河南省郑州市六校2022-2023学年高一年级下册4月期中考试数学试卷(含答案)

河南省郑州市六校2022-2023学年高一下学期4月期中考试数学试卷

学校：___________姓名：班级：___________考号：

一'选择题

1.复数Z在复平面内对应的点为(-2,1),则|)+3i|=()

A.8B.4C.2V2D.V2

2.已知+—i),则z=()

A.-l+iB.l-2iC.-l+2iD.-l-i

3.如图，正三棱锥P-ABC中,4PC=20。,侧棱长为4,一只虫子从A点出发，绕三棱锥

的三个侧面爬行一周后,又回到A点，则虫子爬行的最短距离是()

A.2夜B.4C.2GD.2

4.已知平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别是(-2,1),(-1,3),(3,4)，则顶点

。的坐标是()

A.(2,2)B.(3,l)C.(2,-2)D.(3,-l)

5.如图,△ABC是斜二测画法画出的水平放置的aABC的直观图,。是B'C'的中点,

且A!D'//y'轴,B'C'/Zx'轴,A'。'=2,5'曲=2,则()

A.4ABC的面积为4B.BC的长度大于AC的长度

JT

C.Z\A?C的面积为2D.ZABC=-

3

6.已知。力为不共线向量,AB=o+5b,BC=—2a+8b,CD=3（a—4,则（）

AA3,C三点共线BAB,。三点共线

CAC,。三点共线D.B,C,。三点共线

7.ZVLBC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3=巴,AB=4,ZVlBC的面积

3

为36,则AC等于（）

A.4B.25C.2^/10D.V13

8.已知复数z满足|z+3i|=|z—i|,贝!!|z+l+2i|的最小值为（）

A.lB.3C.y/3D市

二、多项选择题

9.下列说法正确的是（）

A.在△ABC中，若ABIC<0,则△ABC一定是钝角三角形；

B.在445。中，角A、&C的对边分别为a、b、c,若c=2acosB，则ZxABC的形状是等腰三

角形；

C.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为。、。、0,,若085人=尻058,则4抽。一定

是等腰三角形；

D.在A4BC中，若sin2A+sin2B<sin2c，则/\ABC是一定钝角三角形

10.已知两个单位向量。和b的夹角为120。/6区则（）

A.向量。在向量b上的投影向量为-工人

2

B.向量a-b与向量b的夹角为30°

C.向量。-Z?在向量b上的投影向量为―-b

2

的最小值为去

11.点。为△回€：所在平面内一点，则（）

A.若。4+。8+OC=0,则点。为Z\ABC的重心

/、

ACABBCBA

=OB-=0,则点为△回（7的垂心

llAClRIJBC\BA

C.^（OA+OB）AB=（OB+OC\BC=Q.则点为△ABC的垂心

27

D.在△ABC中，设AC-AB'=2AMIC,那么动点M的轨迹必通过△ABC的外心

12.在△ABC中，点尸满足BP=3PC,过点P的直线与A3、AC所在的直线分别交于

点M、N,若闻0=彳48,川=44。(彳>0,4>0),则下列说法正确的是()

13

B.AP=——AM+——AN

424〃

D.4+〃的最小值为4+1

三、填空题

13.在A4BC中，角人B、C的对边分别为a、。、c,若a=1,C=60。,c=G，则角A的值为

14.已知平面向量a=(0,l),b=("2b则向量a+匕与a的夹角为.

15.设机,“eR,□为虚数单位，若1-百i是关于x的二次方程X?+W7x+〃=O的一个虚根，

贝!Jm+n=.

16.在矩形ABCD中A5=4,3C=2百，点E为边A3的中点，点F为线段3c上的动点，

则DEDF的取值范围是.

四,解答题

17.回答下列问题

(1)已知z是复数,z-3i为实数，三包为纯虚数(i为虚数单位)，求复数z;

-2-i

⑵已知复数2=(l+i)毋-3而+2i-1,实数机为何值时，复数Z表示的点位于第四象限.

18.平面内给出三个向量a=(3,2),「=(-l,2),c=(4,1),求解下列问题：

(1)若向量。+匕与向量mc+b的夹角为锐角，求实数机的取值范围；

(2)若(a+h)，(2b-a),求实数左的值.

19.如图,在平行四边形ABCD中，点E是的中点、，凡G是AD,BC的三等分点

22-

(AF=-AD,BG=-BC).^AB=a,AD=b.

33

DC

G

(1)用Q,。表示EF,EG;

(2)如果卜|=gW，用向量的方法证明：EFLEG.

20.如图，一个圆锥挖掉一个内接正三棱柱ABC-AgG(棱柱各顶点均在圆锥侧面或

底面上)，若棱柱侧面BCGg落在圆锥底面上.已知正三棱柱底面边长为2月,高为2.

(1)求挖掉的正三棱柱A3C-A4G的体积；

(2)求剩余几何体的表面积.

