高三数学一轮复习-圆锥曲线的方程训练Ⅰ卷（人教A版2019）

一轮复习必刷圆锥曲线的方程专题训练I卷

高三一轮复习

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题

2

1.已知耳，F?为双曲线/一匕=1的左，右焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任意

3

一点，设笆的内切圆半径为小圆心为M,若|儿园=4—，贝"=（）

22

2.若圆与双曲线（尤-百）2+（y-i）2=3点一%=ig>0/>0）的一条渐近线相切，则此双

曲线的离心率为

A.9B.立C.2D.V7

32

3.已知椭圆中a=4,b=l,,且焦点在x轴，则此椭圆方程是（）

222

A.—+)72=1B.x2+—=1C.—+/=1D.x2+—=1

441616

2

4.已知，"是2与8的等比中项，则圆锥曲线炉-匕=1的离心率等于（）

m

A.手B.V2C.小或与D.G或手

5.若抛物线V=4x的准线为/,Q是抛物线上任意一点，则?到准线/的距离与P到直

线3%+4y+7=0的距离之和的最小值是（）

D13

A.2D.3

5

6.设双曲线C:二-W=T的渐近线方程为;±5=0,则双曲线C的离心率为

ab23

A.好R岳D.叵

D.----------

2322

r2v2Y2v2

7.椭圆工+2=1与椭圆一二+二^=1（机<3）的（）

434-m3-m

A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等

8.等轴双曲线的一个焦点是耳（0,-6）,则其标准方程为（）

A,£上1B必*C.匚，D.匚匚1

D.------------------=1

181899181899

二、多选题

..

..

..

..

9.己知抛物线C：V=8x的焦点为尸，在C上存在四个点尸，M,Q,N.若弦PQ与弦OO

..

的交点恰好为焦点兄且尸QLMV,则（）..

..

A.抛物线C的准线方程是x=T..

1111..

B++

翔

-\PF\\QF\~\MF\\NF\郑

1---11

-------F——..

\PQ\|W|8..

..

D.四边形尸MQN的面积的最小值是128..

..

22..

10.若方程工+工=1所表示的曲线为c,则下面四个命题中正确的是（）

3-tt-1OO

A.若C为椭圆，则l<r<3B.若C为双曲线，则f>3或r<l.※.

.※.

C.曲线C可能是圆D.若C为双曲线，则焦距为定值.鼠.

.※.

.※.

11.设抛物线>=以2的准线与对称轴交于点尸，过点尸作抛物线的两条切线，切点分别施

※

※

为A和B,则（）1

任

.※.

A.点尸坐标为B.直线的方程为y=:.※.

.邹.

※

CPA±PB..

-D.J.※.

区

22O※O

12.已知片、区分别为双曲线下方=1（。>0乃>0）的左、右焦点，过点F?的直线与双曲※

.堞.

.※.

线的右支交于AB两点，记△4耳工的内切圆人的半径为小8片鸟的内切圆心的半径为4,.※.

出

.※.

若可马=/,贝U（）.※.

塌

期

邮

※

.

.※

A.A、八在直线上B.双曲线的离心率e=2..

.氐.

.※.

C.内切圆半径最小值是T。D.4+4的取值范围是2a,fa.※.

.鹏.

派

O※O

..

..

三、填空题..

..

13.若点A（-3,y）在抛物线V=-8x上，尸为抛物线的焦点，则|/用=...

氐

14.已知双曲线C的焦点、实轴端点恰好是椭圆[+]=1的长轴的端点、焦点，则双宅

..

..

曲线C的方程为...

..

15.已知点尸在抛物线/=8x上，点厂为该抛物线的焦点，又已知点A的坐标为（6,3）,..

..

则乙PAF周长的最小值为.OO

22万..

16.已知双曲线C:，-3=l（a>°，">°）的一条渐近线为/：>=—X，左、右焦点分别是..

试卷第2页，共4页

过点K作X轴的垂线与渐近线/交于点A,若乙4月凡=9,则双曲线C的离心

-6

率为.

