2024年安徽省合肥市蜀山区中考二模数学试题（含答案与解析）

2024年安徽省合肥市蜀山区中考二模试卷

数学

注意事项：

1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟。

2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”

上答题是无效的。

3.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回。

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）

1.在0、-3、3、3这四个数中，最小的数是（）

A0B.-3C.--D.3

3

2.某物体如图所示，它的俯视图是（）

主视方向

3.2023年合肥经开区尸达到1409.9亿元，连续四年每年跨越一个百亿台阶，其中1409.9亿用科学记数

法表示为（）

A.1.4099X103B.14.099xlO10C.1.4099xl0nD.1.4099xl012

4.下列运算正确的是（）

A./・必=%6B.3xy-xy=3C.(%+1)2=必+1D.(-?)2=x6

5.小明探究甲、乙、丙、丁四种物质的密度，将测量结果数据绘制成如图所示的图象，则四种物质中密度

最大的是（）

质量（千克）

甲乙

2.25一：....:

I

1.43-♦4

府:T

00.612,2体积（立方米）

A.甲B.乙C.丙D.T

6.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心。的光线相交于点P,若

D.40°

7.如图，。是；ABC的外接圆，ZABO=35°,则NC的度数等于（)

D.65°

8.如图，A5是：。的直径，弦CD交A5于点E,ZACD=60°,NAZ5C=40。则NAXD的度数为

（）

A.110°B.115°C.120°D.105°

9.如图，直线,=底-3与坐标轴交于点A、B,则点C的坐标为（）

C.(-273,0)D.(-Ao)

10.如图，在中,NB=45°,ZC=60°-BC=6,点尸为AC边上一动点，于点E,

PFLBC于点尸,连接石尸，则所的最小值为（

A

BFC

A.3-\/6B.—y/5C.—A/6D.一

222

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

111-而=.

12.分解因式：2炉+12%+18=.

13.如图所示，A3是：。的直径，弦过点。作（。的切线交54的延长线于点若

AM=1,870=5贝UAT>=.

14.如图，在四边形A3CD中，BCYDC,连接CE交A。于点R。在CE上,

OA=OB=AE=BC=CD,ZAOB=9Q°.

三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15.计算：^+（2-73）O-（4-sin600）.

16.某校组织七年级学生到合肥市园博园研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没有座位；租用5

辆，还空10个座位.求参加研学的学生人数.

四、解答题(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)

17.如图，在平面直角坐标系中，_ABC顶点4(0,1)、6(3,2)、(1,4)均在小正方形网格的格点上.

(1)画出.A6C关于*轴的对称图形AB'C'(点A、B、C的对应点分别为A、B'、C).并写出

A、5'、C'的坐标；

(2)在第三象限内的格点上找点。，连接A。、6'。.使都NA'£>5'=45°.(保留作图痕迹，不写作

法)

18.某公园中的一条小路使用六边形、正方形、三角形三种地砖按照如图方式铺设，图1为有1块六边形地

砖时，正方形地砖有6块，三角形地砖有6块；图2为有2块六边形地砖时，正方形地砖有11块，三角形

地砖有10块；.…

(1)按照规律，每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加块，三角形地砖会增加块；

(2)若铺设这条小路共用去。块六边形地砖，分别用含。的代数式表示正方形地砖、三角形地砖的数量；

(3)当。=25时，求此时正方形地砖和三角形地砖的总数量.

五、解答题(本大题2小题，每小题10分，满分20分)

19.随着测量技术的发展，测量飞机可以实现精确的空中测量.如图，为测量我国某海岛两端A、B的距离，

我国一架测量飞机在距海平面垂直高度为2千米的点C处，测得端点A的俯角为30°,然后沿着平行于A3

的方向飞行5.82千米到点Q,求某海岛两端的距离.(结果精确到0.1千米，参考数据：sin570~0.84,

cos57°®0.55,tan57°«1.54,^3»1.73)

20.如图，AB为「。的直径，AC和是,。的弦，连接AD,CD.

