人教版高一下学期期末考试数学试卷与答案解析（共五套）

人教A版高一下学期期末考试数学试卷（一）（测试时间：120分钟 满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、若集合，，则（）A． B．C． D．或2、复数的虚部是（）A． B． C． D．3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4、已知向量，满足，，，则（）A． B． C． D．5、埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A． B．C． D．6、已知，则（）A．–2 B．–1 C．1 D．27、如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它由四个全等的直角三角形围成，其中，现将每个直角三角形的较长的直角边分别向外延长一倍，得到如图的数学风车，若在该数学风车内随机取一点，则该点恰好取自“赵爽弦图”外面（图中阴影部分）的概率为（）A． B． C． D．8、已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上.若球的表面积为，则平面的距离为（）A． B． C．1 D．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共16分，在每小题给出的四个选项中，不止有一项是符合题目要求的）9、下列说法正确的是（）A．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率B．连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，可以认为这枚骰子质地不均匀C．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为不降水10、有以下四种说法，其中正确的有（）A．“且”是“”的充要条件B．直线，，平面，若，则“”是“”的充分不必要条件C．“”是“”的必要不充分条件D．设，则“”是“”的既不充分也不必要条件11、已知函数()的部分图象如图所示，则下列选项正确的是（）A．函数的最小正周期为B．为函数的一个对称中心C．D．函数向右平移个单位后所得函数为偶函数12、如图，棱长为的正方体中，点为的中点，则下列说法正确的是（）A．与为异面直线B．与平面所成角的正切值为C．过三点的平面截正方体所得两部分的体积相等D．线段在底面的射影长为三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13、已知不等式的解集为，则不等式的解集为__________________.14、在中，，则____________.15、在四边形中，，，，，点在线段的延长线上，且，则__________.16、设函数,则使成立的的取值范围是____________.四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，考生根据要求作答）17、成年人收缩压的正常范围是（90，140）（单位：），未在此范围的献血志愿者不适合献血，某血站对志愿者的收缩压进行统计，随机抽取男志愿者100名、女志愿者100名，根据统计数据分别得到如下直方图：（1）根据直方图计算这200名志愿者中不适合献血的总人数；（2）估计男志愿者收缩压的中位数；（3）估计女志愿者收缩压的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．18、在中，角所对的边分别为．已知．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．19、如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．证明：（1）当时，；（2）点在平面内．20、已知.(1)求的最小正周期及单调递减区间;(2)求函数在区间上的最大值和最小值.21、在锐角中，角的对边分别为，且．（I）求角的大小；（II）求的取值范围．22、有一种鱼的身体吸收汞，当这种鱼身体中的汞含量超过其体重的（即百万分之一）时，人食用它，就会对人体产生危害.现从一批该鱼中随机选出条鱼，检验鱼体中的汞含量与其体重的比值（单位：），数据统计如下：（1）求上述数据的中位数、众数、极差，并估计这批鱼该项数据的分位数；（2）有，两个水池，两水池之间有个完全相同的小孔联通，所有的小孔均在水下，且可以同时通过条鱼.（ⅰ）将其中汞的含量最低的条鱼分别放入水池和水池中，若这条鱼的游动相互独立，均有的概率进入另一水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概率；（ⅱ）将其中汞的含量最低的条鱼都先放入水池中，若这条鱼均会独立地且等可能地从其中任意一个小孔由水池进入水池且不再游回水池，求这两条鱼由不同小孔进入水池的概率.参考答案一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、若集合，，则（）A． B．C． D．或【答案】C【详解】由，得．又，所以．故选：C．2、复数的虚部是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以复数的虚部为.故选：D.3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】A【详解】设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确；4、已知向量，满足，，，则（）A． B． C． D．【答案】D【详解】，，，.，因此，.故选：D.5、埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A． B．C． D．【答案】C【详解】如图，设，则，由题意，即，化简得，解得（负值舍去）.故选：C.6、已知，则（）A．–2 B．–1 C．1 D．2【答案】D【详解】，，令，则，整理得，解得，即.故选：D.7、如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它由四个全等的直角三角形围成，其中，现将每个直角三角形的较长的直角边分别向外延长一倍，得到如图的数学风车，若在该数学风车内随机取一点，则该点恰好取自“赵爽弦图”外面（图中阴影部分）的概率为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】在中，不妨设，则，则阴影部分的面积为；数学风车的面积为所求概率本题正确选项：8、已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上.若球的表面积为，则平面的距离为（）A． B． C．1 D．【答案】C【详解】设球的半径为，则，解得：.设外接圆半径为，边长为，是面积为的等边三角形，，解得：，，球心到平面的距离.故选：C.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共16分，在每小题给出的四个选项中，不止有一项是符合题目要求的）9、下列说法正确的是（）A．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率B．连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，可以认为这枚骰子质地不均匀C．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为不降水【答案】AB【详解】对于A，试验次数越多，频率就会稳定在概率的附近，故A正确对于B，如果骰子均匀，则各点数应该均匀出现，所以根据结果都是出现1点可以认定这枚骰子质地不均匀，故B正确．对于C，中奖概率为是指买一次彩票，可能中奖的概率为，不是指1000张这种彩票一定能中奖，故C错误．对于D，“明天本市降水概率为70%”指下雨的可能性为，故D错．故选：AB．10、有以下四种说法，其中正确的有（）A．“且”是“”的充要条件B．直线，，平面，若，则“”是“”的充分不必要条件C．“”是“”的必要不充分条件D．