2021年考研《数学》试题及答案(卷一)

2021年考研《数学》试题及答案（卷一）

设cr.,线性无关可由*.a：,a线性表示,/不可由a..a2.a,线性表示.对任

[意的常数4有〈>.

Aa,a：.a,，班+p?线性无关

Ba,,a2,a3»^i+P2线性相关

上「如«].+电线性无关|

，a+“2线性相关

参考答案：A

[单选题]设随机变量X〜U[l,7],则方程储+2XH+9=0：

有实根的概率为（）。

1

A2

1

B?

2

C3

DO

参考答案：C

[单选

设，，维列向量组a…血.5,<“）线性无关.则”维列向量组….3线性无关

题]的充分必要条件是（>.

A向量组窑Q”可由向量组/，/，…/,“线性表示

B向量组四•生，…，L可由向量组0i线性表示

C向量组。a.an,与向量组Pl.九等价

D

矩阵A=(%,・•・与矩阵B=3：/2，…，九)等价

参考答案：D

［问答题］设P⑻rO.5,P(A-B)=O.3・，贝y(A+B)=------------

参考答案:因为P(A-B)=P(A)-P(AB),所以P(A+B)=P(A-B)+P(B)=0.8。

＜，十y2)x2+y2^0

［问答题］二元函数f(x,y"。x'+y'=°

在(0,0)点是否可微?0(填是或否)

参考答案：否

［问答题］设随机变量X,Y相互独立,D(X)=4D(Y),令U=3X+2Y,

V=3X-2Y,则0I"=o

参考答案：

Cov(U.V)=Cov(3X+2K3X—2Y)

=9Cov(X.X)-4Cov(Y.Y)=9D(X)-4D(y)=32D(Y).

由X,Y独立，得D(U)=D(3X+2Y)=9L>(X)+4D(y)=40D(Y).

D(V)=/)(3X-2y)=9D(X)+4D(Y>=10D(y),

Cov(L7,V)32D(Y)4

7D(V)vM0D(y)•-740D(y)

I423\

设AX=A+2X,其中A=11。，求X.

123/

参考答案：

'223|

【解】由AX=A-2X得(A-2E)X=A•其中4-2E=1-10

'-12V

因为A-2E=-1X0.所以X=<A-2£)/»•

342310

由(A-2E：A)=1-101023

121-1323

a-i011

-04320

'011033'10

-8—6

-9—6

129

d2x

dy?

［单选题］函数y=x+ex的反函数的二阶导数=()。

参考答案：A

［问答题］设随机变量X服从参数为2的泊松分布，令Y=4X-3,则

E(Y)=oD(Y)=

参考答案:因为X~P⑵，所以E(X)=D(X)=2,于是E(Y)=4E(X)-3=5,

D(Y)=16D(X)=32

—x2arcsinrcLr=

［问答题］

参考解析:

VI—JC'arcsinxdx-----Jzcos:tdz=<|/(1+cos2z>dz

=—+-^-JWin2f)=丁+1(f2r-Jsin2rd/)

=+-ytsinZt-—cos2r+C

448

=garcsin2-r+gr八一工:arcsinx---7-r2+C・

4Z4

taar—sinx

lim------；=■

［问答题］…

1

9

参考答案：一

［问答题］一工人同时独立制造3个零件，第k个零件不合格的概

=1,2,3)

率为;史十1,以随机变量X表示3个零件中不合格的零

件个数，贝IP(X=2)=0

参考答案：令Ak=｛第k个零件不合格｝(k=l,2,3),

贝U

PCX=2)=P(A?A2A3)+PtA(AVA,)+P(A：A?第)

1111211131

=7XTXT+2XTXT+2><3><4I=7-

［问答

题］

'1\Z1\1,

设2I.a.=0I«a3——1线性相关♦则a=

r3

参考答案：

111

a.a；.a,线性相关的充分必要条件是|叫|=20-1=0.从而(,=£.

-1a3

［问答题］设y=y(x)满足v'=x+y，且满足y(O)=l,讨论级

81

71

数的敛散性。

参考答案:

由y'=x十y得/=1+」.再由y(O)=l得>>(0)=1.><<0)=2,根据麦克劳林公

式，有y(一)—>(0)+>Z(O)—4--^-y*(O)(―-)+o(—)=1+—+—,+«(—»)•

'n'n2nn''

因为y(—)—1——^且X］收敛，所以Xy(~)—1—］绝对收敛.

