2024届北京延庆县联考数学八年级下册期末联考试题含解析

2024届北京延庆县联考数学八下期末联考试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.甲、乙、丙、丁四位选手各射击10次，每人的平均成绩都是9.3环，方差如下表所示:

选手甲乙丙丁

方差0.0350.0360.0280.015

则这四人中成绩最稳定的是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

2.如果平行四边形ABC。两条对角线的长度分别为AC=8cm,BD=12cm,那么BC边的长度可能是（）

A.BC=2cmB.BC=6cmC.BC=10cmD.BC—20cm

3.下列函数中，表示y是x的正比例函数的是（）.

2019

A.y=------B.y=3xC.y=-0.lx+1D.y2+1=4x

x

4.如图，在RtADE厂中，ZEFZ>=90°,ZDEF=30°,EF=3cm,边长为2c机的等边△ABC的顶点C与点E重

合，另一个顶点5（在点C的左侧）在射线尸E上.将△ABC沿E歹方向进行平移，直到A、D、尸在同一条直线上时

停止，设△ABC在平移过程中与aOE户的重叠面积为”桃2,CE的长为戏机，则下列图象中，能表示y与x的函数关

系的图象大致是（）

5.在一次数学测试中，将某班51名学生的成绩分为5组，第一组到第四组的频率之和为L8,则第5组的频数是（）

A.11B.9C.8D.7

6.某商品的进价为每件40元,当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，为抢占市场份额，且经

市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件.现在要使利润为6120元，每件商品应降价（）元.

A.3B.5C.2D.2.5

7.如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O,点E是AB边的中点，图中已有三角形与△ADE面积相等的

三角形（不包括AADE）共有（）个.

C.5D.6

8.匀速地向如图的容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面的高度h随时间t的变化而变化，变化规律为

9.如图，将一条宽为1的矩形纸条沿AC折叠，若/ABC=30,则BC的长是（）

.A

A.3B.2C.5D.1

10.下列式子：①y=3x—5；②V=x；③丁=可；=.其中丁是X的函数的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

11.如图，A6c中，。是BC边的中点，AE平分ZBAC5ELAE于瓦已知他=10,4。=18,则。石的长为

（）

A

A.4B.5

C.6D.7

12.下列各组数据中，不能作为直角三角形边长的是（）

A.9,12,15B.5,12,13C.3,5,7D.1,2,小

二、填空题（每题4分，共24分）

13.24-66+般的结果是.

14.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，将边AD绕点D逆时针旋转60。得到DE,线段DE交边BC于点F,连

接BE.若NC+NE=150。，BE=2,CD=2y/3,则线段BC的长为

D

15.已知y=J丁斤—J匚1，则犬+y的值为.

16.化简机的结果为

Vm

x

17.不等式一+8>1-x的负整数解有.

4

18.已知a+b=3,ab=10,贝!12a?人+2仍2=。

三、解答题（共78分）

19.（8分）如图1,AABC的NAN5NC所对边分别是”,b,c,S.a<b<c,若满足。2+C2=2/,则称AABC为

奇异三角形，例如等边三角形就是奇异三角形.

（1）若。=2/=JIU,c=4,判断AABC是否为奇异三角形，并说明理由；

（2）若NC=90°，c=3,求b的长；

（3）如图2,在奇异三角形AABC中，6=2,点。是AC边上的中点，连结6。，将AABC分割成2个三角形,

其中A4DB是奇异三角形，ABCD是以CD为底的等腰三角形，求c的长.

20.（8分）如图，平行四边形4BCD的对角线相交于点0,E,F分别是。4OC的中点.求证

21.（8分）（1）如图1,在矩形4BC。中，对角线4c与相交于点。，过点。作直线?尸,？。，且交入。于点马交于

点尸，连接BE。，且BE平分”叫

①求证：四边形BFDE是菱形；

②直接写出NEBF的度数；

(2)把(1)中菱形BFDE进行分离研究，如图2,G,/分别在边上，且BG=BI,连接G",H为G。的中点，连接FH,

并延长FH交ED于点/,连接〃，/“，〃，历.试探究线段/“与FH之间满足的关系，并说明理由；

(3)把(1)中矩形4BC0进行特殊化探究，如图3,矩形48co满足时，点石是对角线人。上一点，连接。马

作EF_LDE,垂足为点E,交48于点F,连接n匕交4c于点G.请直接写出线段4G,GE,EC三者之间满足的数量关系.

