浙江省浙北2023-2024学年高二年级上册12月阶段性联考数学试卷(含答案)

浙江省浙北名校2023-2024学年高二上学期12月阶段性联考数学试

卷

学校：___________姓名：班级：考号：

一、选择题

1.直线y-1=0的倾斜角为()

A.30°B.60°C.120°D.150°

22

2.双曲线土-乙=1的渐近线方程是()

43

A.y=+—xB.y=±-xC.y-+^^-xD.y=±-x

一4332

3.已知空间向量a=(—2,2,1),b=(l,Q,m),若。，b,则㈤=()

A.20B.A/7C.A/6D.行

4.已知等比数列｛4｝的前九项和为S“，q+%=30,邑=120,则其公比q=()

A.lB.2C.3D.4

5.在平面直角坐标系x0y中，A(3,0),〃是(x+l)2+/=4上一动点，则直线朋A的

斜率的取值范围为()

A.[一后行|B.[-l,l]C.岑岑A岑殍

6.正四面体尸-ABC的棱长为4,点V、N分别是棱B4、PC的中点，则点A到平面

加W的距离为()

A寺C.2D.—

113

7.已知直线/与抛物线/=2内交于A,5两点，且该直线不经过抛物线的焦点，那

么以线段为直径的圆与该抛物线的准线的位置关系是()

A.相离B.相交C.相切D.与直线/的位置有关

8.正方体ABC。-ABCQI的棱长为1，胫是面3CG片内一动点，且DM，A。，N

是棱CC]上一动点，则△DMN周长的最小值为()

A.2B.A/3+1C.V2+2D.逅+遮

22

二、多项选择题

9.下列说法正确的是（）

A.两异面直线所成角的取值范围是

B.若直线/与平面a相交，则该直线/与平面a所成角的取值范围是

C.二面角的平面角的取值范围是

D.若a,b,c是空间向量的一组基底，则存在非零实数x,y,z,使得xa+yZ?+zc=0

10.已知圆G：x2+;/+2x+8y—8=0与圆+4x—4y—12=0交于A、3两

点，下列说法正确的是（）

A.点G在圆G内

B.直线AB的方程是3x+6y+2=0

C.|AB|=y

D.四边形AC^G的面积是10港

11.已知平面内一动点与两定点连线的斜率的乘积为定值时，若该定值为正数，则该

动点轨迹是双曲线（两定点除外）；若该定值是负数，则该动点轨迹是圆或椭圆（两

定点除外）.如图，给定的矩形ABCD中，|AB|=a,|5。=仇a＞匕＞0）,E、F、G、H

分别是矩形四条边的中点，M、N分别是直线EG、A5的动点，0M=20G,

BN=RBE,其中“zwO,且直线与直线Nr交于点P.下列说法正确的是（）

A.若;=则P的轨迹是双曲线的一部分

B.若=则P的轨迹是椭圆的一部分

C.若2=〃，则P的轨迹是双曲线的一部分

D.若;1+〃=0,则P的轨迹是椭圆的一部分

12.数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中一类，螺旋线这个名词源于

希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠绕”.如图所示，正六边形44AA4AA的边长为1，分

别取其各条边的四等分点，连接得到正六边形瓦与名反风线，再取其各条边的四等分

点，连接得到正六边形GC2c3c4c5c6,依次类推……对于阴影部分，记第一个阴影

△4用线的最大边长为见,面积为M；第二个阴影△5℃6的最大边长为的，面积为

邑，第三个阴影三角形的最大边长为名，面积为其，依次类推……下列说法正确的是

Bi

B.数列｛%｝是以+为公比的等比数列

C.数列｛SJ的前2023项和小于日

D.任意两个阴影三角形的最大边都不平行

三、填空题

13.已知圆心在x轴上的圆经过点A(l,2),5(-1,0),则该圆的半径是.

14.如图，平行六面体ABC。-A4GR各条棱长均为1，/及里=NDA4=60。，

ZBAD=90°，则线段AC】的长度为.

15.某牧场2015年初牛的存栏数为1200头，以后每年存栏数的增长率为9%,且在每

年年底卖出90头牛，那么在2024年初牛的存栏数是多少.(结果保留

整数,参考数据:1.0数“1.99,1.099a2.17,1.091°a2.37）

22

16.已知R是椭圆=+与=1（。〉6〉0）的右焦点，。是坐标原点，点M是。尸的中

ab

点，椭圆上有且只有右顶点30）与点M的距离最近，求该椭圆的离心率的取值范围

四、解答题

。“

17.已知数列｛4｝满足：q=2,a2

n+｝4+2

（1）证明：数列,是等差数列;

（2）记包=悬，“eN*,求数列也｝的前几项和S,.

18.已知圆C:x2+-4x+2^-11=0,直线I:（2根+1）%-（6+2）丁一4m+1=0,meR.

