏省精品教材（2011年）2)中国轻工业优秀教材二等奖（2014年）3)江苏省“十二五”规划教材（2015年）参考文献：（1）胡寿松《自动控制原理》（第5版）科学版（2）胡寿松《自动控制原理习题解答》科学版（3）邹伯敏《自动控制理论》（第3版）机工版（4）徐颖秦《自动控制原理学习辅导与习题解答》（第2版）

机械工业出版社2.教学方法及学时安排教学方法：课堂讲授+课堂讨论+课外辅导学习方法：听课+自学+参与讨论+课外训练（仿真）总学时：共72学时，每周4学时（1-16周）。其中：实验8学时理论64学时（讲授42学时+讨论22学时）答疑：每周三晚上，物联网工程学院辅导：周一晚上6:00-9:00，D325助教：研究生考试：第17周《自动控制原理》课程为专业核心课、本科学位课和考研专业课。考试方式是闭卷，课程考核内容及成绩评分办法如下：（1）上课听讲、主动发言、参与探讨和课堂作业(10%)：出勤、听讲、随堂测试、主动发言和参与讨论的次数等。（2）实验与操作（10%）：实验预习、实验操作、实验结果以及实验过程的创新性和动手能力、实验报告等。（3）课外辅导答疑和仿真实训(10%)：参加辅导和答疑的次数、仿真过程的积极主动性，对仿真软件使用的熟练程度、系统设计情况、系统仿真结果、仿真分析能力等。（4）课后作业(10%)：能否按时交作业，交作业的次数、作业质量等。（5）网络在线学习(10%)：能否按时完成中国大学MOOC平台的在线测验、作业等。（6）期末考试(50%)：闭卷考试，考核对本课程理论基础的学习和掌握情况。

3．成绩评定

4．自动控制原理课程性质与地位

自动控制原理（自动控制理论自动调节原理反馈控制理论，简称自控）是研究自动控制系统的共同规律的技术科学。它是一门技术基础理论课，主要研究自动控制系统的组成、分析和设计的理论。大一公共基础课：高等数学工程数学物理英语大二技术基础课：电路电子计算机等

大三专业基础课：自控电机微机电力电子技术大四专业课、设计：检测、供电运控

计控毕设等自动控制原理是机电信息类专业主干课程，也是物联网学院的平台课程，同时也是控制类硕士点考研必考课。6.本课程内容及其关系

（设计+校正）课程研究的两大范畴：系统分析系统综合性能指标控制系统（结构和参数）7.各章节之间的关系引论（1）数学模型（2）分析工具分析方法时域法（3）根轨迹法（4）频域法（5）综合系统校正与设计（6）应用非线性和离散控制系统（7、8）486+6+10128+10理论64学时，实验8学时，共72学时。第1章

引论重点内容

自动控制的基本概念和原理自动控制系统的组成和分类对自动控制系统的基本要求§1.1自动控制系统的一般概念一、自动控制的基本概念

所谓自动控制，是指在无人直接参与的情况下，利用控制装置操纵受控对象，使被控量等于给定值或按输入量的变化规律去变化的过程。用来操纵受控对象的设备（校正器+放大器+执行器）一般为各种传感器

无人直接参与：指人在远方进行远程操作（遥操作），而不是在对象跟前就地操作。控制装置：是控制器和检测装置的总称。控制对象：控制系统要进行控制的受控客体。如冰箱、空调、洗衣机、电梯、飞机、汽车、潜艇、电厂锅炉、酿酒过程等各种设备、机器或生产过程。

被控量：控制对象要实现的量，是表征对象特征的关键参数。

如冰箱温度、电机的转速、飞机姿态角、船的航行轨迹、电网的电压、生产过程中的压力、流量、温度、湿度等。

自动控制系统如图1-1，几个重要的信号量如下：二、5个重要的信号量

控制器受控对象检测元件e(t)r(t)c(t)b(t)d(t)图1-1

自动控制示意图目前，控制信号常用的标准电信号

主要有两种：1~5V电压信号或4~20mA电流信号。自动控制系统

定义：由控制装置+受控对象构成的能完成自动控制任务的整体。

自动控制理论：分析与综合控制系统的理论。

自动控制系统工作原理说明图1.1直流电机转速控制系统（人工控制）

负载n触发器整流器人的作用观察转速n（通过转速表）——检测大脑反映——比较，将n与期望的n0比较手动调节——执行，减小或消除偏差控制任务：无论负载或电网电压如何变化，通过手动电压U0，都可以保证电机转速不变。受控对象——电机；被控量——电机输出转速用方框图表示如下：UdRP1—给定电位器RP2—反馈调节电位器TG—测速发电机检测——测速机TG比较——差运放大器A执行——伺服电机+调速器图1.4电机转速自动控制系统。用设备代替了人A调速器伺服电动机Udα原理框图如下：ΔU=U0-Un执行环节比较环节放大器触发整流装置TG+RP2ΔU给定电压U0实际转速nUn负载扰动d(t)图1.5转速自动控制原理框图电动机装置电动机RP1检测环节对象§1.2自动控制系统的控制方式及基本组成控制方式开环控制闭环控制复合控制两种基本控制方式开环控制（Open-loopControl）

（1）定义：控制装置（控制器+执行器）与受控对象之间只有顺向作用而无反向联系时的控制方式，称为开环控制。（2）结构：控制器受控对象r(t)c(t)d(t)图1.6开环控制系统图执行机构（3）特点：系统的输出量对输入量没有任何影响；对干扰和参数变化没有补偿作用，控制精度完全取决于元件精度。没有稳定性的问题，而且结构简单，调整方便。对控制精度要求不高或干扰较小的场合还有一定的应用价值。如：打印机、复印机、简单生产线、自动洗衣机、自动售货机、自动打包机、步进电机，水泵，风扇等的控制。2.闭环控制（Closed-loopControl）

