全等模型-倍长中线与截长补短模型（学生版）-2024年中考数学常见几何模型

全等模型一倍长中线与截长补短模型

全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容,本专题就全等三角

形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1年中线模型

【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一,在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助

线.所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知

识来解决问题的方法.（注:一般都是原题已经有中线时用,不太会有自己画中线的时候）o

【常见模型及证法】

1、基本型:如图1,在三角形ABC中，AD为BC边上的中线.

证明思路:延长至点E,使得AD=DE.若连结BE,则bBDE=ACOA；若连结EC,则^ABD=

AECD；

⑴(2)

图1图2

图3

2、中点型:如图2,。为AB的中点.

证明思路:若延长EC至点尸，使得。尸=EC,连结人尸,则ABCE工AACF；

若延长。。至点G,使得。G=,连结BG,则△ACO=^BCG.

3、中点+平行线型:如图3,AB〃C。，点E为线段AD的中点.

证明思路:延长CE交AB于点F（或交BA延长线于点F）,则△即AEAF.

血］1（2023・江苏徐州・模拟预测）（1）阅读理解：

如图①，在△4BC中，若4B=8,入。=5,求边上的中线4D的取值范围.

可以用如下方法:将4ACD绕着点。逆时针旋转180°得到^EBD,在AABE中，利用三角形三边的关系

即可判断中线的取值范围是:

（2）问题解决:如图②，在△4BC中，D是BC边上的中点、，DE_LDF于点D,DE交AB于点E,DF交

于点F,连接EF,求证：BE+CF>EF；

（3）问题拓展:如图③，在四边形ABCD中，/B+/D=180°,CB=CD,/BCD=100°,以。为顶点作一

个50°的角，角的两边分别交AB、4。于E、F两点,连接EF,探索线段BE,DF,EF之间的数量关系，并

说明理由.

血］2（2023・贵州毕节•二模）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

（1）如图1,△ABC中，若5,47=3,求边上的中线入。的取值范围.小明在组内经过合作交

流，得到了如下的解决方法:延长4。到点E,使DE=人。,请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程.

（2）如图2,40是△ABC的中线，BE交AC干E,交AD于F,且=请判昕AC与BF的数量关

系,并说明理由.

图2

血13（2022•山东・安丘市一模）阅读材料:如图1,在△AB。中，分别是边AB,的中点，小亮在证明

“三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F,使=连接CF,

证明ZVIDE空△CEE，再证四边形DBCF是平行四边形即得证.

图1图2图3

类比迁移：⑴如图2,AD是△48。的中线，E是AC上的一点，BE交AD于点F,且=求证：

AC=BF.

小亮发现可以类比材料中的思路进行证明.

证明：如图2,延长AD至点使=F。，连接……

请根据小亮的思路完成证明过程.

方法运用：（2）如图3,在等边中，D是射线上一动点（点。在点。的右侧），连接AD.把线段

CD绕点。逆时针旋转120°得到线段DE,F是线段BE的中点，连接OF、CF.请你判断线段DF与AD

的数量关系,并给出证明.

刷4（2022.河南商丘.一模）阅读材料

如图1,在△ABC中，。，E分别是边AB,的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等

于第三边的一半”时，通过延长DE到点F,使EF=,连接CF,证明AADE空△CFE，再证四边形

DBCF是平行四边形即得证.

⑴类比迁移:如图2,AO是△ABC的中线，BE交AC于点E,交AD于点F,且=求证：人。=

BF.

小明发现可以类比材料中的思路进行证明.

证明:如图2,延长AD至点加，使MD=FD,连接MC,……请根据小明的思路完成证明过程.

