2024年深圳中考数学终极押题密卷2含答案

2024年深圳中考数学终极押题密卷2一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能是（）A．﹣3.3 B．2.3 C．﹣0.3 D．﹣2.32．（3分）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，关于该图形的对称性，下列说法正确的是（）A．是中心对称图形但不是轴对称图形 B．是轴对称图形但不是中心对称图形 C．既是中心对称图形也是轴对称图形 D．既不是中心对称图形也不是轴对称图形3．（3分）为推动农业现代化进程，宜宾市叙州区积极投入高标准农田建设，计划在2021﹣2030年新建高标准农田260800亩，数字260800用科学记数法表示为（）A．0.2608×106 B．2.608×105 C．2.608×106 D．26.08×1044．（3分）如图∠ADB＝∠ACB＝90°，E、F分别是AB、CD的中点，若AB＝26，CD＝24，则△DEF的周长为（）A．12 B．30 C．27 D．325．（3分）若点P（2x+6，x﹣4）在平面直角坐标系的第三象限内，则x的取值范围在数轴上可表示为（）A． B． C． D．6．（3分）如图，AB∥CD，且∠A＝40°，∠D＝24°，则∠E等于（）A．40° B．32° C．24° D．16°7．（3分）下列命题错误的是（）A．平行四边形的对边相等 B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 C．菱形的对角线相等 D．有一组邻边互相垂直的平行四边形是矩形8．（3分）某专卖店专门营销某种品牌的运动服，店主对上一周中运动服的销售情况统计如表：尺码S号M号L号XL号XXL号平均每天销售数量（套）310463该店主本周进货时，增加了一些M号的运动服，影响该店主决策的统计量是（）A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数9．（3分）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设井深为x尺，则下面所列方程正确的是（）A．3（x+4）＝4（x+1） B．3x+4＝4x+1 C．3（x﹣1）＝4（x﹣4） D．3x﹣4＝4x﹣110．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），经过A（1，5），B（﹣7，5）两点，那么它的对称轴是（）A．直线x＝4 B．直线x＝﹣4 C．直线x＝3 D．直线x＝﹣3二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．（3分）如果，那么．12．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是．13．（3分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点M，N分别为BC，AC上的动点，且AN＝CM，AB．当AM+BN的值最小时，CM的长为．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B，CB为⊙A的直径，点C在反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象上，点D为y轴上任意一点．若△ACD的面积为3，则k的值为．15．（3分）△ABC中，若∠A＝30°，AC＝4，BC＝3，则AB＝．三．解答题（共7小题，满分55分）16．（5分）（1）计算：|﹣3|+（π）0﹣（）﹣2﹣2cos60°（2）已知x2﹣3x﹣4＝0，求代数式的值．17．（6分）先化简（1），然后从﹣2＜m≤2中选一个合适的整数作为m的值代入求值．18．（8分）为了培养学生对航天知识的学习兴趣，组织全校800名学生进行了“航天知识竞赛”，教务处从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩（满分100分，每名学生的成绩记为x分）分成四组，A组：60≤x＜70；B组：70≤x＜80；C组：80≤x＜90；D组：90≤x≤100，并得到如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题：（1）扇形统计图中表示“C”的扇形圆心角的度数是．（2）请补全频数分布直方图；（3）规定学生竞赛成绩x≥80为优秀，估计全校竞赛成绩达到优秀的学生人数是名．（4）竞赛结束后，八年级一班从本班获得优秀（x≥80）的甲，乙，丙，丁四名同学中随机抽取两名宣讲航天知识．请用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到甲，乙两名同学的概率是多少？19．（8分）渝北区某水果种植户购买了“纽荷尔橙子”树苗与“血橙”树苗共1000株．其中“纽荷尔橙子”树苗每株30元，“血橙”树苗每株25元，该水果种植户此次购买两种树苗共计27000元．（1）求该水果种植户此次购买的两种树苗各多少株？（2）经过一段时间后，种植的这两种树苗成活率非常高，该种植户决定再购买一批这两种树苗，两种树苗购买的单价与第一批相同，预计购买“纽荷尔橙子”树苗的数量比第一批“纽荷尔橙子”树苗的数量减少a%．购买“血橙”树苗的数量比第一批“血橙”树苗的数量增加a%．且总费用不高于26400元，求a的最小值．20．（9分）黔东南州某超市购进一批商品，该商品的进价为每件30元，如果售价按每件40元出售，每个月可卖出300件．