辽宁省部分高中2023-2024学年高一年级上册期末联考数学试卷（含解析）

2023-2024学年度上学期期末考试高一试题数学

考试时间：120分钟满分：150分

第I卷（选择题，共60分）

一、单项选择题（本题共8小题，每题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求）

^.A=（x|0<logx<2）B={x||x-3|<3）A/?-/、

1.已知集合J3S,J,IIII兀ni则IA万一（）

A.[0,1]B.[0,9]C.[1,6]D,[6,9]

【答案】C

【详解】由0Vlog3X<2,即logs1<logsxVlogs9,所以1WXW9,

所以4={H0Wlog3xV2}={x|lWxV9},

由卜一3归3,即一3Wx—3W3,解得0WxW6,

所以3={对尤—3]<3}={尤[0<%<6},

所以4八5={用<%<6}.

故选：C

2.“a〉!”是“工<2”的（）

2a

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】因为Q>'=>2Q>1=>L<2,而工<2推不出〃〉,，例如〃=一1满足2,但a>」不成立,

2aa2a2

所以“a〉!”是“工<2”的充分不必要条件，

2a

故选：A

3.已知a=g1°，，b=log,I，o=[I:，则（）

A.b>c>aB.c>a>bC.b>a>cD.a>c>b

【答案】C

【详解】a==（1]，因为y=在R上单调递减，且0<0.6<0.9,所以

即1>Q>C；

因为y=l°gzX在（0,+8）上单调递减，且工〉工，所以log]!<log]：,即》〉1；

4454445

因此>>a>c.

故选：C.

4.袋子中有大小、形状、质地完全相同的4个小球，分别写有“风”、“展”、“红”、“旗”四个字，若有放回地

从袋子中任意摸出一个小球，直到写有“红”、“旗”的两个球都摸到就停止摸球.利用电脑随机产生1到4之

间取整数值的随机数，用1,2,3,4分别代表“风”、“展”、“红”、“旗”这四个字，以每三个随机数为一组,

表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：

411231324412112443213144331123

114142111344312334223122113133

由此可以估计，恰好在第三次就停止摸球的概率为（）

1311

A.—B.—C.—D.一

102054

【答案】B

【详解】由题得恰好在第三次就停止摸球的随机数有：324,443,334,共有3个.

3

由古典概型概率公式得恰好在第三次就停止摸球的概率为P=—.

20

故选：B

5.已知a=（L2）,b-（3,-1）,若（曲一a）〃（2a+6）,则左=（）

121

A.-1B.——C.——D.-

233

【答案】B

【详解】因为必一。=(3右一左)一(1,2)=(3左一1,—左一2),22+6=(2,4)+(3,—1)=(5,3),

且（助一a）〃（2a+b）,

所以（3左一1）x3—5（一左一2）=0,即14%=—7,解得上=—；.

故选：B

6.已知函数/（尤）=ig（九2—6龙—7）在（氏口上单调递增，则”的取值范围是（）

A.[7,+oo)B.[3,+Q0)C.(-oo,3]D.(-oo,-l]

【答案】A

【详解】对于函数/(x)=lg(d—6x—7),令％2_6%_7>O,解得％>7或x<—1,

所以函数〃无)的定义域为(。，―l)u(7,+"),

又y=V—6x-7在(一刃,一1)上单调递减，在(7,+8)上单调递增，

y=lgx在定义域上单调递增，

所以/(%)=1g—6x—7)在(f,—1)上单调递减，在(7,+8)上单调递增，

因为函数/(%)=坨(炉—6%-7)在3+8)上单调递增，

所以。之7,即“的取值范围是［7,+oo).

故选：A

7.若关于x的不等式必+夕升+q〉0的解集为(-8,-1)u(2,+8),则不等式.+"-8>0的解集为

x+p

().

