资产评估中的定量分析基础与模型

资产评估中的定量分析基础与模型

AHP法应用中层次图及判断矩阵的处理生存曲线图的构造线性回归预测方法及移动平均预测方法的应用数据相关性分析的检验方法各种平均数的含义和计算方法数据的统计描述分析一、数据的集中趋势分析资产评估中，常用平均值描述一组数据的共性（集中趋势）。常用的平均值的主要有算术平均数、几何平均数、众数和中位数等。算术平均数算术平均数是总体各单位变量值之和除以变量值个数所得的结果.它是平均值的基本计算方法。算术平均数的一条重要的数学性质:各个变量值与其算术平均值的离差之和等于零数学表达式为：==0算术平均数有两种计算方法：简单算术平均数加权算术平均数。数据的统计描述分析一、数据的集中趋势分析资产评估中，常用平均值描述一组数据的共性（集中趋势）。常用的平均值的主要有算术平均数、几何平均数、众数和中位数等。加权算术平均数

简单算术平均数

依据未分组的原始数据，将总体各单位变量值简单加总之后除以变量值个数所得的结果。计算公式为：

（4-1）式中：表示算术平均数，表示总体各单位变量，表示变量值个数。

将各个变量值乘以其相应的权重，然后加总求和，再除以总权数。计算公式为：

（4-2）式中：表示各个变量的权重数据的统计描述分析资产评估中，常用平均值描述一组数据的共性（集中趋势）。常用的平均值的主要有算术平均数、几何平均数、众数和中位数等。一、数据的集中趋势分析几何平均数

几何平均数是n个变量值连乘积的次方根。在资产评估中常用的是简单几何平均数，它适用于总体中每个比率只出现一次的情况。其计算公式为：式中：G表示几何平均数；

表示变量值。（4-3）

计算几何平均数也可采用对数方法。将等式两边同时取对数得：（4-4）然后将等式右边的计算结果求反对数，即得几何平均数的值。例4-1：对某企业进行资产评估中，预计未来3年的通货膨胀率分别为2％，6％和10％，则其平均的通货膨胀率计算如下：数据的统计描述分析一、数据的集中趋势分析

中位数和众数两者都是根据平均值在总体中所处的位置来确定的平均数，也称作位置平均数。资产评估中，常用平均值描述一组数据的共性（集中趋势）。常用的平均值的主要有算术平均数、几何平均数、众数和中位数等。众数

中位数

将总体各单位的变量值按大小顺序排列，排在数列中点位置的变量值为中位数。中位数将数列分为相等的两部分，一部分变量值小于中位数，另一部分变量值大于中位数。

众数是总体中出现次数最多的变量值。通常用来确定众数的方法是根据单项式变量数列确定众数，只需找出次数最多的变量值，即为众数。数据的统计描述分析中位数确定未分组的原始数据的中位数，可按以下步骤进行：（1）原始数据按大小顺序排列；（2）用公式确定中位数的位次；（3）根据中位数的位次找出对应的变量值。由于中位数是根据数列中点的位置确定的，因此，影响中位数的大小的主要因素是数列总数的多少，而不是变量值的大小。如，设数列

1012172025

其中位数为17，若将最大数扩大10倍，中位数仍为17。这说明中位数不受极端数值的影响。众数具有以下特点(1)众数是根据变量值出现次数的多少确定的，因此不受极端数值的影响。(2)在一个次数分布中有几个众数，称为多重众数。在测定总体集中趋势时，若出现多重众数，说明总体中存在不同性质的事物。为了认识事物的本质特征，可将其分解为几个不同分布加以研究。算术平均数众数几何平均数中位数几种平均数之间关系的比较数据的相关分析1．确定现象之间有无关系。这是相关分析的起点。2．确定相关关系的表现形式。3．测定相关关系的紧密程度。

相关分析主要是分析现象之间是否存在相关关系，以及相关关系的方向、形式和关系的密切程度。相关分析的主要内容有：数据的相关分析相关关系的测定（一）简单相关系数的计算----皮尔森（Pearson）相关系数设

是

的

n

组观测值，则相关系数的计算公式为：

（4-9）

在许多情况下，相关系数的计算可以同回归系数的计算结合起来，于是也可以用下列公式进行计算：

（4-10）数据的相关分析相关关系的测定（一）简单相关系数的计算----皮尔森（Pearson）相关系数简单相关系数r测定了变量x和y之间的线性相关程度，其取值范围是[-1，1]。