四、解答题

222

17.若双曲线C：=-3=l(a>0,"0)的一条渐近线为>=氐，右焦点F到直线尤=幺的

a-bc

3

距离为5.

⑴求双曲线C的方程；

(2)设过焦点厂的直线/与双曲线C的右支相交于A,B两点(不重合)，

(i)求直线/的倾斜角的取值范围；

(ii)在尤轴上是否存在定点使得直线及1和MB的斜率之积为常数，若存在，求出

M的坐标，若不存在，请说明理由.

18.已知抛物线C：寸=20彳(。>。)上一点M到其焦点的距离为3,到y轴的距离为2.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若不过原点。的直线/：y=与抛物线C交于A,B两点，且。4,03,求实数

m的值.

19.在平面直角坐标系宜刀中，已知双曲线C的焦点为(0,-百)、(0,后,实轴长为2后.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)过点。(LD的直线/与曲线C交于N两点，且恰好为线段的中点，求线

段初V长度.

20.已知椭圆E:》+%=ig>b>0)的左、右焦点分别为片、F2,其离心率为［椭圆

E的左、右顶点分别为A,B,且|AB|=4.

⑴求椭圆E的方程；

(2)过耳的直线与椭圆相交于C,D(不与顶点重合)，过右顶点B分别作直线8C,BD

与直线x=T相交于N,M两点，以MN为直径的圆是否恒过某定点？若是，求出该

定点坐标；若不是，请说明理由.

21.已知椭圆/+/=l(a>6>0)的离心率e=*,且过点(。,一行).

(1)求椭圆方程；

(2)已知耳、B为椭圆的上、下两个焦点，A3是过焦点耳的一条动弦，求AAB八面

积的最大值.••

221（3、OO

22.已知椭圆£邑+2=1.>6>0）的离心率为不尸1,彳为椭圆上一点，48为椭..

ab2I..

圆上不同两点，。为坐标原点，..

..

（1）求椭圆C的方程；

翔

郑

（2）线段48的中点为M,当A03面积取最大值时，是否存在两定点G,”，使

..

..

|GM+|"W|为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由...

..

..

..

OO

.※.

.※.

.鼠.

.※.

.※.

施

※

※

1

任

.※.

.※.

.邹.

.※.

.※.

区

O※O

※

.堞.

.※.

.※.

出

.※.

.※.

塌

照

邮

※

..

.※.

.氐.

.※.

.※.

.鹏.

派

O※O

..

..

..

..

..

氐

宅

..

..

..

..

..

..

OO

..

..

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.C

【分析】根据切线的性质及双曲线的定义，确定"的横坐标，即得出圆心的横坐标，再由

勾股定理代入计算，即可求解.

设△尸片区的内切圆分别与PF；,PF?切于N,B,与久巴切于”，如图,

则|PN\=\PB\,\FiN|=|LIKB1=1F2H\,

又点P在双曲线右支上，

所以|即日尸建1=2”，

故|耳印-|月初=2°,^\FlH\+\F2H\=2c,

设//的坐标为(无,。)，可得：(x+c)-(c-x)=2a,

解得x—a—1,

设内切圆半径为「，则内切圆圆心为(l,r),

又阿二4-人即“1+2)2+(-0)2=4-厂,

7

解得

O

故选：C

2.A

【详解】试题分析：由题意得也色4=6na=®nc=2bne=£=毡，选A.

ca3

考点：直线与圆相切，双曲线离心率

【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a,b,

c的方程或不等式，再根据a,b,c的关系消掉b得到a,c的关系式，建立关于a,b,c的

方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

3.C

答案第1页，共17页

【分析】根据。=4,b=\,焦点在x轴写出椭圆的标准方程即可.

22

【详解】根据题意，设椭圆的标准方程为=+[=1（。＞方＞0）,

ab

因为。=4,b=l,所以椭圆的标准方程为三+9=1.

16-

故选：C

【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，属于简单题.

4.C

【分析】由等比中项定义求得切，根据优的取值确定曲线是椭圆还是双曲线，然后计算离

心率.