（1）定义：控制装置与受控对象之间，不但有顺向作用，而且还有反向联系，即被控量对控制过程有影响时的控制方式称为闭环控制。（2）组成：三大部分，七个环节。如下图1.7。图1.7闭环自动控制系统组成框图校正器执行机构检测环节e(t)给定环节c(t)b(t)d(t)放大器受控对象r(t)控制器给定电源部分控制装置部分受控对象部分r(t)→c(t)称为前向通道；c(t)→b(t)称为反馈通道e(t)→c(t)→b(t)称主回路。1234567比较环节§1.3自动控制系统的类型

常用的有5种分类方法：按照控制方式（信号流向）分类：不同的控制方式，系统中信号流向也不同，据此可将系统分为：开环控制系统、闭环控制系统和复合控制系统三种。

两点说明：从控制作用的产生原理看，闭环控制也叫偏差控制；从系统的组成结构来看，闭环控制也叫反馈控制。由于引入了被控量的反馈信息，整个控制过程形成闭合回路，因此反馈控制也称为闭环控制。2.按照数学模型分为类：（1）线性系统与非线性系统线性系统：由线性元件组成，满足齐次性和叠加性，其数学模型为线性常系数微分方程。而非线性系统不满足这两个特性，其数学模型为非线性微分方程。

齐次性(均匀性)和叠加性：如图，设f(t)为一线性系统，则有：若：r1(t)→c1(t)，r2(t)→c2(t)

则：r1(t)+r2(t)→c1(t)+c2(t)

——叠加性

ar1(t)→ac1(t)——齐次性f(t)r(t)c(t)

区分标志：线性元件：（1）静态特性为一过原点的直线（2）满足叠加性和齐次性（3）数学模型为标准的微分方程（公式2-8）（4）分析方法：时域法、根轨迹法、频域法非线性元件（1）静态特性为不连续过程（继电特性、死区特性、饱和特性、回环特性等）（2）不满足叠加性和齐次性（3）数学模型为非线性的微分方程（系数与自变量有关，或方程中同时含有常数、自变量及其导数的高次幂或自变量的乘积项）（4）分析方法：描述函数法、相平面法（2）定常系统和时变系统数学模型的系数是常数数学模型的系数至少有一处是时间的函数3.按系统内部的信号特征分为：连续系统和离散系统系统中的所有信号在时间上是连续的系统中至少有一处的信号在时间上是不连续的4.

按系统输入、输出信号的数量分为：单入单出（SI/SO）系统和多入多出（MI/MO）系统系统的输入、输出量各为多个。系统的输入、输出量均为1个。5.

按系统输入信号特征分为：

恒值系统、随动系统和程控系统r(t)为常数，要求c(t)也为常数。r(t)为随机函数（未知），要求c(t)也随之变化。r(t)为时间的已知函数，要求c(t)也随之变化。§1.4基本要求和本课程的主要任务自动控制系统三大性能对应三个基本要求:

稳定性——稳，系统最终要能够稳定运行，是系统正常工作的前提和基础。快速性——快，要求系统动态过渡过程时间尽可能短。

准确性——准，要求系统控制精度高、误差小。课程基本任务自动控制系统基本知识：原理、组成、要求等数学模型：时域、复域、频域、z域系统分析：稳定性、动态性能、稳态性能系统综合：系统校正及校正装置的设计稳定性：

稳定性判据、系统结构和参数对稳定性的影响。动态（暂态）性能：

动态性能指标及计算、系统结构与参数对动态性能的影响、改善动态性能的措施稳态性能：

稳态误差及计算、系统结构与参数对稳态误差的影响、提高稳态精度的措施。三大基本性能及分析内容

对于一般的控制系统，在某个输入信号的作用下，其输出响应由两部分组成，可表示为：c(t)=cs(t)+ct(t)稳态分量：由系统初始条件和输入信号决定。暂态分量：由系统结构决定。对于稳定的系统，应有：对于不稳定的系统，应有：

(发散)；或常数（等幅振荡）稳定性动态性能：描述系统过渡过程表现出来的性能。

用平稳性（相对稳定性）和快速性衡量。如：上升时间、峰值时间、调整时间、超调量。稳态性能：系统过渡过程结束进入稳态后表现出来的性能，用稳态误差（静差）ess来衡量。过度过程的振荡的程度过渡过程的快慢输出的实际值偏离期望值的偏差。反映系统的控制精度。若ess=0→无差系统若ess≠0→有差系统§1.6自动控制理论的发展简述第一代：古典（经典）控制理论、自动控制原理（理论）

（1787—1960）

特点：以传递函数为基础研究单输入－单输出定常控制系统的分析与设计问题。这些理论由于其发展较早，现已臻成熟。

第二代：现代（近代）控制理论（1960—1980）

特点：以状态空间法为基础，研究多输入－多输出控制系统的分析与设计问题。包括以最小二乘法为基础的系统辨识、以极大值原理和动态规划为基础的最优控制、以卡尔曼滤波为核心的最优估计三个部分。使系统分析从外部现象深入到内部规律，从局部控制发展到全局的最优控制。第三代：大系统理论和智能控制理论（1970—1980）

特点：以人工智能为基础，研究复杂对象（车间、工厂、集团）、复杂任务、复杂环境下的复杂控制系统。是控制论、仿生学、运筹学等的有机结合。如：DCS及各种智能机器人的出现和应用。第四代：现场总线（Fieldbus）控制（1980—）

特点：是信息和网络技术的融合。典型的有：Linworks、Profibus

、WorldFIP等。突出优点：全数字化通信、开放型的网络互联、互可操作性与互用性、现场设备的智能化、系统结构的高度分散性、对现场环境的适应性。代表人物：国外的有：美国数学家N.维纳、英国机械师J.瓦特、美国贝尔实验室的两位数学家英国的劳斯和德国的胡尔维茨、美国电信工程师N.奈奎斯特、伯德、数学家伊文斯、梅森等。国内的有：钱学森、宋健、顾毓秀等。