21.在海岸A处，发现北偏西75。的方向，与A距离2海里的3处有一艘走私船，在A处北

偏东45。方向，与A距离(73-1)海里的C处的缉私船奉命以10石海里/小时的速度追截

走私船.此时，走私船正以10海里/小时的速度从3向北偏西30。方向逃窜，问：

(1)刚发现走私船时，缉私船距离走私船多远？在走私船的什么方向？

(2)缉私船沿什么方向能最快追上走私船,？

22.在

@c2+ab=c(^acosB-bcos+2b2,®(Z?+c)•(sinB-sinC)=-a(sinA-sinB)，③

Z?sinC=G(a-cosB)这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.

记ZXABC的内角A,B,C的对边分别为a力,c,已知.

(1)求角C的大小.

(2)若c=2百，求4sin3-a的取值范围.

参考答案

1.答案：C

解析：复数Z在复平面内对应的点为(-2,1),则复数z=-2+i,所以W+3i=-2+2i,

则15+3i|=|-2+2i|=^(-2)2+22=272.

故选：C.

2.答案：D

解析：由题意得w=a±D-=2_=处*D=i—i,所以z=—i—i.

l-i1-i2

故选：D.

3.答案：B

解析：将正三棱锥A-BCD沿AC剪开可得如下图形，

IT_

ABAD=20。,即NC4c=1,又ACBR的周长为C\+DXBX+BXC,

：.要使△CBQ的周长的最小，则C，2,B],C共线，即CD]+94+4C=cc,

又正三棱锥A-BCD侧棱长为4,4C4C'是等边三角形，

・•.(c〃+R4+4C'L=4.

故选：B.

4.答案：A

解析：

5.答案：A

解析：由图象知：BC^B'C=2,AD=2Aiy=4,

ADLBCQ为3c的中点

所以AC=JF+42=而,B错误；

△ABC的面积S=4义BCxAD=4,A正确；

2

因为NA'DC'=45°,AD'=2,

所以△ABC的B'C上的高4E=AZ>'sin45。=后,

^A'B'C的面积S=Lx2x0=行,C错误，

2

tanZABC=——=4,所以ZABCw/,D错误.

BD3

6.答案：B

解析：

7.答案：D

解析：因为B=m，AB=4,ZVLBC的面积为38，

所以SA/Wc=--AB-JBCsinB=-x4xBCxsin-=3V3，所以BC=3.

223

由余弦定理得：AC=-JAB2+BC2-2AB-BC-cosB=^42+32-2X4X3Xcos.

故选：D.

8.答案：B

解析：设复数z在复平面内对应的点为Z,

因为复数z满足|z+3i|=|z-所以由复数的几何意义可知，点Z到点（0,-3）和（0,1）的距

离相等，

所以在复平面内点Z的轨迹为x轴，

又|z+1+2i］表示点Z到点(—1,—2)的距禺，

所以问题转化为y=-1上的动点Z到定点(—1,—2)距离的最小值,

所以|z+l+2i|的最小值为1,

故选：A.

9.答案：BD

解析：

10.答案：ACD

解析：依题意，

因为两个单位向量。和匕的夹角为120°,

所以。力=|。卜缶|cosl2(r=1x1x［-工］=一，，

a-b\b=a-b-b2=---1=,

'22

a-b\'b

故向量a-b在向量b上的投影向量为-b=--b.

2

故选：D.

11.答案：AD

解析：A由于。4=-(O5+OC)=-28淇中。为的中点，可知。为边上中线的

三等分点(靠近线段BC)，故。为△回(?的重心；

B向量理，差,分别表示在边AC和A3上取单位向量AC和A9,它们的差是向量

M,H

ACAB

B'C,当。4=0,即OALB'C'时，则点。在N84C的平分线上,同理由

UACI阿

OB-音二-善=0,知点。在NABC的平分线上，故。为△ABC的内心；

同网J

C|Q4+。可是以为边的平行四边形的一条对角线的长，而是该平行四边形的

另一条对角线的长,（。4+0邛-45=0表示这个平行四边形是菱形,即|。4卜|。耳,同理有

\OB\=pq,故0为△ABC的外心.

对于D,AC2-AB2=（AC+AB）（AC-AB）=2AO-BC=2AM-BC,

即（AO—AM）.3C=MO.3C=0,所以M。，BC

所以动点M在线段BC的中垂线上,故动点M的轨迹必通过△ABC的外心

12.答案：BCD

解析：如下图所示：

BP=3PC,^AP-AB=3(AC-AP),:.AP=-AB+-AC,

\)44

AM=AAB,AN=JUAC(A>O,JU>O],:.AB=-AM,AC=—AN,

'24

1313

/.AP=一AM+—AN,-M、尸、N三点共线，则一+—=1.

424//424〃

.-.2+//=(2+//)[—+—^=—+^+1>2J-.^+1--+1,

,4//)4〃42丫4〃422

当且仅当〃=四时，等号成立,因止匕工+〃的最小值为乎+1,

故选：B.

