黑龙江省大庆市肇源县五校2023-2024学年八年级下学期月考数学试卷（4月份）（五四学制）

2023-2024学年黑龙江省大庆市肇源县五校八年级（下）月考数学试卷（4月份）（五四学制）一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在下列方程中，一元二次方程的个数是(

)

①；

②；

③；

④A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0，，，则AD的长是(

)

A. B. C.5 D.103.关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为(

)A. B.1 C.1或 D.4.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则为(

)A.

B.

C.

D.5.用配方法解方程时，原方程应变形为(

)A. B. C. D.6.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是(

)A. B. C.且 D.且7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为BC中点，，则线段OH的长为(

)

A.

B.

C.3

D.58.一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是(

)A.12 B.9 C.13 D.12或99.如图，已知正方形ABCD的边长为1，连结AC、BD，CE平分交BD于点E，则DE长(

)A.

B.

C.1

D.10.已知四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，则下列结论正确的是(

)A.当时，四边形ABCD是矩形

B.当，时，四边形ABCD是菱形

C.当时，四边形ABCD是菱形

D.当，时，四边形ABCD是正方形二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。11.已知a是方程的一个根，则的值是______.12.顺次连结菱形各边中点所得的四边形必定是__________.13.一个三角形的两边长分别为3cm和7cm，第三边长为整数acm，且a满足，则此三角形的周长为______14.方程是关于x的一元二次方程，则m的值为______.15.已知，x，y为实数，则______.16.如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，，且，，矩形ABCD的周长为32cm，则AE的长为______

17.以正方形ABCD的边BC为边作等边，连接AP、DP，则______.18.如图，在中，，且，，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接MN，则线段MN的最小值为______.

三、计算题：本大题共2小题，共12分。19.已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的长．

如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；

如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由．20.阅读下面的解题过程，求的最小值.

解：，

而，即最小值是

的最小值是

依照上面解答过程，求：

的最小值；

的最大值.四、解答题：本题共8小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。21.本小题8分

解下列方程：

；

22.本小题5分

如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使与AD交于点若，，求的面积.23.本小题6分

已知关于x的方程

求证：方程总有两个不相等的实数根；

若此方程的一个根是1，求出方程的另一个根．24.本小题6分

如图，已知点D在的BC边上，交AB于E，交AC于

求证：；

若AD平分，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．25.本小题6分

如图，正方形ABCD中，点E、F分别在AD，CD上，且，连接BE，AF，BE与AF有怎样的关系？试说明理由.26.本小题6分

已知：如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD、AC、BC分别交于点E、O、

求证：四边形AFCE是菱形；

若，，，求菱形AFCE的面积.27.本小题8分

如图，在矩形ABCD中，，、N在对角线AC上，且，E、F分别是AD、BC的中点．

求证：≌；

点G是对角线AC上的点，，求AG的长．28.本小题9分

如图，在矩形ABCD中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是每秒1个单位，连接PQ、AQ、设点P、Q运动的时间为t秒

当t为何值时，四边形ABQP是矩形；

当时，判断四边形AQCP的形状，并说明理由；

直接写出以PQ为对角线的正方形面积为96时t的值.