（1）判断直线/是否过定点，若过定点，请找出该定点；若不过定点，请说明理由.

（2）若直线/与圆C交于A、3两点，且|A3|=2jI?,求该直线方程.

19.如图所示，在四棱锥尸-ABCD中，底面是直角梯形，AB=1,AD=CD=2,

PB=旧,ZBAD=ZADC=90。,侧面PAD是等边三角形.

（1）证明：平面平面ABCD；

（2）求二面角3-PC-A的平面角的余弦值.

20.已知抛物线C:/=2x,A（2,0）.

（1）。是抛物线上一个动点，求|出|的最小值；

（2）过点A作直线与该抛物线交于M、N两点，求的值.

21.已知函数/（x）=-k）g2（-x）的图象与水平直线y=〃交于点A.，其中〃=1,2,

3,…，记直线44M的斜率为％,与y轴交于点（0也）.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

b

(2)记q,=",〃eN+，数列｛g｝的前"项和为S“，求

an

22.如图，双曲线《一芸=1的离心率为幽，实轴长为2月，月，工分别为双曲线

ab3

的左右焦点，过右焦点工的直线与双曲线右支交于A,3两点，其中点A在第一象限.

连接&耳与双曲线左支交于点C,连接分别与x,y轴交于Q,E两点.

(1)求该双曲线的标准方程;

(2)求△ADE面积的最小值.

参考答案

1.答案：B

解析：直线-1=0,

变形为丁=百万-1，

所以4=6,

设倾斜角为a,

则上=tantz=6，

因为0。＜々＜180。，

所以a=60。，

故选：B.

2.答案：D

221

解析：根据双曲线3-与=1的渐近线方程：y=+-x,知:

aba

J—：=1的渐近线方程为y=+^x.

故选：D.

3.答案：D

解析：因为所以a%=(-2,2,l>(l,0,m)=-2+m=0,

解得m=2,

故[b|=V1+0+4=下.

故选：D.

4.答案：C

解析：注意到4+%=30,$4=120,首先qwl,（否则q+%=2%=30,

$4=44=120矛盾),

其次a1+/=q(l+q?)=30,54=—--"■=120,

,、'l—q

l-q4_l-q2

两式相比得=1+<7=4,解得q=3.

乂i+《）i-q

故选：c.

5.答案：D

解析：由图形可知，直线题4的斜率一定存在,

设出直线以4的方程为丁=左(1-3),

圆心(-1,0)到直线MA的距离［鲁<2,

解得左e

3O-3-'

6.答案：B

解析：正四面体P-ABC中，取ZVLBC的中心为H,则平面A4B,

i^AM=PM=2,BM=26,

其中苧，由勾股定理得CH=F［理=乎，

故点N到平面A钻的距离为工x生色=2四，

233

又S&ABM=^SAABP=万义与乂4。=2g，

痂17-1C2^6_1O/?2A/6_472

故%=_S^ABM==-^―,

又BM=BN=26，MN=-AC=2,

2

取MN的中点T,连接3T,则BTLMN,

则忸刀=^BN--NT-=<12-1=A/T1,

故S谶MN=TMN|♦忸T|=g><2xjn=&L

设点A到平面BMN的距离为d,

痂10—而40

故，即飞-'"二三-，

解得d=\p.

故选：B.

7.答案：A

解析：设AB中点为M,过A,M,3作准线的垂线，垂足分别为A,M',B',

又该直线不经过抛物线的焦点，则睦以=3（4¥+54）=；（4歹+5/）>；45,

所以线段AB为直径的圆与该抛物线的准线的位置关系是相离.

故选：A.

8.答案：B

解析：点M在线段Bq上运动，即动线段DM在△3G。内运动，

动线段DN在△DCG内运动，动线段在△BCG内运动，

以△BCq为基准，将△BQ。和△DCG翻折使其与△BC£共面，如图所示：

H,

其中ABCiD翻折至，△DCG翻折至△CCA，

ADMN的周长等于D2M+MN+ND.，最小值等于D^D3,

在四边形CXD2=QD3=V2,ND2CR=150°,

由余弦定理可求得。2。3?=2+2—2x0x&x—:]=4+2百，

所以。/3=1+6，

故△DAW的周长最小值等于1+6，

故选：B.

—IV

9.答案：AB

解析：A选项，根据异面直线的定义可知，两异面直线所成角的取值范围是[。:],A

正确；

B选项，直线与平面的夹角范围为[03],但直线/与平面c相交，夹角不为0,

则该直线/与平面。所成角的取值范围是0:，B正确;

C选项，二面角的平面角可以是钝角，C错误；

D选项，若a,b,c是空间向量的一组基底，则a,b,c不共面,

不存在非零实数x,y,z,使得为。+皿+2°=0,,D错误.