P

（1）若点C为AP的中点，且FC=PD,求的度数；

（2）若点C为弧A。的中点，PD=4,PC=20,求。的半径.

六、解答题（本大题1小题，满分12分）

21.某学校在实施德智体美劳“五大行动”中，计划在实施“美育熏陶”课程中开设书法、音乐、绘画，

舞蹈四种项目供学生选择.为了合理安排课程，美育王老师从全校学生中随机抽取了部分学生进行调查（规

定每个学生必须且只能选择一个项目），并把调查结果绘制成如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计

图，部分信息如下：

（1）求出参加这次调查学生人数，并补全条形统计图；

（2）求扇形统计图中“书法”项目所对应扇形的圆心角度数；

（3）若该校共有3000名学生，试估计该校选择“舞蹈”项目的学生有多少人.

七、解答题（本大题小题，满分12分）

22.在学习“旋转”这一重要的平面图形变换时，李老师设计如下的一个问题，让同学们进行探究.如图

1，NC=90。,40=230=10,40=2,过点。作。E1AC交AB于点E,将VADE绕点A逆时针方

向旋转a（0Wa<360°）.

AEAD

（1）将VADE旋转至如图2的位置时，连接3E,CD,求证:

BE~CD

（2）若将VADE旋转至3,。,石三点在同一条直线上时，求线段CD的长.

23.如图（1）是一个高脚杯的截面图，杯体CPD呈抛物线形（杯体厚度不计），杯底AB=2Gcm，点。

是A3的中点，OP=CD=6cm,杯子的高度（即CD,A3之间的距离）为15cm,A3所在直线为尤

轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系（1个单位长度表示1cm）.

（1）求杯体CPQ所在抛物线的解析式;

（2）将杯子向右平移2cm,并倒满饮料，杯体CPD与y轴交于点E（图2）,过。点放一根吸管，吸管

底部碰触到杯壁后不再移动，发现剩余饮料的液面低于点E,设吸管所在直线的解析式为>=履+方，求人

的取值范围;

（3）将放在水平桌面/上的装有饮料的高脚杯绕点2顺时针旋转60。，液面恰好到达点。处QDQ/）,

如图3.

①请你以A5的中点。为原点，A3所在直线为无轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系；

②请直接写出此时杯子内液体的最大深度.

参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）

1

1.在0、—3、-3、3这四个数中，最小的数是（）

A.0B.-3C.--D.3

3

【答案】B

【解析】

【分析】解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数

比较大小，绝对值大的其值反而小.

根据“负数<0〈正数，两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小”可得答案.

【详解】解：3<—,<0<3,

3

-3最小，

故选：B.

2.某物体如图所示，它的俯视图是（）

主视方向

【答案】D

【解析】

【分析】根据俯视图的定义即可进行解答.

【详解】解：从上方观察，可得到选项D的图形.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了俯视图的定义，解题的关键是掌握从上往下看是俯视图.

3.2023年合肥经开区GD尸达到1409.9亿元，连续四年每年跨越一个百亿台阶，其中1409.9亿用科学记数

法表示为（）

A.1.4099xl03B.14.099xlO10C.1.4099x10"D.1.4099xl012

【答案】C

【解析】

【分析】用移动小数点的方法确定。值，根据整数位数减一原则确定"值，最后写成axlO"的形式即

可.本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定。，运用整

数位数减去1确定〃值是解题的关键.

【详解】•/1409.9亿元=140990000000=1.4099xlO11（元），

故选：C.

4.下列运算正确的是（）

22326

A.13.X2=X6B.3xy-xy=3C.（x+1）=x+lD.（_x）=x

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了同底数幕的乘法，积的乘方，完全平方公式，合并同类项等知识，根据运算法则逐一

计算判断即可，熟练掌握塞的运算法则和完全平方公式是解题的关键.

【详解】解：•.•入了2=V,

A不合题意.

•/3xy-xy=2xy,

.'.B不合题意.

（x+l>=X2+2X+1>

.'.C不合题意.

••.D符合题意.

故选：D.