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：①，是一元二次方程，故本小题正确；

②，时是一元二次方程，故本小题错误；

③，整理后是一元二次方程，故本小题符合题意；

④，是一元二次方程，故本小题符合题意．

故选：

本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．

本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.【答案】B

【解析】解：因为在矩形ABCD中，所以，

又因为，所以是等边三角形，所以，

所以，

所以，

所以

故选

本题的关键是利用等边三角形和矩形对角线的性质求长度．

此题考查的知识点是解直角三角形，解答此题的关键是由矩形的性质和等边三角形的性质首先得出，然后由勾股定理求得3.【答案】D

【解析】解：把代入方程得，

解得：，

是关于x的一元二次方程，

，

即，

的值是

故选：

根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得出，，求出a的值即可．

本题考查了一元二次方程的解，能得出关于a的方程是解此题的关键．4.【答案】C

【解析】解：四边形ABCD是正方形，

，

又是等边三角形，

，，

，

，，

，

又，

故选：

根据正方形的性质及等边三角形的性质求出，，再求

本题主要是考查正方形的性质和等边三角形的性质，本题的关键是求出5.【答案】A

【解析】解：，

，

则，即，

故选：

常数项移到方程右边，两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得．

本题主要考查解一元二次方程-配方法，解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．6.【答案】D

【解析】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，

且，即，解得，

的取值范围为且

当且时，关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．

故选：

由关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得且，即，两个不等式的公共解即为m的取值范围．

本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根；也考查了一元二次方程的定义．7.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了直角三角形斜边上中线的性质．

先根据菱形的性质得到，，，再利用勾股定理计算出BC，然后根据直角三角形斜边上中线的性质得到OH的长．

【解答】

解：四边形ABCD为菱形，

，，，

在中，，

为BC中点，

故选：8.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查了等腰三角形性质、解一元二次方程、三角形三边关系定理的应用等知识，关键是求出三角形的三边长．求出方程的解，即可得出三角形的边长，再求出即可．

【解答】

解：，

，

，，

，，

①等腰三角形的三边是2，2，5

，

不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；

②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是；

即等腰三角形的周长是

故选9.【答案】A

【解析】解：过点E作于点F，

四边形ABCD是正方形，

，，

平分交BD于点E，

，

正方形ABCD的边长为1，

，

由勾股定理得，

，

，

在和中，

，

≌，

，

，，

为等腰直角三角形，

，

，

故选：

过点E作于点F，根据角平分线的性质得出，由正方形的性质求出CO的长，再证和全等，得出，从而求出DF的长，再证为等腰直角三角形，于是可求出DE的长．

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握这些几何图形的性质是解题的关键．10.【答案】C

【解析】解：A、对角线AC与BD互相垂直，时，无法得出四边形ABCD是矩形，故此选项错误；

B、当，时，无法得到，四边形ABCD是菱形，故此选项错误；

C、当两条对角线AC与BD互相垂直，时，，，

四边形ABCD是平行四边形，

两条对角线AC与BD互相垂直，

平行四边形ABCD是菱形，故此选项正确；

D、当，时，无法得到四边形ABCD是正方形，故此选项错误；

故选：

根据平行四边形、菱形的判定与性质分别判断得出即可．

此题主要考查了菱形的判定以及矩形和正方形的判定，熟练掌握相关判定是解题关键．11.【答案】16

【解析】解：是方程的一个根，

，

，

故答案为：

利用一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．

本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．12.【答案】矩形

【解析】【分析】

本题主要考查了菱形的性质和矩形的判定定理，正确理解菱形的性质以及三角形的中位线定理是解题的关键．

根据三角形的中位线定理首先可以证明：顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形．再根据对角线互相垂直，即可证明平行四边形的一个角是直角，则有一个角是直角的平行四边形是矩形．

【解答】

解：如图，四边形ABCD是菱形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，

则，；，，

故四边形EFGH是平行四边形，

又，

，

四边形EFGH是矩形．

故答案为：矩形．13.【答案】17

【解析】解：解方程得或7cm，

根据三角形三边之间的关系，可得第三边a的取值范围为，故，

故此三角形的周长为

先根据题意求出方程的解，再根据三角形的三边关系判断出第三边的长，进而求出其周长即可．

解答此题应根据三角形三边之间的关系判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．14.【答案】2

【解析】解：方程是关于x的一元二次方程，

且，

解得：

故答案为：

根据一元二次方程的定义得出且，再求出m即可．

本题考查了一元二次方程的定义，能根据一元二次方程的定义得出和是解此题的关键．15.【答案】

【解析】解：，

，

，

，，

，，

，

故答案为：

本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，代数式求值，负整数指数幂，根据已知条件式，利用完全平方公式推出，据此得到，，最后代值计算即可得到答案．