市场调查发现：这种商品的售价每上涨2元，每月少卖10件，如果超市决定该商品每件的售价高于40元但不超过60元，设每件商品的售价为x元，每月的销售量为y件．（1）写出y与x的函数关系式；（2）设每月的销售利润为w元，请写出w与x的函数关系式；（3）该商品的销售单价定为多少时，每月的销售利润最大？最大利润是多少？21．（9分）对于平面内⊙C和⊙C外一点P，若过点P的直线l与⊙C有两个不同的公共点M，N，点Q为直线l上的另一点，且满足（如图1所示），则称点Q是点P关于⊙O的密切点．已知在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，点P（4，0）．（1）在点D（﹣2，1），E（1，0），F（3，）中，是点P关于⊙O的密切点的为．（2）设直线l方程为y＝kx+b，如图2所示，①k时，求出点P关于O的密切点Q的坐标；②⊙T的圆心为T（t，0），半径为2，若⊙T上存在点P关于⊙O的密切点，直接写出t的取值范围．22．（10分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D是AB边上一点，连接CD，以CD为边作等边△CDE．（1）如图1，若∠CDB＝45°，AB＝6，求等边△CDE的边长；（2）如图2，点D在AB边上移动过程中，连接BE，取BE的中点F，连接CF，DF，过点D作DG⊥AC于点G．①求证：CF⊥DF；②如图3，将△CFD沿CF翻折得△CFD′，连接BD′，直接写出的最小值．

2024年菁优深圳中考数学终极押题密卷2参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能是（）A．﹣3.3 B．2.3 C．﹣0.3 D．﹣2.3【考点】数轴．【专题】实数；几何直观．【答案】D【分析】由数轴上数的特征可得该数的取值范围，再进行判断即可．【解答】解：由数轴上墨迹的位置可知，该数大于﹣3，且小于﹣1，因此备选项中，只有选项D符合题意，故选：D．【点评】本题考查数轴表示数的意义和方法，确定被墨迹所盖的数的取值范围是正确解答的前提．2．（3分）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，关于该图形的对称性，下列说法正确的是（）A．是中心对称图形但不是轴对称图形 B．是轴对称图形但不是中心对称图形 C．既是中心对称图形也是轴对称图形 D．既不是中心对称图形也不是轴对称图形【考点】中心对称图形；数学常识；勾股定理的证明；轴对称图形．【专题】平移、旋转与对称；应用意识．【答案】A【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：该图形是中心对称图形但不是轴对称图形．故选：A．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．（3分）为推动农业现代化进程，宜宾市叙州区积极投入高标准农田建设，计划在2021﹣2030年新建高标准农田260800亩，数字260800用科学记数法表示为（）A．0.2608×106 B．2.608×105 C．2.608×106 D．26.08×104【考点】科学记数法—表示较大的数．【专题】实数；数感．【答案】B【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．【解答】解：260800＝2.608×105．故选：B．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．4．（3分）如图∠ADB＝∠ACB＝90°，E、F分别是AB、CD的中点，若AB＝26，CD＝24，则△DEF的周长为（）A．12 B．30 C．27 D．32【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．【答案】B【分析】先根据直角三角形的性质求出DF与CF的长，再由等腰三角形的性质求出DE的长，根据勾股定理求出EF的长，进而可得出结论．【解答】解：∵ADB＝∠ACB＝90°，F是AB的中点，AB＝26，∴DF＝CFAB26＝13，∴△CDF是等腰三角形．∵点E是CD的中点，CD＝24，∴EF⊥CD，DECD＝12．在Rt△DEF中，DE5，∴△DEF的周长为：DF+DE+EF＝13+12+5＝30．故选：B．【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，熟知在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．5．（3分）若点P（2x+6，x﹣4）在平面直角坐标系的第三象限内，则x的取值范围在数轴上可表示为（）A． B． C． D．【考点】解一元一次不等式组；点的坐标；在数轴上表示不等式的解集．【专题】一元一次不等式（组）及应用；平面直角坐标系；符号意识；运算能力．【答案】B【分析】根据P为第三象限点，得到横坐标小于0，纵坐标小于0，列出关于x的不等式组，求出不等式组的解集，表示在数轴上即可得到结果．【解答】解：根据题意得：，由①得：x＜﹣3；由②得：x＜4，则不等式组的解集为x＜﹣3，表示在数轴上，如图所示：．故选：B．【点评】此题考查了在数轴上表示不等式组的解集，解一元一次不等式组，以及点的坐标，列出不等式组是本题的突破点．6．（3分）如图，AB∥CD，且∠A＝40°，∠D＝24°，则∠E等于（）A．40° B．32° C．24° D．16°【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】D【分析】由AB∥CD，得∠ACD＝∠A＝40°，而∠D＝24°，故∠E＝16°．