中考数学几何压轴题辅助线复习

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中考日吃愿几何（辅助线）

精选L如图，RtAABC中，zABC=90°,DE垂直平分AC,垂足为。,

ADIIBC,且AB=3,BC=4,贝AD的长为

辅选2.如图，^ABC^,ZC=6O°,zCAB^zCBA^^AE,BF相交于点D,

求证：DE=DF.

精选3.已知：如图，。0的直径AB=8cm,P是AB延长线上的一点，过点P作的切

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线，切点为C,连接AC.

(1)若NACP=120。，求阴影部分的面积；

(2)若点P在AB的延长线上运动，zCPA的平分线交AC于点M,NCMP的大小是否发生

变化？若变化，请说明理由；若不变，求出NCMP的度数。

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侬4、如图1,RtMBC中,zACB=90°,AC=3,BC=4，点0是斜边AB上一动点，以

0A为半径作OO与AC边交于点P,

(1)当0A=至时,求点0到BC的距离；

2

(2)如图1,当OA=1^时，求证：直线BC与。0相切；此时线段AP的长是多少？

8

(3)若BC边与OO有公共点，直接写出0A的取值范围；

(4)若CO平分NACB,则线段AP的长是多少？

精选5.如图，已知AABC为等边三角形，NBDC=120°,AD平分NBDC,

求证：BD+DC=AD.

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精选6、已知矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上

的P点处.

(1)如图1,已知折痕与边BC交于点。，连结AP、OP、0A.

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①求证：AOCPSAPDA；

②若AOCP与APDA的面积比为1:4,求边AB的长；

(2)若图1中的点P恰好是CD边的中点，求/OAB的度数；

(3)如图2,在(1)的条件下，擦去折痕AO、线段OP,连结BP.动点M在线段

・・•・•・

AP上(点M与点P、A不重合)，动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM,连结MN

交PB于点F,作MEJLBP于点E.试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发

生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度.

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精选7、如图，四边形ABCD是边长为2,一个锐角等于60°的菱形纸片，小芳同学将一个

三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边

分另II交CB、BA(或它们的延长线)于点E、F,zEDF=60°,当CE=AF时，如图1小芳同

学得出的结论是DE=DF.

(1)继续旋转三角形纸片,当CE/AF时，如图2小芳的结论是否成立？若成立，加以证

明；若不成立，请说明理由；

(2)再次旋转三角形纸片，当点E、F分别在CB、BA的延长线上时，如图3请直接写出

DE与DF的数量关系；

(3)连EF,若3EF的面积为y,CE=x，求y与x的关系式，并指出当x为何值时,y有

最小值，最小值是多少？

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精选8、等腰RtMBC中，NBAC=90°,点A、点B分别是x轴、y轴两个动点，直角边

AC交x轴于点D,斜边BC交y轴于点E;

(l)如图(l),若A(0,l),B(2,0),求C点的坐标；

(2)如图(2),当等腰RfABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE,求证：NADB=

zCDE

(3)如图(3),在等腰RtMBC不断运动的过程中，若满足BD始终是NABC的平分线,

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S随4的变化情况.第题图

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参考答案

*1

解:.RtAABC中，zABC=90°,AB=3,BC=4,

-,AC=VAB2+BC2=V32+42=5'

.DE垂直平分AC,垂足为O,

;.OA=J；AC=_§,ZAOD=ZB=90°,

22

•.ADIIBC,

.-.zA=zC,

.1△AODSACBA,

.,国=6,gpAE=21_5,解得AD=9.

ACBC548

故答案为：25.

8

32

证明：在AB上截取AG,使AG=AF,

易证AAD&AADG(SAS).

.-.DF=DG.•.4=60°,

AD,BD是角平分线,易证NADB=120。.

;.NADF=NADG=NBDG=NBDE=60°.

易证ABDMABDG(ASA).

.-.DE=DG=DF.

33、

解：(1)连接OC.

・•,PC为o。的切线，

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.-.PC±OC.

.-.zPCO=90jg.