A.(-4,1),(2,+8)B.(-2,1)J(4,+8)C.(f,—2)1(1,4)D.(7,-4)(1,2)

【答案】B

【详解】因为关于x的不等式x2+px+q>0的解集为(-<»,-1)D(2,+8),

所以必+夕汗+4=0的两根是-1或2,由韦达定理可得：p=-1,4=—2,

所以*+"-8〉0可转化为(x-4)(X+2)〉0,解得一2q<i或%>4

X+pX-1

所以原不等式的解集为(—2,1)(4,+8),

故选：B.

8.己知函数/a)的定义域为R,且/(x+y)+/(x-y)=/(x)/(y),8(D=L则()

A./(0)=0B.函数/(x)奇函数

C./(2)=-1D.函数/'(x)既不是奇函数也不是偶函数

【答案】C

【详解】依题意，/(1)=L/(x+y)+f(x-y)=/(x)/(y),

令y=1得/(x+l)+/(x-l)=/(x)/(l)=/(%),

所以/(x+l)=〃x)—/(尤―1),则/(x+2)=〃x+l)—/(x),

令x=l,y=O,则/(1)+/(1)=/(1)/(0),所以/(O)=2,故A错误；

因为/(O)HO,所以/(九)不是奇函数，故B错误；

/(2)=/(1)-/(0)=1-2=-1,故C正确；

令x=o可得/(y)+/(—y)=/(o)/(y)=2/(y),所以/(—》)=/(》),

所以/(无)为偶函数，故D错误；

故选：C

二、多项选择题(本题共4小题，每题5分，共20分.全对得5分，漏选得2分，错选不得

分)

9.《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的

哲理解释了自然、社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形A5cDEFGH,

其中。为正八边形的中心，则下列说法正确的是()

C.OA+OC^y/2OBD..和G£＞不能构成一组基底

【答案】BCD

【详解】因为正八边形A5cDEFGH中，ZDEA=ZHAE，所以AH〃。石，但A”,ED方向不同，所以

AH=£D不正确，故A错误；

由OA—=—EE=EO，所以。4—“=R9正确，故B正确；

由正八边形知，ZAOC=^,且|。4卜|。目,

根据向量加法法则可知:

Q4+0C为以。4,OC为邻边的正方形中以0为始点的一条对角线所对应的向量,

所以|。4+℃卜四国，又囱=网，

与以。为始点的一条对角线所对应的向量共线，所以。4+0。=e。8，故C正确；

在正八边形ABCDEFGH中，AB=FE，EE■和GD平行，所以A3和GO共线，故AB和G£>不能构成

一组基底，故D正确.

故选：BCD

10.已知函数/(x)=+的图象如图所示,当》<“时，有/(x)>0,则下列判断中正确的是

2x+b

()

A.m=—2B.n=lC.b>0D.Ovavl

【答案】ABC

【详解】由图象可得，〃尤)的定义域为(一8,2)D(2,+8),所以xw2可能是2炉+6/0的解，也可能

是卜+7赴,0的解，

当X/2是2%2+bwO的解时，b=-8,止匕时2x2+/,/。的解为xw±2,跟题意不符；

当xw2是|尤+同。0的解时，机=-2,符合要求，故A正确；

因为机=一2,所以〃")=?+=0,解得“=1或〃=3,

''2n2+b

因为〃<2,所以〃=1,故B正确；

当*<1时，/(x)=l°g"p+时〉0,而归―2|>1,所以log/x—2|的符号在％<1时不变，则2f+b的

符号也不变，所以2/+/,只能大于零，即方>0,故C正确；

因为/(0)=—殳一，b>。,所以log2。〉。，即々>1,故D错误.

b

故选：ABC.

11.在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染标志为“连

续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，

一定符合没有发生大规模群体感染标志的是()

A.甲地：中位数为2,极差为5

B.乙地：总体平均数为2,众数为2

C.丙地：总体平均数为1,总体方差大于0

D.丁地：总体平均数为2,总体方差为3

【答案】AD

【详解】对A,因为甲地中位数为2,极差为5,故最大值不会大于2+5=7,故A正确；

对B,若乙地过去10日分别为0,0,0,2,2,2,2,2,2,8,则满足总体平均数为2,众数为2,但不满足每天新

增疑似病例不超过7人，故B错误;

对C,若丙地过去10日分别为0,0,0,0,0,0,0,。」,9,则满足总体平均数为1,总体方差大于0,但不满足

每天新增疑似病例不超过7人，故C错误；

1,

对D,利用反证法，若至少有一天疑似病例超过7人，则方差大于一x(8-2)=3.6>3.与题设矛盾，故

连续10天，每天新增疑似病例不超过7人，故D正确.