若0＜r

≤1，表明与之间存在正相关；若-1≤r＜0，表明与之间存在负相关；若r=1，表明与之间存在完全正相关；若r=-1，表明与之间存在完全负相关；若r=0，说明与之间不存在线性相关关系。

利用相关系数的数值大小来判断变量之间的相关程度的高低，也有一些经验的标准。若∣r∣＜0．3,表明与之间不存在线性相关关系；若0．3≤∣r∣＜0．5,表明与之间存在低度的线性相关关系；若0．5≤∣r∣＜0．8,表明与之间存在显著的（中等的）线性相关关系若∣r∣≥0．8，表明与之间存在高度的线性相关关系。数据的相关分析二、相关系数的显著性检验第一步：建立假设。：（总体内两个变量之间的线性相关关系不显著）：（总体内两个变量之间的线性相关关系显著）第二步：确定显著性水平

，一般规定

=0.05

或

=0.01。第三步：建立检验的统计量。在小样本条件下，通常采用t检验来检验相关系数的显著性，其检验采用的统计量为：第四步：查t分布表。根据给定的显著性水平

和自由度，查t分布表，得到相应的临界值。

第五步：做出统计决策。若≥，拒绝原假设，表明r不是抽自的总体，说明在总体范围内，变量x与y之间存在显著的线性关系；若＜，表明r是抽自A

的总体，说明在总体范围内，变量x与y之间不存在显著的线性关系。

数据的回归分析回归分析的主要内容有以下几个方面：

从样本数据出发，确定出变量之间的数学关系式；对所确定的关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出影响显著的变量；用确定的关系式，根据一个或几个变量的值来预测或控制另一特定变量的取值，并给出相应的精确度。数据的回归分析一、一元线性回归分析若变量和之间存在着线性关系，其数量变化关系可用下列一元线性回归模型描述：

的数学期望作为的估计（），得到如下一元线性回归方程：（4-11）（4-12）对于上述回归模型或回归方程中的参数和，我们可以根据样本数据，运用适当的统计方法进行估计，分别得到其估计值和，这样，我们可以得到如下经验回归方程：＝＋（4-13）数据的回归分析一、一元线性回归分析实际应用中，我们一般运用普通最小二乘法来估计和，其估计公式为：

＝＝（4-14）（4-15）二、二元线性回归分析二元线性回归模型的一般表达式为：（4-16）实际应用中，建立下列回归方程：（4-17）数据的回归分析三、非线性回归分析几种常见的曲线函数：双曲线型指数曲线型抛物线型一元非线性回归分析的概念非线性回归分析的概念双曲线型一种双曲线数学模型：运用的条件：变量y随x的增加而增加（或减少），且最初增加（或减少）很快，以后逐渐减慢并趋于稳定对于双曲线进行线性化处理，可以令则有线性化模型：（4-19）运用最小二乘法估计原模型中的参数，首先要按和生成新的数据和，然后按最小二乘法估计方法，估计出参数和的值即可。数据的回归分析三、非线性回归分析几种常见的曲线函数：双曲线型指数曲线型抛物线型指数曲线型指数曲线型的一般方程为：（4-20）这就是指数曲线的线性化模型表达式。运用最小二乘法估计原模型中的参数，首先要按

生成新的数据，然后按最小二乘法估计方法，估计出线性化模型中的参数和

b，最后，还要查反对数，获得真值。这样，原模型中的参数和b就全部估计出来了。抛物线型抛物线型的回归方程为的一般形式是：（4-21）按最小二乘法，确定、、的估计值、、，其估计公式为

求解上述三个方程，就得到、、的估计值，曲线方程也就得以确定。数据的回归分析显著性检验主要是对回归方程中的线性关系和回归系数进行假设检验统计评价主要是对回归直线的拟合优度进行判断（一）回归直线拟合优度的统计评价

拟合优度，是指样本观测值聚集在样本回归线周围的紧密程度。判断回归模型拟合程度大小的最常用指标是判定系数和估计标准误差。

对任一实际观察值总有：（-）=（-）+（-）

对于全部样本观测点，可以证明有如下关系式成立：

如果记

：则有：

数据的回归分析（一）回归直线拟合优度的统计评价1．判定系数我们把回归平方和与总离差平方和之比定义为样本判定系数，即：（4-22）判定系数是评价一条回归直线与样本观测值拟合优度的指标。0≤≤1，越接近于1，拟合优度就越好。对于二元线性回归分析，一般使用修正的判定系数来判断回归直线的拟合优度。修正的判定系数计算公式如下：（4-23）式中，为自变量个数，二元线性回归方程中。实际应用中，如果判定系数在0．7以上，则说明回归直线的拟合优度比较高。