数字仿真实验采用目前世界上最为流行的计算机仿真软件MATLAB。它是一个功能十分强大的系统，是集数值计算、图形管理、程序开发为一体的环境，已经成为一种实用的全新计算机高级编程语言。在欧美大学里，诸如应用代数、数理统计、自动控制、数字信号处理、模拟与数字通信、时间序列分析、动态系统仿真等课程的教科书都把MATLAB作为内容。MATLAB更是研究和解决工程计算问题的一种标准软件，被用来解决一些实际课题和数学模型问题。MATLAB仿真软件作业：习题1-1、1-5。本章结束！第2章控制系统的数学模型2.1线性微分方程的建立及求解2.2传递函数定义、性质、典型元件及典型环节传函2.3控制系统的结构图及信号流图组成、绘制、梅逊公式2.4控制系统的传递函数开环传函、闭环传函引言

要对自动控制系统进行定量（精确）地分析和设计，首先要建立系统的数学模型。数学模型：描述系统内部各物理量之间关系的数学表达式。数学表达式：代数方程、微分方程静态数学模型：系统变量之间与时间无关的静态关系动态数学模型：系统变量对时间的变化率，反映系统的动态特性控制系统数学模型的类型时域（t）模型微分方程z域（z）模型脉冲传函频域（ω）模型频率特性复域（s）模型传递函数§2.1.1

建模方法：分析法、实验法§2.1控制系统的微分方程黑匣子输入（充分激励）输出（测量结果）

具体方法：最小二乘(曲线拟合)法、神经元网络法、模糊模型法等。模型验证：将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近。

实验法（黑箱法、辨识法、逼近法）：人为施加某种测试信号，记录基本输出响应，根据输入输出响应辨识出数学模型。

分析法－根据系统运动规律（定律、经验公式）和结构参数，推导系统输入输出之间数学关系。

建模（微分方程）步骤：第二步：联立各环节的数学表达式，消去中间变量，得到描述系统输出、输入关系的微分方程。第三步：标准化。左“出”=右“入”，且各微分项均按降幂排列。见P19公式（2-8）所示。第一步：明确系统输入、输出量，列写各组成环节输出与输入的数学表达式。根据系统遵循的物理定律——如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等。解：明确输入量，输出量第一步：环节数学表达式第二步：消去中间变量i＋－urucRC图2.1RC滤波电路该电路为一阶系统[例2.1]

如图2.1所示，写出RC滤波电路的微分方程。【例2.2】如图2.2所示，写出RLC振荡器电路的微分方程。解：＋－urucRC图2.2RLC振荡器电路Li解方程组得RLC振荡器电路的微分方程为：该电路为二阶系统§2.1.1线性定常微分方程的求解

一般求解线性定常系统微分方程有以下两种常用方法，如下图所示。数学工具——拉普拉斯变换与反变换⑴拉氏变换定义设函数f(t)满足①t<0时f(t)=0②t>0时，f(t)连续，则f(t)的拉氏变换存在，表示为：拉氏变换函数（象函数）原函数衰减因子，其中：τ-时间常数s=-σ+jω为拉氏变换算子，其中：σ-衰减系数ω-振荡频率（rad/s）⑵拉氏变换基本定理

线性定理

位移定理延迟定理终值定理

微积分定理d/dts将F(s)化成下列因式分解形式：⑶拉氏反变换定义表达式：f（t）=L-1[F(s)]方法：简单函数-直接查表；复杂函数-部分分式展开，再查表。◆F(s)含有共扼复数极点时，可展开为◆F(s)中具有不同的极点时，可展开为待定系数◆F(s)含有多重极点时，可展开为§2.2非线性数学模型的线性化

——微小偏差法（略）2.3.1传递函数的定义和主要性质

定义：零初始条件下，系统（元件、环节）输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。设n阶线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：定义表达式为：C(s)=G(s)R(s)§2.3传递函数※

三种表达式

(1)一般表达式式中：c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量；各系数均是常数。设r(t)和c(t)及其各阶系数在t=0是的值均为零，即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，可得到系统传函的一般表达式：

(2)时间常数表达式K*—零、极点（根轨迹）增益；-zi、-pl—零点和极点值。K—增益；τi、Tl—对应环节时间常数。

(3)零极点（根轨迹）表达式

基本性质：性质1传递函数的概念只适于线性定常系统。性质2传递函数是一种动态数学模型，取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式（幅度与大小）无关，也不反映系统内部的任何信息

。性质3G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提供任何该系统的物理结构。因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数，这就是系统的相似性。传递函数是在零初始条件下定义的，因此不能反映系统在非零初始条件下的运动规律。

若系统传递函数为G(s)，r(t)=δ(t)，即：R（s）=1

则：C(s)=G(s)R(s)=G(s)=L[g(t)]传递函数是复变量的有理真分式，即n≥m，具有复变函数的所有性质。对于实际系统来说，且所有系数均为实数。这是因为在物理上可实现的系统中，总是有惯性且能源有限的缘故。性质7系统传递函数G(s)是其单位脉冲响应g(t)的拉氏变换

单位脉冲响应g(t)是系统在单位脉冲输入δ(t)时的输出响应。2.2.2

典型环节的传递函数

任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的；而环节则是由各种不同的元件组成。

常用的电路元件如下：-z2/z1运放A1/Cs电容CLs电感LR电阻R传递函数微分方程常用元件为元件对应的复阻抗比例环节滞后环节一阶微分环节（m个）积分环节（ν个）惯性环节（q个）振荡环节（n-v-q）个1.比例环节(P调节器)特点：输出与输入量成比例，无失真和时间延迟。实例：线性电位器、运算放大器、传动齿轮、线性传感器等。K—比例系数（增益）2.积分环节（I调节器）特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能，一般用于改善系统的稳态性能，提高控制精度。实例：一阶水槽，电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等。3.微分环节理想微分（D调节器）：一阶微分（比例微分或PD调节器）：特点：输出量正比于输入量变化的速度，具有超前控制的作用，一般用于改善系统的动态性能。4.惯性环节式中，T-时间常数特点：含一个储能元件，对突变的输入,其输出不能立即复现，即有延迟。实例：RC滤波电路网络，一阶水槽(流水)，直流伺服电动机的传递函数也包含这一环节。特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡。实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函数。可控硅直流闭环调速系统也是一个二阶振荡环节。5.振荡环节式中ζ——阻尼比；T——时间常数