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠A＝40°，∵∠ACD＝∠D+∠E，∠D＝24°，∴40°＝24°+∠E，∴∠E＝16°，故选：D．【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线性质和三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．7．（3分）下列命题错误的是（）A．平行四边形的对边相等 B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 C．菱形的对角线相等 D．有一组邻边互相垂直的平行四边形是矩形【考点】命题与定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；矩形的判定．【专题】多边形与平行四边形；矩形菱形正方形；运算能力；推理能力．【答案】C【分析】根据特殊四边形的性质和判定即可求解．【解答】解：A选项，平行四边形的对边相等是平行四边形的性质，故A选项正确，不符合题意；B选项，如图所示，四边形ABCD，∠A＝∠C，∠B＝∠D，∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∠A＝∠C，∠B＝∠D，∴2∠A+2∠B＝360°，则∠A+∠B＝180°，∴AD∥BC；同理，2∠B+2∠C＝360°，∴∠B+∠C＝180°，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故B选项正确，不符合题意；C选项，菱形的对角线不一定相等，故C选项错误，符合题意；D选项，根据矩形的判定，可得有一组邻边互相垂直的平行四边形是矩形，故D选项正确，不符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查特殊四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定、性质，矩形的判定，菱形的性质是解题的关键．8．（3分）某专卖店专门营销某种品牌的运动服，店主对上一周中运动服的销售情况统计如表：尺码S号M号L号XL号XXL号平均每天销售数量（套）310463该店主本周进货时，增加了一些M号的运动服，影响该店主决策的统计量是（）A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数【考点】统计量的选择；加权平均数；中位数；众数；方差．【专题】统计的应用；数据分析观念．【答案】B【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数．【解答】解：∵M号运动服的数量最多，有10套，∴这组数据的众数是M号，∴影响该店主决策的统计量是众数，故选：B．【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．9．（3分）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设井深为x尺，则下面所列方程正确的是（）A．3（x+4）＝4（x+1） B．3x+4＝4x+1 C．3（x﹣1）＝4（x﹣4） D．3x﹣4＝4x﹣1【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．【答案】A【分析】根据绳子的长度不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【解答】解：∵用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，∴绳子的长度为3（x+4）尺；又∵用绳子量井深，把绳四折来量，井外余绳一尺，∴绳子的长度为4（x+1）尺．∴根据题意可列出方程3（x+4）＝4（x+1）．故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），经过A（1，5），B（﹣7，5）两点，那么它的对称轴是（）A．直线x＝4 B．直线x＝﹣4 C．直线x＝3 D．直线x＝﹣3【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】抛物线具有对称性，当抛物线上两点纵坐标相同时，对称轴是两点横坐标的平均数．【解答】解：因为已知两点的纵坐标相同，都是5，所以对称轴是直线x3．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解抛物线的对称性，题目比较灵活，也比较容易．二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．（3分）如果，那么．【考点】比例的性质．【专题】分式；运算能力．【答案】．【分析】利用比例的基本性质进行计算即可解答．【解答】解：∵，∴5（a﹣b）＝4b，∴5a﹣5b＝4b，∴5a＝9b，∴，故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．12．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是﹣7．【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【答案】﹣7．【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：设另一个根为x，则x+2＝﹣5，解得x＝﹣7．故答案为﹣7．【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．13．