故选：AB.

10.答案：BCD

解析：A选项,G：/+y2+2x+8y-8=0变形为（尤+1）2+（丁+4）2=25,

故圆心为G（-L-4）,半径为5,

2222

C2:x+y-4x-4y-12=0^^J（x-2）+（y-2）=20,

故圆心为。2（2,2）,半径为2石，

因为22+2?+4+16-8>0,所以点G在圆G外，A错误；

B选项，G：/+/+2》+8>-8=0与。2:丁+丁-4x-4y-12=0相减得，

直线AB的方程是6x+12y+4=0,化简得3x+6y+2=0,B正确；

2

C选项，圆心G（2,2）到直线3x+6y+2=0的距离d=尔.；；1=殍,

故|阴=2、2时-/=2x,20-三=?C正确；

D选项，由题意得其中|CC|=，（2+户（2+4）2=3石,

故四边形4。不。2的面积为g|G。2HAD正确.

故选：BCD.

11.答案：CD

解析：由已知可得$o）,G„,陪，。］，E,-。呜，

则由OM=/lOG=［o,弓］可得，

ab+〃，，0='a(l-〃)b、

由BN="BE可得，ON-OB+/uBE-，-

22、2「5,

’(I-〃)ab'

所以N[2"

a(1一〃”

22

对于A、B项，因为切=-1所以女=显然ML不是-

个常数，所以此时尸的轨迹既不是双曲线，也不是椭圆，A、B均错;

A2,

对于C选项，k-k=—,此时左HM^NF的结果为一个大于0的定值，所以P的轨

HMNFa

迹是双曲线（顶点除外），C对；

对于D选项，k-k=---,此时右加的结果为一个小于0的定值，所以P的轨

HMNFa

迹为椭圆（顶点除外），D对.

故选：CD.

12.答案：ACD

解析：正六边形AAAAAA的边长为1，

正六边形44AA4AA的每个内角为120。,

1Q

5

由题知，在△?1,月线中，|A4|=z，|A6|=1'

由余弦定理得|4闻=

则％呼，闻・sinl2()o=等373

64

2

II-2--a.•—,-cos120°=-^~an,

易知a=+

n1一1I4"T4"T4”-1

a=史

*4

数列｛%｝是以孚为首项，以孚为公比的等比数列，所以4=

n-\

•1℃。3G23G（13

v_ll3

s〃w「产1-sml20°=—

6416

二数列｛s“｝是以等为首项,以u为公比的等比数列,

16

„3y/31339A/3,,ph品

对于A选项,邑=------=-----,故A正确;

264161024

对于B选项,数列｛4｝是以孚为公比的等比数列，故B错误;

对于C选项,｛S〃｝的前2023项和为:

2023

3A/313

1-

野。23

^64（16<¥，故c正确;

S[+S?+•+^20231-

一4

16

对于D选项，记阴影三角形的最小角为e,

22

21

+Cl

1%n-7

由余弦定理得cos6=

、3~2^），

2.44.1

若存在两条最大边平行，则无限缠绕后，最终最小角顶点无限重合,

即存在4=2E(其中小左为正整数)，使得cos〃e=l,

23

由cos20=2cos20-1=—,

26

cos36=cos（2e+。）

=cos2^-cos^-sin20-smO

=(2cos20-lj-cos0-2sin20-cos0

=(2cos2^-1)-cos^-2(l-cos20^-cos6

……一3)=京

持续计算-，可知不可能使cos〃e=l,故不存在两最大边平行，故D错误.

故选：AC.

13.答案：2

解析：设圆心为（M,0）,由题意得—+4=++0,

解得m=l,

故半径为J（l-l）2+4=2.

故答案为：2.

14.答案：V5

解析：取A3,AD,招为一个基底，ABAD=0,ABAA,=1,ADAA,=1,

222

.,JAC]|="AB+AD+AA『=^AJB+AD+A41+2(AJBAD+ADA41+A41AB)=V5

故答案为：V5.

15.答案：1434

解析：记2015年为第一年，2015年初牛的存栏数为4=1200,则2024年为第10年,

2024年初牛的存栏数为4。，

而第（八+1）年初牛的存栏数。的=1.094-90,

设a；i+1-2=1.09（an-2）,贝U—0.09/1=-90,解得2=1000,

即数列｛4-1000｝是以g-1000=200为首项，1.09为公比的等比数列，

,!-1

所以4—1000=200xI。）-,即an=200.1.09+1000,

9

.-.a10=200-1.09+1000»1434.

故答案为：1434.

16.答案：［og

解析：由题，椭圆上只有右顶点（a,o）到点的距离最小,

设Q（x,y）是椭圆上的点，x^[-a,a],

2*2

+y2-cx+^+b1

H9

2

对称轴是％=幺，定义域是元£[-。,例，

2c

:.a<—,解得.