ωn——无阻尼自然振荡角频率（rad/s）6.延时（滞后）环节特点：输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定的时间间隔。实例：管道压力、流量、皮带运输等物理量的控制，其数学模型就包含有延迟环节。式中：τ——延迟时间常数说明：实际的控制系统都含有滞后环节，只是一般延迟时间常数较小，可忽略不计。常见的典型电路§2.3控制系统结构图及系统传函2.3.1控制系统结构图的组成（2）比较点（汇合点、综合点、运算点）：“”两个或两个以上的输入信号进行加减运算的元件。“+”表示相加，“-”表示相减。“+”号可省略不写。（1）传函方框：表示输入到输出单向传输间的函数关系。传函方框+比较点+引出点G(s)R(s)C(s)(3)引出点（分支点、测量点）：表示信号测量或引出的位置图2.7引出点示意图)X(s)X(s)R(s)C(s)(1sG)(2sG注意：同一位置引出的信号大小和性质完全一样。X1X1+X2X2图2.6比较点示意图示意图X1X1-X2+X2-X3X3注意：进行相加减的量，必须具有相同的量纲。2.3.2控制系统的传递函数(1)前向通道：E(s)→C(s)

前向通道传函：G1(s)G2(s)H(s)C(s)图2.8

典型的控制系统结构图控制对象控制器C(s)R(s)B(s)E(s)D(s)典型控制系统结构图定义几个重要概念及传函以R(s)单独作用（D(s)=0）为例。(2)

反馈通道：C(s)→B(s)

反馈通道传函：Ｈ(ｓ)＝１时称为单位反馈。（3）开环通道：E(s)→B(s)

开环通道传函（简称开环传函）：（4）闭环传函

——两种输入信号对输出响应的传函G(s)H(s)Cr(s)R(s)B(s)E(s)典型控制系统结构图可简化为其中：G(s)=G1(s)G2(s)=前向通道传函１+开环传函

控制传函：假定D(s)=0，

R(s)

Cr(s)

典型控制系统结构图可等效为G２(s)H(s)Cd(s)Ｄ(s)G1(s)其中：G(s)=G1(s)G2(s)系统总相应为：C(s)=Cr(s)+Cd(s)

扰动传函：假定Ｒ(s)=0，D(s)

Cd(s)

本节结束！2.3.3

控制系统结构图的绘制一般步骤确定系统的输入、输出变量由输入到输出列写各组成环节（元件）的微分方程根据信号流向由输入到输出连接各环节（元件）的传函方框图列写各环节（元件）的拉氏变换方程并绘制对应的传函方框图方程中的“加、减”运算对应“比较环节”；乘法运算对应传函方框[例1]

绘制双RC滤波器电路的结构图。＋－Ui(s)Uo(s)R11/C2s图2.11RC滤波电路R21/C1sAI1I2解：网络复阻抗方程如下：据此绘制双RC滤波器电路的结构图如下：1Ui(s)UA(s)Uo(s)I1(s)UA(s)I2(s)图2.12双RC滤波器电路结构图23I2(s)Uo(s)ABC§2.4结构图的等效变换及简化计算等效变换原则：在变换前后，被变换的支路或回路传函乘积保持不变。

关键：解除交叉的回路。

方法：通过移动比较点或引出点，使系统结构变成大环套小环或环路并列的形式；移动时，通过在被变换的支路上乘或除某个传函来保持等效。

注意：只能将相同的“点”移到一起，然后通过换位解除交叉。必须注意，比较点和引出点之间不能换位。

简化：根据环节方框的连接方式（串联、并联和反馈）进行简化计算。结构图中传函方框的三种连接形式及其计算串联并联反馈用方块图的等效法则，求如图所示系统的传递函数C(s)/R(s)。解：这是一个具有交叉反馈的多回路系统。求解方法是：先移动比较点或引出点解开交叉，然后逐步计算。【例2.2】【例2.3】将双RC串联滤波电路的结构图简化。§2.5信号流图及梅森公式定义：信号流图是由节点和支路组成的一种信号传递网路。是结构图的简化表达形式。

组成：节点+支路+增益（1）节点：代表系统中的变量。分三类：

源点：输入节点，只有输出。

汇点（阱点）：输出节点，只有输入。

混合节点：有输入也有输出。（2）支路：连接两个节点的定向线段。表示输出信号对输入信号的函数关系，相当于一个乘法器。（3）增益：表示相邻两个节点变量之间的关系。信号流图与结构图的对应关系源点阱点混合节点支路增益输入变量R(s)输出变量C(s)比较点、引出点和中间变量传函方框带极性的传函信号流图结构图P28：术语（1）~（4）；性质（1）~（4）值得注意：（1）不接触回路——回路之间没有任何公共部分，即去掉一个回路，另一个将不闭合。（2）混合节点——可通过引出单位传输（增益为1）的支路变成输出节点。（3）对于给定的系统，信号流图不唯一。

绘制（由结构图绘制）

【P30例2.7】123456123456【P30例2.7】

梅森公式其中：G(s)—

系统总传输增益（闭环传函）特征多项式△=1-∑L1+∑L2-∑L3+……L1—各单独回路增益L2—所有两两互不接触回路增益乘积L3—所有三个互不接触回路增益乘积回路传函乘积没有共同的部分（传函和信号线）求法:去掉第k条前向通路后所求的△Pk—从R(s)到C(s)的第k条前向通道增益△k