•.zACP=120°

.-.zACO=30°

•.OC=OA,

；.NA=NACO=30度.

.-.zBOC=60o

•-0C=4

PC=4*tan60<>=473

•s=s-s=c81•

,-OPC>扇形BOC8v3--y1

（2）zCMP的大小不变，zCMP=45°

由（1）知NBOC+NOPC=90。

■.PM平分NAPC

.-.zAPM=lzAPC

2

•.zA=lzBOC

2

.-.zPMC=zA+zAPM=l（zBOC+zOPC）=45°.

2

*4.

解：（1）在RtAABE中，AB=4AC）+BC?=2+42=5"（1分）

过点。作OD_LBC于点D,则ODIIAC,

5-J

.©ODBSAACB,口,.-.PD___?,..。小，

AC-AB3=-50Er2

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.•点0到BC的距离为2.（3分）

2

（2）证明：过点0作OE_LBC于点E,OF±AC于点F,

R15

“OEBSAACB,.3M•.逆=____8F

AC-AB3-58

二.直线BC与。。相切.（5分）

此时，四边形OECF为矩形，

.-.AF=AC-FC=3-1§=9（

88

•--OF±AC,.-.AP=2AF=J.（7分）

4

（3）*3（争㈠分）

O/

（4）过点。作OGUC于点G,OH_LBC于点H,

贝II四边形OGCH是矢曲,且AP=2AG,

设正方形OGCH的边长为x,则AG=3-x,

■/OGllBC,■.△AOG-^ABC,

.OGAG“3

BCACA"4

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.•.3-x=£，，f，，AP=2AG=".（12分）

4X77

*5、

证法工：（截长）如图，截DF=DB,易证ADBF为等边三角，然后证ABDRABFA即可；

证法2:（截长）如图，截DF=DC,易证ADCF为等边三角，然后证ABDRAAFC即可；

皿3:（补短）如图，延长BD至F,使DF=DC,止匕时BD+DC=BD+DF=BF,

易证ADCF为等边△,再证ABCF^ACD即可.

证法4:（四点共圆）两组对角分别互补的四边形四个顶点共圆.

设AB=AC=BC=a,根据（圆内接四边形）托勒密定理：

CDa+BDa=ADa，得证.

精选6、

解：（1）如图1,①...四边形ABCD是矩形，，AD=BC,DC=AB,zDAB=zB=z

C=zD=90°.

由折叠可得：AP=AB,PO=BO,zPAO=zBAO,zAPO=zB.

.-.zAPO=90°.

.­.ZAPD=90°-zCPO=zPOC.

•,zD=zC,zAPD=zPOC.

.-.△OCP-APDA.

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②•"OCP与APDA的面积比为1:4,

,OC=pP=CP=lj=l

PDPADAV12

.-.PD=20C,PA=20P,DA=2CP.

•.AD=8,.-.CP=4,BC=8.

设OP=x,则OB=x,C0=8-x.

在RMPCO中，

•.zC=90°,CP=4,OP=x,CO=8-x,

.•.X2=(8-X)2+42.

解得：x=5.

.-.AB=AP=2OP=10.

・••边AB的长为10.

(2)如图1,

•；P是CD边的中点，

.•.DP=1DC.

2

•.DC=AB,AB=AP,

，DP=2AP.

2

•.zD=90°,

.•.sinzDAP=DP=l.

AP2

.-.zDAP=30°.

•.zDAB=90°,zPAO=zBAO,zDAP=30°,

.■，zOAB=30°.

••zOAB的度数为30。.

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(3)作MQuAN,交PB于点Q,如图2.

•.AP=AB,MQ11AN,

.-.zAPB=zABP,zABP=zMQP.

.-.zAPB=zMQP.

.-.MP=MQ.

-.MP=MQ,ME±PQ,

.-.PE=EQ=IPQ.

2

•」BN=PM,MP=MQ,

.-.BN=QM.

,.,MQIIAN,

.-.zQMF=zBNF.