22.(10分)图1,抛物线与x轴交于A(-1,0),B(3,0),顶点为0(1,-4),点尸为y轴上一动点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)在y轴的负半轴上是否存在点P,使AMP是等腰三角形？若存在，求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)如图2,点M(",m)在抛物线上，求MP+¥PC的最小值.

23.(10分)已知一次函数的图象经过A(l,-2),3(3,2)两点.

(1)求这个一次函数的解析式；

(2)试判断点P(-L-5)是否在这个一次函数的图象上；

(3)求此函数图象与X轴，y轴围成的三角形的面积.

24.(10分)先阅读下面的村料，再分解因式.

要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成组，并提出“，把它的后两项分成组，并提出从

从而得

am+an+bm+加=a(m+〃)+Z?(m+〃).

这时，由于++中又有公困式(m+八)，于是可提公因式(m+八)，从而得到(加+功(。+5),因此

有

am+an+bm+bn

=(am+ari)+{bm+

=(m+〃)(a+Z?).

这种因式分解的方法叫做分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，

那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解.

请用上面材料中提供的方法因式分解：

(y)ab-ac+bc-b2

=a0-c)-c)(请你完成分解因式下面的过程)

⑵—mn+mx—nx；

(3)x2y2-2x2y-4y+8.

25.(12分)已知一次函数的图象与y=3x的图象平行，且经过点(-1,1),求这个一次函数的关系式，并

求当x=5时，对应函数y的值.

26.图①，图②都是由一个正方形和一个等腰直角三角形组成的图形.

②

(1)用实线把图①分割成六个全等图形;

(2)用实线把图②分割成四个全等图形.

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1,D

【解题分析】

■:0.036>0.035>0.028>0,015,

丁最稳定，故选D.

2、B

【解题分析】

根据平行四边形的对角线互相平分确定对角线的一半的长，然后利用三角形的三边关系确定边长的取值范围，从该范

围内找到一个合适的长度即可.

【题目详解】

设平行四边形ABCD的对角线交于O点，

/.OA=OC=4,OB=OD=6,

.*.6-4<BC<6+4,

.\2<BC<10,

6cm符合，

故选:B.

【题目点拨】

考查了三角形的三边关系及平行四边形的性质，解题的关键是确定对角线的一半并根据三边关系确定边长的取值范围,

难度不大.

3、B

【解题分析】

根据正比例函数的定义来判断：一般地，两个变量x,y之间的关系式可以表示成形如丫=入(k为常数，且呼0)的函

数，那么y就叫做x的正比例函数.

【题目详解】

A、该函数不符合正比例函数的形式，故本选项错误.

B、该函数是y关于x的正比例函数，故本选项正确.

C、该函数是y关于x的一次函数，故本选项错误.

D、该函数是y2关于x的函数，故本选项错误.

故选B.

【题目点拨】

主要考查正比例函数的定义：一般地，两个变量x,y之间的关系式可以表示成形如丫=1«（k为常数，且写0）的函数,

那么y就叫做x的正比例函数.

4、A

【解题分析】

分0042、2Vx<3、3<xW4三种情况，分别求出函数表达式即可求解.

【题目详解】

解：①当0Wx42时，如图1,

图1

设AC交EZ>于点H,则EC=x,

VZACB=60°,NOE歹=30°,

.\ZEHC=90°,

y=S^EHc=—XEHXHC=-xECsinZACBXECXcosZACB=^CE2=—x2,

2288

该函数为开口向上的抛物线，当x=2时，y=@；

2

②当2<xW3时，如图2,

设AC交Z>E于点H,交OE于点G,

同理△AHG为以/AHG为直角的直角三角形,

EC=x,EB=x-2=BG,贝!|AG=2-8G=2-(x-2)=4-x,

边长为2的等边三角形的面积为：gx2义百=百；

同理S.HG=@(4-x)2,

8

y=S四边形BCHG=S^ABC-SAAHG=-(x4)2,

8

函数为开口向下的抛物线，当x=3时，y=正,

8

③当3<xW4时，如图3,

图3

同理可得：y=6-声(4-x)2+昱(x-3)2]=一述*2+46r@8,

8282

函数为开口向下的抛物线，当x=4时，

2

故选：A.

【题目点拨】

本题考查的是动点问题的函数图象，此类题目通常需要分不同时间段确定函数的表达式，进而求解.