—第k条前向通道的余子式在△中，去掉与第k条前向通道相接触的回路对应的项后剩余的部分。梅森公式例1R(s)C(s)L1=–G1

H1L2=–G3

H3L3=–G1G2G3H3H1L4=–G4G3L5=–G1G2G3L1L2=(–G1H1)(–G3H3)=G1G3H1H3L1L4=(–G1H1)(–G4G3)=G1G3G4H1P1=G1G2G3△1=1

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)G4(s)G3(s)P2=G4G3△2=1+G1H1G4(s)G3(s)Δ=1-(L1+L2+L3+L4+L5）+(L1L2+L3L4)L1L2=(G1H1)(-G

2H2)L1=G1H1L2=–G2H2L3=–G1G2H3G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(S)C(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2G3G2+G1G2+G2(1-G1H1)R(s)[

]N(s)梅森公式例2：求C(s)(1-G1H1)[例题分析]（2）单位脉冲响应c(t)解：（1）传函C(s)/R(s)[例2.1]某系统在单位阶跃信号作用下，零初始条件时的输出响应为，试求系统传递函数和单位脉冲响应。【例2.2】已知系统微分方程组的拉氏变换式如下，试绘结构图并求C(s)/R(s)。解：（1）绘结构图G1G7G8R–CX1–G6X3G2X2G4–G5G3X3（2）求传函。用梅逊公式：G1G7G8R–CX1–G6X3G2X2G4–G5G3X3[例2.3]求如图所示系统的传递函数C(s)/R(s)。

解：有2个前向通路：有5个单独回路:1234无互不接触回路。1234作业：2-3、2-5、2-7、2-8b）、2-9a）、2-10b)本章结束！第三章控制系统的时域分析法3.1

引言3.2一阶系统分析3.3二阶系统分析3.5

线性系统的稳定性分析3.6

稳态误差及其计算3.4高阶系统分析动态性能分析

时域响应：指系统在时间域内对外界输入的响应。亦即系统数学模型的时域解。

分析的条件：零初始状态。即在r（t）作用前系统处于静止状态，或稳定运行状态。

分析方法

:对于典型系统（一阶、二阶），施加典型输入信号（单位阶跃、斜坡、脉冲），根据系统传函求出C（s），再反变换求出其对应的时间响应c（t）的表达式，进行系统分析。R(s)C(s)L-1C(t)§3.1系统的时域响应及性能指标时间tr上升峰值时间tpAB超调量σ%=AB100%调节时间ts动态性能指标示意图Δ=±5%或±2%动态过程稳态过程最大偏移量

一般情况下，分析一个控制系统主要从稳定性、稳态性能和动态性能三方面来考虑，这些性能的衡量标准及详细指标参数如下表所示。快速性平稳性(稳定性)

上升时间tr：

输出响应从零开始第一次上升到稳态值时所需的时间。即:c(tr)=c(∞)=1│第一次。峰值时间tp：输出响应从零开始上升到第一个极值(最大值)处时所需的时间。即:dc(tp)/dt=0│第一次。调节时间ts：输出响应达到并保持在一个允许误差带Δ内时所需的最短时间。动态性能指标的定义工程规定：Δ＝±5%或±2%

快速性指标

平稳性指标

超调量σ%：输出响应超出稳态值的最大偏移量占稳态值的百分比。即：

稳态误差ess：也称为静态误差，简称静差。衡量输出响应进入稳态后所表现出来的性能，即表示系统的控制精度。定义式：稳态性能指标的定义五种常用典型输入信号单位脉冲信号是一种理想信号，实际使用中，常用单位窄脉冲信号近似代替δ(t)。§3.2一阶系统时域分析1.数学模型T—惯性时间常数R(s)C(s)特点：是一个典型的惯性环节。如RC电路，T=RC。开环传函为：R(s)C(s)

r(t)=1(t)→R(s)=1/s→C(s)=Φ(s)R(s)即：2.单位阶跃响应0T2T3T4T

tc(t)10.630.860.950.98特点：是一个单调上升，无超调的过程。指标：由图知σ％=0，

tr=t

p=∞(不存在)。ts=3T，Δ=5%4T，Δ=2%3.其它信号的时域响应特点：见下表输入信号r(t)输出响应c(t)δ(t)

1(t)

t§3.3二阶系统单位阶跃响应分析1.数学模型其中ζ——

阻尼比T——

闭环时间常数ω

n=1/T——无阻尼自然振荡频率(rad/s)R(s)C(s)特点：是一个典型的振荡环节。如RLC电路。R(s)C(s)开环传函有两种形式：其中：K——开环增益；T——开环时间常数用两种表达式可进行两组参数（ωn、ζ和K、T）之间的换算。2.闭环特征根的特点闭环传函的特征方程为：D(s)=s2+2ζω

ns+ωn2=0特征根为：欠阻尼（0＜ζ＜1）：s1.2为一对共轭复根

s1.2=-σ±jωd临界阻尼（ζ=1）s1.2=-ωn为一对负实重根。过阻尼（ζ＞1）s1.2为两个不同的负实根零阻尼（ζ=0）s1.2为一对共轭虚根，输出响应为等幅振荡。σ＝ζωn为衰减系数为实际振荡频率二阶系统特征根的分布零阻尼ζ＝０临界稳定线左半平面ζ＞０稳定区右半平面ζ＜０不稳定区s1×s2

××s2×s1=s2×s2ωds1×s2×－σθωn过阻尼ζ＞1临界阻尼ζ=1欠阻尼ζ＜1j0定义：阻尼角θ3.单位阶跃响应特性

过阻尼响应（ζ＞1

）特征根为两个不同的负实数，即：故：T1、T2为过阻尼时间常数且T1＞T2二阶系统过阻尼相应的特点:(1)过阻尼响应表达式中，有2个单调衰减项，因此，过阻尼响应是一条单调上升、无超调的非周期响应曲线。而且因有2个衰减项，其上升速度较慢。(2)如果ζ＞＞1，则，，即s2距虚轴较远，其对系统性能的影响很小，可以忽略。此时，二阶系统可以等效为由s1决定的一阶系统。即。此时，其性能分析和指标计算都可以参考一阶系统的方法进行，即ts=(3~4)T1，σ=0。

临界阻尼响应（ζ=1

）特征根为相同的负实数，即：故：特点：从坐标原点出发，终止于稳态值1的单调上升，无超调的过程。但上升速度比过阻尼快。

欠阻尼响应（0＜ζ＜1）特征根：s1.2=-σ±jωd，为一对共轭复数。故：特点：从坐标原点出发，终止于稳态值1的振荡衰减过程，有超调。

零尼响应（ζ=0）特征根：s1.2=±jωn，为一对共轭纯虚数。故：特点：从坐标原点出发，以c(t)=1为中心的等幅振荡过程。此时，系统处于临界稳定状态。二阶系统单位阶跃响应小结：见P49-50：1）~4）。过阻尼响应指标的计算公式与一阶系统相似。如下：临界阻尼响应指标的计算公式如下：3.