设，则“”是“”的既不充分也不必要条件【答案】BD【详解】对于A，由“且”，根据不等式的性质可得，充分性满足；反之，推不出“且”，必要性不满足，故A不正确；对于B，根据线面垂直的定义：“”可推出“”，反之，由线面垂直的判定定理可知：仅“”，不一定得出“”，故B正确；对于C，“”可得“”，充分性满足；反之，“”可得“”或“”，必要性不满足，所以“”是“”的充分不必要条件，故C不正确；对于D，若“且”可推出“”；反之，若“”，可得“”或“”，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故D正确；故选：BD11、已知函数()的部分图象如图所示，则下列选项正确的是（）A．函数的最小正周期为B．为函数的一个对称中心C．D．函数向右平移个单位后所得函数为偶函数【答案】ACD【分析】根据图象，先由得，求，判断A正确，再利用五点法定位确定得到解析式，结合利用正弦函数性质逐一判断BCD的正误即可.【详解】根据函数的部分图象，由，所以，故A正确；由，可得，由点在函数图像上，可得，可得，解得，因为，可得，可得，因为，故B错误；由于，故C正确；将函数向右平移个单位后所得函数为为偶函数，故D正确.故选：ACD.12、如图，棱长为的正方体中，点为的中点，则下列说法正确的是（）A．与为异面直线B．与平面所成角的正切值为C．过三点的平面截正方体所得两部分的体积相等D．线段在底面的射影长为【答案】ABC【详解】由图可知：DE与CC1为异面直线，∴A正确；因为平面平面，所以与平面所成角即与平面所成角，连接A1D，显然，是与平面所成角.在直角三角形EA1D中：，∴B正确；过D､C､E三点的平面截正方体所得两部分的体积关系即为平面A1B1CD截正方体所得两部分的体积关系，由正方体的对称性可知截得两部分几何体的体积相等，∴C正确；取AB中点F，连接EF､DF，∵EFB1B且B1B⊥底面ABCD，∴EF⊥底面ABCD，∴DF的长为线段DE在底面ABCD的射影长，在直角三角形DFE中：EF=1，DE=，∴DF=，∴D错.故选：ABC.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13、已知不等式的解集为，则不等式的解集为__________________.【答案】【分析】【详解】不等式的解集为，的两根为，2，且，即，，解得，，则不等式可化为，解得，则不等式的解集为．14、在中，，则____________.【答案】【详解】设15、在四边形中，，，，，点在线段的延长线上，且，则__________.【答案】.【详解】建立如图所示的直角坐标系，则，．因为∥，，所以，因为，所以，所以直线的斜率为，其方程为，直线的斜率为，其方程为．由得，，所以．所以．16、设函数,则使成立的的取值范围是____________.【答案】【详解】试题分析：，定义域为，∵，∴函数为偶函数，当时，函数单调递增，根据偶函数性质可知：得成立，∴，∴，∴的范围为故答案为A.四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，考生根据要求作答）17、成年人收缩压的正常范围是（90，140）（单位：），未在此范围的献血志愿者不适合献血，某血站对志愿者的收缩压进行统计，随机抽取男志愿者100名、女志愿者100名，根据统计数据分别得到如下直方图：（1）根据直方图计算这200名志愿者中不适合献血的总人数；（2）估计男志愿者收缩压的中位数；（3）估计女志愿者收缩压的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．【答案】（1）20人；（2）；（3）．【详解】解：（1）由得，故这些男志愿者中有5人不适合献血；由得，故这些女志愿者中有15人不适合献血．综上所述，这些志愿者中共有20人不适合献血．（2）设男志愿者收缩压的中位数为，则．由得，因此，可以估计男志愿者收缩压的中位数为．（3），因此，可以估计女志愿者收缩压的平均值为．18、在中，角所对的边分别为．已知．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【详解】（Ⅰ）在中，由及余弦定理得，又因为，所以；（Ⅱ）在中，由，及正弦定理，可得；（Ⅲ）由知角为锐角，由，可得，进而，所以.19、如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．证明：（1）当时，；（2）点在平面内．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【详解】（1）因为长方体,所以平面,因为长方体,所以四边形为正方形因为平面,因此平面,因为平面,所以；（2）在上取点使得,连,因为,所以所以四边形为平行四边形，因为所以四点共面，所以四边形为平行四边形，，所以四点共面，因此在平面内20、已知.(1)求的最小正周期及单调递减区间;(2)求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】(1),单调递减区间为;(2)见解析【详解】（1），∴的最小正周期.由，得，∴的单调递减区间为.（2）∵，∴，当，即时，函数取得最小值，为；当，即时，函数取得最大值，为.故函数在区间上的最大值为3，最小值为0.21、在锐角中，角的对边分别为，且．（I）求角的大小；（II）求的取值范围．【答案】（I）；（II）【详解】（I）由结合正弦定理可得：△ABC为锐角三角形，故.（II）结合(1)的结论有：.由可得：，，则，.即的取值范围是.22、有一种鱼的身体吸收汞，当这种鱼身体中的汞含量超过其体重的（即百万分之一）时，人食用它，就会对人体产生危害.现从一批该鱼中随机选出条鱼，检验鱼体中的汞含量与其体重的比值（单位：），数据统计如下：（1）求上述数据的中位数、众数、极差，并估计这批鱼该项数据的分位数；（2）有，两个水池，两水池之间有个完全相同的小孔联通，所有的小孔均在水下，且可以同时通过条鱼.（ⅰ）将其中汞的含量最低的条鱼分别放入水池和水池中，若这条鱼的游动相互独立，均有的概率进入另一水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概率；（ⅱ）将其中汞的含量最低的条鱼都先放入水池中，若这条鱼均会独立地且等可能地从其中任意一个小孔由水池进入水池且不再游回水池，求这两条鱼由不同小孔进入水池的概率.【答案】（1）中位数为；众数为；极差为；估计这批鱼该项数据的百分位数约为；（2）（ⅰ）；（ⅱ）.【详解】解：（1）由题意知，数据的中位数为数据的众数为数据的极差为估计这批鱼该项数据的百分位数约为（2）（ⅰ）记“两鱼最终均在水池”为事件，则记“两鱼最终均在水池”为事件，则∵事件与事件互斥，∴两条鱼最终在同一水池的概率为（ⅱ）记“两鱼同时从第一个小孔通过”为事件，“两鱼同时从第二个小孔通过”为事件，依次类推；而两鱼的游动独立∴记“两条鱼由不同小孔进入水池”为事件，则与对立，又由事件，事件，互斥∴即人教A版高一下学期期末考试数学试卷（二）（测试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合，，则（）A． B．C． D．或2、已知为虚数单位，复数，则（）A． B．2 C． D．3、已知，，，则向量与向量的夹角为（）A． B． C． D．4、某中学高三2班在每周的星期一、三、五的晚自习前都要用半个小时进行英语听力测试，一共30个小题，每个小题1分，共30分；测试完后，该班英语老师都会随机抽取一个小组进行现场评阅，下表是该班英语老师在某个星期一随机抽取一个小组进行现场评阅的得分情况：姓名张周邓靖川王行王沛陆俊杰刘振志谭菲菲任思颖张韵得分（单位：分）202322211418202526对这个小组的英语听力测试分数，有下面四种说法：①该小组英语听力测试分数的极差为12②该小组英语听力测试分数的中位数为21③该小组英语听力测试分数的平均数为21④该小组英语听力测试分数的方差为11其中说法正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．45、已知，，，则（）A． B． C． D．6、在中，在边上满足，为的中点，则（）A． B．C． D．7、已知是正方体的中心关于平面的对称点，则下列说法中错误的是（）A．与是异面直线B．平面C．D．