故选：AD

12.如图，对于任意正数a,v(u<v).记曲线y与直线x=",x=v,y=0所围成的曲边梯形面积

为L(u,v),并约定L(M,M)=0和L(%〃)=.己知L(l,x)=lnx,则以下命题正确的有()

A.”『,2)=1+1112

B.£(2,3)>£(4,6)

C.对任意正数左和1<〃<v,有L(u,v)=L(ku,kv)

D.对任意正数左和有比力

【答案】ACD

【详解】Z（e-1,2）=Z（e-1,l）+£（l,2）=-£（l,e-1）+ln2=-lne-|+ln2=l+ln2,故A正确;

3

£（2,3）=I（2,l）+L（l,3）=-£（l,2）+£（l,3）=-ln2+ln3=ln-,

£（4,6）=£（4,l）+£（l,6）=-£（l,4）+£（l,6）=ln6-ln4=ln^=ln|,

.-.L（2,3）=L（4,6）,故B错误;

对任意正数左和1<〃<v,因为L（w,v）=-L+L（l,v）=Inv-In〃=In上，

It

L（ku,kv）=-L（1,ku^+L（1,^v）=lnkv-inku=ln—,所以L（w,v）=L（ku,kv）,故C正确；

u

对任意正数左和1<〃<v,则L（w,v）=—L（l,M）+L（l,v）=lnv-lnz/,

L（uk,vk^=-L（\,uk^+L{i,vk^=\nuk-Inv*=Zr（lnn-Inv）=A£（«,v）,

故H（〃,"）="/,力,故D正确.

故选：ACD

第II卷（非选择题，共90分）

三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分.）

13.函数y=a*T+l（。>1且a/0）的反函数过定点.

【答案】（2,1）

【详解】对于函数丁=。日+1（a>l且awO）,令x—1=0,即x=l,所以y=a°+l=2,

即函数丁=优一+1（a>l且a/0）恒过点（1,2）,

所以函数丁=优7+1（。>1且。/0）的反函数恒过点（2,1）.

故答案为：（2,1）

14.如图所示的茎叶图记录着甲、乙两支篮球是各6名球员某份比赛的得分数据（单位：分）.若这两组数

据的中位数相等，且平均值也相等，则1+y=.

甲队乙队

7089

219V

X258

13

【答案】3

【详解】由题意，甲的中位数为：立丝=16,故乙的中位数19+10+'=16①

22

——7+12+12+20+20+X+31102+x

与=--------------------------6~

8+9+19+10+y+25+2899+y

66

因为平均数相同，所以1f)2+匕X=OQ②+v,

66

由①②可得y=3,X=Q,

所以x+y=3,

故答案为：3.

15.若函数y=yl)wc~-(l-m)x+m的定义域为R,则加的取值范围是.

【答案】［；,+功

【详解】函数的定义域为R,

不等式"f-(1-m)x+m>0,对任意xeR恒成立，

当加=0时，不等式等价为-x»0,不恒成立，此时不满足题意.

m>Q1

当7%W0,要使不等式恒成立，则满足、22，解得加2—,

(1-m)-4m2<03

即实数机的取值范围为

故答案为：［―,+°°).

3

,2'r-2-l,x<23

16.已知函数〃x)=।,则函数尸(的=/［/(切一2/(%)+—有__________个零点.

|log2l^x—2^,x>24

【答案】4

3

【详解】令"/(x),由尸(x)=0可得，/(0-2?+-=0,

4

3

作y=/«)与y=27—二的图象，如图，

由图象知有两个交点，分别设横坐标为

则％=o,r2e(2,3),

由/(x)=%=0可知x=2或％=3,有两个根，

由/(x)=e(2,3),显然有两个根，

3

综上，网x)=/"(x)]—2/(x)+z=0有4个根，即歹(X)有4个零点.