指标计算依据：各响应表达式和各指标的含义。欠阻尼响应指标的计算公式：c(tr)=c(∞)=1│第一次dc(tp)/dt=0│第一次c(ts)=0.95或0.98于是得到：欠阻尼响应指标的计算公式如下：说明：（1）由于ζ≥１，系统的响应较慢，故二阶系统一般大都设计成欠阻尼状态。对于一些不允许出现超调（如液体控制系统，超调会导致液体溢出）或大惯性（如加热装置）系统。则可采用过阻尼状态。（2）工程上常取：ζ=0.4~0.8，对应超调量σ%=(1.5~25.4)%。二阶系统性能指标及其关系阻尼比ζ1.00.80.7070.60.50.4超调量σ％01.5%4.3%9.5%16.3%25.4%上升时间tr∞6.67T4.72T3.34T2.41T1.93T二阶最佳系统ζ

=0.707为最佳阻尼比其中：T为二阶系统开环时间常数。动态性能指标的计算方法：根据题意写出闭环传函Φ(s)并标准化与比较ζωn带公式可求得tr、tp、ts、σ%【P51例3.1】R(s)C(s)【例3.2】系统结构如图。试分别求在K=1000和K=150时系统单位阶跃相应的动态指标。解：（1）K=1000时（2）K=150时同理可算得：ωn=12.5s-1，ζ=1.41→过阻尼【作业】P77-97：3-2、3-3本节结束！§3-4高阶系统时域分析1.高阶系统的单位阶跃响应R(s)=1/spl为闭环传函的n个特征根（极点）2.高阶系统特征根的分布s1×s2×j0x0×××××≥5x主导极点非主导极点×s2×00×偶极子结论：（1）忽略非主导极点的影响，系统的特性主要就由一对主导极点来决定。此时，系统的传函可近似表示为：（2）系统对应于某个参数的主导极点可通过第4章的根轨迹法求得。§3.5

控制系统的稳定性分析1.系统稳定的充要条件系统稳定性定义Pl必须为“负”

系统稳定的充要条件为：闭环传函的特征根均具有负实部（负实数或具有负实部的共轭复根）。或闭环极点均位于[s]左半面。由此得下图：j0稳定区不稳定区临界稳定线稳定性示意图2.劳斯稳定判据依据

控制系统稳定的条件实系数方程根与系数的关系___劳斯表设系统特征方程为：a0sn+a1sn-1+a2sn-2+…

+an-1s

+an=0snSn-1Sn-2Sn-3Sn-4

s1s0a0a2a4a6a8…a1a3a5a7

a9…b3.1b3.4

b4.3an特点：（1）劳斯表形状为一“倒三角形”。（2）每两行元素个数相同，不够用“0”补齐。（3）行列式第一列为上两行第一列，第二列为上两行后一列。（4）次对角线–主对角线。（5）分母全为上一行第一列元素。劳斯判据：

若系统特征方程的各项系数均为正，且劳斯表中第一列元素全为正时，系统稳定。否则，系统不稳定，且第一列元素符号改变的次数等于该特征方程正实部根的个数。例：设系统特征方程为：s4+2s3+s2+s+3=0S4S3S2S1s01321030.53-11结论：系统不稳定，且有两个正实部根。两个推论：（1）三阶系统稳定的条件是，特征方程各项系数均为正，且“中间大、两头小”。（2）二阶系统稳定的条件是，特征方程各项系数均为正。两种特殊情况的处理

劳斯表中某行第一列元素为零，其余不全为零。处理方法：用一个很小的正数“ε”代替零元素，继续列劳斯表。结论：系统肯定不稳定。处理后，若表中第一列元素全为正，则系统处于临界稳定，有纯虚根；若表中第一列有负元素，则系统不稳定，有正实部根。【例】P58例3-3。

劳斯表中某行元素全为零。处理方法：用该行的上一行元素为系数，对应构成辅助多项式F(s)，用F(s)′的系数代替全零行的元素，继续列劳斯表。结论：同第一种情况。【例】P59例3-5。劳斯判据的应用：

判断系统稳定性。确定系统稳定时某些参数（K、T、τ、Kh等）的取值范围。

P78习题3-9。初步判断系统的稳定程度。见P60：例3-6。解题思路：根据题意写出

φ(s)→写出特征方程→列劳斯表→根据表中第一列元素判断稳定性或另第一列中含未知参数的元素都大于零，然后解不等式求出参数的范围。§3.6

控制系统的稳态误差分析1.

