湖北省武汉市2024届高三下学期四月调考数学试卷

……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………保密★启用前……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………试卷第试卷第=PAGE1页共=SECTIONPAGES8页……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………保密★启用前……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………试卷第试卷第=PAGE2页共=SECTIONPAGES8页湖北省武汉市2024届高三下学期四月调考数学试卷副标题考试时间：**分钟满分：**分注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前xx分钟收取答题卡一、/span>､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（共8题）1．复数，则（）A．1 B． C． D．2．已知集合，则（）A． B． C． D．3．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则4．的展开式中含项的系数为（）A．-50 B．50 C．-10 D．105．记，则（）A． B． C． D．6．记等比数列的前项和为，若，则（）A．1 B．2 C．3 D．47．点是边长为1的正六边形边上的动点，则的最大值为（）A．2 B． C．3 D．8．已知双曲线的右焦点为，其左右顶点分别为，过且与轴垂直的直线交双曲线于两点，设线段的中点为，若直线与直线的交点在轴上，则双曲线的离心率为（）A．2 B．3 C． D．二、/span>､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.（共3题）9．已知函数，则（）A．函数是奇函数 B．函数是偶函数C．的最大值是 D．在区间上单调递减10．如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（）A．图（1）的平均数中位数众数 B．图（2）的平均数<众数<中位数C．图（2）的众数中位数<平均数 D．图（3）的平均数中位数众数11．定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且，则下列说法中一定正确的是（）A．为偶函数 B．为奇函数C．函数是周期函数 D．三、/span>､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.（共3题）12．设椭圆的左右焦点为，椭圆上点满足，则的面积为.13．已知圆台的体积为，其上底面圆半径为1，下底面圆半径为4，则该圆台的母线长为.14．设是一个三角形的三个内角，则的最小值为.四、/span>､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.（共5题）15．已知三个内角所对的边分别为，且.（1）求的值；（2）若的面积，且，求的周长.16．已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调性.17．如图，三棱柱中，侧面底面，，点是棱的中点，.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.18．已知抛物线，过点的直线与抛物线交于两点，设抛物线在点处的切线分别为和，已知与轴交于点与轴交于点，设与的交点为.（1）证明：点在定直线上；（2）若面积为，求点的坐标；（3）若四点共圆，求点的坐标.19．已知常数，在成功的概率为的伯努利试验中，记为首次成功时所需的试验次数，的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量的概率分布为几何分布.（1）对于正整数，求，并根据求；（2）对于几何分布的拓展问题，在成功的概率为的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为，现提供一种求的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的试验次数为；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为.（i）求；（ii）记首次出现连续次成功时所需的试验次数的期望为，求.答案第答案第=PAGE1页共=SECTIONPAGES1页答案第答案第=PAGE2页共=SECTIONPAGES8页【答案区】1．【答案】D【解析】【解答】解：，则.故答案为：D.【分析】根据复数的四则运算化简复数z，再利用复数的求模公式计算即可.2．【答案】B【解析】【解答】解：由不等式，解得，则集合，

因为，所以.故答案为：B.【分析】解不等式求得集合，再根据集合的交集运算求解即可.3．【答案】C【解析】【解答】解：如图所示：A、设平面为平面，平面为平面，为，则，则，故A错误；B、设平面为平面，平面为平面，为，则，则，故B错误；C、过作平面与平面交于直线，，则，，可得，则，故C正确；D、设平面为平面，为，为，则，则，故D错误.故答案为：C.【分析】根据已知条件借助正方体的几何特征，结合点、线、面的位置关系判断即可.4．【答案】A【解析】【解答】解：二项式展开式的通项为，则，，

故展开式中的系数为.故答案为：A.【分析】根据二项式定理得出展开式的通项，求出，，再求的系数即可.5．【答案】D【解析】【解答】解：，因为幂函数在上单调递增，，

所以，所以，又因为对数函数在上单调递减，所以，故.故答案为：D.【分析】根据幂函数、对数函数的单调性，借助中间值法比较大小即可.6．【答案】B【解析】【解答】解：因为等比数列的前项和为，所以成等比数列，

则，即，解得或，设等比数列公比为，则，则，则，解得.故答案为：B.【分析】由题意，利用等比数列的性质求即可.7．【答案】C【解析】【解答】解：取，中点为Q，R，连接，，如图所示：

则，，

即，所以，由图可知，当运动到或时最大，所以，所以的最大值为3.故答案为：C.【分析】借助中点和平方差公式得，再探究的最大值即可.8．【答案】B【解析】【解答】解：由题意，作出图形，如图所示：则，，，，，，