（3分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点M，N分别为BC，AC上的动点，且AN＝CM，AB．当AM+BN的值最小时，CM的长为2．【考点】一次函数的应用；点的坐标．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】2．【分析】过点A作AH⊥BC于点H．设AN＝CM＝x．AM+BN，欲求AM+BN的最小值，相当于在x轴上寻找一点P（x，0），到E（1，1），F（0，）的距离和的最小值，如图1中，作点F关于x轴的对称点F′，当E，P，F′共线时，PE+PF的值最小，此时直线EF′的解析式为y＝（1）x，求出点P的坐标，可得结论．【解答】解：过点A作AH⊥BC于点H．设AN＝CM＝x．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴BC2，∵AH⊥BC，∴BH＝AH＝1，∴AH＝BH＝CH＝1，∴AM+BN，欲求AM+BN的最小值，相当于在x轴上寻找一点P（x，0），到E（1，1），F（0，）的距离和的最小值，如图1中，作点F关于x轴的对称点F′，当E，P，F′共线时，PE+PF的值最小，此时直线EF′的解析式为y＝（1）x，当y＝0时，x＝2，∴AM+BN的值最小时，CM的值为2，解法二：过点C作CE⊥CB，使得CE＝AC，连接EM，过点A作AD⊥BC于点D．∵AB＝AC＝CE，∠BAN＝∠ECM＝90°，AN＝CM，∴△BAN≌△ECM（SAS），∴BN＝EM，∴AM+BN＝AM+ME，∴当A，M，E共线时，AM+BN的值最小，∵AD∥EC，∴，∴CM1＝2．故答案为：2．【点评】本题考查等腰直角三角形的性质，轴对称最短问题，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B，CB为⊙A的直径，点C在反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象上，点D为y轴上任意一点．若△ACD的面积为3，则k的值为12．【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；切线的性质．【专题】函数及其图象；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】过点A作AE⊥y轴于点E，设⊙A的半径为r，则AC＝AB＝r，BC＝2r，设AE＝a，则点C的坐标为（a，2r），据此可得k＝2ar，然后再根据△ACD的面积为6可求出ar＝12，据此可得此题的答案．【解答】解：过点A作AE⊥y轴于点E，设⊙A的半径为r，∵⊙A与x轴相切于点B，∴AC＝AB＝r，BC＝2r，设AE＝a，则点C的坐标为（a，2r），∴k＝2ar，∵，∴，即：ar＝6，∴k＝2ar＝12．故答案为：12．【点评】此题主要考查了反比例函数的图象，三角形的面积，解答此题的关键是熟练掌握三角形的面积计算公式，理解函数图象上的点满足函数的解析式，满足函数解析式的点都在函数的图象上．15．（3分）△ABC中，若∠A＝30°，AC＝4，BC＝3，则AB＝2±．【考点】解直角三角形；勾股定理．【专题】解直角三角形及其应用；几何直观．【答案】见试题解答内容【分析】根据勾股定理以及含30度角的直角三角形的性质即可求出答案．【解答】解：当△ABC是锐角三角形时，过点C作CD⊥AB于点D，∵∠A＝30°，∴CD＝2∴由勾股定理可知：AD＝2，∴在Rt△BCD中，由勾股定理可知：32＝22+BD2∴BD，∴AB＝AD+BD＝2，同理，当△ABC是钝角三角形时，∴AB＝AD﹣BD＝2，综上所述，AB＝2±，故答案为：2±；【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及含30度角的直角三角形的性质，本题属于中等题型．三．解答题（共7小题，满分55分）16．（5分）（1）计算：|﹣3|+（π）0﹣（）﹣2﹣2cos60°（2）已知x2﹣3x﹣4＝0，求代数式的值．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】实数；整式；运算能力．【答案】（1）﹣1；（2）．【分析】（1）首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．（2）根据：x2﹣3x﹣4＝0，可得：x2﹣4＝3x，应用代入法，求出代数式的值即可．【解答】解：（1）|﹣3|+（π）0﹣（）﹣2﹣2cos60°＝3+1﹣（﹣2）2﹣2×2＝4﹣4﹣1＝﹣1．（2）∵x2﹣3x﹣4＝0，∴x2﹣4＝3x，∴．【点评】此题主要考查了实数的运算，注意运算顺序；以及代数式求值问题，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．17．（6分）先化简（1），然后从﹣2＜m≤2中选一个合适的整数作为m的值代入求值．【考点】分式的化简求值．【专题】分式；运算能力．【答案】，﹣1或0．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把m的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝（）•••，∵﹣2＜m≤2，m≠2且m≠﹣1，∴m＝0时，原式＝﹣1；m＝1时，原式＝0．