稳态误差的定义：给定误差：扰动误差：系统总误差：2.两种误差传函——

两种输入信号对误差信号的传函

给定误差传函Φer(s)：假定D(s)=0,R(s)

Er(s)

典型控制系统结构图可简化为其中：G(s)=G1(s)G2(s)G(s)H(s)R(s)B(s)Er(s)

扰动误差传函Φed(s)：假定Ｒ(s)=0，D(s)

Ｅd(s)

典型控制系统结构图可简化为G２(s)－H(s)Ｅd(s)Ｄ(s)G１(s)其中：G(s)=G1(s)G2(s)“-”说明扰动信号的作用与控制信号的作用相反。系统开环传函的时间常数表达式为：定义１：静态位置误差系数定义2：静态速度误差系数定义3：静态加速度误差系数￣----为系统型别

----为0型系统

----为Ⅰ型系统

----为Ⅱ型系统

给定误差essr条件：D(s)=0，R(s)单独作用。意义：表征了系统对于各种输入信号的跟踪能力。思路：给定误差传函Φe(s)=Er(s)/R(s)→Er(s)→essr决定于开环传函和输入信号

阶跃误差:r(t)=R0·1(t)→R(s)=R0/s

斜坡误差:r(t)=Rt→R(s)=R

/s2

加速度误差:r(t)=Rt2/2→R(s)=R

/s3r(t)R·1（t）RtR·1（t）Rt0型∞∞Ｋ００Ⅰ型0∞∞Ｋ０Ⅱ型00∞∞Ｋ各种系统在三种典型信号作用下的稳态误差与误差系数误差系数稳态误差给定误差的计算思路：１.系统在单一信号作用下：根据已知条件写出G(s)H(s)根据已知的r(t)求对应的误差系数阶跃输入斜坡输入加速度输入2.系统在复合信号作用下：

方法：分别计算各单一信号单独作用产生的误差，然后叠加。

规律：在复合信号作用下，稳态误差只决定于高阶信号，因此，只需求出在最高阶信号单独作用下的ess则为最终结果。总结论：（1）系统误差主要决定于系统开环增益、系统型别和输入信号的类型和幅值。（2）同一输入信号作用下，系统型别越高，稳态误差越小；系统开环增益越大，稳态误差越小；稳态误差越小，系统控制精度越高，跟踪信号的能力越强，（3）对于同一系统，跟踪“对应”的输入信号时，误差为有限值()，跟踪低一级的信号误差为零，跟踪高一级的信号，误差为无穷大。

扰动误差essd条件：R(s)=0，D(s)单独作用。意义：表征了系统的抗干扰能力。思路：扰动误差传函Φed(s)=Ed(s)/D(s)→Ed(s)→essd决定于G1(s)

和D(s)

系统总误差esse

ss=essr+essd

提高系统稳态精度的方法复合控制（见第6章）作业：3-7、3-14、3-15本章结束！

引言根轨迹分析法是在1948年由W.R.Evans提出的一种图解法，主要用于分析高阶系统。根轨迹法是用于分析和设计线性定常控制系统的一种工程方法。具有简便、直观及物理概念明确等特点，因此在工程实践中获得广泛应用。本章重点研究的5个问题：根轨迹法的概念、绘制根轨迹的规则、增加开环极、零点对根轨迹的影响、用根轨迹分析系统性能。第4章根轨迹分析法1.定义：系统的一个（一般为根轨迹增益K*，即自变量）或多个参数由零变到无穷大时，系统闭环特征根s在复平面上移动的轨迹称系统的根轨迹。根据根轨迹分析和设计系统的方法称为根轨迹分析法。2.主要内容：研究s平面上闭环特征根的位置随开环参数K*变化的规律及其与系统性能的关系。§4.1根轨迹法的概念3.方法：开环零点zi、极点pl在[s]中的分布K*=0→∞根轨迹方程根轨迹图求主导极点、分析系统性能４.根轨迹方程—

闭环特征方程一般系统的闭环传函可表示为：则，闭环特征方程即根轨迹方程为：又因为开环传函的零极点表达式为：上式可分解为：于是，根轨迹方程为：幅值方程（条件），用于计算主导极点对应的K*值相位方程（条件），用于绘制根轨迹图。k=0,1,2…K*

s1s200-2-1-1-1+j-1-j∞

-1+j∞-1+j∞起点重根点终点σ0jω××p1p2s1s2[例4.1]单位反馈系统开环传函为，试绘根轨迹图。解:n=2,p1=0,p2=-2；m=0闭环系统特征方程式：

利用根轨迹的性质（规则），可以绘制根轨迹的大致图形（草图），基本能满足工程需求。§4.2绘制根轨迹的规则规则1：根轨迹的起点和终点。

根轨迹起始于开环极点，终止开环零点或无穷远。规则2:根轨迹的条数和对称性。

n阶系统有n条根轨迹；根轨迹关于实轴对称。规则3:实轴上的根轨迹分布。由实数开环零、极点将实轴分为若干段，如某段右边开环零、极点（包括该段的端点）数之和为奇数，则该段就是根轨迹，否则不是。如下图所示。jωσ×

×

×

×

p4z2p3p2z1p1规则4：根轨迹的分离点和会合点d。（1）定义：根轨迹离开实轴进入复平面的点称为分离点；由复平面进入实轴的点称为汇合点。位于相邻两极点（分离点）或两零点（汇合点）之间。（2）位置：大部分的分离点和汇合点在实轴上，若出现在复平面内时，则成对出现。（3）特点：分会点和汇合点对应于闭环特征方程有重根的点；根轨迹离开或进入实轴的方向均为垂直方向。即分离角和汇合角均为90°。（4）分会点坐标计算：根据重根的条件，还必须满足：联立求解（1）（2），消去K*得分会点坐标计算公式为：注：将不在根轨迹上的s值舍去。规则5：根轨迹的渐近线定义：n-m条终止于无穷远处的根轨迹的终止方向线。条数：共有（n-m）条渐近线。与实轴交点：与实轴夹角：取n-m个值。计算：规则6：根轨迹与虚轴的交点意义：是系统的临界稳定点。特点：对应于系统闭环特征方程有纯虚根的点。求法：（1）将s=jω代入闭环特征方程得：1+G(jω)H(jω)=0，再令左边复数多项式的实部、虚部分别为零，解不等式可得K*和ω。则交点为：s=±jω。（2）根据闭环特征方程列劳斯表，令表中第一列含有K*的元素=0，解方程可得K*值；将此K*值代入该行上一行元素组成的辅助方程式，解之可得交点的s值。