（2）方法运用：如图3,在等边△ABC中，。是射线BC上一动点（点。在点。的右侧），连接AD把线段

CD绕点。逆时针旋转120°得到线段OE.F是线段BE的中点，连接DF,CF.请你判断线段OF与

AD的数量关系,并给出证明；

模型2.蠹长补短模型

【模型解读】

截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可

以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）。

栽长:指在长线段中截取一段等于已知线段;补短:指将短线段延长，延长部分等于已知线段。

【常见模型及证法】

（1）藏长:在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。

1.如图，求证BE+OC=AD

方法:①在人。上取一点F,使得=证。F=。。；②在人。上取一点F,使_DF=DC,证=

（2）补短:将短线段延长，证与长线段相等

血］5如图，求证BE+OC=4D

方法：①延长DC至点河处，使CM=BE,证DM=AD；②延长DC至点河处，使DM=AD,证CM=

BE

例1.（2023・重庆・九年级专题练习）如图，已知/PAB的平分线与/CR4的平分线相交于E,

CE的连线交AP于。.求证：4D+BG=AB.•••

C

E

D

的6（2023・广东肇庆・校考一模）课堂上，老师提出了这样一个问题:

图1图2

图3图4

如图1,在△ABC中，AO平分ABAC交BC于点。，且AB+BD=AC,求证：/ABC=2ZACB，小明的

方法是:如图2,在AC上截取AB,使AB=AB,连接DE,构造全等三角形来证明.

（1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角

形进行证明.辅助线的画法是:延长至F,使BF=，连接DF请补全小天提出的辅助线的画

法,并在图1中画出相应的辅助线；

（2）小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展,给同学们提出了如下的问题：

如图3,点。在△43。的内部，AD,BD,CD分别平分/BAC,AABC,AACB,^.AB+BD^AC.求

证：2/力CB.请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）；

（3）小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：

如果在△48。中,/ABC=2AACB，点。在边8。上，AB+BD=AC,那么40平分ABAC小东判断

这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的.请你利用图4对这个命题进行证明.

的7（2023・广西•九年级专题练习）在四边形ABDE中，。是边的中点.

（1）如图（1）,若AC平分/BAE,乙4CE=90°,则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为；

（直接写出答案）；⑵如图⑵，AC平分NBAE,EC平分2AED,若NACE=120°,则线段AB、BD、

DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明.•W

■E

•E

的8（2023.r东•九年级期末）（1）阅读理解：问题:如图L在四边形ABCD中，对角线BD平分ZABC,ZA+

Z（7=180°.求证：D4=DC.

思考:“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题.

方法1：在BC上截取BM=BA,连接DM,得到全等三角形,进而解决问题；

方法2：延长及4到点N,使得BN=BC,连接DN,得到全等三角形,进而解决问题.

结合图1,在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明.

（2）问题解决:如图2,在（1）的条件下，连接AC,当/DAC=60°时，探究线段AB,BC,BD之间的数量

关系,并说明理由；（3）问题拓展:如图3,在四边形ABCD中，乙4+/C=180°,D4=OC,过点。作DE

，3。,垂足为点后,请直接写出线段48、您、3。之间的数量关系.

D

图2

课后专项训练：

鹘目工（2023秋・福建福州•九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=4,力。=2,点。为BC的中点,

则AD的长可能是（）

题目叵（2022•浙江湖州•二模）如图，在四边形ABCD中，AB〃CD,AB，BD,AB=5,BD=4,CD=3,

点E是47的中点，则BE的长为（）.

•••

D

A.2B.1-C.V5D.3

【题目区（2022•广东湛江•校考二模）已知:如图，中，E在B。上，。在A4上，过E作EF，AB于F,

/B=/l+/2,AE=CD,BF=a，则人。的长为

O

题目④（2023秋・江西九江•八年级校考期末）如图，在△ABC中，点。是BC的中点，若AB=5,力。=13,

40=6,则5。的长为.

（2023秋・湖北武汉•八年级校考阶段练习）（1）阅读理解:如图1,在△ABO中，若=3,人。=5.