'n>nnnUI'为'"」

iiin「400。-

1111oooo

A-,B=

11110000

［单选题］设Lill」Lo00oJ,则A与B()。

A合同且相似

B合同但不相似

C不合同但相似

D不合同且不相似

参考答案：A

［单选题］设f(x)的导函数为(1+/)一，则f(x)的一个原函数是()。

Al+arctanx

Bl-arctanx

1

C1+二In(l+x2)

1

DI-2|n(l+x2)

参考答案：C

［单选题］设总体X服从N(11,02),亍与？分别是取自总体X的

样本容量为10和15的两个样本均值，记

PiJ।=尸口”外>。1,则有()L

APl<p2<p="">

BP1=P2

CP1>P2

DP1=1,P2=o

参考答案：C

广九)m=x

［问答题］设f(x)是连续函数，且J。八,则可7)=______o

1

参考答案：12

［问答题］求下列不定积分：

rLnsinxrl+ln(l-x)

⑴Jsir/x;(2)J(/+1)¥也；⑶Jx2

参考答案：⑴

fInsinxtr

J城*一二JMsinxd(-cotjr)=Insin*•(-cotx)-j(-cotx)d(lnsinx)

..rcosx(i

=-cotx•Insinx+cotx»-----dx--cotx•Insinx+cotxax

JsinxJ

=-cotx•InsinJC+[(esc21)<Lr=-cotJC•Insinx-cotx-x+C.

(2)

J(2z2+l)e,dx=j2x2c,2dx+j…<ix=Jxexd(x3)+Je*dx

Jxd(e*2)+Je,*dx=«e,2-Je“dx+/Jdx=xe"+C.

|"In?%)/-J[]+|n(lr)]d(一：)

-——[l+ln(l-x)]+J—dln(l-«)

=-----ln(]r)+[—*—rdx

%xJrx-1

=-In(1-x)+J(-dx

=---——ln(1-4)+ln|x-1|-In|r|♦C

xx

=(1—―jln(1-x)----In|x|十C

[单选题]设为="+b+心力=26-，*。产”+e'L某二阶常

系数非齐次线性微分方程的解，则该方程的通解是()。

_x-13

Jcie^+C2e+2c^+e+el

21x

JC［C+C;e+2e+e*

』。遇)，2b+3H

01G3+02尸+2/

参考答案：A

［问答题］设连续函数f(x)非负，且I/g"⑸^=2：则在区间［0,

2］上的平均值为。

参考答案：2

［问答题］已知向量组A：a1=(0,1,2,3)T,a2=(3,0,1,2)T,

a3=(2,3,0,1)T;B：81=(2,1,1,2)T,B2=(0,-2,1,1)T,B

3=(4,4,1,3)To试证B组能由A组线性表示，但A组不能由B组

线性表示。

参考答案:

IH1对由两组向量构成的距耳集切写行交换•其中人二(a：.,)4=(0/；A,一

由此可知《4)=r<A4)=3,所以向量蛆月爱由向量培4线性表示

又由于

0

000J

祥r(B)«2'r(4,H),所以向量组4不爱由向量组B线性衣示.

［问答题］已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为

1231

B-246

6%」(k为常数)，且AB=O求线性方程组Ax=O的

零矩阵B=L3

通解。

参考答案：由于AB=O,故r(A)+r(B)W3,又由a,b,c不全为零,

可知r(A)^lo

当kW9时，r(B)=2,于是r(A)=l;

当k=9时,r(B)=l,于是r(A)=l或r(A)=2。

T"3'

A2=0和A6

对于kW9,由AB=O可得L3JLAJ

由于n1=(1,2,3)T,n2=(3,6,k)T线性无关。故nl,n2为

Ax=0的一个基础解系，于是Ax=0的通解为

X=clnl+c2n2,其中cl,c2为任意常数。

对于k=9,分别就r(A)=2和r(A)=l进行讨论。

如果r(A)=2,则Ax=0的基础解系由一个向量构成。又因为

r

A2=0

-3」，所以Ax=0的通解为x=c3(l,2,3)T,其中c3为任意常数。

如果r(A)=l,则Ax=0的基础解系由两个线性无关的解向量构成。

又因为A的第一行为(a,b,c)且a,b,c不全为零，所以Ax=0等价

于axl+bx2+x3=0,不妨设aWO,n3=(-b,a,0)T,n4=(-c,0,a)T

是Ax=O的两个线性无关的解，故Ax=O的通解为

X=c4n3+c5n4,其中c4,c5为任意常数。

［问答题］设某种元件的使用寿命X的概率密度为：

2产9,工N夕，

/(工;今)=

x<9t其中。>0为未知参数XI,X2,…，Xn

为来自总体x的简单随机样本，求。的最大似然估计量3,并讨论无

偏性。参考答案：设样本值为XI,X2,…，Xn,则似然函数为:

六rr«pl-2y(^

«n/(».：•>*I0

lo.冥it.

AMi=12…㈤时>0i只需在此条件下•豆〃券的・大值gA为了IUU星西力•的无便估计,

雷要求出，的假率密度/NG.

