2024年高中数学复习干货：30条秒杀型公式与方法

2024年高中数学复习干货：30条秒杀型公式与方法

1,适用条件：

［直线过焦点］,必有ecosA=(x-l)/(x+l),其中A为直线与焦点

所在轴夹角，是锐角。x为分离比，必须大于1。注上述公式

适合一切圆锥曲线。如果焦点内分(指的是焦点在所截线段

上)，用该公式;如果外分(焦点在所截线段延长线上)，右边为

(x+1)/(x-l),其他不变。

2,函数的周期性问题(记忆三个)：

(1)若f(x)=-f(x+k),则T=2k;

(2)若f(x)=m/(x+k)(m不为0),贝UT=2k;

(3)若f(x)=f(x+k)+f(x-k),则T=6k。注意点：a.周期函数,

周期必无限b.周期函数未必存在最小周期，如：常数函数。c.

周期函数加周期函数未必是周期函数，如：y=sinxy=sin派x

相加不是周期函数。

3,关于对称问题(无数人搞不懂的问题)总结如下：

(1)若在R上(下同)满足:f(a+x)=f(b-x)恒成立，对称轴为

x=(a+b)/2;

(2)函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于x=(b-a)/2对称;

(3)若f(a+x)+f(a-x)=2b,则f(x)图像关于(a,b)中心对称。

4,函数奇偶性：

(1)对于属于R上的奇函数有f(0)=0;

(2)对于含参函数，奇函数没有偶次方项，偶函数没有奇次

方项；

(3)奇偶性作用不大，一般用于选择填空。

5,数列爆强定律：

(1)等差数列中:S奇=na中,例如S13=13a7(13和7为下角

标)；

(2)等差数列中:S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差

(3)等比数列中，上述2中各项在公比不为负一时成等比，

在q=-l时，未必成立

(4)等比数列爆强公式：S(n+m)=S(m)+q2ms(n)可以迅速求q

6,数列的终极利器，特征根方程：_

对于an+l=pan+q(n+l为下角标，n为下角标)，al已知，那么

特征根x=q/(l-p),则数列通项公式为an=(al-x)p2(n-l)+x,这

是一阶特征根方程的运用。二阶有点麻烦，且不常用。所以不

赘述。希望同学们牢记上述公式。当然这种类型的数列可以构

造(两边同时加数)

7,函数详解补充：

(1)复合函数奇偶性：内偶则偶，内奇同外；

(2)复合函数单调性：同增异减；

(3)重点知识关于三次函数：恐怕没有多少人知道三次函数

曲线其实是中心对称图形。它有一个对称中心，求法为二阶导

后导数为0,根x即为中心横坐标，纵坐标可以用x带入原函

数界定。另外，必有唯一一条过该中心的直线与两旁相切。

8,常用数列bn=nx(22n)求和Sn=(n-l)x(22(n+l))+2记忆方

法：

前面减去一个1,后面加一个，再整体加一个2

9,适用于标准方程(焦点在x轴)爆强公式：

女椭=-{032诙。}/{(a2)yo)女双={(62、0}/{(a2)yo)kite=p/yo

注：(xo,yo)均为直线过圆锥曲线所截段的中点。

10,强烈推荐一个两直线垂直或平行的必杀技：

已知直线LI：alx+bly+cl=0直线L2：a2x+b2y+c2=0若它们

垂直：(充要条件)ala2+blb2=0;若它们平行：(充要条

件)alb2=a2bl且alc2，a2cl［这个条件为了防止两直线重合)

注：以上两公式避免了斜率是否存在的麻烦，直接必杀！

11,经典中的经典:

