2.6.3一元一次不等式组的整数解

一．选择题（共16小题）1．（2017•诸暨市校级自主招生）关于x的不等式组只有5个整数解，则a的取值范围是（）A．﹣6＜a＜﹣ B．﹣6≤a＜﹣ C．﹣6＜a≤﹣ D．﹣6≤a≤﹣【分析】先解x的不等式组，然后根据整数解的个数确定a的取值范围．【解答】解：不等式组，解得：，∵不等式组只有5个整数解，即解只能是x=15，16，17，18，19，∴a的取值范围是：，解得：﹣6＜a≤﹣．故选：C．【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，难度适中，关键是根据整数解确定关于a的不等式组．2．（2017•保康县模拟）不等式组的整数解有（）A．0个 B．5个 C．6个 D．无数个【分析】先解每一个不等式，求出不等式组的解集，再求整数解即可．【解答】解：解不等式x+3＞0，得x＞﹣3，解不等式﹣x≥﹣2，得x≤2，∴不等式组的解集为﹣3＜x≤2，∴整数解有：﹣2，﹣1，0，1，2共5个，故选：B．【点评】本题主要考查了不等式组的解法，并会根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值．一般方法是先解不等式组，再根据解集求出特殊值．3．（2017•茂县一模）不等式组的最小整数解是（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．3【分析】首先解不等式组确定不等式组的解集，即可确定不等式组的最小整数解．【解答】解：解不等式（1）得：x＞﹣，则不等式组的解集是：﹣＜x≤3，故最小的整数解是：﹣1．故选：B．【点评】本题主要考查了不等式组的整数解的确定，关键是正确解得不等式组的解集．4．（2017•临海市模拟）关于x的不等式组只有5个整数解，则a的取值范围是（）A．﹣≤a≤﹣ B．﹣≤a＜﹣ C．﹣＜a＜﹣ D．﹣＜a≤﹣【分析】分别解两个不等式得到得x＜21和x＞2﹣3a，由于不等式组只有5个整数解，则不等式组的解集为2﹣3a＜x＜21，且整数解为16、17、18、19、20，得到15≤2﹣3a＜16，然后再解关于a的不等式组．【解答】解：，解①得x＜21解②得x＞2﹣3a，∵不等式组只有5个整数解，∴不等式组的解集为2﹣3a＜x＜21，∴15≤2﹣3a＜16，∴﹣＜a≤﹣．故选：D．【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解：先解一元一次不等式组，然后找出解集内的整数．5．（2017•肥城市二模）如果不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（）A．a≤﹣1 B．a＜﹣1 C．﹣2≤a＜﹣1 D．﹣2＜a≤﹣1【分析】首先根据不等式组得出不等式组的解集为a＜x＜2，再由恰好有3个整数解可得a的取值范围．【解答】解：如图，由图象可知：不等式组恰有3个整数解，需要满足条件：﹣2≤a＜﹣1．故选：C．【点评】此题主要考查了解不等式组，关键是正确理解解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．6．（2017春•西华县期末）若关于x的不等式组恰好只有四个整数解，则a的取值范围是（）A．a B． C．﹣2 D．﹣2【分析】此题可先根据一元一次不等式组解出x的取值，再根据不等式组恰好只有四个整数解，求出实数a的取值范围．【解答】解：由≥x﹣3，得x≤11，由2x+2＜3（x+a），得x＞2﹣3a，由上可得2﹣3a＜x≤11，∵不等式组恰好只有四个整数解，即11，10，9，8；∴7≤2﹣3a＜8，解得﹣2＜a≤﹣．故选：C．【点评】此题考查的是一元一次不等式的解法和一元一次方程的解，根据x的取值范围，得出x的取值范围，然后根据不等式组恰好只有四个整数解即可解出a的取值范围．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．7．（2017春•高阳县期末）若不等式组的整数解共有三个，则a的取值范围是（）A．5＜a＜6 B．5＜a≤6 C．5≤a＜6 D．5≤a≤6【分析】首先确定不等式组的解集，利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．