故答案为：4

四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.已知幕函数/(%)=(疗—7%+1)廿+2,

(1)求加的值；

(2)若写出函数"X)的单调区间(不需证明单调性)，并利用了。)的单调性解不等式

/(x+l)>/(3-x).

①函数/(X)为奇函数；②函数f(x)为偶函数，从这两个条件中任选一个填入横线.

【答案】(1)772=0或m=1

(2)答案见解析

(1)

因为广(X)为幕函数，

所以根2-根+1=1,解得加=0或〃2=1.

(2)

选①，若函数/(X)为奇函数，则加=1,即函数/(乃=三，

此时函数/(X)单调递增区间为(-00,+8),

所以x+l>3—x,解得x>l,

即不等式的解集为｛x|x>l｝.

选②，若函数/（X）为偶函数，贝「72=0,即函数/（x）=d,

此时函数/（X）单调递减区间为（-8,0）,单调递增区间为（0,+8）,

由偶函数性质可知/（|x+l|）>/（|3-；x|）,

由单调性可知|%+1|>|3-%|,即尤2+2%+1>%2一6%+9，解得x>l,

即不等式的解集为｛x|x>”.

18.碳14是碳的一种具有放射性的同位素，它常用于确定生物体的死亡年代，即放射性碳定年法.在活的

生物体内碳14的含量与自然界中碳14的含量一样且保持稳定，一旦生物死亡，碳14摄入停止，生物体内

的碳14会按指数函数的规律衰减，大约经过5730年衰减为原来的一半，通过测定生物遗体内碳14的含量

就可以测定该生物的死亡年代.设生物体内的碳14的含量为尸，死亡年数为九

（1）试将「表示为/的函数；

（2）不久前，科学家发现一块生物化石上的碳14的含量为自然界中碳14的含量的20%,请推算该生物死

亡的年代距今多少年？（参考数据：1g2ao.3）

【答案】（1）P=Q^（z>0）

（2）13370年

（1）

已知碳14含量与死亡年数成指数函数关系，设「=储，

1

由经过5730年衰减为原来的一半，可得;=/73。，所以a=1g：73o,

t

故碳14的含量P与死亡年数t的函数关系式为p=（/〉0）；

（2）

由已知仕）忌=里，

UJloo

1g-20

20100lg20-lgl00_l-lg27

所以=log-2Igi-lg2a3

5730,1100lgl

即/»13370,

所以推算该生物死亡的年代距今13370年.

19.辽宁省数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成

绩，将数据整理后分成五组：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并绘制成如图所示的频

率分布直方图.

(1)补全频率分布直方图，若只有30%的人能进决赛，入围分数应设为多少分(保留两位小数)；

(2)采用分层随机抽样的方法从成绩为[80,100]的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取2

名学生进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90的概率;

(3)进入决赛的同学需要再经过考试才能参加冬令营活动.考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考2门学

科，每科笔试成绩从高到低依次有A+,A,B,C,。五个等级.若两科笔试成绩均为A+,则直接参加;

若一科笔试成绩为A+,另一科笔试成绩不低于B,则要参加第二轮面试，面试通过也将参加，否则均不

能参加.现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响.甲在每科笔试中取得A+,A,B,C,。的概率分别为

2111311211

二，—,--,二，—~;乙在每科笔试中取得A+,A,B,C,£)的概率分别为:，—,—,—,——

56125204551020

甲、乙在面试中通过的概率分别为,，匚.求甲、乙能同时参加冬令营的概率.

516

【答案】(1)作图见解析，76.25分;

3

(2)

5；

1

(3)

32

(1)

由频率分布直方图可知[70,80)的频率为

1-(0.015+0.030+0.010+0,005)x10=0.40,

所以［70,80)组的纵轴为0.40+10=0.040，

所以频率分布直方图如下所示:

又(0.010+0,005)X10=0.15<0,3,0.4+(0.010+0,005)x10=0,55>0,3,

所以第70%分位数位于［70,80),且-0~4-0315xl0+70=76.25,

0.4

所以入围分数应设为76.25分.