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（8分）为了培养学生对航天知识的学习兴趣，组织全校800名学生进行了“航天知识竞赛”，教务处从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩（满分100分，每名学生的成绩记为x分）分成四组，A组：60≤x＜70；B组：70≤x＜80；C组：80≤x＜90；D组：90≤x≤100，并得到如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题：（1）扇形统计图中表示“C”的扇形圆心角的度数是144°．（2）请补全频数分布直方图；（3）规定学生竞赛成绩x≥80为优秀，估计全校竞赛成绩达到优秀的学生人数是480名．（4）竞赛结束后，八年级一班从本班获得优秀（x≥80）的甲，乙，丙，丁四名同学中随机抽取两名宣讲航天知识．请用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到甲，乙两名同学的概率是多少？【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；频数（率）分布直方图；扇形统计图．【专题】统计的应用；概率及其应用；运算能力；推理能力．【答案】（1）144°．（2）见解析；（3）480人；（4）．【分析】（1）由B的人数除以所占百分比得出n的值求出人数，用360°乘以“C”所占的比例即可；（2）求出A、D组人数即可补全图形；（3）由全校总人数乘以达到优秀的学生人数所占的比例即可；（4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）由题意得：n＝18÷30%＝60（名），则扇形统计图中，表示“C”的扇形圆心角的度数是360°144°，故答案为：144°；（2）A组人数为60×10%＝6（人），D组人数为60﹣6﹣18﹣24＝12（名），补全频数分布直方图如下：（3）估算全校竞赛成绩达到优秀的学生人数为：800480（名），故答案为：480；（4）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，∴恰好抽到甲、乙两名同学的概率为．【点评】此题考查的是用树状图法求概率以及频数分布直方图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．19．（8分）渝北区某水果种植户购买了“纽荷尔橙子”树苗与“血橙”树苗共1000株．其中“纽荷尔橙子”树苗每株30元，“血橙”树苗每株25元，该水果种植户此次购买两种树苗共计27000元．（1）求该水果种植户此次购买的两种树苗各多少株？（2）经过一段时间后，种植的这两种树苗成活率非常高，该种植户决定再购买一批这两种树苗，两种树苗购买的单价与第一批相同，预计购买“纽荷尔橙子”树苗的数量比第一批“纽荷尔橙子”树苗的数量减少a%．购买“血橙”树苗的数量比第一批“血橙”树苗的数量增加a%．且总费用不高于26400元，求a的最小值．【考点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用．【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力；推理能力；应用意识．【答案】（1）该水果种植户此次购买纽荷尔橙子”树苗400株，“血橙”树苗600株；（2）10．【分析】（1）设该水果种植户此次购买纽荷尔橙子”树苗x株，“血橙”树苗y株，由题意：某水果种植户购买了“纽荷尔橙子”树苗与“血橙”树苗共1000株．其中“纽荷尔橙子”树苗每株30元，“血橙”树苗每株25元，该水果种植户此次购买两种树苗共计27000元，列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）根据总费用＝单价×数量，结合总费用不高于26400元，列出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可．【解答】解：（1）设该水果种植户此次购买纽荷尔橙子”树苗x株，“血橙”树苗y株，由题意得：，解得：，答：该水果种植户此次购买“纽荷尔橙子”树苗400株，“血橙”树苗600株；（2）由题意得：30×400×（1﹣a%）+25×600×（1a%）≤26400，解得：a≥10，答：a的最小值为10．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．20．（9分）黔东南州某超市购进一批商品，该商品的进价为每件30元，如果售价按每件40元出售，每个月可卖出300件．市场调查发现：这种商品的售价每上涨2元，每月少卖10件，如果超市决定该商品每件的售价高于40元但不超过60元，设每件商品的售价为x元，每月的销售量为y件．（1）写出y与x的函数关系式；（2）设每月的销售利润为w元，请写出w与x的函数关系式；（3）该商品的销售单价定为多少时，每月的销售利润最大？最大利润是多少？【考点】二次函数的应用．【专题】一次函数及其应用；二次函数的应用；应用意识．【答案】（1）y与x的函数关系式为y＝﹣5x+500（40＜x≤60）；（2）w与x的函数关系式为w＝﹣5x2+650x﹣15000；（3）该商品的售价定为60元时，每月的销售利润最大，最大利润是6000元．【分析】（1）由商品的售价每上涨2元，每月少卖10件，可得y＝30010＝﹣5x+500，又商品每件的售价高于40元但不超过60元，即可得y＝﹣5x+500（40＜x≤60）；（2）由每件利润乘以销量即可得总利润，从而可得w与x的函数关系式；（3）结合（2），把二次函数配成顶点式，用二次函数性质可得答案．