【解答】解：解不等式组得：2＜x≤a，∵不等式组的整数解共有3个，∴这3个是3，4，5，因而5≤a＜6．故选：C．【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集，确定a的范围，是解答本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．8．（2017春•开福区校级期末）如果不等式组只有一个整数解，那么a的范围是（）A．3＜a≤4 B．3≤a＜4 C．4≤a＜5 D．4＜a≤5【分析】首先解不等式组，求得不等式组的解集，然后根据不等式组只有一个整数解即可确定a的值．【解答】解：解不等式①：x≥a，解不等式②得：x＜5．则不等式组的解集是：a≤x＜5．∵不等式组只有一个整数解，则3＜a≤4．故选：A．【点评】此题考查的是一元一次不等式的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．9．（2017春•海珠区期末）已知关于x的不等式组的整数解共有6个，则a的取值范围是（）A．﹣6＜a＜﹣5 B．﹣6≤a＜﹣5 C．﹣6＜a≤﹣5 D．﹣6≤a≤﹣5【分析】先解不等式组，然后根据有6个整数解，求出a的取值范围．【解答】解：解不等式x﹣a＞0得：x＞a，解不等式2﹣2x＞0得，x＜1，则不等式组的解集为a＜x＜1，∵不等式组有6个整数解，∴﹣6≤a＜﹣5．故选：B．【点评】此题考查的是一元一次不等式的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．10．（2017春•沂源县期末）如果关于x的不等式组的整数解仅有7，8，9，那么适合这个不等式组的整数a，b的有序数对（a，b）共有（）A．4对 B．6对 C．8对 D．9对【分析】先求出不等式组的解集，再得出关于a、b的不等式组，求出a、b的值，即可得出选项．【解答】解：∵解不等式①得：x＞，解不等式②得：x≤，∴不等式组的解集为＜x≤，∵x的不等式组的整数解仅有7，8，9，∴6≤＜7，9≤＜10，解得：15≤a＜17.5，21≤b＜23，∴a=15或16或17，b=21或22或23，即（15，21），（15，22），（15，23）（16，21），（16，22）（16，23），（17，21），（17，22），（17，23）共9对，故选：D．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，解此题的关键是能求出a、b的值，难度适中．11．（2017春•西城区校级期中）关于x的不等式组只有5个整数解，则a的取值范围是（）A．3＜a＜ B．3≤a＜ C．3＜a≤ D．3≤a≤【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后根据整数解的个数确定a的取值范围即可．【解答】解：，解不等式①得，x＜2，解不等式②得，x≥3﹣2a，所以，不等式组的解集是3﹣2a≤x＜2，∵不等式组有5个整数解，∴整数解为1、0、﹣1、﹣2、﹣3，∴﹣4＜3﹣2a≤﹣3，解得3≤a＜．故选：B．【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．12．（2016春•马山县期末）若关于x的一元一次不等式组恰有3个整数解，那么a的取值范围是（）A．﹣2＜a＜1 B．﹣3＜a≤﹣2 C．﹣3≤a＜﹣2 D．﹣3＜a＜﹣2【分析】先求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据已知得出答案即可．【解答】解：，解①得：x＜1，解②得：x＞a，则不等式组的解集是：a＜x＜1．不等式组有3个整数解，则整数解是﹣2，﹣1，0．则﹣3≤a＜﹣2．故选：C．【点评】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能得出关于a的不等式组．13．（2016春•海门市期末）不等式组的整数解是（）A．﹣1 B．﹣1，1，2 C．﹣1，0，1 D．0，1，2【分析】先求出不等式的解集，在取值范围内可以找到整数解．