云南省玉溪市江川县2024年高一数学第二学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析

云南省玉溪市江川县2024年高一数学第二学期期末质量跟踪监视模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知,,三点,则的形状是()A．钝角三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．等腰直角三角形2．已知是等差数列的前项和，.若对恒成立，则正整数构成的集合是（）A． B． C． D．3．已知，实数、满足关系式，若对于任意给定的，当在上变化时，的最小值为，则（）A． B． C． D．4．《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的三棱锥称为鳖臑，若三棱锥为鳖臑，其中平面，，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则该球的体积是（）A． B． C． D．5．将正整数排列如下：123456789101112131415……则图中数出现在()A．第行列 B．第行列 C．第行列 D．第行列6．设、、为平面，为、、直线，则下列判断正确的是（）A．若，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则7．若非零实数满足，则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．8．函数的零点所在的区间为（）A． B． C． D．9．已知，且，，则（）A． B． C． D．10．函数在上的图像大致为（）A． B．C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．关于函数，下列命题：①若存在，有时，成立；②在区间上是单调递增；③函数的图象关于点成中心对称图象；④将函数的图象向左平移个单位后将与的图象重合．其中正确的命题序号__________12．已知，是夹角为的两个单位向量，向量，，若，则实数的值为________.13．如图，在正方体中，点是线段上的动点，则直线与平面所成的最大角的余弦值为________.14．函数且的图象恒过定点A，若点A在直线上（其中m，n＞0），则的最小值等于__________.15．若、为单位向量，且，则向量、的夹角为_______.（用反三角函数值表示）16．函数的定义域为___________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．设数列，满足：，，，，.（1）写出数列的前三项；（2）证明：数列为常数列，并用表示；（3）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式.18．某校从高一(1)班和(2)班的某次数学考试的成绩中各随机抽取了6份数学成绩组成一个样本,如茎叶图所示(试卷满分为100分)(1)试计算这12份成绩的中位数；(2)用各班的样本方差比较两个班的数学学习水平,哪个班更稳定一些?19．已知等差数列的前n项和为，且，．（1）求的通项公式；（2）若，且，，成等比数列，求k的值．20．己知点，直线l与圆C：（x一1)2＋（y一2）2＝4相交于A，B两点，且OA⊥OB．（1）若直线OA的方程为y＝一3x，求直线OB被圆C截得的弦长；（2）若直线l过点（0，2），求l的方程．21．数列中，，（为常数，1，2，3，…），且.（1）求c的值；（2）求证：①；②；（3）比较++…+与的大小，并加以证明.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

计算三角形三边长度，通过边关系进行判断.【详解】由两点之间的距离公式可得：，，，因为，且故该三角形为等腰直角三角形.故选：D.【点睛】本题考查两点之间的距离公式，属基础题.2、A【解析】

先分析出，即得k的值.【详解】因为因为所以.所以,所以正整数构成的集合是.故选A【点睛】本题主要考查等差数列前n项和的最小值的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.3、A【解析】

先计算出，然后利用基本不等式可得出的值.【详解】，由基本不等式得，当且仅当时，由于，即当时，等号成立，因此，，故选：A.【点睛】本题考查极限的计算，考查利用基本不等式求最值，解题的关键就是利用数列的极限计算出带的表达式，并利用基本不等式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.4、A【解析】

根据三棱锥的结构特征和线面位置关系，得到中点为三棱锥的外接球的球心，求得球的半径，利用球的体积公式，即可求解.【详解】由题意，如图所示，因为，且为直角三角形，所以，又因为平面，所以，则平面，得.又由，所以中点为三棱锥的外接球的球心，则外接球的半径.所以该球的体积是.故选A.【点睛】本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）利用球的截面的性质，根据勾股定理列出方程求解球的半径.5、B【解析】

计算每行首个数字的通项公式，再判断出现在第几列，得到答案.【详解】每行的首个数字为：1,2,4,7,11…利用累加法：计算知：数出现在第行列故答案选B【点睛】本题考查了数列的应用，计算首数字的通项公式是解题的关键.6、D【解析】

根据线面、面面有关的定理，对四个选项逐一分析，由此得出正确选项.【详解】A选项不正确，因为根据面面垂直的性质定理，需要加上：在平面内或者平行于，这个条件，才能判定.B选项不正确，因为可能平行于.C选项不正确，因为当时，或者.D选项正确，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，得到，直线，则可得到.综上所述，本小题选D.【点睛】本小题主要考查空间线面、面面位置关系有关命题真假性的判断，属于基础题.7、C【解析】

对每一个不等式逐一分析判断得解.【详解】A,不一定小于0，所以该选项不一定成立；B,如果a＜0，b＜0时，不成立，所以该选项不一定成立；C,，所以，所以该不等式成立；D,不一定小于0，所以该选项不一定成立.故选：C【点睛】本题主要考查不等式性质和比较法比较实数的大小，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8、C【解析】

分别将选项中的区间端点值代回,利用零点存在性定理判断即可【详解】由题函数单调递增,,,则,故选:C【点睛】本题考查利用零点存在性定理判断零点所在区间,属于基础题9、C【解析】