2．回归标准差S作用回归标准差的计算公式为：一元线性回归时：

（4-24）二元线性回归时：

（4-25）值越小，表明回归直线拟合程度越高。数据的回归分析显著性检验主要是对回归方程中的线性关系和回归系数进行假设检验1、对各回归系数的显著性进行检验（t检验）2、对回归方程中自变量与因变量线性关系的显著性进行检验（F检验）t检验检验x与y之间是否真正存在线性关系若回归系数＝0，则所求回归直线就为一条水平线，x与y之间无线性关系若回归系数≠0，则认为x与y之间存在线性关系，所建立的回归方程符合变量间的变化规律数据的回归分析显著性检验主要是对回归方程中的线性关系和回归系数进行假设检验t检验的步骤（1）假设观测的样本来自没有线性关系的总体，即：一元线性回归时：:b=0:

二元线性回归时：::(j=1,2)

（2）计算回归系数的检验统计量值t

：一元线性回归时：式中，为回归系数b的标准差，其计算公式为：（4-26）为回归估计标准误差，计算方法是：（4-27）数据的回归分析显著性检验主要是对回归方程中的线性关系和回归系数进行假设检验t检验的步骤（2）计算回归系数的检验统计量值t：（4-28）

式中，为回归系数的标准差，其计算公式为：（4-29）（4-30）（3）根据给定的显著性水平和自由度(n

-2)，查t分布表，可得相应的临界值

（4）决策若，则拒绝,得出的结论；若≤，则不能拒绝。数据的回归分析显著性检验主要是对回归方程中的线性关系和回归系数进行假设检验1、对各回归系数的显著性进行检验（t检验）2、对回归方程中自变量与因变量线性关系的显著性进行检验（F检验）F检验检验所得到的线性回归方程在整体上是否显著成立，进一步检验x与y之间是否存在线性关系。F检验步骤：（1）假设回归方程是不显著的，即：一元回归分析时：二元回归分析时：数据的回归分析显著性检验主要是对回归方程中的线性关系和回归系数进行假设检验F检验步骤：（2）计算回归方程的F统计量：一元回归分析时：二元回归分析时：（4-31）（4-32）（3）根据给定的显著性水平，分子自由度1和分母自由度，查F分布表中相应的临界值（4）决策：若，则拒绝原假设，说明回归方程显著；若≤，则不能拒绝原假设，x与y之间的关系不明显或无关系，说明回归方程不显著。

注意：在一元回归模型中，只存在一个解释变量x，因此对b=0的t检验与对方程整体的F检验是等价的，即t检验成立，则F检验一定成立。

数据的回归分析例4-3：为了对一家金融服务公司进行价值评估，我们收集了金融服务行业上市公司的市场价值与账面价值比率及股权收益率的资料，见表4-2(第79页)。评估中拟以这些公司市场价值/账面价值比率与其股权收益率的关系来确定目标公司市场价值/账面价值比率。预测中的定量分析方法

时间序列预测分析多元回归预测如果在回归分析中，设定时间变量为自变量，这种回归分析就称为趋势回归分析运用条件：影响预测目标的因素基本稳定，预测目标随时间序列呈线性变化趋势趋势回归预测例4-4：为评估XX公司价值，拟采用折现现金流量法。首先要预测该公司未来销售收入。已知该公司历年销售收入下表所示。由于该公司目前发展稳定，在过去几年里销售收入稳步增长，可采用趋势回归外推法来进行未来销售收入预测。年份年序(x)销售收入y（万元）1995140081996245551997362691998465921999510458200061240120017110502002811590200391481420041015243预测中的定量分析方法

时间序列预测分析多元回归预测运用条件：较多因素影响预测目标。一般要按以下几个步骤进行：

（四）运用最小二乘法，借助计算机软件求出回归方程，对预测目标的未来变化进行预测。（二）简单相关分析。根据历史资料分别计算预测目标与各个影响因素的简单相关系数，选择那些与预测目标相关程度较高者作为自变量。一般而言，与预测目标相关系数小于0．8的因素被视为相关程度不高，可以舍弃，不纳入预测模型。（一）因素分析。根据历史记录的信息，分析影响预测目标变动的各种因素（三）判断影响因素的多重共线性通过简单相关分析选择的自变量能否全部进入预测模型，取决于自变量之间是否有较强的线性关系。解决的办法是在存在高度线性相关的自变量间略去与预测目标相关系数较小者，只保留一个相关程度较高的自变量。例4-5：对某种食品V的未来需求进行预测，相关资料见表4-7（第83－84页）预测中的定量分析方法