平面8、已知函数，且关于的方程恰有两个互异的实数解，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共16分，在每小题给出的四个选项中，不止有一项是符合题目要求的）9、设计如图所示的四个电路图，若开关闭合，灯泡亮，则是的充要条件的电路图是（）A． B．C． D．10、已知，表示两条不同直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（）A．若，，则B．若，，则C．若，，，则D．若，，，则11、已知函数，则（）A．的最小正周期为B．将的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到的图象C．在上单调递增D．点是图象的一个对称中心12、1982年美国数学学会出了一道题：一个正四面体和一个正四棱锥的所有棱长都相等，将正四面体的一个面和正四棱锥的一个侧面紧贴重合在一起，得到一个新几何体.中学生丹尼尔做了一个如图所示的模型寄给美国数学学会，美国数学学会根据丹尼尔的模型修改了有关结论.对于该新几何体，则（）A．B．C．新几何体有7个面D．新几何体的六个顶点不能在同一个球面上三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13、设向量，若，则______________.14、在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则边长___________.15、勾股定理又称商高定理，三国时期吴国数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的阴影小正方形组成的，如图，记，若，在正方形内随机取一点，则该点取自阴影正方形的概率为________.16、已知三棱锥的所有顶点都在球的表面上，平面，，，，，则球的表面积为___________.四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，考生根据要求作答）17、（10分）已知某大学有男生14000人，女生10000人，大学行政主管部门想了解该大学学生的运动状况，按性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取120人，统计他们平均每天运动的时间（单位：小时）如表：男生平均每天运动的时间人数212231810女生平均每天运动的时间人数51218103（1）求实数的值；（2）若从被抽取的120人平均每天运动时间（单位：小时）在范围的人中随机抽取2人，求“被抽取的2人性别不相同”的概率.18、（12分）如图1，在直角梯形中，，，且．现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，如图2．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求点到平面的距离.19、（12分）已知.(1)求的最小正周期及单调递减区间;(2)求函数在区间上的最大值和最小值.20、（12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，.（1）证明：平面；（2）若是的中点，在棱上是否存在点，使平面？若存在，求出的值，并证明你的结论.21、（12分）的角，，的对边分别为，，，已知.（1）求；（2）从三个条件：①；②；③的面积为中任选一个作为已知条件，求周长的取值范围.22、（12分）国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升、小于80毫克/百毫升的行为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车，经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液内的变化规律“散点图”如下：该函数模型如下，.根据上述条件，回答以下问题：（1）试计算喝1瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？（2）试计算喝1瓶啤酒后多少小时才可以驾车？（时间以整小时计）（参考数据：）参考答案一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合，，则（）A． B．C． D．或【答案】A【详解】或，.故选：A.2、已知为虚数单位，复数，则（）A． B．2 C． D．【答案】A【详解】复数，∴，故选A．3、已知，，，则向量与向量的夹角为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，所以，所以得到，记向量与向量的夹角为，且，，所以，而所以，故选：C．4、某中学高三2班在每周的星期一、三、五的晚自习前都要用半个小时进行英语听力测试，一共30个小题，每个小题1分，共30分；测试完后，该班英语老师都会随机抽取一个小组进行现场评阅，下表是该班英语老师在某个星期一随机抽取一个小组进行现场评阅的得分情况：姓名张周邓靖川王行王沛陆俊杰刘振志谭菲菲任思颖张韵得分（单位：分）202322211418202526对这个小组的英语听力测试分数，有下面四种说法：①该小组英语听力测试分数的极差为12②该小组英语听力测试分数的中位数为21③该小组英语听力测试分数的平均数为21④该小组英语听力测试分数的方差为11其中说法正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】对①，该小组英语听力测试分数的极差为26-14=12，故①正确；对②，该小组英语听力测试分数的中位数为21，故②正确；对③，该小组英语听力测试分数的平均数为，故③正确；④该小组英语听力测试分数的方差为，故④错误.故选：C.5、已知，，，则（）A． B． C． D．【答案】D【详解】，所以.故选：D6、在中，在边上满足，为的中点，则（）A． B．C． D．【答案】B【详解】如图所示：因为为的中点，所以，又，，，故选B．7、已知是正方体的中心关于平面的对称点，则下列说法中错误的是（）A．与是异面直线B．平面C．D．平面【答案】D【详解】对于A，因为与平面相交，平面，所以与是异面直线，A正确；对于B，因为是中心关于平面的对称点，所以平行且等于，即平面为平行四边形，所以因为是正方体中心，所以经过点，即平面因为平面，所以平面，B正确；对于C，由题，，所以平面，所以，又因为，所以，C正确；对于D，由图可知，必不垂直于平面，又因为，所以必不垂直于平面，D错误.故选：D.8、已知函数，且关于的方程恰有两个互异的实数解，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】方程恰有两个互异的实数解，转化为与的图象有2个不同的交点，作函数与的图象如下，由图可知，当时，方程恰有两个互异的实数解.故选：B二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共16分，在每小题给出的四个选项中，不止有一项是符合题目要求的）9、设计如图所示的四个电路图，若开关闭合，灯泡亮，则是的充要条件的电路图是（）A． B．C． D．【答案】BD【详解】电路图A中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；电路图B中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S一定闭合，故B中p是q的充要条件；电路图C中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；电路图D中，开关S闭合则灯泡L亮，灯泡L亮则一定有开关S闭合，故D中p是q的充要条件.故选：BD.10、已知，表示两条不同直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（）A．若，，则B．若，，则C．若，，，则D．若，，，则【答案】BC【详解】对于选项A，若，，则与可能相交､平行或异面，A错误；由直线与平面垂直的性质得选项B正确；依据直线与平面垂直的性质定理得C正确；选项D中可能与平面平行､垂直､斜交或在平面内.故选：BC11、已知函数，则（）A．的最小正周期为B．将的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到的图象C．