根据同角三角函数的基本关系及两角和差的正弦公式计算可得.【详解】解：因为，．因为，所以．因为，，所以．所以．故选：【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦公式，属于中档题.10、A【解析】

利用函数的奇偶性和函数图像上的特殊点，对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】由于，所以函数为奇函数，图像关于原点对称，排除C选项.由于，所以排除D选项.由于，所以排除B选项.故选：A.【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性、特殊点，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、①③【解析】

根据题意，由于，根据函数周期为,可知①、若存在，有时，成立；正确，对于②、在区间上是单调递减；因此错误，对于③、，函数的图象关于点成中心对称图象，成立．对于④、将函数的图象向左平移个单位后得到，与的图象重合错误，故答案为①③考点：命题的真假点评：主要是考查了三角函数的性质的运用，属于基础题．12、【解析】

由题意得，且，，由=，解得即可.【详解】已知，是夹角为的两个单位向量，所以，得，若解得故答案为【点睛】本题考查了向量数量积的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．13、【解析】

作的中心，可知平面，所以直线与平面所成角为，当在中点时，最大，求出即可。【详解】设正方体的边长为1，连接，由于为正方体，所以为正四面体，棱长为，为等边三角形，作的中心，连接，，由于为正四面体，为的中心，所以平面，所以为直线与平面所成角，则当在中点时，最大，当在中点时，由于为正四面体，棱长为，等边三角形，为的中心，所以，，所以直线与平面所成的最大角的余弦值为故直线与平面所成的最大角的余弦值为故答案为【点睛】本题考查线面所成角，解题的关键是确定当在中点时，最大，考查学生的空间想象能力以及计算能力。14、1【解析】

由题意可得定点，，把要求的式子化为，利用基本不等式求得结果．【详解】解：且令解得，则即函数过定点，又点在直线上，，则，当且仅当时，等号成立，故答案为：1．【点睛】本题考查基本不等式的应用，函数图象过定点问题，把要求的式子化为，是解题的关键，属于基础题．15、.【解析】

设向量、的夹角为，利用平面向量数量积的运算律与定义计算出的值，利用反三角函数可求出的值.【详解】设向量、的夹角为，由平面向量数量积的运算律与定义得，，，因此，向量、的夹角为，故答案为.【点睛】本题考查利用平面向量的数量积计算平面向量所成的夹角，解题的关键就是利用平面向量数量积的定义和运算律，考查运算求解能力，属于中等题.16、【解析】试题分析:由题设可得,解之得,故应填答案.考点：函数定义域的求法及运用．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），，（2）证明见解析,（3）证明见解析,【解析】

（1）利用递推关系式直接求解即可.（2）由整理化简得，从而可证出结论.（3）首先由递推关系式证出，再由对数的运算性质以及等比数列的定义即可证出.利用【详解】（1），，；（2）证明：，∴为常数列4，即，∴；（3），∴是以为首项，2为公比的等比数列，∴.【点睛】本题考查了由数列的递推关系式研究数列的性质、等比数列的定义，属于中档题.18、(1)80；(2)（1）班.【解析】

（1）从茎叶图可直接得到答案；（2）通过方差公式计算出两个半的方差，方差更小的更稳定.【详解】（1）从茎叶图中可以看到，这12份成绩按从小到大排列，第6个是78，第7个是82，所以中位数为.（2）由表中数据，易得（1）班的6份成绩的平均数，（2）班的6份成绩的平均数，所以（1）班的6份成绩的方差为；（2）班的6份成绩的方差为.所以有，说明（1）班成绩波动较小，（2）班两极分化较严重些，所以（1）班成绩更稳定.【点睛】本题主要考查中位数，平均数，方差的相关计算和性质，意在考查学生的计算能力及分析能力，难度不大.19、（1）；（2）4.【解析】

（1）设等差数列的公差为d，根据等差数列的通项公式，列出方程组，即可求解．（2）由（1），求得，再根据，，成等比数列，得到关于的方程，即可求解．【详解】（1）设等差数列的公差为d，由题意可得：，解得．所以数列的通项公式为．（2）由知，因为，，成等比数列，所以，即，解得．【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n项和公式，列出方程准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．20、（1）；（2）.【解析】

（1）根据题意，求得直线OB的方程，利用点到直线的距离公式求得圆心到直线OB的距离，之后应用圆中的特殊三角形，求得弦长；（2）根据题意，可判断直线的斜率是存在的，设出其方程，与圆的方程联立，得到两根和与两根积，根据OA⊥OB，利用向量数量积等于零得到所满足的等量关系式，求得结果.【详解】（1）因为直线OA的方程为，，所以直线OB的方程．从而圆心到直线OB的距离为：所以直线OB被团C截得的弦长为：．（2）依题意，直线l的斜率必存在，不妨设其为k，则l的方程为，又设，．由得，所以，．从而．所以．因为，所以，即，解得．所以l的方程为．【点睛】该题考查的是有关直线与圆的问题，涉及到的知识点有两直线垂直的条件，直线被圆截得的弦长，直线方程的求解，属于简单题目.21、(1)；(2)