5>A

【解题分析】

频率总和为1,由此求出第五组的频率，然后由频率是频数与总数之比，求出频数即可.

【题目详解】

解：第五组的频率为1-0.8=0.2,所以第五组的频数为50x0.2=10.

故答案为：A

【题目点拨】

本题考查了频率频数，掌握频率频数的定义是解题的关键.

6、A

【解题分析】

此题是一元二次方程的实际问题.设售价为x元，则每件的利润为(x-40)元，由每降价1元，可多卖20件得：降价

(60-x)元可增加销量20(60-x)件，即降价后的销售量为［300+20(60-x)］件；根据销售利润=销售量X每件的利润，

可列方程求解.需要注意的是在实际问题中，要注意分析方程的根是否符合实际问题，对于不合题意的根要舍去.

【题目详解】

设售价为x元时，每星期盈利为6120元，

由题意得(x-40)［300+20(60-x)>6120,

解得：Xi=57,X2=58,

由已知，要多占市场份额，故销售量要尽量大，即售价要低，故舍去出=58,

所以，必须降价：60-57=3(元).

故选：A

【题目点拨】

本题考核知识点：一元二次方程的实际问题.解题关键点：理解题意，根据数量关系列出方程.

7、C

【解题分析】

试题分析：首先利用平行四边形的性质证明△ADBgZ\CBD,从而得到ACDB,与△ADB面积相等，再根据DO=BO,

AO=CO,利用三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分可得ADOC、ACOB,△AOB、AADO面积相等，都

是△ABD的一半，根据E是AB边的中点可得△ADE、△DEB面积相等，也都是△ABD的一半，从而得到

SADOC=SACOB=SADOA=SAAOB=SAADE=SADEB=—SAADB.不包括△ADE共有5个三角形与△ADE面积相等，

2

故选C.

考点：平行四边形的性质

8、C

【解题分析】

根据注水的容器可知最底层h上升较慢，中间层加快，最上一层更快，即可判断.

【题目详解】

•.•匀速地向如图的容器内注水，

由注水的容器可知最底层底面积大，h上升较慢，中间层底面积较小，高度h上升加快，最上一层底面积最小，h上升

速度最快，故选C.

【题目点拨】

此题主要考查函数图像的识别，解题的关键是根据题意找到对应的函数图像.

9、B

【解题分析】

如图，作AHLBC于H,贝!JAH=L利用含30度的直角三角形三边的关系得到AB=1AH=1,再根据折叠的性质得

ZMAC=ZBAC,根据平行线的性质得NMAC=NACB,所以NBAC=NACB,从而得至UBC=BA=1.

【题目详解】

解：如图，作AHLBC于H,贝

在RtAABH中，VZABC=30°,

.,.AB=1AH=1,

•••矩形纸条沿AC折叠,

二ZMAC=ZBAC,

VAM//CN,

/.ZMAC=ZACB,

.\ZBAC=ZACB,

.,.BC=BA=1,

故选B.

【题目点拨】

本题考查了折叠的性质、含30度角的直角三角形的性质、矩形的性质等，熟练掌握折叠前后图形的形状和大小不变以

及其他相关的性质是解题的关键.

10、C

【解题分析】

根据以下特征进行判断即可：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自

变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应.

【题目详解】

解：①y=3x-5,y是x的函数；

②y2=x,当x取一个值时，有两个y值与之对应，故y不是x的函数；

③y=|x|,y是x的函数.

@y=y)x-1,y是x的函数.

以上y是x的函数的个数是3个.

故选：c.

【题目点拨】

本题主要考查的是函数的概念，掌握函数的定义是解题的关键.

11、A

【解题分析】

延长BE交AC于F,由三线合一定理，得到4ABF是等腰三角形，则AF=AB=10,BE=EF,根据三角形中位线定理

计算即可.

【题目详解】

解：延长蛇交AC于R点.

AELBE,AE平分ZR4C,

A斯为等腰三角形.

.•.43=4尸=10出为5歹的中点

AC=18

.•.CF=AC-AF=18-10=8

又Q。为的中点

.♦.DE为_3CF的中位线，

:.DE=-CF=4.

2

故选:A.

【题目点拨】

本题考查的是三角形中位线定理、三线合一定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题

的关键.

12、C

【解题分析】

根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形.因此，只需要判断两个较小的数

的平方和是否等于最大数的平方即可判断.