在上单调递增D．点是图象的一个对称中心【答案】ACD【详解】的最小正周期为，故A选项正确.的图象上所有的点向右平移个单位长度得到，故B选项错误.由，，所以在上单调递增，C选项正确.，所以点是图象的一个对称中心，故D选项正确.故选：ACD12、1982年美国数学学会出了一道题：一个正四面体和一个正四棱锥的所有棱长都相等，将正四面体的一个面和正四棱锥的一个侧面紧贴重合在一起，得到一个新几何体.中学生丹尼尔做了一个如图所示的模型寄给美国数学学会，美国数学学会根据丹尼尔的模型修改了有关结论.对于该新几何体，则（）A．B．C．新几何体有7个面D．新几何体的六个顶点不能在同一个球面上【答案】ABD【详解】由题意，正四面体和正四棱锥的所有棱长都相等，G、H为BC、ED的中点，连接FG、AH、GH，即，∴，，，故A、B正确；∴四点共面，即新几何体为斜三棱柱，有5个面且无外接球，C错误，D正确；故选：ABD.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13、设向量，若，则______________.【答案】5【详解】由可得，又因为，所以，即，故答案为：5.14、在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则边长___________.【答案】1或2【详解】在中，由，，，由余弦定理得：，解得：b=1或b=2故答案为：1或2.15、勾股定理又称商高定理，三国时期吴国数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的阴影小正方形组成的，如图，记，若，在正方形内随机取一点，则该点取自阴影正方形的概率为________.【答案】【详解】∵，∴，不妨设，，则，所以大正方形的面积为，阴影小正方形的面积为，所以概率为．故答案为.16、已知三棱锥的所有顶点都在球的表面上，平面，，，，，则球的表面积为___________.【答案】【详解】如图，绘出三棱锥的图像：因为，得，因为，所以，因为，，由余弦定理得，代入得，解得，所以为等腰三角形，且，设外接圆的半径为，球的半径为，由正弦定理得，解得，设的外心为，，过作，则在中，，在中，，联立，解得，球的表面积为，故答案为.四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，考生根据要求作答）17、（10分）已知某大学有男生14000人，女生10000人，大学行政主管部门想了解该大学学生的运动状况，按性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取120人，统计他们平均每天运动的时间（单位：小时）如表：男生平均每天运动的时间人数212231810女生平均每天运动的时间人数51218103（1）求实数的值；（2）若从被抽取的120人平均每天运动时间（单位：小时）在范围的人中随机抽取2人，求“被抽取的2人性别不相同”的概率.【答案】（1），（2）【详解】（1）男生14000人，女生10000人，男数女数，故男生抽取了人，女生抽取了50人，由，；（2）从被抽取的120人平均每天运动时间（单位：小时）在范围的人中，有男生2，女生5人，共有7人设男生为,女生为：随机抽取2人不相同的情况有：,总共有种选法性别不同的(即一男生一女生)有：，共种选法，随机抽取人，“被抽取的人性别不相同”的事件为，故.18、（12分）如图1，在直角梯形中，，，且．现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，如图2．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】试题分析：（1）要证直线与平面垂直，题中翻折成平面与平面垂直，因此有平面，从而有一个线线垂直，另一个在梯形中由平面几何知识可证，从而得证线面垂直；（2）由（1）知平面与平面垂直，因此只要过作于点，则可得的长就是点到平面的距离，在三角形中计算可得．试题解析：（1）在正方形中，，又因为平面平面，且平面平面，所以平面，所以.在直角梯形中，，可得，在中，，所以，所以，所以平面.（2）因为平面，所以平面平面，过点作的垂线交于点，则平面，所以点到平面的距离等于线段的长度.在直角三角形中，，所以，所以点到平面的距离等于.19、（12分）已知.(1)求的最小正周期及单调递减区间;(2)求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】(1),单调递减区间为;(2)见解析【详解】（1），∴的最小正周期.由，得，∴的单调递减区间为.（2）∵，∴，当，即时，函数取得最小值，为；当，即时，函数取得最大值，为.故函数在区间上的最大值为3，最小值为0.20、（12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，.（1）证明：平面；（2）若是的中点，在棱上是否存在点，使平面？若存在，求出的值，并证明你的结论.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，，证明见解析.【详解】（1）证明：∵，，∴，，，∴平面，∴．又∵为菱形，∴，，∴平面．（2）解：当时，平面，证明如下：取的中点，连接，，因为是的中点，是的中点，所以，又面，面，面又因为，所以是的中点．设，则为的中点，所以，又面，面，面因为，所以平面平面，又在平面内，所以平面．21、（12分）的角，，的对边分别为，，，已知.（1）求；（2）从三个条件：①；②；③的面积为中任选一个作为已知条件，求周长的取值范围.【答案】（1）（2）分类讨论，见解析【详解】（1）因为，由余弦定理得，因为，所以；（2）选择①，因为，，由正弦定理得，即的周长，因为，所以，，即周长的取值范围是.选择②.因为，，由正弦定理得，，即的周长,因为，所以，所以，即周长的取值范围是.选择③.因为，，得，由余弦定理得，即的周长，因为，当且仅当时等号成立，所以.即周长的取值范围是.22、（12分）国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升、小于80毫克/百毫升的行为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车，经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液内的变化规律“散点图”如下：该函数模型如下，.根据上述条件，回答以下问题：（1）试计算喝1瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？（2）试计算喝1瓶啤酒后多少小时才可以驾车？（时间以整小时计）（参考数据：）【答案】（1）喝一瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精达到最大值，最大值是44.42毫克/百毫升；（2）喝一瓶啤酒后6小时才可以驾车【详解】（1）由图可知，当函数取得最大值时，.此时.当时，即时，函数取得最大值为，故喝一瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精达到最大值，最大值是44.42毫克/百毫升，（2）由题意知当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/100毫升可以驾车，此时，由，得，两边取自然对数得，即，∴，故喝一瓶啤酒后6小时才可以驾车.人教A版高一下学期期末考试数学试卷（三）（测试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合，则（）A． B．C． D．2、若，则（）A．0 B．1 C． D．23、设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4、，则的大小关系为（）A． B．C． D．5、如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段的中点，则（）A．，且直线是相交直线B．，且直线是相交直线C．，且直线是异面直线D．，且直线是异面直线6、设函数在的图像大致如下图，则的最小正周期为（）A．B．C．D．