解：G(s)H(s)有3条根轨迹，分别起于0，-2，-4，终止于无穷远处。m=0n=3:p1=0,p2=-2,p3=-4例4.2

系统开环传递函数为，试绘根轨迹图。（1）实轴上：（－∞，-4），（-2，0）。（2）渐进线：（3）分会点：由开环传递函数得：

A(s)=s(s+2)(s+4)=s3+6s2+8s，B(s)=1

A′(s)=3s2+12s+8，B′(s)=0

则，分会点方程为：3s2+12s+8=0s1=-3.1(不在根轨迹上，舍去)。s2=-0.9为分会点。（4）与虚轴的交点：方法1：闭环特征方程为s3+6s2+8s+K*=0

令s=jω得：-jω3-6ω2+j8ω+K*

=0即-6ω2+K*

=0-ω3+8ω=0K*

=48ω=2.8s-10jω-4-2σ×××s3s2-j2.8-0.9令48–K*

=0K*＞0K*

=48得辅助方程6s2+48=0s=±j2.8s1

j2.8π/3-π/3方法2：闭环特征方程为

s3+6s2+8s+K*=0

列劳斯表如下：s318s26K*s1

s0K*解：G(s)H(s)

有3条根轨迹，分别起于0，-1，-2，-5，终止于无穷远处。m=0n=4:p1=0,p2=-1,p3=-2，p3=-5（1）实轴上：（－∞，-1），（-2，-5）。（2）渐进线：（3）分会点：分会点方程为高阶方程不好求解，一般用试探法。按照经验规律，s1应在

p1和p2

的中点稍偏右；s2应在p3和p4

的中点稍偏左。例4.3已知系统开环传函为，试绘其根轨迹图。（4）与虚轴的交点：闭环特征方程为：s4+8s3+17s2+10s+K*=0注：高阶方程可以不必求解，只要按照渐近线方向绘制大致形状即可。故，该系统根轨迹图如下。-5-2-10σ××××jωs1s2s3s4注：根轨迹是圆的特例。凡是由两个极点和一个或两个零点组成的系统，只要没有零点位于极点之间，则其根轨迹在复平面内的部分是圆或圆的一部分。（证明略）零极点：渐近线：【例4.4】已知系统开环传函为，试绘其根轨迹图。规则7：根轨迹的出射角α和入射角β。定义：出（入）射角是根轨迹离开（进入）复极点(复零点)的切线与实轴正方向的夹角。计算公式：极点pl处的出射角αl：αl+1

=-αl

零点zl处的入射角βl：βl+1=-

βl出射角：据此绘制根轨迹图如图。零极点：渐近线：【例4.3】已知系统开环传函为，试绘其根轨迹图。分会点：规则8：根之和与根之积——闭环极点的性质根之和：闭环特征根之和开环极点之和常数作用：①判断特征根的变化趋势；②已知一些根求另外一些根。根轨迹图绘制规则见表4-1。根轨迹图绘制举例。例4-6，4-7。常见系统零极点分布及对应的根轨迹草图见图4-13。根之积：本节结束！【作业】4-5、4-8。§

4.3广义根轨迹（了解）

在控制系统中，通常把负反馈系统中根轨迹增益K*变化时的根轨迹叫做常规根轨迹，而把其他情况下的根轨迹统称为广义根轨迹。一般有参量根轨迹、零度根轨迹以及有些n＜m时系统根轨迹等。4.3.1参量根轨迹除根轨迹增益外，把开环系统的其他参数（如时间常数、反馈系数等）从零变化到无穷大或在某一范围内变化时，闭环系统特征根的变化轨迹叫参量根轨迹。参量根轨迹的绘制步骤如下：

4.3.2零度根轨迹——正反馈和某些最小相位系统根轨迹

某些复杂系统中，可能会包含正反馈回路，影响系统的稳定性，必须通过整个系统的控制作用来抑制。正反馈系统结构如图所示。(1)写出原系统的特征方程：。(2)特征方程式两边除以不含该参量的各项，得系统的等效根轨迹方程：。该方程中的参量即为等效开环传函的根轨迹增益。(3)用绘制常规根轨迹原则绘制等效系统的根轨迹，即为原系统的参量根轨迹。具体见P97例4-8所示。根轨迹方程为：幅值条件为：相角条件为：绘制零度根轨迹图的依据。具体绘制规则见P100。例4-9。表4-2。§4.4用根轨迹法分析系统性能一、闭环极点的位置与系统性能的关系0σjωs1×s2×θωn

如图，s1、s2为闭环系统一对共轭复数极点。二阶系统单位阶跃响应：二阶系统性能指标：可见：闭环极点的位置与系统性能的关系如下：（1）闭环极点在s左右平面的分布反映了系统的稳定性。（2）闭环极点的实部（ζωn）反映了系统的调整时间ts

和稳定程度，而且ζωn

↑（闭极点离虚轴越远）→t

s

↓→动态快速性↑，同时稳定程度越好。（3）闭环极点的虚部（ωd）表征了系统的实际振荡频率。（4）闭环极点的模（ωn）表征了系统的无阻尼振荡频率。

（5）闭环极点与负实轴的夹角（阻尼角θ）反映了系统超调量，而且θ↓（闭极点离实轴越近）

→

ζ=cosθ

↑→σ％↓→动态平稳性↑。二、已知系统的性能指标，确定闭环主导极点s*1.2和K*思路：绘根轨迹图性能指标ζ做θ=arccosζ线估读主导极点s*1.2用幅值条件计算K*s*1.2为θ线与根轨迹的交点若无零点，则分母为1。具体参见P103：例4-11。σjω0××p1p2×p3（a）增加合适的开环零点σjω0××p1p2×p3ozoz（b）增加不合适的开环零点jω0××p1p2×p3σ三、增加开环零、极点对根轨迹的影响1.增加开环零点：具体参见P104：例4-12。结论1：增加合适的开环零点，将使根轨迹向左弯曲或移动，可以改善系统的稳定性和快速性。但零点选择不合适则达不到此效果。2.增加开环极点：具体参见P106：例4-13。结论2：增加开环极点，将使根轨迹向右弯曲或移动，从而使系统的稳定性和快速性