【题目详解】

解：A、92+122=152,根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，故选项错误；

B、52+122=132,根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，故选项错误；

c、32+52=72,根据勾股定理的逆定理可知不是直角三角形，故选项正确；

D、「+（口）2=22,根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，故选项错误.

故选C.

【题目点拨】

本题主要考查了勾股定理的逆定理，已知三条线段的长，判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是：计算两

个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断.

二、填空题（每题4分，共24分）

13,3V2-2V3

【解题分析】

先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可.

【题目详解】

原式=也-26+2也

=3\p2,-2y/3•

故答案为：3夜-2班.

【题目点拨】

本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的

二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键.

14、277

【解题分析】

过C作CMLDE于M,过E作ENLBC于N,根据平行四边形的性质得到BC〃AD,根据平行线的性质得到

ZBFE=ZDFC=ZADE,根据旋转的性质得到NBFE=/DFC=NADE=60。，推出NDCM=NEBN,根据相似三角形的

性质得到CM=J§"BN,DM=73EN,得至！JFM=BN,设FM=BN=X,EN=y,则DM=J§"y,CM=J§"x,根据勾股定

理即可得到结论.

【题目详解】

解：过C作CM1,DE于M,过E作EN_LBC于N,

,/四边形ABCD是平行四边形，

；.BC〃AD,

，ZBFE=ZDFC=ZADE,

•.•将边AD绕点D逆时针旋转60。得到DE,

ZBFE=ZDFC=ZADE=60°,

二NFCM=NFBN=30。，

,."ZDCF+ZBEF=150°,

ZDCM+ZBEN=90°,

,.,ZBEN+ZEBN=90°,

...NDCM=NEBN,

.,.△DCM-^AEBN,

.CMDMCD2百”

BNENBE2

.,.CM=>/3BN,DM=73EN,

在RtACMF中，CM=73FM,

；.FM=BN,

设FM=BN=x,EN=y,则DM=&y,CM=73x,

2J3

；.CF=2x,EF=—^y,

3

；BC=AD=DE,

^3y+x+冥^y=2x+—y+x,

33

•••x2+y2=4,

:.BC=2币,

故答案为：24.

【点评】

本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键.

15、1.

【解题分析】

只有非负数才有平方根，可知两个被开方数都是非负数，即可求得x的值，进而得到y,从而求解.

【题目详解】

X-1..0

解：由题意得，C

解得：x=L

把x=l代入已知等式得：y=0,

所以，x+y=l.

【题目点拨】

函数自变量的范围一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数.

16、sj-m

【解题分析】

根据二次根式的性质即可化简.

【题目详解】

依题意可知m<0,

【题目点拨】

此题主要考查二次根式的化简，解题的关键是熟知二次根式的性质.

17、一5、一4、一3、-2、-1

【解题分析】

求出不等式的解集，取解集范围内的负整数即可.

【题目详解】

X

解：移项得：-+^>1-8

4

合并同类项得：->-7

4

系数化为1得：X>-y

即%>-5.6

所以原不等式的负整数解为：-5、-4、-3、-2、-1

故答案为：-5、-4、-3、-2、-1

【题目点拨】

本题主要考查了求不等式的整数解，确定不等式的解集是解题的关键.

18、60

【解题分析】

+2ab2=2ab(a+b),将a+b=3,ab=10,整体带入即可.

【题目详解】

2a2b+2ab2=2ab(a+ft)=2X3X10=60.

【题目点拨】

本题主要考查利用提公因式法分解因式，整体带入是解决本题的关键.

三、解答题(共78分)

19>(1)是，理由见解析；(2)b=娓;(3)c--\/5

【解题分析】

(1)根据奇异三角形的概念直接进行判断即可.

(2)根据勾股定理以及奇异三角形的概念直接列式进行计算即可.

(3)根据是奇异三角形，且》=2,得到=2尸=8，由题知：AD=CD=1,且BC=M=a,根据“Z出是奇

异三角形，则12+°2=24或4+°2=2><12=2,分别求解即可.

【题目详解】

(1)a=2,b—V10，c=4

.\a2+c2=22+42=20,"=(而『=10

a1+C1=2b2

即AA3C是奇异三角形.

(2)VZC=90°,c=3

«2+Z?2=c2=9

a2+c2=2b2

二储+9=2步

2b2-9=a2,

•*.2b--9=9-b2

解得：b=^6.