【解答】解：（1）∵商品的售价每上涨2元，每月少卖10件，∴y＝30010＝﹣5x+500，∵商品每件的售价高于40元但不超过60元，∴y与x的函数关系式为y＝﹣5x+500（40＜x≤60）；（2）根据题意得：w＝（x﹣30）⋅y＝（x﹣30）（﹣5x+500），整理化简得：w＝﹣5x2+650x﹣15000，∴w与x的函数关系式为w＝﹣5x2+650x﹣15000；（3）由（2）知：w＝﹣5x2+650x﹣15000＝﹣5（x﹣65）2+6125，∵a＝﹣5＜0，抛物线对称轴为直线x＝65，∴当40＜x≤60时，w随x的增大而增大，∴当x＝60时，w取得最大值，最大值为﹣5×（60﹣65）2+6125＝6000（元），答：该商品的售价定为60元时，每月的销售利润最大，最大利润是6000元．【点评】本题考查一次函数，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．21．（9分）对于平面内⊙C和⊙C外一点P，若过点P的直线l与⊙C有两个不同的公共点M，N，点Q为直线l上的另一点，且满足（如图1所示），则称点Q是点P关于⊙O的密切点．已知在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，点P（4，0）．（1）在点D（﹣2，1），E（1，0），F（3，）中，是点P关于⊙O的密切点的为E．（2）设直线l方程为y＝kx+b，如图2所示，①k时，求出点P关于O的密切点Q的坐标；②⊙T的圆心为T（t，0），半径为2，若⊙T上存在点P关于⊙O的密切点，直接写出t的取值范围．【考点】圆的综合题．【专题】综合题；新定义；数形结合；转化思想；待定系数法；与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；运算能力；推理能力；创新意识．【答案】见试题解答内容【分析】（1）用假设法通过特殊位置判断；（2）①待定系数法求得直线l的解析式，作MA⊥x轴于点A，NB垂直x轴于点B，由直线与圆交于点M和点N得出一元二次方程，求得点M和点N的横坐标，根据题目条件信息化简计算即可；②作出点P关于⊙T的密切点的运动轨迹，根据图象即可得出取值范围．【解答】解：（1）当圆心在坐标原点时，直线l为y＝0时，∵⊙O的半径为2，点P（4，0）．∴M（2，0），N（﹣2，0），PM＝2，PN＝6，，∵，∴，设Q点坐标为（x，y），则QM＝|2﹣x|，QN＝|x﹣（﹣2）|＝|x+2|，∴，∴|2+x|＝3|2﹣x|，∴2+x＝6﹣3x，或2+x＝3x﹣6，∴x＝1，或x＝4，∴E（1，0）是点P关于⊙O的密切点．故答案为：E．（2）①依题意直线l：y＝kx+b过定点P（4，0），∵k∴将P（4，0）代入yx+b得：04+b，∴b，∴yx．如图，作MA⊥x轴于点A，NB垂直x轴于点B，设M（x，x），由OM＝2得：x24，∴5x2﹣4x﹣10＝0，则M，N两点的横坐标xM，xN是方程5x2﹣4x﹣10＝0的两根，解得xM，xN，∴AB，PA，PB，∵，∴，，∴，∴HA，∴OH＝OA﹣HA1，∴Q（1，1）．②点P关于⊙O的密切点的轨迹为切点弦ST（不含端点），如图所示：∴﹣1≤t＜0或2＜t≤3．【点评】本题属于圆的综合题，解题的关键在于读懂题目信息，根据关键信息及数形结合来求解．22．（10分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D是AB边上一点，连接CD，以CD为边作等边△CDE．（1）如图1，若∠CDB＝45°，AB＝6，求等边△CDE的边长；（2）如图2，点D在AB边上移动过程中，连接BE，取BE的中点F，连接CF，DF，过点D作DG⊥AC于点G．①求证：CF⊥DF；②如图3，将△CFD沿CF翻折得△CFD′，连接BD′，直接写出的最小值．【考点】几何变换综合题．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】（1）过点C作CH⊥AB于点H，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得∠A＝∠B＝30°，AH＝BH＝3，CH，由∠CDB＝45°，可得CDCH；（2）①延长BC到N，使CN＝BC，由“SAS”可证△CEN≌△CDA，可得EN＝AD，∠N＝∠A＝30°，由三角形中位线定理可得CF∥EN，CFEN，可得∠BCF＝∠N＝30°，可证DG＝CF，DG∥CF，即可证四边形CFDG是矩形，可得结论；②由“SAS”可证△EFD≌∠BFD'，可得BD'＝DE，则当CD取最小值时，有最小值，即可求解．【解答】解：（1）如图1，过点C作CH⊥AB于点H，∵AC＝BC，∠ACB＝120°，CH⊥AB，∴∠A＝∠B＝30°，AH＝BH＝3，∴CH，∵∠CDH＝45°，CH⊥AB，∴∠CDH＝∠DCH＝45°，∴DH＝CH，CDCH，即△CDE的边长为；（2）①如图2，延长BC到N，使CN＝BC，∵AC＝BC，∠ACB＝120°，∴∠A＝∠ABC＝30°，∠NCA＝60°，∵△ECD是等边三角形，∴EC＝CD，∠ECD＝60°，∴∠NCA＝∠ECD，∴∠NCE＝∠DCA，又∵CE＝CD，AC＝BC＝CN，∴△CEN≌△CDA（SAS），∴EN＝AD，∠N＝∠A＝30°，∵BC＝CN，BF＝EF，∴CF∥EN，CFEN，∴∠BCF＝∠N＝30°，∴∠ACF＝∠ACB﹣∠BCF＝90°，又∵DG⊥AC，∴CF∥DG，∵∠A＝30°，DG⊥AC，∴DGAD，∴DG＝CF，∴四边形CFDG是平行四边形，又∵∠ACF＝90°，∴四边形CFDG是矩形，∴∠CFD＝90°∴CF⊥DF；②∵将△CFD沿CF翻折得△CFD′，∴CD＝CD'，DF＝D'F，∠CFD＝∠CFD'＝90°，由（1）知，CF⊥DF，∴∠CFD＝90°，由折叠知，∠CFD'＝∠CFD＝90°，∴点D，F，D'在同一条直线上，∴∠EFD＝∠BFD'，又∵EF＝BF，∴△EFD≌∠BFD'（SAS），∴BD'＝DE，∴BD'＝CD，∵当BD'取最小值时，有最小值，∴当CD取最小值时，有最小值，∵当CD⊥AB时，CD有最小值，∴ADCD，AB＝2AD＝2CD，∴最小值．【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．