本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，代数式求值，负整数指数等知识，解题的关键是学会利用配方法解决问题．16.【答案】6

【解析】解：在和中，

而

，

在与中，

，

≌

，

矩形ABCD的周长为

，即，

整理得：

解得：

故答案为

先证，再证，然后结合题目中已知的线段关系求解．

本题综合考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．17.【答案】或

【解析】解：如图，当点P在正方形ABCD内部时，

是等边三角形，

，，

四边形ABCD是正方形，

，，

，，

；

如图，当点P在正方形ABCD外部时，

是等边三角形，

，，

四边形ABCD是正方形，

，，

，，

；

综上所述，或

故答案为：或

分两种情况讨论：当点P在正方形ABCD内部时；当点P在正方形ABCD外部时，即可求解．

本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．18.【答案】

【解析】解：，且，，

，

，，

，

四边形DMAN是矩形，

，

当时，AD的值最小，

此时，的面积，

，

的最小值为；

故答案为：

由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DMAN是矩形，可得，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．

本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．19.【答案】解：是等腰三角形．理由如下：

是方程的根，

，

，

，

，

是等腰三角形；

是直角三角形．理由如下：

方程有两个相等的实数根，

，

，

，

是直角三角形．

【解析】见答案；

见答案.

根据方程解的定义把代入方程得到，整理得，即，于是根据等腰三角形的判定即可得到是等腰三角形；

根据判别式的意义得到，整理得，然后根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形．

本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．也考查了勾股定理的逆定理．20.【答案】解：，

，

，

的最小值为2019；

，

，

，

的最大值为

【解析】根据完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可．

本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．21.【答案】解：，

，，，

，

，

解得；

，

，

，

或，

解得

【解析】利用公式法解方程即可；

先移项，然后利用因式分解法解方程即可．

本题主要考查了解一元二次方程，掌握求根公式和因式分解是解题的关键．22.【答案】解：设，则，

在直角中，，

即，

解得：，

则，，

则

故的面积为：

【解析】设，则，在直角中利用勾股定理即可列方程求得x的值，然后根据三角形面积公式求解．

本题考查了图形的折叠以及勾股定理，正确利用勾股定理求得AE的长是解决本题的关键．23.【答案】证明：，

而，

方程总有两个不相等的实数根；

解：方程的一个根是1，

，

解得：，

原方程为：，

解得：，

故方程的另一个根是

【解析】要证明方程有两个不相等的实数根，即证明即可．，因为，可以得到；

将代入方程，求出m的值，进而得出方程的解．

此题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的解的定义．24.【答案】证明：，，

四边形AEDF是平行四边形，

；

若AD平分，四边形AEDF是菱形，

理由：平分，

，

，

，

，

，

又四边形AEDF是平行四边形，

平行四边形AEDF为菱形．

【解析】本题考查了平行四边形的判定，及菱形的判定的掌握情况．

利用平行四边形的判定和性质得出；

利用AD是角平分线，结合，易证，利用等角对等边，可得，再根据四边形AEDF是平行四边形，从而可证平行四边形AEDF为菱形．25.【答案】解：，且，理由如下：

四边形ABCD是正方形，

，，

在和中，

，

≌，

，，

，

，

【解析】根据正方形的四条边都相等可得，每一个角都是直角可得，然后利用“边角边”证明≌，从而得出结论．

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识，掌握三角形全等的判定方法与正方形的性质是解题的关键．26.【答案】解：证明：四边形ABCD是矩形，

，

，

是AC的垂直平分线，

，

，

四边形AFCE是平行四边形，

，

平行四边形AFCE是菱形．

在矩形ABCD中，，

在中，，，

根据勾股定理得：，

，

故菱形AFCE的面积

【解析】根据矩形性质可得，可得，根据EF是AC的垂直平分线，即可证明结论；

根据勾股定理可得AC的长，进而可得菱形的面积．

本题考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质，菱形的判定等知识点的运用，关键是根据题意推出，题目比较典型，难度适中．27.【答案