【详解】由已知机2=2x8,m=±4,

当机=-4时,方程为X2+—=1,曲线为椭圆，a2=4,Z?2=1,c=,4一1=6,离心率为e-;

42

当,2=4时,方程为/一?=1,曲线为双曲线，/=1万=4,o="讦=若，离心率为e=

故选：C.

5.A

【分析】过点尸作PA，/,垂足为点A,过点P作直线3尤+4y+7=0的垂线段PB,垂足为

点2,计算出点尸到直线3x+4y+7=0的距离/，由抛物线的定义可得|酬=归同，利用当

B、P、P三点共线可求得|*+归目的最小值.

【详解】如下图所示，过点尸作E4，/,垂足为点A,过点P作直线3x+4y+7=0的垂线

段PB,垂足为点B,

答案第2页，共17页

抛物线/=4x的准线为/：x=_l,焦点为尸(1,0),

点F至U直线3x+4y+7=0的距离为d=用,=2,

V32+42

由抛物线的定义可知|刑=|P同,所以，|到+|尸耳=|尸尸|+|PB|2d=2,

当且仅当8、P、尸三点共线时，等号成立，

因此，P到准线I的距离与P到直线3尤+4〉+7=0的距离之和的最小值是2.

故选：A.

6.B

【解析】根据双曲线的几何性质，求得3再本题中离心率为e=/=JlZ(宗，即可求

解.

2222

【详解】由题意，双曲线C:=-2=-L,即双曲线的方程为c：A=i,

abba

b

则渐近线方程为y=±—x,

a

又由渐近线方程为£土与=0,即"±黄，所以2=：,

232a2

所以双曲线的离心率为e=£，故选B.

b

【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的求解，其中解答中根据双曲线的几何性质，求得

答案第3页，共17页

b2

进而利用离心率的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属

a3

于基础题.

7.D

【分析】分别求出两个椭圆的长轴长、短轴长、离心率和焦距即可判断.

【详解】解：椭圆X+M=i的长轴长为%短轴长为26，离心率为亚三1焦距为

4322

274-3=2;

22________

椭圆了bf—=1（如＜3）的长轴长为2A/4-加,短轴长为2A/3-加,离心率为

A/（4-m）-（3-/g=_^=＞焦是巨为2）（4一加）_（3—加）=2；

y/4-my/4-m

故两个椭圆的焦距相等.

故选：D.

8.C

【分析】等轴双曲线满足。=6,利用4+万2=°2与c=6求出4=6=3正，结合双曲线焦点

在y轴上，从而得到答案.

【详解】等轴双曲线焦点为的一个焦点是耳（0,-6）,故焦点在y轴上，c=6且a=6,根据

22

a2+b2=c2^：a=b=3及,故双曲线标准方程为匕一上=1

1818

故选：C

9.BCD

【分析】由抛物线的方程可得焦点厂的坐标，应用抛物线焦点弦性质|P司二1上二，

1-COS0

|QF|=,P八,\MF\=—^—,\NF\=—^—,可以判断B,C,结合三角函数性质可判

1+cos。1+sin。l-sin＜9

断D选项.

【详解】由抛物线C：/=8x得20=8,准线方程是尤=一5=_2,选项A不正确;

不妨设PQ的倾斜角为。［。＜夕＜方），

则由|PF|cos6+p=|"|,PTQHCOS£=|Q耳得|尸司=匚枭，|Q刊=益数，

所以吠卜P—e—\NF\=--《——=—E—

l-cosf-+6»1+sinO，l+cos]+〃vIrin。，

12

答案第4页，共17页

、111-cos^1+cos。2111+sin01-sin。2

所以网+西=P+PF\MF\+\NF\=p+p=~p'

1111

所以西+西=丽+网,选项B正确；

2p_2p

|MN|=

\PQ\^\PF\+\QF\^—2—+—P—=g-,.2/兀八\cos20

1111111一cos。1+COS0sin?8Sln匕+°J

111_1

所以网+底f一石一w,选项C正确;

四边形PMON的面积S=k=产=LZ§

21111sin26»cos26»sm-6»cos26»sin-2。

TT

当且仅当sin226=l,即6=］时，四边形PMQN的面积取得最小值128,选项D正确;

故选：BCD.