[■]与棒本值%>♦«=12…用时・〃♦)>O.MlJt.W

L=mb2-2^(1.->).

因为dln/a=X>0所图”，单由于•是«1.2.«).«Iz,.x,.x.•

ao

如果取・-nun|孙』.…4’.甯〃外取最大值,所以♦的♦大强后估计值为

i*USt.Mj.一3I.

0的■大叔然估计ft为

i■™i«!X|,Xj,-r1.1-

总体X的分布函数为

n,)=k….

$的分布函我为

CN«I：*A，>"

lo.1<%

S的微率密度为

"⑴='("={o.z<a

因为

E(e)=[";(，)&=1jiw-xi'dr=。+；Ke,

JYJ♦2n

所以3=…JU不是8的无做估计.

x=0,

[单选题]设函数F(x)=其中f(x)在x=0处二阶可导,

|r(0)#0^(0)=0/(0)=0|>则x=o是F(x)的()。

A.第一类间断点

B.连续点

C.第二类间断点

D.连续点或间断点不能由此确定

参考答案：A

［单选题］设总体X服从N（口，02）,其中。2未知，假设检验:

HO：uWl,Hl：u>lo

当显著性水平a=0.05时，拒绝域为（）。

AlII>

—s

X>1+f0Q5（n-1）『

B%

—§

IX-1I>%as（n-】）7r

CJn

X<1-G.oj(n-1)三

DJn

参考答案：B

abb

A=bab

［单选题］设3阶方阵U

b若A的伴随矩阵A*的秩为1,

则必有()。

A.a=-2b

B.a=b

C.a=-b

D.a=2b

参考答案：A

a_+IIa-|a„j

Br^n=i,2,…)

［单选题］22,下列命题正

确的是()。

什£%

A若n・l条件收敛，则—I与"I都收敛

什£4京£或

B若“=1绝对收敛，则n=l与都收敛

£%£P.Kn

C若占条件收敛，则匕与"小收敛性不定

£%IP.£北

D若，耳条件收敛，则H与八一收敛性不定

参考答案：B

j_J__L_L

［问答题］若4阶矩阵A与B相似,矩阵A的特征值为了'于'7'§,

则行列式/-E=。

参考答案：24

［问答题］设3阶矩阵4满足A2-3A+2E=0,且|A|=2,求矩阵A的

全部特征值。

参考答案：

(«)设A为矩阵A的任重一个特征值.a力N于A的特征向量.所以4f.于星

A'a-=0.

即A:<r-3Aar*2a-0»

亦即(A”-3A,2)a=G.

而a/0,从而尸-3A+2=O,于是,福

(A-l)(A-2>0.

得人的特征值为A-1或A=Z

又4|・2y0,故矩阵A的3个特征值福.星.A?应横足八人遍3=2月比福.A,・船只能取1或2.由此得4

的全部特任值应为A=的=1状尸2

［问答题］设6(X)表示标准正态分布函数，随机变量X的分布函数

F(x)=a6(x)+b6(x-l),求⑴a,b应满足的关系式;⑵E(X)。参考答案:

本题考查分布函数的性质和计算数学期望的方法。由于X的分布已

知，可以利用公式结合分布的性质求出E(X)O

【解法1］(I)F(+8)=1.有a+6=l.

(2)以中(G表示标准正态分布的圈率密度,则

E(X)=Ixd>(«)=|x［叫(h)+-1)］<1«"

=ajx^(«)dx+fc|~!)<1*.

注意到，¥(x}dx=0.从而有

E(X)=6(y(*-1)<lx-{X-1+I)(p(»-1)<ii

=bj(JT-I)R(H-l)<k+bjp(x-l)dx.

令x_1=，.有£(X)=b［'t^(l)dt+bf<p(l)di=4«0+6xl=6.

【解法2】(1)同解法1.

(2)由于F(x)=a3(G2O(xT),3MX="-bZ.且V服从、服从"(1,1).所以£(X)=

a£(F)+b£(Z)=gg6.

Z=之

［问答题］设随机变量X服从t(n),判断Y=X2,如所服从的分布。

参考答案：本题考查产生F分布的典型模式。

u

【集】由于xabuo.设(风从，(0・1).5'总从/(。).且。与『相互独立.剜x可衣示为1=—三，于是

巴

7•

ifv

y・x'=4,X讨眼从片(D，从・『=4r«iyi^(»,D.

*«1

［问答题］设f(x)是周期为2的周期函数，且

/(X)=Lo<x<l

lx，U<*忘1，设其傅里叶级数的和函数为S(x),

S

求s⑴，

参考答案：由狄利克雷收敛定理得

S(1)=y[/(1-0)V(-1+0)]=y(1+2)=y.