相信邻项相消大家都知道。下面看隔项相消：对于

Sn=l/(lx3)+l/(2x4)+l/(3x5)+...+l/[n(n+2)]=l/2[l+l/2-

l/(n+l)-l/(n+2)]注：隔项相加保留四项，即首两项，尾两项。

自己把式子写在草稿纸上，那样看起来会很清爽以及整洁！

12,面积公式：

S=l/2|mq-np|其中向量AB=(m,n),向量BC=(p,q)注:这个

公式可以解决已知三角形三点坐标求面积的问题！

13,空间立体几何中，以下命题均错：

(1)空间中不同三点确定一个平面；

(2)垂直同一直线的两直线平行；

(3)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

(4)如果一条直线与平面内无数条直线垂直，则直线垂直平

面；

(5)有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体

是棱柱；

(6)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体都是

棱锥注。

14,一个小知识点：

所有棱长均相等的棱锥可以是三、四、五棱锥。

15,求f(x)=|x-l|+|x-2|+|x-3|+...+|x-n|(n为正整数)的最小

值。

当n为奇数，最小值为(n2-l)/4,在x=(n+l)/2时取到;当n为

偶数时，最小值为n2/4,在x=n/2或n/2+l时取到。

16,椭圆中焦点三角形面积公式：

S=b2tan(A/2)在双曲线中：S=b2/tan(A/2)说明：适用于焦点在x

轴，且标准的圆锥曲线。A为两焦半径夹角。

17,爆强定理：

空间向量三公式解决所有题目：cosA=|{向量a.向量b}/[向量

a的模x向量b的模]|一：A为线线夹角，二：A为线面夹角(但

是公式中cos换成sin)三：A为面面夹角注：以上角范围均为

［0,派/2］。

18,爆强公式：

22222

12+22+32++n2=1/6(n)(n+l)(2n+1);13+23+33+n3=1/4(n)(n

+1)2

19,切线方程记忆方法：

写成对称形式，换一个x,换一个y。举例说明：对于y2=2px

可以写成yxy=px+px再把(xo,yo)带入其中一个得：

yxyo=pxo+px

20,爆强定理：

(a+b+c)2n的展开式［合并之后］的项数为：Cn+22,n+2在下，

2在上

21,爆强简洁公式：

向量a在向量b上的射影是：(向量ax向量b的数量积)/［向

量b的模］。记忆方法：在哪投影除以哪个的模

22,说明一个易错点：

若f(x+a)［a任意］为奇函数，那么得到的结论是f(x+a)=-f(-x+a)

(等式右边不是-f(-x-a)〕，同理如果f(x+a)为偶函数，可得

f(x+a)=f(-x+a)牢记!

23,离心率爆强公式：

e=sinA/(sinM+sinN)注：P为椭圆上一点，其中A为角

F1PF2,两腰角为M,N

24,爆强定理：

直观图的面积是原图的心/4倍。

25,三角形垂心爆强定理：

(1)向量0H=向量0A+向量0B+向量0C(0为三角形外

心，H为垂心)

(2)若三角形的三个顶点都在函数y=l/x的图象上，则它的

垂心也在这个函数图象上。

26,爆强思路：

如果出现两根之积xlx2=m,两根之和xl+x2=n,我们应当形

成一种思路，那就是返回去构造一个二次函数，再利用△大于

等于0,可以得到m、n范围。

27,常用结论：

过(2p,0)的直线交抛物线y2=2px于A、B两点。O为原点，

连接AO.BOo必有角AOB=90度

28,爆强公式：

ln(x+l)Sx(x>-l)该式能有效解决不等式的证明问题。举例说

明：ln(1/(22)+1)+ln(1/(32)+1)+...+ln(1/(n2)+l)<l(n>2)证明如

下：令x=l/(n2),根据ln(x+l)Sx有左右累和右边再放缩得：

左和证毕！

29,几个数学易错点：

(1)r(x)<o是函数在定义域内单调递减的充分不必要条件；

(2)在研究函数奇偶性时，忽略最开始的也是最重要的一

步：考虑定义域是否关于原点对称；

(3)不等式的运用过程中，千万要考虑"=