求BC边上的中线AD的取值范围，小聪同学是这样思考的:延长AO至况使DE=AD,连接BE.利用全

等将边AC转化到BE,在4BAE中利用三角形三边关系即可求出中线AD的取值范围，在这个过程中小

聪同学证二角形全等用到的判定方法是,中线AO的取值范围是；

（2）问题解决:如图2,在4ABC中，点。是BC的中点，DM±DN.DM交AB于点DN交AC于点

N.求证：BM+CW>AW；

（3）问题拓展:如图3,在4ABC中，点。是BC的中点,分别以AB,AC为直角边向4ABC外作Rt/XABM

和Rt△4CN,其中^BAM=ZNAC=90°,AB=AM,AC=AN,连接上W,请你探索人。与上W的数量

与位置关系.

题目［〕（2023•黑龙江大庆•统考三模）如图，四边形ABDE中，乙4BD=/BDE=90°,。为边BO上一点■，连

接AC,EC,M为AE的中点,延长BM交DE的延长线于点F,力。交于点G,连接DM交CE于点

H.

（1）求证儿ZB=MD；（2）若AB=BC,=_DE,求证：四边形为矩形.

题目可（2023•广东云浮・八年级统考期中）（1）阅读理解:如图①，在△ABC中，若AB=8,AC=5,求BC边

上的中线AD的取值范围.可以用如下方法:将4ACD绕着点D逆时针旋转180°得到4EBD,在/XABE

中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是;

（2）问题解决:如图②，在△ABC中，。是边上的中点，DELDF于点交AB于点交AC

于点F,连接EF,求证：BE+CF>EF；

（3）问题拓展:如图③，在四边形ABCD中，乙8+/。=180°,CB=CD,/BCD=100°,以。为顶点作一

个50°的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点,连接EF,探索线段BE,DF,EF之间的数量关系，并

说明理由.

题目⑥（2023•江苏•九年级假期作业）（1）如图1,AD是AABC的中线，延长4D至点E,使即=4D,连接

CE.

①证明AABD空△ECO；②若AB=5,AC=3,设AD=2,可得rc的取值范围是；

（2）如图2,在△ABC中，。是反7边上的中点，DELOF,OE交AB于点交于点歹，连接EF,

求证：BE+CF>EF.

题目可（2022秋.北京昌平.九年级校联考期中）如图，。为四边形48co内一点，E为AB的中点，04=

OD,OB=OC,AAOB+NCOD=180°.（1）若ZBOE=/BAO,AB=2四，求OB的长;

（2）用等式表示线段OE和CD之间的关系，并证明.

【探究证明】（1）如图1,AABC和△DCE均为等边三角形，连接AE交BD延长线于点F,求证：ZAFB=

60°；

【拓展延伸】⑵如图2,在正三角形纸片4ABC的BC边上取一点。，作ZADE=60°交AACB外角平分

线于点E,探究CE,。。和AC的数量关系，并证明；

【思维提升】（3）如图3,△ABC和4DCE均为正三角形，当B,三点共线时,连接PC,若BC=3CE,

直接写出下列两式分别是否为定值，并任选其中一个进行证明:①"二产;②鲁+^.

-TCJDU—/十Jrh/

题目①（2023秋•河南驻马店•八年级统考期末）（1）阅读理解：

问题:如图1,在四边形ABCD中,对角线平分AABC,ZA+180°.求证:DA=DC.

思考:“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题.

方法1：在8。上截取BM=BA,连接DM,得到全等三角形,进而解决问题；

方法2:延长BA到点N,使得BN=,连接DN,得到全等三角形,进而解决问题.

结合图1,在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明.

（2）问题解决:如图2,在（1）的条件下,连接AC,当ADAC=60°时，探究线段AB,BC,之间的数量关

系,并说明理由；

（3）问题拓展:如图3,在四边形4BCD中，/A+/C=180°,D4=。。,过点。作。垂足为点E,

请写出线段之间的数量关系并说明理由.

题目叵（2023•浙江衢州•校考一模）如图1,在△ABC中，AB=AC,AC平分/BCD,连接BD•,/A•BD=•

2ZCBD,ZBDC=NABD+ZACD.