时间序列预测分析（一）移动平均数法利用过去若干期实际销售量的平均值，来预测当地销售量的。每预测一次，在时间上就逐次往后推移，每期预测，均取前若干期销售实绩的平均值作为当期的预期值。移动平均数的计算公式为：（4-33）式中：——第t期的平均数，即当期预测值；N——期数；

——前一期实绩；

——前二期实绩；

——前第N期实际。（二）指数平滑法

指数平滑法是一种权数较特殊的加权平均法。前期实际销售量乘以α（α表示加权因子或平滑系数），前期预测的销售量乘以（1－α），这两个乘积相加便得出本期预测销售量。指数平滑法是利用上期预测值为实际值资料进行预测的一种应用方法，其计算公式为：（4-35）式中：——上期实际销售量；

——上期预测值；

——本期预测值；

——平滑系数。寿命周期模型分析及应用一、寿命周期模型分析应收集的数据

（1）在评估基准日所有活跃的资产个体单位的年龄；（2）所有已退废的资产个体单位的年龄（在退废时）；（3）所有已退废的资产个体单位开始使用的日期。1．活跃的个体单位（如现有客户、机器设备等）（1）独特的个体单位识别符号（姓名、账号、机器标识码等）（2）开始日期（客户首次加入服务的日期、机器首次投入使用的日期等）（3）资产相关的经济收益的计量（如客户、设备带来的平均收入等）2．退出服务的个体单位（1）独特的个体单位识别符号；（2）开始日期；（3）结束日期（如业务关系结束的日期、机器设备报废的日期等）在多数情况下，不易获得已退出服务的资产个体单位的年限。这时，一般只能取得评估基准日之间一个阶段的数据：（1）在每个时间段开始时在用个体单位的数量；（2）在每个时间段内服务的个体单位数量（退出服务实际使用年限未知）。寿命周期模型分析及应用一、构建生存曲线生存曲线是一条向下倾斜的（或反S型）的图形，表示在某一组已知的资产中在各年龄点仍在继续服务（或起作用）的个体单位数量。纵坐标y，表示在不同年龄点（横坐标x）仍在继续服务（或起作用）的最初那组资产的百分比数或实际数量。构建目标资产的生存曲线的步骤：1、根据企业相关资产历史数据信息，确定目标资产的退废率及生存率（4-36）生存率＝1－退废率

（4-37）2、根据估计的退废率构建相似目标资产的未来生存曲线图例4-6

假设某一银行的客户账户资产历史数据见表4-16，构建其的未来生存曲线图（第87页）AHP法在组合无形资产分割评估中的应用一、层次分析法简介

层次分析法，简称AHP法（AnalyticalHierarchyProcess），是美国学者Saty提出的一种运筹学方法。这是一种综合定性和定量的分析方法，可以将人的主观判断标准，用来处理一些多因素、多目标、多层次复杂问题。运用AHP法解决问题，大体可以分为四个步骤：（四）层次总排序（三）层次单排序（二）构造两两比较判断矩阵（一）建立层次结构模型AHP法在组合无形资产分割评估中的应用运用AHP法解决问题，大体可以分为四个步骤：（一）建立层次结构模型把复杂问题分解为由元素组成的各个部分，把这些元素按其属性分若干组形成不同层次，建立相邻（上、下）层次中不同元素间的联系，构造递阶层次结构模型，如下图所示。目标层为运用AHP法分析的明确目的，只有一个元素准则层为判断目标的或实现目标的约束，如果问题复杂，可划分为若干子对层次，同层元素有支配作用方案层为实现目标的方案或策略。通过逻辑分析，可建立相邻层次间各元素之间的联系，用连线表示。