2cI2j

故答案为：（o,；.

17.答案：（1）证明见解析

解析：(1)因为a,=&-，Q=2,显然q尸0,

4+2

则L=L

%2a”an2

111

所以-L是以_1=工为首项,T为公差的等差数列.

an\%2

(2)由(1)知工=',贝uq=2,

42n

可得以='==^=4-上-

n+1n(n+Y)nn+1

所以S〃=：2_22_22_2222〃

-+-+-+--------------=--------

22334nn+1n+1

18.答案：（1）直线/过定点（3,2）

(2)x=3或4x-3y-6=0.

解析：(1)直线/变形得根(2%-丁-4)+(%-2丁+1)=0,

人f2x-y-4=0

令4，

x-2y+l=0

x=3

解得,

b=2

二直线/过定点(3,2).

(2)圆C:(x—2y+(y+l)2=16,圆心为C(2,—1),半径为4,

设圆心C到直线I的距离记为d,

r-t,.|(2m+l)-2+(m+2)—4m+l||m+51

则4=------1---=—/,

d(2m+l)2+(m+2)2V5m2+8m+5

由垂径定理得d=(2_1等：=1,

即旧+51=],

v5m2+8根+5

解得加=-2或m=*,

2

加二-2时，直线I的方程是l二3；

m■时，直线I的方程是4%-3丁一6=0；

综上，直线/的方程是x=3或4x-3y-6=0.

19.答案：(1)证明见解析

⑵叵

7

解析：(1)取AD中点连接MP,MB

在等边△PAD中，有AD中点M,AD=2,

所以A/PLAZ),MA=MD=1,

22

则MP=JPE>2_MD2=#),MB=Vw+AB=y/2.

在ARMB中，有MP?+MB?=5=PB?,

因为ADu平面ABC。，MBu平面ABC。，ADMB=M,

.•.VP,平面ABCD

又MPu平面PA。，

所以平面上4D，平面ABCD

(2)取BC中点为N,连接MN,

以点M为坐标原点，分别以MA、MN、MP为x、y、z轴正方向，如图建立空间直角

坐标系，则4(1,0,0),5(1,1,0),C(-l,2,0),P(0,0,V3),

所以，PA=(l,0,-V3),C4=(2,—2,0),PB=(1,1,-73),Cfi=(2,-l,0).

设平面PCA的一个方向量是4=a，%,zj,

则14,4=玉-岛=0

Y\-CA=2xx-2y=0

取4=1,则平面PC4的一个方向量是勺=(后6,1}

设平面PCB的一个方向量是%=(9,%，Z27

贝］1J%，PB=%?+%一后2=°

n2CB=2X2-y2=0

取刀2=1，可得平面PCS的一个方向量是巧=(1,2,6).

月’且二面角j一为锐角，

因为cos(%,%

所以，二面角3—PC—A的余弦值是疸.

20.答案：(1)百

(2)0

解析:(1)设Q(2/2),3|=

当=土与,即以1,土女)时，|。山取得最小值，最小值为百.

（2）当直线MN的斜率为0时，直线与抛物线只有1个交点，不合要求，

设直线的方程是x=@+2（keR）,与抛物线联立，消x得产―26-4=0,

设N（x2,y2）,

1

贝1%+%=2左，y\y2=-4,故甲2=（%；）=4,

故OM-ON=x1x2+yxy2=4-4=0.

21.答案：（1）%=2向

/C、CC〃+4…

⑵S〃=2-茨丁，neN+.

解析：（1）令一log2（—x）="得，x=-2"",

11

故4—，〃，则4+i,n+l,

T2n+'

匚匚I、【〃+1—〃1

所以4=丁丁=丁丁2n+1.

-----1---------1--

2〃+i2〃2"+i2〃

1

（2）直线AA的方程为y-〃=2*1XH---

nn+l2〃

令％=0得y=2"Mxg+/=2+〃,

n+2

故优=〃+2,g

2"T

345〃+2小

邑c=球+无+吩++/①，

1_345

c+『

1__1_

①-②得白〃=最+以+*摄+1)〃+23+82〃+2〃+2]〃+4

n+l\2*222]2〃+22"+2

1-2

九2

22.答案：（1）-=1

3-

⑵-

7

解析：（1）由已知可得，2a=26,所以a=百.

又e=£=3叵，所以c=2,b2-c2-a2=1.

a3

所以，双曲线方程是工-y2=i.

3'

（2）由（1）可知,耳（2,0）,设4（%,乂），5（孙％），

则直线AK的方程为％=%二y+2.

刀一2

x=———y+2

将直线A居的方程与双曲线方程联立％,

X22।

-----y=1

13'

消x,整理可得（7-4%）y