考点卡片1．数轴（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．2．科学记数法—表示较大的数（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】（2）规律方法总结：①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．3．数学常识数学常识此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．平时要注意多观察，留意身边的小知识．4．实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【规律方法】实数运算的“三个关键”1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．5．分式的化简求值先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．【规律方法】分式化简求值时需注意的问题1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．6．零指数幂零指数幂：a0＝1（a≠0）由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）注意：00≠1．7．负整数指数幂负整数指数幂：a﹣p（a≠0，p为正整数）注意：①a≠0；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．8．由实际问题抽象出一元一次方程审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．（1）“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程．（2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程．9．一元一次方程的应用（一）一元一次方程解应用题的类型有：（1）探索规律型问题；（2）数字问题；（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；（5）行程问题（路程＝速度×时间）；（6）等值变换问题；（7）和，差，倍，分问题；（8）分配问题；（9）比赛积分问题；（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．列一元一次方程解应用题的五个步骤1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．3．列：根据等量关系列出方程．4．解：解方程，求得未知数的值．5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．10．二元一次方程组的应用（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．（4）求解．（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．（二）设元的方法：直接设元与间接设元．当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．11．一元二次方程的解（1）一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．12．根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．13．在数轴上表示不等式的解集用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．【规律方法】不等式解集的验证方法某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．14．一元一次不等式的应用（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．②根据题中的不等关系列出不等式．③解不等式，求出解集．④写出符合题意的解．15．解一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．16．点的坐标（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．（2）平面直角坐标系的相关概念①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．（3）坐标平面的划分建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．17．一次函数的应用1、分段函数问题分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．2、函数的多变量问题解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．3、概括整合（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．