高中数学选修21讲义第一章12简单的逻辑联结词

如图所示，有三种电路图．问题1：甲图中，什么情况下灯亮？提示：开关p闭合且q闭合．问题2：乙图中，什么情况下灯亮？提示：开关p闭合或q闭合．问题3：丙图中，什么情况下灯不亮？提示：开关p不闭合时．这里的“或”“且”“非”称为逻辑联结词.如知识点一中的图，若开关p、q的闭合与断开分别对应命题p、q的真与假，则灯亮与不亮分别对应着p∧q、p∨q、綈p的真与假．问题1：什么情况下，p∧q为真？提示：当p真，q真时．问题2：什么情况下，p∨q为假？提示：当p假，q假时．问题3：什么情况下，¬p为真？提示：当p假时．1．一般地，通常用小写拉丁字母p，q，r表示命题，用联结词“或”、“且”、“非”把p，q联结起来，就得到新命题，“p或q”、“p且q”、“非p”．“p或q”记作“p∨q”；“p且q”记作“p∧q”；“非p”记作“¬p”．2．一般地，“p或q”、“p且q”、“非p”形式的命题的真假性可以用下面表格分别表示：(1)命题p且q的真假性：pqp且q真真真真假假假真假假假假(2)命题p或q的真假性：pqp或q真真真假真真真假真假假假(3)p与¬p的真假性：p¬p真假假真命题“p∧q”的真假，概括为同真为真，有假为假；命题“p∨q”的真假，概括为同假为假，有真为真；命题p与“¬p”的真假相反．[例1]指出下列命题分别由“p且q”“p或q”“非p”中的哪种形式构成，并写出其中的命题p，q：(1)两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；(2)方程x2－3＝0没有有理根；(3)如果xy<0，则点P(x，y)的位置在第二或第三象限．[思路点拨]根据命题的含义，确定逻辑联结词，分解出命题p和q.[精解详析](1)“p且q”的形式；其中p：两个角是45°的三角形是等腰三角形；q：两个角是45°的三角形是直角三角形；(2)“非p”的形式；p：方程x2－3＝0有有理根；(3)“p或q”的形式；其中p：如果xy<0，则点P(x，y)的位置在第二象限：q：如果xy<0，则点P(x，y)的位置在第三象限．[一点通]正确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义是解题的关键．根据各命题的语句中所出现的逻辑联结词或语句的意义确定命题的形式．若命题中没有出现逻辑联结词，则可根据语句的意义确定命题的构成形式．1．分别指出下列命题的形式及构成它的简单命题：(1)2既不是偶数，也不是质数；(2)王某是体操运动员或跳水运动员；(3)正方形既是矩形，也是菱形；(4)仅有一组对边平行的四边形是梯形或平行四边形；(5)方程2x2－x＋1＝0没有实数根．解：(1)这个命题是“p且q”的形式，其中p：2不是偶数，q：2不是质数；(2)这个命题是“p或q”的形式，其中p：王某是体操运动员，q：王某是跳水运动员；(3)这个命题是“p且q”的形式，其中p：正方形是矩形，q：正方形是菱形；(4)这个命题是“p或q”的形式，p：仅有一组对边平行的四边形是梯形，q：仅有一组对边平行的四边形是平行四边形．(5)这个命题是“¬p”形式，其中p：方程2x2－x＋1＝0有实数根．2．分别指出下列命题的形式及构成它的命题：(1)相似三角形周长相等或对应角相等；(2)方程x2－3x－4＝0的根是－4或1；(3)a∉A.解：(1)这个命题是“p∨q”的形式，其中p：相似三角形周长相等；q：相似三角形对应角相等．(2)这个命题是“p∨q”的形式，其中p：方程x2－3x－4＝0的一个根是－4，q：方程x2－3x－4＝0的一个根是1.(3)这个命题是“¬p”的形式，其中p：a∈A.[例2]写出由下列各组命题构成的“p且q”“p或q”和“非p”形式的命题：(1)p：6是自然数；q：6是偶数；(2)p：∅⊆{0}；q：∅＝{0}；(3)p：甲是运动员；q：甲是教练员．[思路点拨]根据p，q语句上的要求，正确使用联结词，写成三种形式．[精解详析](1)p且q：6是自然数且是偶数．p或q：6是自然数或是偶数．非p：6不是自然数．(2)p且q：∅⊆{0}且∅＝{0}．p或q：∅⊆{0}或∅＝{0}．非p：∅{0}．(3)p且q：甲是运动员且是教练员．p或q：甲是运动员或是教练员．非p：甲不是运动员．[一点通]用逻辑联结词“且”、“或”、“非”联结两个命题时，关键是正确理解这些词语的意义及其与日常用语中的同义词的区别，选择合适的联结词．有时，为了语法的要求及语句的通顺，也可进行适当的省略和变形．3．分别写出由下列命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的命题．(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．解：(1)p且q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．p或q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．非p：梯形没有一组对边平行．(2)p且q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．p或q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．