7、等边三角形的垂心为，点是线段上靠近的三等分点，则（）A． B．C． D．8、已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（）A． B． C． D．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，不止有一项是符合题目要求的）9、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A． B． C． D．10、对于定义在上的函数，下列说法正确的是（）A．若是奇函数，则的图像关于点对称B．若对，有，则的图像关于直线对称C．若函数的图像关于直线对称，则为偶函数D．若，则的图像关于点对称11、设是两条不重合的直线，，，是三个不同的平面．下列四个命题中，正确的是（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则12、如图，直四棱柱的底面是边长为的正方形，侧棱长为，，分别是，的中点，过点，，的平面记为，则（）A．平面截直四棱柱所得截面的形状为四边形B．平面截直四棱柱所得截面的面积为C．平面将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积之比为D．点到平面的距离与点到平面的距离之比为三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13、平面向量与的夹角为，且，，则________．14、的内角的对边分别为，已知，则___________.15、学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，分别为所在棱的中点，，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________.16、设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围为_________________.四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，考生根据要求作答）17、某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为（1）求频率分布直方图中的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率.18、已知单位圆的内接的三个内角的对边分别为，若（1）求角的大小；（2）若的面积为，求的周长．19、如图所示，在四棱锥中中，底面是边长为的正方形，平面平面，与交于点．（1）连接，试证明：；（2）若是的中点，平面，求多面体的体积．20、已知函数.（1）若，求的值.（2）在中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围.21、计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响.（1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？（2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.22、如图1，在矩形中，是的中点，将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中平面平面.(1)证明：平面；(2)设为的中点，在线段上是否存在一点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．参考答案一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合，则（）A． B．C． D．【答案】C【详解】由题意得，，则．故选C．2、若，则（）A．0 B．1 C． D．2【答案】C【详解】因为，所以．故选：C．3、设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】求解二次不等式可得：或，据此可知：是的充分不必要条件.故选：A.4、，则的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，，，所以.故选：D.5、如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段的中点，则（）A．，且直线是相交直线B．，且直线是相交直线C．，且直线是异面直线D．，且直线是异面直线【答案】B【详解】如图所示，作于，连接，过作于．连，平面平面．平面，平面，平面，与均为直角三角形．设正方形边长为2，易知，．，故选B．6、设函数在的图像大致如下图，则的最小正周期为（）A．B．C．D．【答案】C【详解】由图可得：函数图象过点，将它代入函数可得：又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，所以，解得：所以函数的最小正周期为故选：C7、等边三角形的垂心为，点是线段上靠近的三等分点，则（）A． B．C． D．【答案】A【详解】如图所示：延长交于点，因为为等边三角形的垂心，所以为的中点，所以.故选：A8、已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】设圆半径为，球的半径为，依题意，得，为等边三角形，由正弦定理可得，，根据球的截面性质平面，，球的表面积.故选：A二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，不止有一项是符合题目要求的）9、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A． B． C． D．【答案】BD【详解】A，函数是非奇非偶函数，故排除A；B，函数是上的奇函数也是减函数，故B正确；C，函数在定义域上是奇函数，但在和上是减函数，在定义域上不具有单调性，故排除C；D，函数是上的奇函数也是减函数，故D正确.故选：BD10、对于定义在上的函数，下列说法正确的是（）A．若是奇函数，则的图像关于点对称B．若对，有，则的图像关于直线对称C．若函数的图像关于直线对称，则为偶函数D．若，则的图像关于点对称【答案】ACD【详解】对A，是奇函数，故图象关于原点对称，将的图象向右平移1个单位得的图象，故的图象关于点（1，0）对称，正确；对B，若对，有，得，所以是一个周期为2的周期函数，不能说明其图象关于直线对称，错误.；对C，若函数的图象关于直线对称，则的图象关于y轴对称，故为偶函数，正确；对D，由得，，的图象关于（1，1）对称，正确.故选：ACD.11、设是两条不重合的直线，，，是三个不同的平面．下列四个命题中，正确的是（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【答案】AC【详解】对于A，由面面垂直的判定可知是正确的；对于B，观察教室的墙角共顶点的三个平面，发现与还可能相交，故B错误；对于C,直线同时垂直平面，则直线与两平面所成的角均为，故两平面平行，故C正确；对于D，直线b可能在平面内，故D错误．故选：AC.12、如图，直四棱柱的底面是边长为的正方形，侧棱长为，，分别是，的中点，过点，，的平面记为，则（）A．平面截直四棱柱所得截面的形状为四边形B．平面截直四棱柱所得截面的面积为C．平面将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积之比为D．点到平面的距离与点到平面的距离之比为【答案】BC【详解】A：如图，延长分别与，的延长线交于点，，连接交于点，连接，交于点，连接，，则平面截直四棱柱所得截面为五边形，错误；B：由平行线分线段成比例可得，，故，则△为等腰直角三角形，由相似三角形可知，故，则，，连接，易知，因此五边形可以分成等边三角形和等腰梯形，等腰梯形的高，则等腰梯形的面积为，又，所以五边形的面积为．正确；C：记平面将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积分别为，，则，所以，则，正确；D：平面过线段的中点，所以点到平面的距离与点到平面的距离相等，由平面过的三等分点可知，点到平面的距离是点到平面的距离的2倍，因此点到平面的距离是点到平面的距离的2倍，错误．