AHP法在组合无形资产分割评估中的应用AC1C2…CnC1C2┇Cna11a12…a1n

a21a22…a2n┇┇…┇

an1an2…ann运用AHP法解决问题，大体可以分为四个步骤：（二）构造两两比较判断矩阵

根据模型表示的层次和元素间的联系，构造由某一元素与相邻下一层次有联系的所有元素的比较判断矩阵。如图中A层与C层间可建立比较判断矩阵：相对重要标度涵义理解1两元素具有相同重要性对于同一问题两个要素贡献相同3一个元素比另一元素稍微重要认为一个要素比另一要素贡献稍微大一些5一个元素比另一元素明显重要认为一个要素比另一要素贡献明显大一些7一个元素比另一元素强烈重要认为一个要素比另一要素贡献强烈大9一个元素比另一元素极端重要认为一个要素比另一要素贡献极端大2/4/6/8作为上述相邻判断的插值判断矩阵元素按一定比例标度两两比较得到，标度及涵义见左表AHP法在组合无形资产分割评估中的应用AC1C2…CnC1C2┇Cna11a12…a1n

a21a22…a2n┇┇…┇

an1an2…ann运用AHP法解决问题，大体可以分为四个步骤：（二）构造两两比较判断矩阵

根据模型表示的层次和元素间的联系，构造由某一元素与相邻下一层次有联系的所有元素的比较判断矩阵。如图中A层与C层间可建立比较判断矩阵：相对重要标度涵义理解1两元素具有相同重要性对于同一问题两个要素贡献相同3一个元素比另一元素稍微重要认为一个要素比另一要素贡献稍微大一些5一个元素比另一元素明显重要认为一个要素比另一要素贡献明显大一些7一个元素比另一元素强烈重要认为一个要素比另一要素贡献强烈大9一个元素比另一元素极端重要认为一个要素比另一要素贡献极端大2/4/6/8作为上述相邻判断的插值判断矩阵元素按一定比例标度两两比较得到，标度及涵义见下表以上判断是一种经验和对问题的认识程度的主观反映。判断矩阵是一个方阵，A=（aij）n×n，并有如下性质：①aij>0,②aij=1/aji,③aii=ajj=1称为正的互反矩阵。

AHP法在组合无形资产分割评估中的应用运用AHP法解决问题，大体可以分为四个步骤：（三）层次单排序

计算比较判断矩阵的特征向量及最大特征根λmax这里仅介绍一种简单的近似计算方法——方根法。其计算步骤如下：1．计算判断矩阵每一行元素的乘积Mi(i=1,2,…，n)2．计算Mi的n次方根(i=1,2,…，n)3．对向量进行归一化处理，即使(i=1,2,…，n)则W=（W1，W2，W3，…,Wn）T即为判断矩阵的特征向量4．计算判断矩阵的最大特征根式中，同样表示向量的第i个元素。AHP法在组合无形资产分割评估中的应用运用AHP法解决问题，大体可以分为四个步骤：５．一致性检验上述排序权重由经验和判断形成的比较判断矩阵计算得到，主观的经验和判断是否有客观的一致性（不致出现相互矛盾），即排序权重是否有满足性要求，必须进行检验。检验方法分三步进行：

（三）层次单排序（1）计算一致性指标CI（4-38）式中：λmax—比较判断矩阵的最大特征根n比较判断矩阵阶数（2）根据比较判断矩阵阶数n，查出平均随机一致性指标RI（见下表）短阵阶数n123456789RI值0．000．000．580．901．121．241．321．411．45（3）计算一致性比率CR当CR<0．1，认为比较判断矩阵具有满意的一致性，排序权重可以接受。

AHP法在组合无形资产分割评估中的应用运用AHP法解决问题，大体可以分为四个步骤：（四）层次总排序进行各层次元素的组合权重计算，得到递阶层次结构中各层次中所有元素对总目标的相对权重，直至求出方案层各元素对总目标的排序权重。要做到这一点，需要把第三步中的计算结果进行适当组合，步骤是由上至下逐层进行，每一步的结果还需要进行一致性检验。假设已经计算出的第K-1层各元素相对总目标的组合排序权重向量为：第K层对在K-1层第j个元素作为准则下各元素的排序权重向量为：

并构成矩阵则第K层的各元素相对于总目标的总排序（或称组合排序向量）由下式算出。AHP法在组合无形资产分割评估中的应用运用AHP法解决问题，大体可以分为四个步骤：（四）层次总排序用表4-15（第93页）表示：对于总排序权重的一致性检验，也需类似逐层计算CI，若分别得到了第K-1层的计算结果I和查表结果，则相应的第K层指标为：第K层总排序一致性比率（4-39）同样当<0．1，认为K层对总目标的排序权值具有满意的一致性，可以接受