人教版2024年数学七年级上册 暑假讲义02 数轴、相反数与数轴+同步练习 (教师版)

页数轴与相反数【学习目标】1．理解数轴的概念及三要素；2．理解有理数与数轴上的点的关系，并会借助数轴比较两个数的大小；3．会求一个数的相反数，并能借助数轴理解相反数的概念及几何意义；4.掌握多重符号的化简.【要点梳理】要点一、数轴1.定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.要点诠释：（1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可.（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等．（3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动．2.数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还可以表示其他数，比如SKIPIF1<0.要点诠释：（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示.（2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.要点二、相反数1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0.要点诠释：（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同.

（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉.（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数.（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可.2.性质：（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）.（2）互为相反数的两数和为0.要点三、多重符号的化简多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4.要点诠释：

（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5.

（2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数.如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3.【典型例题】类型一、数轴的概念1．如图所示是几位同学所画的数轴，其中正确的是()A．(1)(2)(3)B．(2)(3)(4)C．只有(2)D．(1)(2)(3)(4)【答案】C【解析】对数轴的三要素掌握不清.（1）中忽略了单位长度，相邻两整点之间的距离不一致；（3）中负有理数的标记有错误；（4）图中漏画了表示方向的箭头.【总结升华】数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可．类型二、相反数的概念2．﹣的相反数是（）A．5B．C．﹣D.-5【思路点拨】解决这类问题的关键是抓住互为相反数的特征“只有符号不同”，所以只要将原数的符号变为相反的符号，即可求出其相反数.【答案】B【总结升华】求一个数的相反数，只改变这个数的符号，其他部分都不变.举一反三：【变式1】填空：(1)－(－2.5)的相反数是；(2)是-100的相反数；(3)SKIPIF1<0是的相反数；(4)的相反数是-1.1；(5)8.2和互为相反数.（6）a和互为相反数.（7）______的相反数比它本身大，______的相反数等于它本身．【答案】（1）－2.5；（2）100；（3）SKIPIF1<0；（4）1.1；（5）-8.2；（6）-a；（7）负数，0.【变式2】下列说法中正确的有()①－3和＋3互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④SKIPIF1<0的相反数是－3.14；⑤一个数和它的相反数不可能相等．A.0个B.1个C.2个D.3个或更多【答案】B3．已知SKIPIF1<0互为相反数，则SKIPIF1<0．【答案】2【解析】根据互为相反数的两个数的性质，可知SKIPIF1<0，代入上式可得：SKIPIF1<0.【总结升华】若SKIPIF1<0互为相反数，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.类型三、多重符号的化简4.化简下列各数中的符号．（1）SKIPIF1<0（2）-(+5)（3）-(-0.25)（4）SKIPIF1<0（5）-[-(+1)]（6）-(-a)【答案】(1)SKIPIF1<0（2）-(+5)＝-5（3）-(-0.25)＝0.25（4）SKIPIF1<0（5）-[-(+1)]＝-(-1)＝1(6)-(-a)＝a【解析】(1)SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0的相反数，而SKIPIF1<0的相反数是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）-(+5)表示+5的相反数，即-5，所以-(+5)=-5；（3）-(-0.25)表示-0.25的相反数，而-0.25的相反数是0.25，所以-(-0.25)＝0.25；（4）负数前面的“+”号可以省略，所以SKIPIF1<0；（5）先看中括号内-(+1)表示1的相反数，即-1，因此-[-(+1)]＝-(-1)而-(-1)表示-1的相反数，即1，所以-[-(+1)]＝-(-1)=1；(6)-(-a)表示-a的相反数，即a．所以-(-a)=a【总结升华】运用多重符号化简的规律解决这类问题较为简单．即数一下数字前面有多少个负号．若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负．类型四、利用数轴比较大小 5．在数轴上表示2.5，0，SKIPIF1<0，-1，-2.5，SKIPIF1<0，3有理数，并用“＜”把它连接起来．