S俗=*2)=$T)=Z

S(T)=5(2+T)=S(T)=(T)2=T-

1.方程-—(1-我x-W=0的两根分别是等腰三角形的腰。和底b(&⑷,则

这个等腰三角形的面积为()

(A)孚⑻平(C),(D)当(E)今

【答案】C

【解析】

根据题意可解出方程的两根分别为维=1,毛=若，且a"3根据三角

形面积计算公司S=J■加，可解得5=吏。故本题选择C。

24

2.如图所示，长方形48中，M)=10,CD=12,5在的延长线上，2D

交CE于尸，三角形CFB的面积是24,则三角形团的面积是()

(A)16(B)15(C)14(D)13(E)12

【答案】A

【解析】

根据题意可知三角形CBD的面积等于三角形CFD面积加上三角形CFB的面积,

S谢=ga>xdD=Sc和+SE=60,解得C尸=6,所以FE=4且

Scra=lcFx£3=24JMB£8=8,SR^FEXEB=16s故本题选择Ae

[单选题]

设"「a」为齐次线性方程组AX=0的基础解系”「队为非齐次线性方程:

个不同解，则方程组AX=6的通解为（）.

+左2（。，一叫）+孰2

一々2（口1-P2）-I---2--

}]4十七（从+跖）十^^

L,,,、氏+也

*：a；+七（a；+a2）H---兀—

参考答案：D

[问答题]设y=f（x,t）,其中t是由方程F（x,y,t）=0所确定的x,

dy

,#,dx

y的函数，若f,F均可微，则」o

出一愿

F；+fF\

参考答案：

[问答

题]

设f（i）连续，且1加£^=3,则1/八1+"；"1_/1）=.

L1%—1A-。h----

参考答案：

【解】(1)由lim八三|=3得/(I)=0»/\1)=3,

L1r—1

于是.=Iim3"⑴+lim二Al二

入一。flJb-*OhAh

=2/z(l)=6.

［问答

题］

7+2-23

设八二)=12H+34,则/项的系数为.

—2—1—1।

参考答案：按行列式的定义，f(x)的3次项和2次项都产生于

(x+2)(2x+3)(3x+l),且该项带正号，所以X2项的系数为23。

r

y一JCe3+—=0

［问答题］微分方程一的通解为

参考答案:

由y'-he-r+工•=0•得e^y'-z+—e*=0,即）+-e,=x

xxdrj-

dz1

令二=e‘，则----1----z=x

djrx

解得z=业+C）e，2+c）（C为任意常数）

所以原方程的通解为er=y（YJ-3+C）（C为任意常数）

a100

0a10

00a1

2

［问答题］计算D=11JTX

参考答案:

a10010

D=aAII+A12=aMx—Mn—a0a1—0a1

Xx2X3II1X2J3

22

=<2CaAn+A］z)—(—I)(—1)=-14-aMu—aM

——1+a：(a_r3—jr2)—<2(--r)=a5x-a2/+ax-1.

［单选题］设向量B可由向量组a1,a2,…am线性表示，但不能

由向量组(I)：a1,a2,…，am-1线性表示，记向量组(II)：a1,

a2,…,am-1,B,则0。

A.am不能由(I)线性表示，也不能由(II)线性表示

B.am不能由(I)线性表示，但可由(H)线性表示

C.am可由(I)线性表示，也可由(H)线性表示

D.am可由(I)线性表示，但不可由(II)线性表示

参考答案：B

［单选题］设线性无关的函数yl,y2与y3均为二阶非齐次线性微

分方程的解，C1和C2是任意常数，则该非齐次线性微分方程的通解

是()。

B.Gyi+GhTG+C?)力|

C.Gy|)C2y廿(1一。1一,2»3

参考答案：C

［单选题］设二次型H孙，％巧)在正交变换x=Py下的标准形为

2ytMV,其中若2=(%，Ff),则以与，巧，巧)在正交变

换*=(1丫下的标准形为()。

A-武

B2y2;Y

c2yH海；

D2J：+4+)；

参考答案：A

［问答题］

求极限I

参考答案:

原式=］向sin”一一（1+/；》_］而$评。一ln《1十工？）

r"ln（1+jr2）sin?xmT*

,,2J

4sm“cosjr—1z―T

=lim-------“一二匚（治必达法则）

［问答题］设f(x)在区间［a,b］上连续,在(a,b)内可导，且f(a)=f(b),

f(x)不恒为常数证明：在(a,b)内至少存在一点w,使得>°。

参考答案：因f(a)=f(b),且f(x)不恒为常数，所以至少存在一点c

e(a,b),使f(c)Wf(a)=f(b)。不妨设f(c)>f(a),则在［a,c］上,由拉格朗

(e(a,c)

日中值定理，至少存在一点东sC,('a.'b)"使得

/，(小血

［单选题］设二维随机变量(X,Y)在区域