13.答案：30°

解析：因为a=l,C=6(F,c=G,由正弦定理‘^=上，即，=及一

sinAsinCsinAsin60

所以sinA=±因为0。<4<120。,

2

所以A=30°.

故答案为：30°.

14.答案：-

6

解析：因为。+匕=(6,3),

..a\a+b\3/

所以COS。,。+〃=-T-V；---r=-----7==—

卜,+,1x2^32

因为0<a,a+b<7i,

兀

所以<。,。+/7>=一.

6

故答案为：

6

15.答案：2

解析：将x=l—杳代入方程得：(1—百—3i)+〃=0,

即1-2百i+3i?+m-\/3mi+n=0,即^-2+m+n)+^-2\!3-=0,

-2+m+n=0m=-2

所以，解得｛

-2^-73m=0n=4

所以加+〃=2.

故答案为：2.

16.答案：[8,20]

解析：以。为坐标原点，建立如图所示直角坐标系,

由题意得4（0,26）,3（4,26）,因为石为43中点,所以网2,26卜

设/（4,a）,则0<。426，

£>石=（2,26）,£>/=（4,。）,则。£・。歹=8+2岛，

:0<a<26,则8+26ae[8,20],

故答案为：[8,20].

17.答案：(1)z=l+3i

⑵(1,2)

解析：(1)设复数z=a+历(a/eR),

因为z-3i=a+0-3)i为实数，所以人=3,则复数z=a+3i(aeR),

又因为z—5ia—2i(a—2i)(—2+i)2—2a+(a+4)i2—2aa+4.

'-2-i--2-i-(-2-i)(-2+i)-5—5+51

.[2—2a=Qr

则1/，得a=l,

所以复数z=l+3i.

加2—1＞0

(2)复数z表示的点位于第四象限，可得，，解得1＜加＜2,

当1<7〃<2时，复数Z在复平面内对应的点在第四象限,

.•.加的取值范围为（1,2）.

14

18.答案：（1）冽〉一土且加w—

解析：（1）a+b=（2,4）,mc+Z?=（4m-l,m+2）,

因为Q+b与mc+b的夹角为锐角，所以（a+4.（加°+/7）=8加-2+4加+8>0,且〃+5与

mc+b不同向共线，即2（m+2）w4（4加-1）,解得根>-—且加。一.

(2)a+左c=(3+4左,2+左)，2Z?—a=(―5,2),

因为(a+既)L(2b—a),所以(a+公)•。人一a)=—5(3+4左)+2(2+左)=0,解得上=—3.

17-

19.答案：（1）-a+-b

23

（2）见解析

______1___1.

解析：（1）因为点石是的中点，所以4石=£5=—AB=—a.

22

9922

因为4歹=一4。,36=—3。,所以36=4尸=-710=—/7.

3333

21,,1.2

所以所=AE—AE=—b——a,EG=EB+BG=-a+-b.

3223

—.2-1--.1.2-

(2)由(1)可得：EF=-b——a,EG=-a+-b.

3223

因为忖=：|4

所以E『EG=(gb—gm人+；4=三,一=0，

所以EFLEG.

20.答案：(1)6若；

(2)4兀+4屈兀+108.

解析：(1)因为正三棱柱A3C-4与G的底面边长为26,高为2,

则13c2五吟=；x(26)2x孝=3百，

所以正三棱柱ABC-45c的体积V=S△枷-M=3^x2=6V3.

(2)在正三棱柱ABC-4与£中，由(1)知,SAABC=3百，SBCCB=•3C=2百x2=4百,

圆锥。。的底面圆圆心。是矩形3C£用的中心，令圆。半径为r,

有2/=,BB；+BC?=有+(26『=牝即厂=2,

令BC的中点为瓦连接AE,则AE，6C,且

AE//DO,AE=ABsin-=2岛且=3,OE=1,

32

于是型=」—=2,解得。9=6,则圆锥的母线长/=V53r彳=后百=2&5,

AEr-OE

2

圆锥的底面圆面积S]=Ttr=4兀，侧面积S2=7irl=7tx2x2^10二4&6兀.

n

21.答案：（1）缉私船距离走私船6海里,在走私船的正东方向

（2）缉私船沿北偏西60。的方向能最快追上走私船

解析：（1）由已知条件得,AB=2,AC=6T,NBAC=120。，

BC=AB-+AC--2AB-AC-cosABAC="+4-2百+2百-2=娓.

在△ABC中,———=———,即——-——=卓，

sinZACBsinZBACsinZACB垂）

V

解得sinZACB=—ZACB=45°,

.•・BC为水平线

刚发现走私船时,缉私船距离走私船而海里，在走私船的正东方向.

（2）设经过时间/小时后，缉私船追上走私船，则在△BCD中，

BD=10/,CD=1073/,NDBC=120°,

,小〃八BDsinNCBDxo1，八一二..石

sin/BCD=-----------------=------l—=—，易e