非p：－1不是方程x2＋4x＋3＝0的解．4．写出由下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”和“非p”形式的新命题：(1)p：2014是正数，q：2014是负整数；(2)p：1是方程x2＋2x－3＝0的根，q：1是质数．解：(1)“p或q”形式的新命题：2014是正数或2014是负整数．“p且q”形式的新命题：2014是正数且2014是负整数．“非p”形式的新命题：2014不是正数．(2)“p或q”形式的新命题：1是方程x2＋2x－3＝0的根或是质数．“p且q”形式的新命题：1是方程x2＋2x－3＝0的根且是质数．“非p”形式的新命题：1不是方程x2＋2x－3＝0的根.[例3]写出下列命题的否定，并判断真假：(1)p：y＝cosx不是周期函数；(2)p：2和3都是奇数；(3)p：8>7.[思路点拨]对命题的判断词或关键词进行全盘否定即可．[精解详析](1)¬p：y＝cosx是周期函数．由于命题p是假命题，所以¬p是真命题．(2)¬p：2和3不都是奇数．由于命题p是假命题，所以¬p是真命题．(3)¬p：8≤7.由于命题p是真命题，所以¬p是假命题．[一点通]写出命题的否定(非)，需要对其正面叙述的词语进行否定，常用的正面叙述的词语及它的否定列表如下：正面词语否定等于不等于大于(＞)不大于(≤)小于(＜)不小于(≥)是不是都是不都是p或q非p且非q至多有一个至少有两个至少有一个一个也没有正面词语否定任意的某个所有的某些至多有n个至少有n＋1个任意两个某两个p且q非p或非q5．写出下列命题的否定，并判断真假：(1)p：y＝tanx的定义域是R；(2)p：1,2,3至少有一个是奇数；(3)p：1,2,3至多有一个是奇数．解：(1)¬p：y＝tanx的定义域不是R.由于命题p是假命题，所以綈p是真命题．(2)¬p：1,2,3都不是奇数．由于命题p是真命题，所以綈p是假命题．(3)¬p：1,2,3至少有两个是奇数．由于命题p是假命题，所以綈p是真命题．6．写出下列命题的否定：(1)△ABC是直角三角形或等腰三角形；(2)4,5都是方程x2－5x＋4＝0的根；(3)他是数学家或物理学家；(4)他既是班干部又是学生会干部．解：(1)△ABC既不是直角三角形又不是等腰三角形．(2)4,5不都是方程x2－5x＋4＝0的根．(3)他既不是数学家也不是物理学家．(4)他不是班干部或他不是学生会干部．[例4]分别指出下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“¬p”形式的命题的真假：(1)p：6<6，q：6＝6；(2)p：函数y＝x2＋x＋2的图像与x轴没有公共点．q：不等式x2＋x＋2<0无解；(3)p：函数y＝cosx是周期函数．q：函数y＝cosx是奇函数．[思路点拨]先判断命题p、q的真假，再判断“p∧q”“p∨q”“綈p”的真假．[精解详析](1)∵p为假命题，q为真命题，∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，¬p为真命题．(2)∵p为真命题，q为真命题，∴p∧q为真命题，p∨q为真命题，¬p为假命题．(3)∵p为真命题，q为假命题，∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，¬p为假命题．[一点通]判断含逻辑联结词的命题的真假的步骤：(1)确定复合命题的构成形式，是“p∧q”、“p∨q”还是“綈p”形式；(2)判断其中简单命题p，q的真假；(3)根据真值表判断含逻辑联结词的命题的真假．7．分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”的形式的命题的真假：(1)p：a2＋1≥1，q：2＞3；(2)p：2＋2＝5，q：3＞2；(3)p：1∈{1,2}，q：{1}⊆{1,2}；(4)p：∅⊆{0}，q：∅＝{0}．解：pqp或qp且q(1)真假真假(2)假真真假(3)真真真真(4)真假真假8.分别指出下列命题的构成形式及各命题的真假：(1)全等三角形周长相等或对应角相等；(2)9的算术平方根不是－3；(3)垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两段弧．解：(1)这个命题是p∨q的形式，其中p：全等三角形周长相等，q：全等三角形对应角相等，因为p真q真，所以p∨q为真．(2)这个命题是¬p的形式，其中p：9的算术平方根是－3，因为p假，所以綈p为真．(3)这个命题是p∧q的形式，其中p：垂直于弦的直径平分这条弦，q：垂直于弦的直径平分这条弦所对的两段弧，因为p真q真，所以p∧q为真.1．正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”表示两个中至少选一个．2．命题的否定只否定结论，而否命题既否定条件又否定结论，要注意区别．课时达标训练（三）1．命题“正方形的两条对角线互相垂直平分”的构成形式是________．解析：正方形的两条对角线互相垂直并且平分，是p且q的形式．答案：p且q2．