【解答】解：解不等式x+1≥0，得x≥﹣1解不等式x﹣2＜0，得x＜2∴不等式得解集为﹣1≤x＜2∴该不等式组的整数解是﹣1，0，1．故选：C．【点评】解答此题要先求出不等式组的解集，求不等式组的解集要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．14．（2016春•上杭县期末）若不等式组2＜x＜a的整数解恰有3个，则a的取值范围是（）A．a＞5 B．5＜a＜6 C．5≤a＜6 D．5＜a≤6【分析】首先确定不等式组的整数解，据此确定a的范围．【解答】解：不等式组2＜x＜a的整数解恰有3个，则整数解是：3，4，5．故5＜a≤6．故选：D．【点评】考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．15．（2016秋•工业园区期中）我们规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.2]=1，[3]=3，[﹣2.5]=﹣3．如果=3，则满足条件的所有正整数x的个数有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据已知得出3≤＜4，求出x的范围，即可得出答案．【解答】解：根据题意得：3≤＜4，解得：8≤x＜11，正整数有8，9，10，共3个，故选：B．【点评】本题考查了解一元一次不等式的应用，关键是能根据题意得出不等式组3≤＜4．16．（2016春•高密市校级月考）不等式组的整数解是（）A．﹣4 B．2，3，4 C．3，4 D．4【分析】首先把两个不等式的解集分别解出来，再根据大大取大，小小取小，比大的小比小的大取中间，比大的大比小的小无解的原则，把不等式的解集用一条式子表示出来．【解答】解：由（1）得：x＞2.5；由（2）得：x≤4．所以2.5＜x≤4这个范围的正整数有3，4．故选C．【点评】本题考查不等式组的解法，比较简单．二．填空题（共19小题）17．（2017•河南模拟）18．（2016秋•萧山区期末）不等式组的整数解是﹣1，0，1．【分析】首先求得不等式组的解集，然后找出解集中的整数解即可．【解答】解：解第一个不等式得：x＞﹣．则不等式组的解集是：﹣＜x≤1．则整数解是：﹣1，0，1．故答案是：﹣1，0，1．【点评】此题考查的是一元一次不等式组的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．19．（2017春•成都期中）20．（2017春•雨城区校级期中）21．（2017秋•普宁市校级期中）不等式组的整数解是2．【分析】解一元一次不等式组得出x的取值范围，再去其内的整数，即可得出结论．【解答】解：，解不等式①得：x＞1；解不等式②得：x＜3．∴不等式组的解为1＜x＜3，∴不等式组的整数解是2．故答案为：2．【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．22．（2016•河南模拟）不等式组的非负整数解是0．【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其非负整数解即可．【解答】解：由不等式1﹣x＞0得x＜1，由不等式3x＞2x﹣4得x＞﹣4，所以其解集为﹣4＜x＜1，则不等式组的非负整数解是0．故答案为：0．【点评】考查不等式组的解法及非负整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．23．（2016•陆良县模拟）24．（2016•临朐县一模）已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围是﹣3＜a≤﹣2．【分析】将a看做已知数，求出不等式组的解集，根据解集中整数解有5个，即可确定出a的范围．【解答】解：不等式组解得：a≤x≤2，∵不等式组的整数解有5个为2，1，0，﹣1，﹣2，∴﹣3＜a≤﹣2．故答案为：﹣3＜a≤﹣2．【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，弄清题意是解本题的关键．25．（2016•平南县二模）26．（2016春•鞍山期末）不等式5x+14≥0的负整数解是﹣2，﹣1．