18．反比例函数系数k的几何意义比例系数k的几何意义在反比例函数y图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．19．反比例函数图象上点的坐标特征反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．20．二次函数的性质二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．21．二次函数图象上点的坐标特征二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）．①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x．22．二次函数的应用（1）利用二次函数解决利润问题在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．（2）几何图形中的最值问题几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．（3）构建二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．23．平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等．24．三角形的外角性质（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．（2）三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．25．等腰三角形的判定与性质1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．26．直角三角形斜边上的中线（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．该定理可以用来判定直角三角形．27．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a，b及c．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．28．勾股定理的证明（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．29．平行四边形的判定与性质平行四边形的判定与性质的作用平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．30．菱形的性质（1）菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（2）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式．②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度）31．矩形的判定（1）矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．32．切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）切线性质的运用运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题．33．圆的综合题考查的知识点比较多，一般考查垂径定理、圆周角定理、切线长定理、扇形的面积和弧长，经常与四边形一起，难度比较大．34．命题与定理1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．35．轴对称图形（1）轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．（3）常见的轴对称图形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．36．中心对称图形（1）定义把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．（2）常见的中心对称图形平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．37．几何变换综合题这种题型主要考查旋转、平移以及动点问题，经常是四边形和圆的综合题目，难度大．38．比例的性质（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．（2）常用的性质有：①内项之积等于外项之积．若，则ad＝bc．②合比性质．若，则．③分比性质．若，则．④合分比性质．若，则．⑤等比性质．若（b+d+…+n≠0），则．39．特殊角的三角函数值（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．sin30°；cos30°；tan30°；sin45°；cos45°；tan45°＝1；sin60°；cos60°；tan60°；（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．40．解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；②三边之间的关系：a2+b2＝c2；③边角之间的关系：sinA，cosA，tanA．（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）41．用样本估计总体用样