(3)•.'△ABC是奇异三角形，且b=2

(72+c2=2b2—8

由题知：AD=CD=1,BC=BD=a

•.•△AO5是奇异三角形，且c>。，c>l

二V+°?=或4+°2=2*i?=2

当「+°2=2/时，c=，

当M+,2=2时，与42+02=2〃=8矛盾，不合题意.

【题目点拨】

考查勾股定理以及奇异三角形的定义，读懂题目中奇异三角形的定义是解题的关键.

20、见解析

【解题分析】

由平行四边形的性质得出OA=OC,AD=BC,AD〃BC,得NDAE=NBCF,由E,F分别是OA,OC的中点得AE=CF,

由SAS证明AAD哈即可；

【题目详解】

证明：•••四边形4BC0是平行四边形

:.AD=BC,AD//BC,OA=OC

二ZDAE=ZBCF

又F分别是040C的中点

.\AE=CF

在AADE和ACBF中AD=CD

/.DAE=乙BCF

,AE=CF

：./\ADE^/\CBF(SAS).

【题目点拨】

本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键.

21、(1)①见解析;②60°;(1)见解析；(3)见解析.

【解题分析】

(1)①由△DOEgABOF,推出EO=OF,由OB=OD,推出四边形EBFD是平行四边形，再证明EB=ED即可；②

先证明NABD=1NADB,推出NADB=30。，即可解决问题；

(1)延长BE到M,使得EM=EJ,连接MJ,由菱形性质，NB=60\得EB=BF=ED,DE〃BF,由此0DH=NFGH,由

ASA可证得ADHJ三AGHF,由此DJ=FGJH=HF,故

BE=1M=BF,由NMEJ=/B=60。，可证得AMEJ是等边三角形，可得MJ=EM=BI,zM=ZB=60°,由SAS可证

ABIF=AMJI,可得NJIF=6O。，即AJ1F是等边三角形，

在RtAIHF中，由ZIHF=9O°,NlFH=60。，可得NFIH=30。，由此可得皿=小并出

(3)结论：EG^AG^CE1.如图3中，将AADG绕点D逆时针旋转90。得到ADCM,先证明ADEG义aDEM,再证

明AECM是直角三角形即可解决问题.

【题目详解】

(1)①证明：如图1中，

.•.AD〃BC,OB=0D,

."EDO=NFBO,

在ADOE和ABOF中,

乙EDO=乙FBO

OD=OB

、乙EOD=Z.BOF'

•••ADOE=ABO9F

••E•O=O，F

•••OB=，OD

，四边形EBFD是平行四边形，

・.・EF1BD,OB=OD,

•••EB=ED，

...四边形EBFD是菱形.

②•.•四边形BFDE是菱形，

•,Z•.EBD=乙EDB，

•:BE平分ZJ1BO,

•••乙EBD=乙AB，E

•・•乙EBD=乙ABE一ZEDB,

•.•四边形48CD是矩形，

.“A=90°,

:4EBD+乙ABE+乙EDB=900,

0

•••乙EBD=Z.ABE一-Z.EDB一-3O,

NEBF=2乙EBD=60°.

(1)结论：IH=FFH.

理由：如图1中，延长BE到M,使得EM,连接MJ.

•••四边形EBFD是菱形，NB=60。,

.・.EB=BF=ED,DE〃BF,

・"JDH=ZFGH,

在ADHJ和AGHF中，

\^DHG=乙GHF

DH=GH

l/JDH=LFGH9

:.ADHJ^AGHF,

.・.DJ=FGJH=HF,

・・.EJ=BG=EM=BI,

•・•BE=IM=BF，

7ZMEJ=ZB=60°,

.•.△MEJ是等边三角形，

.•.MJ=EM=BI,zM=ZB=60°

在ABIF和AMJI中，

BI=MJ

乙B=zM

\BF=IM'

.•.△BIF公AMJI,

.・J=IF,ZBFI=ZMIJ,

・.・HJ=HF,

.•.IHIJF,

•*•ZBFI+ZBIF=120°，

.•/MIJ+ZBIF=120°,

:.ZJIF=60°,

••.AJIF是等边三角形，

在RtAIHF中,•/ZlHF=90°jZlFH=60°>

•••ZFIH=30°，.

...IH=FFH.