【分析】先求出不等式的解集，再求出符合条件的负整数解即可．【解答】解：移项得，5x≥﹣14，系数化为1得，x≥﹣，在数轴上表示为：由数轴上x的取值范围可知，不等式5x+14≥0的负整数解是﹣2，﹣1共两个．【点评】此题比较简单，解答此题的关键是正确求出不等式的解集，借助于数轴便可直观解答．27．（2015秋•工业园区期末）不等式≥的非负整数解的和是15．【分析】先求出x的取值范围，再求出其非负整数解的和即可．【解答】解：解不等式得：x≤5，故其非负整数解为：5，4，3，2，1，0．故其和5+4+3+2+1+0=15，故答案为：15【点评】此题比较简单，考查的是一元一次不等式的解法，根据x的取值范围，得出x的整数解即可．解不等式要用到不等式的性质：（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．28．（2016春•德州期末）33．（2016春•矿区期末）满足5（x﹣1）≤4x+8＜5x的整数x为9，10，11，12，13．【分析】先结不等式组意得得到8＜x≤13，然后写出此范围内的整数即可．【解答】解：根据题意得，解①得x≤13，解②得x＞8，所以不等式组的解集为8＜x≤13，所以不等式组的整数解为9，10，11，12，13．故答案为9，10，11，12，13．【点评】本题考查了解一元一次不等式组的整数解：求解出两个不等式的解集，然后按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的无解”确定不等式组的解集，再在解集内找出所有整数，得到一元一次不等式组的整数解．34．（2016春•巢湖市校级期末）不等式﹣3≤5﹣2x＜3的正整数解是2，3，4．【分析】先将不等式化成不等式组，再求出不等式组的解集，进而求出其整数解．【解答】解：原式可化为：，解得，即x≤4，所以不等式的正整数解为2，3，4．【点评】此题要明确，不等式﹣3≤5﹣2x＜3要转化成不等式组的形式解答，否则将无从下手．35．（2016秋•道里区校级月考）不等式组的整数解是3和4．【分析】解不等式组得出x的取值范围，再取其内的整数即可得出结论．【解答】解：．解不等式①得：x＞；解不等式②得：x≤4．∴不等式组的解为＜x≤4，∴不等式组的整数解是3和4．【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．三．解答题（共15小题）36．（2017春•全椒县期中）37．（2017春•米东区校级月考）40．已知m是整数且﹣60＜m＜﹣30，关于x，y的二元一次方程组有整数解，求x2+y的值．【分析】解方程组，可以利用消元法消去x即可得到y的值，其中y可以利用含m的代数式表示，则这个式子可以变形为利用含y的代数式表示m的形式，根据m是整数且﹣60＜m＜﹣30，且y是整数，即可确定y的值，进而求得x的值，从而求解．【解答】解：2x﹣3y=﹣5①和﹣3x﹣7y=m②，有整数解消去①×3+②×2得﹣23y=﹣15+2m，∵m是整数且﹣60＜m＜﹣30，∴﹣135＜﹣15+2m＜﹣75即﹣135＜﹣23y＜﹣75＞y＞，又∵方程组有整数解，∴y=4或5代入2x﹣3y=﹣5，当y=4时x=（舍），当y=5时x=5则x2+y=52+5=30．【点评】此题考查的是二元一次方程组和不等式的性质，要注意的是x，y，m都为整数，把解方程组求得的y用含m的代数式表示的式子，变形为用y表示出m的值，从而求得y的值，是解题关键．41．某公园举办游园活动，一开始有（50a﹣40）位游客，活动进行至一半，有（90﹣20a）位游客因有事中途退场，问开始时有多少位游客？（a为正整数）【分析】根据实际意义50a﹣40以及90﹣20a都是正整数，且50a﹣40＞90﹣20a这几个条件即可求得a的值．【解答】解：由一般常识可知，有，解得，因而a=2或3或4．所以开始时，有60或110或160位游客．【点评】本题是根据实际意义列出不等式组，求不等式组的正整数解得问题，正确理解题意是解题的关键．45．将关系式﹣1≤x＜1的x的取值范围在图的数轴上表示出来，并指出它的整数解有哪几个？【分析】根据题意画出图形便可直观解答．【解答】解：如图所示：由图可知，不等式组的整数解有﹣1，0两个．【点评】此题比较简单，解答此题的关键是根据题意画出图形，体现了数