故选：BC.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13、平面向量与的夹角为，且，，则________．【答案】2【详解】因为，所以，又因为与的夹角为，，所以，所以故答案为：214、的内角的对边分别为，已知，则___________.【答案】.【详解】由正弦定理，得．，得，即，故选D．15、学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，分别为所在棱的中点，，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________.【答案】118．8【详解】由题意得，，四棱锥O−EFG的高3cm，∴．又长方体的体积为，所以该模型体积为，其质量为．16、设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围为_________________.【答案】【详解】时，，，，即右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当时，，令，整理得：，（舍），时，成立，即，.四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，考生根据要求作答）17、某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为（1）求频率分布直方图中的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率.【答案】（1）；（2）；（3）.【详解】（1）因为，所以（2）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为（3）受访职工评分在[50，60)的有：50×0.006×10=3(人)，即为；受访职工评分在[40，50)的有：50×0.004×10=2(人)，即为.从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是又因为所抽取2人的评分都在[40，50)的结果有1种，即，故所求的概率为18、已知单位圆的内接的三个内角的对边分别为，若（1）求角的大小；（2）若的面积为，求的周长．【答案】（1）；（2）【详解】（1）在中，，，所以，即，所以．因为，所以．，所以，，由余弦定理得由得，所以的周长为．19、如图所示，在四棱锥中中，底面是边长为的正方形，平面平面，与交于点．（1）连接，试证明：；（2）若是的中点，平面，求多面体的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）2.【详解】（1）证明：过点作，垂足为，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面．又平面，∴．∵底面是正方形，∴．而、平面．∴平面，结合图形知平面．故．（2）解析：∵为中点且平面，而、平面，∴且，进而得．另一方面整合得，即平面，平面，则．由（1）知平面，平面，∴，整合得，则平面，于是是四棱锥的高．因为是的中点，则三棱锥的高为，由此．进而．20、已知函数.（1）若，求的值.（2）在中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）由可得：..（2）由余弦定理得：，整理可得：，，，又，，，，则，，即的取值范围为.21、计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响.（1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？（2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.【答案】（1）丙；（2）【详解】（1）设“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，则，，.因为，所以丙获得合格证书的可能性最大.（2）设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，则.22、如图1，在矩形中，是的中点，将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中平面平面.(1)证明：平面；(2)设为的中点，在线段上是否存在一点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）线段上存在满足题意的点，且＝【详解】(1)证明连接BE，∵ABCD为矩形且AD＝DE＝EC＝BC＝2，∴∠AEB＝90°，即BE⊥AE，又平面D1AE⊥平面ABCE，平面D1AE∩平面ABCE＝AE，BE⊂平面ABCE，∴BE⊥平面D1AE.(2)解AM＝AB，取D1E的中点L，连接AL，FL，∵FL∥EC，EC∥AB，∴FL∥AB且FL＝AB，∴FL∥AM，FL=AM∴AMFL为平行四边形，∴MF∥AL，因为MF不在平面AD1E上，AL⊂平面AD1E，所以MF∥平面AD1E.故线段AB上存在满足题意的点M，且＝.人教A版高一下学期期末考试数学试卷（四）（测试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、集合，，则（）A． B．C． D．2、若，则（）A． B． C． D．3、已知命题：，，则它的否定形式为（）A．， B．，C．， D．，4、．函数在的图像大致为（）A． B．C． D．5、已知点在的边上，，点是中点，则（）A． B．C． D．6、已知，则（）A． B． C． D．7、设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（）A．B．C．D．8、阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的，且球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为，则该圆柱的内切球体积为（）A． B． C． D．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共16分，在每小题给出的四个选项中，不止有一项是符合题目要求的）9、函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译．1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设是两个非空的数集，如果按某种对应法则，对于集合中的每一个元素，在集合中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数”，则下列对应法则满足函数定义的有（）A． B． C． D．10、下列说法正确的有（）A．“”是“”充分不必要条件B．若，则“”是“”的必要不充分条件C．在中，角所对的边分别为，则“”的充要条件是“”D．设均为非零实数，则“”是“”的既不充分也不必要条件11、设，是不同的直线，，是不同的平面，则下列说法中正确的是（）A．若，，，则B．若，，则C．若，，，则D．若，，则12、如图，在棱长为1的正方体中，，，分别为棱，，上的动点(点不与点，重合)，若，则下列说法正确的是（）A．存在点，使得点到平面的距离为B．用过，，三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形C．平面D．用平行于平面的平面去截正方体，得到的截面为六边形时，该六边形周长一定为三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13、设向量，若，则______________.14、的内角的对边分别为，已知，，则=______.15、已知，，则____________.16、已知函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则的取值范围为___________.