(2)

依题意从［80,90)抽取6?4人，标记为1,2,3,4；

0.01+0.005

0.005

从［90,100］抽取6?2,标记为。，b-,

0.01+0.005

从6人中随机选2人其样本空间可记为

。={(1,2)(1,3)(1,4)(1«)(13)(2,3)(2,4)(2,a)(2,b)(3,4)(3,a)(3/)(4,a)(41)(a,。)},

共包含15个样本点，即有15种选法.

设事件4=“至少有1名学生成绩不低于90”，

则其中2人都是［80,90)的样本空间可记为

A={(1,2)(1,3)(1,4)(2,3)(2,4)(3,4)},共包含6个样本点，即有6种选法.

-63

则P(A)=1-P(A)=1-记=于

3

所以至少有1名学生成绩不低于90的概率为-.

(3)

222f11}11

依题意甲能参加冬令营的概率外——x-+2x—x—+——x—=—,

55512J55

乙能参加冬令营的概率殳--x—+2x—xf—+—jx—=——,

二人互不影响，所以甲、乙、丙能同时参加冬令营的概率尸=号七=Lx』=L.

中53232

20.已知函数/(x)=log2(x+。).

(1)当a=2时，解不等式：/(x)>21og2x；

(2)当a>0时，记g(x)=g/(4x),若对任意xe(0,2),函数y=/(x)的图像总在函数y=g(x)的图

像的下方，求正数。的取值范围.

【答案】⑴(0,2)

(2)(0,1]

(1)

由/(x)〉210g2x,a=2,得log2(x+2)〉210g2x,

x+2>0

即Iog2(x+2)〉log2x2,所以{x〉0,解得o(尤<2,即不等式的解集为(0,2).

x+2>x2

⑵

因g(x)=g/(4x)=gk)g2(4x+a)(a>0),

对任意的xe(0,2)，函数y=/(%)的图像总在函数y=g(x)图像的下方，

则/(x)<g(x)在尤e(0,2)上恒成立，

即log?(x+a)<g10g2(4x+a)(a>0)在尤e(0,2)上恒成立,

即2log2(%+a)<log2(4^+a)在xe(0,2)上恒成立，

2

BPlog2(x+a)<log,(4A-+a),(x+a)?<4x+a在尤w(0,2)上恒成立,

整理得V+2(a—2)x+/—。<0在尤e(0,2)上恒成立，

设〃z(x)=x?+2(a—2)x+a?-a<0,xe(0,2),

m(0)=a2-a<0

则只需要即可,可得OWaWl,

m(2)=cT+3a-4<0

又因为a>0,所以0<aWl,所以正数。的范围为

21.如图，在一ABC中，点尸满足PC=2BP，。是线段AP的中点，过点。的直线与边AB，AC分别

交于点E,F.

11

(2)若EB=2AE(2>0),FC=〉0),求不+一7的最小值.

Z4+1

AE4

【答案】⑴商二

⑵r

(1)

因为PC=2BP，

1121

所以AP=AB+BP=AB+—BC=AB+—(BA+AC)=—AB+—AC,

3333

因为。是线段AP的中点，所以AO=LAP=4AB+!AC,

236

2ri

又因为4歹=彳4。，设AB=XAE，则有AO=UAE+：AE,

334

x194

因为瓦。，厂三点共线，所以—+—=1,解得x=—,即AE=—A3,

3449

所以

EB5

(2)

因为A3=AE+E3=AE+XAE=(l+；l)AE,AC=AF+FCAF+jLiAF=(1+jU)AF,

由(1)可知，AO=-AP=-AB+-AC,所以=+

23636

因为£,0,尸三点共线，所以幺=1,即22+〃=3,

36

所以;+1\(13+20

——+•(22+//+1)>-[3+2卜+12'

A〃+14^24X2〃+14

当且仅当〃+1=、历2,即4=4—20，〃=4虚—5时取等号,

所以1力+有1的最小值为卡3+2^/.2

22.已知/