(3)结论：EG2=AG2+CE\

理由：如图3中，将AADG绕点D逆时针旋转90。得到ADCM,

.,.AFED四点共圆,

.,.ZEDF=ZDAE=45°,ZADC=90°,

.•.ZADF+ZEDC=45°,

VZADF=ZCDM,

ZCDM+ZCDE=45°=ZEDG,

在ADEM和ADEG中，

IDE=DE

\Z-EDG=ZLEDM

IDG=DM'

.,.△DEG也△DEM,

.\GE=EM,

VZDCM=ZDAG=ZACD=45°,AG=CM,

/.ZECM=90°,

AEC^CM^EM1,

VEG=EM,AG=CM,

AGE^AG^CE1.

【题目点拨】

本题考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知

识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转化的思想思考问题，属于中考压轴题.

22、（1）y=P-lx-3；（1）点尸坐标为（0,-01）或（0,-严-4）或（0,-1）;（3）土

【解题分析】

（1）由已知抛物线顶点坐标为。，设抛物线的解析式为y="（x-l）i-4,再把点A代入即可求得二次项系数a的值,

由此即可求得抛物线的解析式；（1）由点3、。坐标可求5。的长.设点尸坐标为（0,力，用f表示BP,DPL对

BP=BD,DP=BD、5P=。尸三种情况进行分类讨论计算，解方程求得f的值并讨论是否合理即可；（3）由点8、C

坐标可得N3CO=45°,所以过点P作5c垂线段尸。即构造出等腰直角△PQC,可得尸。=平尸。，故有MP+/PC=

~2T

MP+PQ.过点M作3C的垂线段根据垂线段最短性质，可知当点M、P、。在同一直线上时，MP+^PC=MP+PQ

2

最小，即需求拉8的长.连接M3、构造△3CM,利用y轴分成△BCD与△COM求面积和即得到

面积，再由即求得的长.

2

【题目详解】

解：（1）..•抛物线顶点为。（1,-4）,

二设抛物线的解析式为y=a（x-1）1-4,

VA（-1,0）在抛物线上

.,.4。-4=0,解得：a=l

.•.抛物线的解析式为7=（x-1）1-4=R-1*-3

（1）在y轴的负半轴上存在点P,使AMP是等腰三角形.

'：B（3,0）,D（1,-4）

:.BD】=（3-1）i+（0+4）1=10

设y轴负半轴的点尸坐标为（0,f）（^<0）

。尸i=l1+（f+4）1

BP=BD,贝!）9+P=10

解得：h=a（舍去），/1=-严

②若。尸=3。，则1+（什4）1=10

解得：有=严-4（舍去），人=-严-4

③若BP=OP,贝！|9+©=1+（Z+4）1

解得：t=-1

综上所述，点尸坐标为（0,-01）或（0,-严-4）或（0,-1）

（3）连接MC、MB,M3交y轴于点O,过点尸作尸。,8c于点。，过点M作于点”

,:B(3,0),ZBOC=90°；

：.NOBC=NOCB=45。,BC=3平

,：ZPQC=9Q0

：.RtAPQC中，sinZBCO=pQ=^

PC-2

：.PQ=^PC,

2

：.MP+^PC=MP+PQ;

T

•・・MH_L5C于点H,

，当点M、P、。在同一直线上时，MP+岁。=MP+PQ=M”最小,

,：M(-3,«i)在抛物线上

2

J.m=(-^)1-lx(-^)-3=?

224

AM(-3,9)

24

设直线MB解析式为y=kx+b

I3k+b=0

解得：，

-b=l

...直线MB：j=-lx+3,

22

.•.MB与y轴交点Z>(0,3),

2

：.CD^l-(-3)=N,

22

SABCM=SABCD+SACZ>M=¥CZ>・BO+£CZ)・|XM|=1CZ)・(XB-XM)(3+三)=巴

2222228

•：SABCM=[BC・MH,

2

:.MH=2X"=27F,

_I-ER

3Vz

:.MP+FPC的最小值为27a

T-g-

【题目点拨】

本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，三角形面积的求法等，解决第(1)问时

要注意分类讨论，不要漏解；解决第(3)问时，确定当点“、P、。在同一直线上时，MP+进PC最小是解决问题的关

2

键.

23、(1)y=2x-4；(2)P(-L-5)不在这个一次函数的图象上；(3)函数图象与》轴，V轴围成的三角形的面积=4.

【解题分析】

(1)利用待定系数法求一次函数解析式；

(2)利用一次函数图象上点的坐标特征进行判断；

(3)先利用一次函数解析式分别求出一次函数与坐标轴的两交点坐标，然后利