四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，考生根据要求作答）17、某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120天苹果的日销售量(单位：)，并绘制频率分布直方图如下：（1）请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数和平均数；(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)（2）一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能80%地满足顾客的需求(在10天中，大约有8天可以满足顾客的需求).请问每天应该进多少千克苹果？(精确到整数位)18、在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）的值：（Ⅱ）和的面积．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．19、设，函数．（1）求函数的最小正周期及最大值；（2）求的单调递增区间．20、如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，．（1）证明：平面平面；（2）设，圆锥的侧面积为，求三棱锥的体积.21、一个经销鲜花产品的微店，为保障售出的百合花品质，每天从云南鲜花基地空运固定数量的百合花，如有剩余则免费分赠给第二天购花顾客，如果不足，则从本地鲜花供应商处进货.今年四月前10天，微店百合花的售价为每支2元，云南空运来的百合花每支进价1.6元，本地供应商处百合花每支进价1.8元，微店这10天的订单中百合花的需求量（单位：支）依次为：251，255，231，243，263，241，265，255，244，252.（Ⅰ）求今年四月前10天订单中百合花需求量的平均数和众数，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）预计四月的后20天，订单中百合花需求量的频率分布与四月前10天相同，百合花进货价格与售价均不变，请根据（Ⅰ）中频率分布直方图判断（同一组中的需求量数据用该组区间的中点值作代表，位于各区间的频率代替位于该区间的概率），微店每天从云南固定空运250支，还是255支百合花，四月后20天百合花销售总利润会更大？22、如图，在三棱锥中，，为的中点.（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.参考答案一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、集合，，则（）A． B．C． D．【答案】D【详解】由题意得，∴．选D．2、若，则（）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以.故选：D3、已知命题：，，则它的否定形式为（）A．， B．，C．， D．，【答案】D【详解】命题的否定，需要修改量词并且否定结论，所以命题：，，则它的否定形式为，.故选：D.4、．函数在的图像大致为（）A． B．C． D．【答案】B【详解】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B．5、已知点在的边上，，点是中点，则（）A． B．C． D．【答案】D【详解】，，.故选：D6、已知，则（）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意可得：，则：，，从而有：，即.故选：B.7、设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（）A．B．C．D．【答案】C【详解】是R的偶函数，．，又在(0，+∞)单调递减，∴，，故选C．8、阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的，且球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为，则该圆柱的内切球体积为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】设圆柱的底面半径为,则其母线长为,因为圆柱的表面积公式为，所以,解得,因为圆柱的体积公式为,所以,由题知,圆柱内切球的体积是圆柱体积的，所以所求圆柱内切球的体积为.故选:D二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共16分，在每小题给出的四个选项中，不止有一项是符合题目要求的）9、函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译．1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设是两个非空的数集，如果按某种对应法则，对于集合中的每一个元素，在集合中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数”，则下列对应法则满足函数定义的有（）A． B． C． D．【答案】AD【详解】对于A.令，符合函数定义；对于B,令，设，一个自变量对应两个函数值，不符合函数定义；对于C,设当则x可以取包括等无数多的值，不符合函数定义；对于D.令，符合函数定义．故选：AD10、下列说法正确的有（）A．“”是“”充分不必要条件B．若，则“”是“”的必要不充分条件C．在中，角所对的边分别为，则“”的充要条件是“”D．设均为非零实数，则“”是“”的既不充分也不必要条件【答案】ACD【详解】对于A，当时，显然有而若，则有，那么或，所以“”是“”充分不必要条件，故A正确．对于B，若，时，显然不成立；若，则，所以有，所以”是“”的必要不充分条件，故B错误．对于C，根据正弦定理，当时，有，当时，有，所以“”的充要条件是“”，故C正确。对于D，当时，显然不成立，当时，显然不成立，所以”是“”的既不充分也不必要条件，故D正确．故选：ACD11、设，是不同的直线，，是不同的平面，则下列说法中正确的是（）A．若，，，则B．若，，则C．若，，，则D．若，，则【答案】ACD【详解】对于选项A，因为，所以当时，，由垂直于同一平面的两条直线平行可知，选项A正确；对于选项B，当，时，直线与平面的位置关系不确定，所以选项B错误；对于选项C，当，，时，可以得到，所以选项C正确；对于选项D，当，时，，因为，所以，所以，所以选项D正确.故选:ACD.12、如图，在棱长为1的正方体中，，，分别为棱，，上的动点(点不与点，重合)，若，则下列说法正确的是（）A．存在点，使得点到平面的距离为B．用过，，三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形C．平面D．用平行于平面的平面去截正方体，得到的截面为六边形时，该六边形周长一定为【答案】ABD【详解】A．连接，如图所示：因为，所以易知，且平面平面，又已知三棱锥各条棱长均为，所以三棱锥为正四面体，所以到平面的距离为：，因为平面，所以，又，且，所以平面，又平面，所以，同理可得，且，所以平面，又因为，所以到平面的距离，且，故正确；B．如图所示，连接并延长交的延长线于点，连接并将其延长与相交于，因为，且，则，所以，所以即为，连接，所以过，，的截面为四边形，由条件可知，且，所以四边形为梯形，故正确；C．连接，由A可知平面平面，又因为平面，平面，所以不平行于平面，所以平面不成立，故错误；D．在上取点，过点作交于，过作交于，以此类推，依次可得点，此时截面为六边形，根据题意可知：平面平面，不妨设，所以，所以，所以六边形的周长为：，故正确；故选：ABD.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13、设向量，若，则______________.【答案】5【详解】由可得，又因为，所以，即，故答案为：5.14、的内角的对边分别为，已知，，则=______.【答案】【详解】详解：由已知及正弦定理可得，由余弦定理推论可得.15、已知，，则____________.【答案】【详解】，．，又，，又，.16、已知函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则的取值范围为___________.