10.BC

【分析】二次曲线小2+3>2=1要表示椭圆需要满足4>0,8>0且人力3,要表示双曲线需

要满足A-B<0,要表示圆需要满足A=3>0.

【详解】若C为椭圆，则3-/>01-1>0且3—故l<f<3且,所以选项A错误；

若C为双曲线，则(3-7)«-1)<0,故f>3或f<l,所以选项B正确；

若C为圆，则3T=-1>0,故f=2,所以选项C正确；

22

若C为双曲线，贝卜>3或/<1,当/<1时，双曲线化为标准形式为三——匕=1,此时

3-t1-t

a2=3-t,b2=l-t,所以°?=片=3一/+1-/=4一2。不是定值，则焦距也不为定值，同

理t>3焦距也不为定值，故选项D错误.

故选:BC.

11.ABC

【分析】将抛物线方程转化为标准方程，求得准线方程，即可判断A正确；由A设切线方

程为、=履-；(左20),联立直线与抛物线方程，由A=0求出斜率，得出切点坐标，进而

4a

答案第5页，共17页

可判断B正确，D错误；再求得尸4与ps的坐标，判断PA//是否为零，即可判断C正确.

【详解】由题意，易知

2

由y=62得，x=ly,则焦点尸［0,；〕,其准线方程为无=一［,二尸。,一；］,故A正

a14〃J4。14。/

确；

y=ax,

设切线方程为y="-7（左。0）,由］得cix^—kxH---=0,

y=kx----,4a

4a

令A=K2-4X〃X—=0,解得左=±1；

解方程&±x+*=0可得x=?1,则y=:，即两切点坐标为［：,小，1士£

所以直线A3的方程为y=3，\AB\=U^故B正确，D错；

则尸A=

2a’4。2a?2a2a92a

/.PA-PB=--y+=0,从而尸即_LPB9C正确;

4a4a2

故选：ABC.

【点睛】思路点睛：

求解抛物线的简单性质以及直线与抛物线的位置关系等相关问题时，一般需要结合抛物线的

性质进行求解，通常会用到联立直线与抛物线方程，结合判别式、韦达定理等进行求解.

12.ABC

【分析】对A：根据双曲线的定义结合内切圆的性质整理分析；对B：根据题意结合角平分

线的定义分析运算；对C：联立方程，利用韦达定理求由-乃|，|神|，再根据内切圆性质可

得，=4力必一%|,代入运算分析；对D：根据题意用tane表示小2,再结合y=x+工的单

Lx

调性求乙+4的取值范围.

【详解】对A：

过乙分别作A£、AF2＞耳耳的垂线，垂足分别为。、E、F,贝I

|仞|=|四,国。|=|耳下］,向同=内尸|,

■：\AF^-\AF^2a,贝i］（|叫|+|。司）-（依目+但闾）=闺用一区同=24,

又•.•国阊=国司+|鸟尸|=2c,则=司+|OF|=a+c,

答案第6页，共17页

：.\OF\=a,即人在直线犬二〃上,

同理可得：4在直线x上，A正确;

对B：

・・

.〃％4=4月耳^I2F2B=^I2F2F19则

/I]F2A+ZI2F2B=NliBK+/，28耳=/守211,

71

又••普=隅,则|守忆户|=|空f，即、=（c-4=

a2,

：.c^2a,故离心率为e=£=2,B正确;

a

对C：

*.*e=2,贝（Jc=2a,b=y/3a,

兀2兀

F2（2a,0）,双曲线的渐近线方程为y=±瓜,则直线AB的倾斜角9e

、?'T

设A3直线方程为x=切+2a,me，4（国,必）,巴龙2，%），

x=my+2a

联立方程x2-4=f消去用（3m2-1）y2+12may+9a2-0,

1/3a2

12ma9a2

22（2

\2maI36a26slm+1T6am+1

则,\AB\=Jl+m\yl-y2\