【答案与解析】如图所示，点A、B、C、D、E、F、G分别表示有理数2.5，0，SKIPIF1<0，-1，-2.5，SKIPIF1<0，3．由上图可得：∴SKIPIF1<0【总结升华】根据数轴的三要素先画好数轴，表示数的字母要依次对应有理数，然后根据在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，比较大小．举一反三：【变式1】有理数a、b在数轴上的位置如图所示，下列各式不成立的是（）A．b﹣a＞0B．﹣b＜0C．﹣a＞﹣bD．﹣ab＜0【答案】D【变式2】填空：大于SKIPIF1<0且小于SKIPIF1<0的整数有______个；比SKIPIF1<0小的非负整数是____________．【答案】11；0，1，2，3类型五、数轴与相反数的综合应用（数形结合的应用）6．已知数轴上点A和点B分别表示互为相反数的两个数a，b(a＜b)并且A、B两点间的距离是SKIPIF1<0，求a、b两数．【思路点拨】因为a、b两数互为相反数(a＜b)，所以表示a，b的两点A、B离原点的距离相等，而A、B两点间的距离是SKIPIF1<0，所以A、B两点到原点的距离就是SKIPIF1<0．【答案与解析】解：由题意A、B两点到原点的距离都是：SKIPIF1<0而a＜b，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【总结升华】(1)理解相反数的几何意义．(2)从相反数的意义入手，明确互为相反数的两数关于原点对称．举一反三：【变式】填空：（1）数轴上离原点5个单位长度的点表示的数是________；（2）从数轴上观察，-3与3之间的整数有________个．【答案】（1）±5，提示：要注意两种情况，原点左右各一个点；（2）5，提示：画出数轴，容易看出-3和3之间的整数是-2，-1，0，1，2共5个．绝对值【学习目标】1．掌握一个数的绝对值的求法和性质；2．进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义；3．会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；4.理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题.【要点梳理】要点一、绝对值1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.要点诠释：（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．要点二、有理数的大小比较1.数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小.如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b．2.法则比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：两数同号同为正号：绝对值大的数大同为负号：绝对值大的反而小两数异号正数大于负数－数为0正数与0：正数大于0负数与0：负数小于0要点诠释：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小．3.作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立．4.求商法：设a、b为任意正数，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；反之也成立．若a、b为任意负数，则与上述结论相反．5.倒数比较法：如果两个数都大于0，那么倒数大的反而小.【典型例题】类型一、绝对值的概念1．求下列各数的绝对值．SKIPIF1<0，-0.3，0，SKIPIF1<0【思路点拨】SKIPIF1<0，-0.3，0，SKIPIF1<0在数轴上位置距原点有多少个单位长度，这个数字就是各数的绝对值．还可以用绝对值法则来求解．【答案与解析】解：因为SKIPIF1<0到原点距离是SKIPIF1<0个单位长度，所以SKIPIF1<0．因为-0.3到原点距离是0.3个单位长度，所以|-0.3|＝0.3．因为0到原点距离为0个单位长度，所以|0|＝0．因为SKIPIF1<0到原点的距离是SKIPIF1<0个单位长度，所以SKIPIF1<0．【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解(如方法1)，一种是利用绝对值的代数意义求解(如方法2)，后种方法的具体做法：首先判断这个数是正数、负数还是0．再根据绝对值的意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是0．从而求出该数的绝对值．2．下列说法正确的是（）A.一个数的绝对值一定比0大B.一个数的相反数一定比它本身小C.绝对值等于它本身的数一定是正数D.最小的正整数是1【答案】D．【解析】A、一个数的绝对值一定比0大，有可能等于0，故此选项错误；B、一个数的相反数一定比它本身小，负数的相反数，比它本身大，故此选项错误；C、绝对值等于它本身的数一定是正数，0的绝对值也等于其本身，故此选项错误；D、最小的正整数是1，正确．【总结升华】此题主要考查了绝对值以及有理数和相反数的定义，正确掌握它们的区别是解题关键．举一反三：【变式1】求绝对值不大于3的所有整数．【答案】绝对值不大于3的所有整数有-3、-2、-1、0、1、2、3．【变式2】已知一个数的绝对值是4，则这个数是．【答案】±4.【变式3】数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为．【答案】6或-6类型二、比较大小3．比较下列有理数大小：(1)-1和0；(2)-2和|-3|；(3)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0______SKIPIF1<0【答案】(1)0大于负数，即-1＜0；(2)先化简|-3|＝3，负数小于正数，所以-2＜3，即-2＜|-3|；(3)先化简SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．