【答案】【详解】如图，当直线位于点及其上方且位于点及其下方，或者直线与曲线相切在第一象限时符合要求．即，即，或者，得，，即，得，所以的取值范围是．四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，考生根据要求作答）17、某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120天苹果的日销售量(单位：)，并绘制频率分布直方图如下：（1）请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数和平均数；(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)（2）一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能80%地满足顾客的需求(在10天中，大约有8天可以满足顾客的需求).请问每天应该进多少千克苹果？(精确到整数位)【答案】（1）众数为为85，平均数为；（2）每天应该进98千克苹果.【详解】（1）如图示：区间频率最大，所以众数为85，平均数为：（2）日销售量[60，90)的频率为，日销量[60，100)的频率为，故所求的量位于由得故每天应该进98千克苹果.18、在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）的值：（Ⅱ）和的面积．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）,；选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）,.【详解】选择条件①（Ⅰ）（Ⅱ）由正弦定理得：选择条件②（Ⅰ）由正弦定理得：（Ⅱ）19、设，函数．（1）求函数的最小正周期及最大值；（2）求的单调递增区间．【答案】（1）最小正周期为，最大值为；（2）.【详解】由题意，向量，可得函数，所以函数的最小正周期为，当时，即，函数取得最大值，最大值为.（2）由（1）知，函数，令，解得，所以函数的单调递增区间为.20、如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，．（1）证明：平面平面；（2）设，圆锥的侧面积为，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）连接，为圆锥顶点，为底面圆心，平面，在上，，是圆内接正三角形，，≌，，即，平面平面，平面平面；（2）设圆锥的母线为，底面半径为，圆锥的侧面积为，，解得，，在等腰直角三角形中，，在中，，三棱锥的体积为.21、一个经销鲜花产品的微店，为保障售出的百合花品质，每天从云南鲜花基地空运固定数量的百合花，如有剩余则免费分赠给第二天购花顾客，如果不足，则从本地鲜花供应商处进货.今年四月前10天，微店百合花的售价为每支2元，云南空运来的百合花每支进价1.6元，本地供应商处百合花每支进价1.8元，微店这10天的订单中百合花的需求量（单位：支）依次为：251，255，231，243，263，241，265，255，244，252.（Ⅰ）求今年四月前10天订单中百合花需求量的平均数和众数，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）预计四月的后20天，订单中百合花需求量的频率分布与四月前10天相同，百合花进货价格与售价均不变，请根据（Ⅰ）中频率分布直方图判断（同一组中的需求量数据用该组区间的中点值作代表，位于各区间的频率代替位于该区间的概率），微店每天从云南固定空运250支，还是255支百合花，四月后20天百合花销售总利润会更大？【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）四月后20天总利润更大【详解】解：（Ⅰ）四月前10天订单中百合需求量众数为255，平均数频率分布直方图补充如下：（Ⅱ）设订单中百合花需求量为（支），由（Ⅰ）中频率分布直方图，可能取值为235，245，255，265，相应频率分别为0.1，0.3，0.4，0.2，∴20天中相应的天数为2天，6天，8天，4天.①若空运250支，当日利润为，，当日利润为，，当日利润为，，当日利润为，20天总利润为元.②若空运255支，当日利润为，，当日利润为，，当日利润为，，当日利润为，20天总利润为元.∵，∴每天空运250支百合花四月后20天总利润更大.22、如图，在三棱锥中，，为的中点.（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【详解】（1）因为为正三角形，所以；因为，所以.又，平面，所以平面.因为平面，所以平面平面（2）过点P作的垂线，垂足为H，连结.因为平面平面，又平面平面，平面，故平面.所以直线与平面所成角为在中，，由余弦定理得，所以.所以,又，故，即直线与平面所成角的正弦值为.人教A版高一下学期期末考试数学试卷（五）（测试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设集合，则()A． B． C． D．2、（）A．1 B． C． D．3、已知，，，则（）A． B． C． D．4、函数在的图像大致为（）A． B．C． D．5、设是空间中的一个平面，，，是三条不同的直线，则（）A．若，，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则6、已知函数．给出下列结论：①的最小正周期为；②是的最大值；③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．其中所有正确结论的序号是（）A．① B．①③ C．②③ D．①②③7、在中，分别为内角的对边，若，，且，则（）A． B．4 C． D．58、在平行四边形中，，，，点为边的中点，点为边上的动点，则的取值范围是（）A． B． C． D．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，不止有一项是符合题目要求的）9、已知，则下列命题为假命题的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则10、若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义城上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列四个函数中，能被称为“理想函数”的有（）A． B． C． D．11、如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列命题正确的是（）A．B．C．D．与是异面直线12、如图，正方体的棱长为，则下列四个命题正确的是（）A．直线与平面所成的角等于B．点到面的距离为C．两条异面直线和所成的角为D．三棱柱外接球表面积为三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13、已知为单位向量，且=0，若，则___________.14、已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则的值为_____________.15、的内角的对边分别为.若，则的面积为__________.16、中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，考生根据要求作答）17、某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的名学生中随机抽取名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于分到分之间（满分分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，第八组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.（1）根据图表，计算第七组的频率，并估计该校的名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数