由命题p：6是12的约数，q：6是24的约数，构成的“p或q”形式的命题是________________________________________________________________________，“p且q”形式的命题是________________________________________________，“非p”形式的命题是_________________________________________________．答案：6是12或24的约数6是12的约数且是24的约数6不是12的约数3．“末位数字是1或3的整数不能被8整除”的否定形式是____________________，否命题是________________________________________________________________________．解析：命题的否定仅否定结论，所以该命题的否定形式是：末位数字是1或3的整数能被8整除；而否命题要同时否定原命题的条件和结论，所以否命题是：末位数字不是1且不是3的整数能被8整除答案：末位数字是1或3的整数能被8整除末位数字不是1且不是3的整数能被8整除4．若p是真命题，q是假命题，则下列说法错误的是________．①p∧q是真命题②p∨q是假命题③¬p是真命题④¬q是真命题解析：p是真命题，则¬p是假命题．q是假命题，则¬q是真命题．故p∧q是假命题，p∨q是真命题．答案：①②③5．已知命题p：若a>1，则ax>logax恒成立；命题q：在等差数列{an}中，m＋n＝p＋q是am＋an＝ap＋aq成立的充分不必要条件(m，n，p，q∈N*)，则下面为真命题的是________．①(¬p)∧(¬q)；②(¬p)∨(¬q)；③p∨(¬q)；④p∧q.解析：当a＝1.1，x＝2时，ax＝1.12＝1.21，logax＝log1.12>log1.11.21＝2，此时，ax<logax，故p为假命题．命题q，由等差数列的性质，当m＋n＝p＋q时，an＋am＝ap＋aq成立，当公差d＝0时，由am＋an＝ap＋aq不能推出m＋n＝p＋q成立，故q是真命题．故¬p是真命题，¬q是假命题，所以p∧q为假命题，p∨(¬q)为假命题，(¬p)∧(¬q)为假命题，(¬p)∨((¬q)为真命题．答案：②6．分别指出下列命题的形式及构成它的简单命题：(1)12可以被3或4整除；(2)3是12和15的公约数．解：(1)这个命题是“p或q”的形式，其中p：12可以被3整除；q：12可以被4整除．(2)这个命题是“p且q”的形式，其中p：3是12的约数；q：3是15的约数．7．写出下列各命题的否定形式及否命题：(1)面积相等的三角形是全等三角形；(2)若m2＋n2＋a2＋b2＝0，则实数m，n，a，b全为零；(3)若xy＝0，则x＝0或y＝0.解：(1)否定形式：面积相等的三角形不一定是全等三角形；否命题：面积不相等的三角形不是全等三角形．(2)否定形式：若m2＋n2＋a2＋b2＝0，则实数m，n，a，b不全为零；否命题：若m2＋n2＋a2＋b2≠0，则实数m，n，a，b不全为零．(3)否定形式：若xy＝0，则x≠0且y≠0；否命题：若xy≠0，则x≠0且y≠0.8．写出下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”以及“非p”形式的命题，并判断它们的真假．(1)p：eq\r(5)是有理数，q：eq\r(5)是整数；(2)p：不等式x2－2x－3＞0的解集是(－∞，－1)，q：不等式x2－2x－3＞0的解集是(3，＋∞)．解：(1)p或q：eq\r(5)是有理数或eq\r(5)是整数；p且q：eq\r(5)是有理数且eq\r(5)是整数；非p：eq\r(5)不是有理数．因为p假，q假，所以p或q为假，p且q为假，非p为真．(2)p或q：不等式x2－2x－3＞0的解集是(－∞，－1)或不等式x2－2x－3＞0的解集是(3，＋∞)；p且q：不等式x2－2x－3＞0的解集是(－∞，－1)且不等式x2－2x－3＞0的解集是(3，＋∞)；非p：不等式x2－2x－3＞0的解集不是(－∞，－1)．因为p假，q假，所以p或q假，p且q假，非p为真．7．命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0(a>0)，命题q：实数x满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x－1|≤2，,\f(x＋3,x－2)≥0.))(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；(2)若q⇒¬p，求实数a的取值范围．解：(1)由于a＝1，则x2－4ax＋3a2<0⇔x2－4x＋3<0⇔1<x<3.所以p：1<x<3.解不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x－1|≤2，,\f(x＋3,x－2)≥0))得2<x≤3，所以q：2<x≤3.由于p∧q为真，所以p，q均是真命题，解不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1<x<3，,2<x≤3))得2<x<3，所以实数x的取值范围是(2,3)．(2)¬p：x2－4ax＋3a2≥0，a>0，x2－4ax＋3a2≥0⇔(x－a)(x－3a)≥0⇔x≤a或x≥3a，所以¬p：x≤a或x≥3a，设A＝{x|x≤a或x≥3a}，由(1)知q：2<x≤3，设B＝{x|2<x≤3}．由于q⇒¬p，所以B