则，直线的方程为：，令，解得：，所以直线与轴交点为，由于，则直线的方程为：，令，解得：，所以直线与轴交点为，因为直线与直线的交点在轴上，所以，解得：，所以双曲线的离心率.故答案为：B.【分析】根据题意可得，，，，，，分别求出直线和的方程，从而得直线和与轴的交点坐标求解即可.9．【答案】B,D【解析】【解答】解：由，A、，因为，故A错误；B、是偶函数，故B正确；C、由，最大值为1，故C错误；D、，则，由正弦函数的单调性可知：函数在上单调递减，故D正确.故答案为：BD.【分析】先化简函数解析式，结合三角函数的性质逐项分析判断即可.10．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：图（1）的分布直方图为单峰对称的，则平均数=中位数=众数，故A正确；图（2）众数最小，图形为单峰右拖尾，故平均数大于中位数，故B错误，C正确；图（3）为单峰左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D正确.故答案为：ACD.【分析】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断即可.11．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：A、因为，所以为奇函数，若为偶函数，则，与条件不符，故A错误；

B、由，则，因为，所以，即，又定义在上，故为奇函数，故B正确；

C、由，，，所以，则，所以，，所以，所以，则函数，是周期函数，周期为4，故C正确；

D、由是周期函数为的周期函数，由，令，则，即，令，则，即，由，，则，则关于对称，则关于对称，又为奇函数，即关于中心对称，故关于对称，则，则，故D正确.故答案为：BCD.【分析】结合函数与导数的关系，函数的奇偶性、对称性与周期性的定义，利用赋值法与函数性质逐项分析判断即可.12．【答案】【第1空】12；【解析】【解答】解：由椭圆定义，可得，因为，所以，解得，，又因为，所以，即，故.故答案为：.【分析】由题意，结合椭圆定义、勾股定理的逆定理以及三角形面积公式计算即可.13．【答案】【第1空】；【解析】【解答】解：设圆台的高为h，因为圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，则该圆台的体积为，解得，作出圆台的轴截面，如图所示：记上底面圆心为，下底面圆心为，则，，过作，则，又，所以圆台的母线长为．故答案为：.【分析】由题意，根据圆台的体积求得圆台的高h，作出圆台的轴截面，利用勾股定理求解即可.14．【答案】【第1空】；【解析】【解答】解：，令，则，要使有最小值，则为钝角，即，于是，设，因为，所以，令，即，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，故当时，函数有最大值，最大值为，所以的最小值为，此时，，即存在，显然存在，使得，即的最小值为.故答案为：.【分析】根据三角形内角和定理，两角和的正弦公式、辅助角公式、结合换元法得到，求导利用导数判断函数的单调性求最值求解即可.15．【答案】（1）解：由题意，，得：，所以，又，且，所以，由，故.（2）解：，所以，由余弦定理，，又，联立得：，，所以的周长为.【解析】【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化边为角，结合两角和的正弦公式计算即可；（2）根据题意，利用三角形的面积公式，结合余弦定理计算即可.16．【答案】（1）解：时，，，所求切线方程为，整理得：.（2）解：，因为，故时，在上单调递增，当时，对于，若，则，此时在上单调递增，若，令，得，时，单调递增；时，单调递增；时，单调递减；综上所述：时，在上单调递增；时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，【解析】【分析】（1）将代入，求导，利用导数的几何意义求切线方程即可；

（2）求导，利用导数判断函数的单调性即可.17．【答案】（1）证明：连接，如图所示：

满足，则，即，平面平面，且交线为，由，得平面，由平面，得，又，且，所以平面，

由平面，得，设，有，解得：，所以，满足，即，所以平面，由平面，得.（2）解：以为坐标原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：则，，设平面的法向量，由，即，取，得到平面的一个法向量，又，设直线与平面所成角的大小为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.【解析】【分析】（1）由题意，利用余弦定理和勾股定理证明，再由面面垂直的性质定理得到平面，从而；根据已知条件解得，由勾股定理；利用线面垂直的判定定理得证平面，即可证明；（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.18．【答案】（1）解：设，由，得，所以方程为：，整理得：，同理，方程为：，联立得：，设直线的方程为，与抛物线方程联立得：，故，所以，有，所以点在定直线上.（2）解：在的方程中，令，得，所以面积，故，带入可得：，，解得：或，所以点的坐标为或.（3）解：抛物线焦点，由得直线斜率，所以，同理，所以是外接圆的直径，若点也在该圆上，则，由，得直线的方程为：，又点在定直线上，联立两直线方程，解得点的坐标为.【解析】【分析】（1）设，求导，利用导数的几何意义求和的方程，进而求得点的坐标，再联立直线、抛物线的方程，利用韦达定理分析求解即可；（2）根据面积关系可得，结合韦达