(4)先化简SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，这是两个负数比较大小：因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0＜SKIPIF1<0【解析】(2)、(3)、（4）先化简，再运用有理数大小比较法则．【点评】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断．举一反三：【变式1】比大小：SKIPIF1<0______SKIPIF1<0；-|-3.2|______-(+3.2)；0.0001______－1000；SKIPIF1<0______－1.384；－π______－3.14．【答案】＞；=；＞；＞；＜【变式2】下列各数中，比－1小的数是（）A．0 B．1 C．－2 D．2【答案】C【变式3】数a在数轴上对应点的位置如图所示，则a，-a，-1的大小关系是()．A．-a＜a＜-1B．-1＜-a＜aC．a＜-1＜-aD．a＜-a＜-1【答案】C类型三、绝对值非负性的应用4.已知|2-m|+|n-3|＝0，试求m-2n的值．【思路点拨】由｜a｜≥0即绝对值的非负性可知，｜2-m｜≥0，｜n-3｜≥0，而它们的和为0．所以｜2-m｜＝0，|n-3|＝0．因此，2-m＝0，n-3＝0，所以m＝2，n＝3．【答案与解析】因为|2-m|+|n-3|＝0且|2-m|≥0，|n-3|≥0所以|2-m|＝0，|n-3|＝0即2-m＝0，n-3＝0所以m＝2，n＝3故m-2n＝2-2×3＝-4．类型四、绝对值的实际应用 5．正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位：克)：-25，+10，-20，+30，+15，-40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由．【答案】因为｜+10｜＜｜+15｜＜｜-20｜＜｜-25｜＜｜+30｜＜｜-40｜，所以检测结果为+10的足球的质量好一些．所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛．【解析】根据实际问题可知，哪个足球的质量偏离规定质量越小，则足球的质量越好．这个偏差可以用绝对值表示，即绝对值越小偏差也就越小，反之绝对值越大偏差也就越大．【点评】绝对值越小，越接近标准.举一反三：【变式1】某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量(不含包装)可以有0.002L的误差．现抽查6瓶食用调和油，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数记作负数．检查结果如下表：+0.0018-0.0023+0.0025-0.0015+0.0012+0.0010请用绝对值知识说明：(1)哪几瓶是合乎要求的(即在误差范围内的)?(2)哪一瓶净含量最接近规定的净含量？【答案】(1)绝对值不超过0.002的有4瓶，分别是检查结果为+0.0018，-0.0015，+0.0012，+0.0010的这四瓶．(2)第6瓶净含量与规定的净含量相差最少，最接近规定的净含量．【变式2】一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻?【答案】小虫爬行的总路程为：|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm)．小虫得到的芝麻数为54×2＝108(粒)．《数轴、相反数与绝对值》课时练习一 、选择题LISTNUMOutlineDefault\l3下列数轴的画法正确的是()答案为：C.LISTNUMOutlineDefault\l3互为相反数的两个数的和为（）A．0B．﹣1C．1D．2答案为：ALISTNUMOutlineDefault\l32的相反数和绝对值分别是()A.2，2 B.﹣2，2 C.﹣2，﹣2 D.2，﹣2答案为：B.LISTNUMOutlineDefault\l3下列化简，正确的是()A.-(-3)=-3 B.-[-(-10)]=-10C.-(＋5)=5 D.-[-(＋8)]=-8答案为：B.LISTNUMOutlineDefault\l3若|a|=|b|,则a,b的关系是()A.a=bB.a=-bC.a=b或a=-bD.a=0且b=0答案为：C；LISTNUMOutlineDefault\l3下列说法：①若a，b互为相反数，则a+b=0;②若a+b=0，则a，b互为相反数;③若a，b互为相反数，则=-1;④若=-1，则a，b互为相反数.其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案为：CLISTNUMOutlineDefault\l3下图中数轴的单位长度为1，若点A、B表示的数是互为相反数，则在图中A，B，C，D四个点中表示绝对值最小的数的点是()A.点AB.点BC.点CD.点D答案为：DLISTNUMOutlineDefault\l3下列结论中，正确的有（）①符号相反且绝对值相等的数互为相反数；②一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；③两个负数，绝对值大的它本身反而小；④正数大于一切负数；⑤在数轴上，右边的数总大于左边的数.A.2个B.3个C.4个D.5个LISTNUMOutlineDefault\l3点A是数轴上表示－2的点，当点A沿数轴移动4个单位长度到点B时，点B表示的有理数是()A.－4B.－6C.2或－4D.2或－6答案为：DLISTNUMOutlineDefault\l3点A为数轴上表示-2的点，当点A沿数轴移动4个单位长度到点B时，点B所表示的数为()A.2B.-6C.2或-6D.无法确定答案为：C二、填空题LISTNUMOutlineDefault\l3数轴上与原点距离是5的点有个，表示的数是．答案为：两个；±5LISTNUMOutlineDefault\l3从数轴上表示-1的点开始,向右移动6个单位长度,再向左移动5个单位长度,最后到达的终点所表示的数是.答案为：0.LISTNUMOutlineDefault\l3已知a与b互为相反数，b与c互为相反数，且c=﹣6,则a=答案为：﹣6；LISTNUMOutlineDef