在AMFQ和ANFB中,

rZQHF=ZBNF

'ZQFI=ZBFN-

QM=BN

」.△MFQANFB.

.-.QF=BF.

.".QF=1QB.

2

.•.EF=EQ+QF=1PQ+1QB=1PB.

222

由⑴中的结论可得：

PC=4,BC=8,zC=90°.

,-PB=V82+42=4^-

.-.EF=1PB=2V5.

2

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.•・在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，长度为275.

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侬7、

解：(1)DF=DE.理由如下：

如答图1,连接BD.

•.,四边形ABCD是菱形，

.,.AD=AB.

X-.zA=60°,

.”ABD是等边三角形，

.-.AD=BD,zADB=60°,

.-.zDBE=zA=60°

•••zEDF=60°,

rZADF=ZBDE

.,./ADF=NBDE.,.在AADF与ABDE中，,AD=BD

ZA=ZDBE

."ADF%BDE(ASA),

.-.DF=DE;

(2)DF=DE.理由如下：

如答图2,连接BD.•四边形ABCD是菱形，

.-.AD=AB.

又•.NA=60°,

.”ABD是等边三角形，

.-.AD=BD,zADB=60°,

.•.zDBE=zA=60°

■.zEDF=60°,

.-.zADF=zBDE.

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，ZADF=ZBDE

,.在AADF与ABDE中,,AD=BD

ZA=ZDBE

..△ADF乎BDE(ASA),

.-.DF=DE;

(3)由(2)知，3DF当BDE.则SaADF=SiBDE,AF=BE=x.

依题意得：y=SRC+S=1(2+x)xsin60°+lx2x2sin60°=^(x+1)2+^.§Py=2^

‘BEF-ABD22444

(x+1)2+立.

_4

♦.近>0,

4

二该抛物线的开口方向向上，

38、

(l)解：过点C作CF，y轴于点F,

.".zAFC=90°,

.-.zCAF+zACF=90o.

・"ABC是等腰直角三角形，zBAC=90°,

.-.AC=AB,zCAF+zBAO=90°,zAFC=zBAC,

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.".zACF=zBAO.

在AACF和AABO中，

rZAFC=ZBAC

-ZACF=ZBA0，

AC=AB

.-.AACF^AABO(AAS)

.-.CF=OA=1,AF=OB=2

.'.OF=1

.•.C(-1,-1);

(2)证明：过点C作CG±AC交y轴于点G,

.".zACG=zBAC=90o,

.-.zAGC+zGAC=90°.

•••zCAG+zBAO=90°,

.,.zAGC=zBAO.

•••zADO+zDAO=90°,zDAO+zBAO=90°,

/.zADO=zBAO,

.,.zAGC=zADO.

在AACG和AABD中

2AGC=NADO

，ZACG=ZBAC

AC=AB

.”ACG空3BD(AAS),

.-.CG=AD=CD.

•••zACB=zABC=45°,

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.".zDCE=zGCE=45°,

在ME和AGCE中,

DC=GC

-ZDCE=ZGCE，

CE=CE

二ADCE当GCE(SAS),

.'.zCDE=zG,

.,.zADB=zCDE;

(3)解：在OB上截取OH=OD,连接AH

由又寸称性得AD=AH,zADH=zAHD.

•.,NADH=NBAO.

.-.zBAO=zAHD.

•.BD是NABC的平分线，

.,.zABO=zEBO,

•••zAOB=zEOB=90°.

在AAOB和AEOB中,

2ABO=NEBO

■OB=OB/

ZA0B=ZE0B

.“AOBAEOB(ASA),

..AB=EB,AO=EO,

.,.zBAO=zBEO,

.-.zAHD=zADH=zBAO=zBEO.

.-.zAEC=zBHA.

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在AAEC和ABHA中,

rZAEC=ZBHA

'ZCAE=ZABO，

AC=AB

「.△ACE学BAH(AAS)

.-.AE=BH=20A

■.DH=20D

.'.BD=2(OA+OD).

图(1)

精选9、

(1)证：设