⑴求乙4的度数；

（2）如图2,连接AD,AE±40交于E,连接DE,求证：2DEC=NBAE；

（3）如图3,在（2）的条件下，点G为。E的中点,连接AG交BD于点F,若S金32，求线段AF的长.

题目H（2023春・广东•九年级专题练习）课堂上，老师提出了这样一个问题：

如图1,在△4BC中，40平分ABAC交BC于点。，且AB+BD=AC,求证：/ABC=2AACB，小明的

方法是:如图2,在AC上截取4E,使AE=AB,连接DE,构造全等三角形来证明.

（1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形

进行证明.辅助线的画法是:延长至F,使，连接OF请补全小天提出的辅助线的画法，并

在图1中画出相应的辅助线；

（2）小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：

如图3,点。在△AB。的内部，CD分别平分/BA。，/ABC,ZACB,S.AB+BD^AC.求

证：.请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）；

（3）小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换,得到的命题如下：

如果在△ABC中，NABC=2AACB,点D在边6。上，AB+BD=AC,那么AD平分ABAC小东判断这

个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的.请你利用图4对这个命题进行证明.

图

图12

图3图4

［题目亘］（2023春・广东深圳•九年级校考期中）如图，A4BC为等边三角形，直线Z过点。，在Z上位于。点右

侧的点。满足NBDC=60°o（1）如图1,在］上位于。点左侧取一点E,使2AEC=60°,求证：△4EC空

△CDB；

（2）如图2,点F、G在直线，上，连AF,在Z上方作ZAFH=120°，且AF=HF,AHGF=120°,求证：HG+

BD=CF；⑶在⑵的条件下，当月、B位于直线/两侧，其余条件不变时（如图3）,线段HG、CF、BD的数

量关系为.

图3

题目,（2022・河南•模拟预测）⑴如图①，在四边形ABCD中，=/BAD=120°,NB=NADC=

90°,E、F分别是BC、CD上的点，且NEAF=60°，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系.某同学

做了如下探究，延长FD到点G,使。G=BE,连接AG,先证明△ABE空/\ADG，再证明AAEFW/XAGF,

可得出结论，他的结论应该是.（2）如图②，若在四边形ABCD中，=ZB+Zn=180°.

E、F分别是BC、CD上的点，且上述结论是否依然成立？若成立，请说明理由;若不

成立，写出正确的结论,并说明理由.（3）如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（。处）北偏西30°

的人处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇

甲向正东方向以60海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/时的速度前进1.5小时后,

指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处,且两舰艇之间的夹角为70°,试求此时两舰艇之间的距离.

10

G

图①

［题目国］（2022•河南•九年级期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题:如图1,在△ABC中，若

AB=5,AC=3,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方

法:延长AD到E,使得DE=AD,再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得至ijAEBD）,把

AB.AC,2AD集中在AABE中，利用三角形的三边关系可得2VAE<8,则1V4D<4.

【感悟】解题时，条件中若出现中点、中线字样,可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形,把分散

的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.

【解决问题】受到⑴的启发，请你证明下列命题:如图2,在△ABC中，D是BC边上的中点，DE±

DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF.⑴求证：BE+CF>EF,

⑵若41=90°,探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明.、

E

图1图2

题目兀（2022•山东东营・中考真题）已知点。是线段的中点，点P是直线Z上的任意一点，分别过点A

和点B作直线，的垂线,垂足分别为点。和点O.我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”.

⑴［猜想验证］如图1,当点P与点。重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”。。和的数量关系

是.⑵［探究证明］如图2,当点P是线段上的任意一点时，“足中距”0。和。。的数量关系

是否依然成立，若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.

（3）［拓展延伸］如图3,当点P是线段34延长线上的任意一点时，“足中距”。。和的数量关系是否依

然成立，若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由；

D,DD

O

-B

(P)

图1图2图3

：题目逗（2022.北京・中考真题）在△48。中,AACB=90°,。为A4BC内一点,连接BD,DC,延长DC到

点E,使得CE=DC.⑴如图1,延长BC到点F,使得CF=BC,连接若求证：

AF-,

（2）连接A