5.小明探究甲、乙、丙、丁四种物质的密度，将测量结果数据绘制成如图所示的图象，则四种物质中密度

最大的是（）

本质量（千克）

“u甲乙

2.25•­».......:

1.43一/二丁

:丙：丁

00.612：2松积（立方米）

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了函数的图象.根据密度=质量+体积，从图象中比较每种物质的质量和体积，即可得到

答案.

【详解】解：甲和丙的体积相等，

甲的质量〉丙的质量，

，甲的密度大；

乙和丁的体积相等，

乙的质量〉丁的质量，

，乙的密度大；

甲和乙的质量相等，

甲的体积（乙的体积，

，甲的密度大.

故选：A.

6.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心。的光线相交于点P,若

Z1=155°,Z3=55°,则N2的度数为（）

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质、对顶角相等，熟练掌握相关知识是解题的关键.根据

平行线的性质求得"尸。=25。，再根据三角形的外角性质求得=30。，然后利用对顶角相等求解即

可.

【详解】光线平行于主光轴，

;.41+"尸0=180°,

Zl=155°,

ZPF(9=180o-Zl=25°,

ZPOF+ZPFO=/2>,

:.ZPOF=Z3-ZPFO=550-25o=30°,

Z2=ZPOF=30°.

故选B.

7.如图，。是_ABC的外接圆，/45O=35。，则/C的度数等于（）

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查了圆周角定理,三角形的外接圆.连接A0,根据。A=05,可得440=2450=35。,

从而得到NAO8=n0°,再由圆周角定理，即可求解.

【详解】解：如图，连接A0,

,/。是ABC的外接圆，

OA=OB,

：.Nfi4O=ZABO=35。，

ZAOB=110°,

：.ZC=-ZAOB=55°.

2

故选：C.

8.如图，A3是;。的直径，弦CD交AB于点E，NACD=60°,NADC=40。则/AXD的度数为

c

A.110°B.115°C.120°D.105°

【答案】A

【解析】

【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质，连接

BD，先由直径所对的圆周角是直角得到NAZ)fi=90°,进而得到NBDC=50°,再根据同弧所对的圆周

角相等得到NABD=NACD=60°,即可利用三角形外角的性质得到

/AED=NABD+NBDC=110°.

【详解】解：如图所示，连接6D，

AZADB=90°,

ZADC=40°,

：.ZBDC=50°,

又：NAB。=NACD=60°,

ZAED=ZABD+ZBDC=110°,

故选：A.

9.如图，直线y=&-3与坐标轴交于点A、B,则点C的坐标为（）

A.（-373,0）B.(-6,0)C.(-2Ao)D.卜6,0)

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点以及正切函数的应用，熟练掌握直角三角形的特征和正切函

数是解题的关键.由直线,=底-3与坐标轴交于点A、B,得到A（、氏0）,3（0,-3）,结合

CBLAB,得到NACB=NA5O,利用正切函数计算OC即可，

【详解】解：•••直线）=底-3与坐标轴交于点A、B,

：.A（V3,0）,8（0,-3）

:.AO=g，OB=3

/.tanZABO=—^—，

OB3

•：CB±AB,COLOB,

：.ZACB=9Q°-ZBAO=ZABO,

/.tanZACB=tanZABO,

OC3

解得0C=36，

C（-3A/3,0）,

故选：A.

10.如图，在.ABC中，4=45°,ZC=60°,BC=6,点尸为AC边上一动点，PELAB于点E,

PFLBC于点F,连接所，则所的最小值为（）

A.3A/6B.—y/5C.—s/6D.一

222

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，正确作出辅助线是解题的关键.连接6P，

取严的中点G,连结EG,FG,先证明VEGC为等腰直角三角形，得到=进而可知当

2

3P，AC时BP最小，利用直角三角形的性质求出的最小值即可得到答案.

【详解】解：连接6P，取6月的中点G,连结EG,FG,

PELAB,PF±BC,

：.ZBEP=ZBFP=90°,

：.EG=FG=-BP,

2

ZBEP=ZEBGZBFG=NFBG,

NEGF=NBEG+NEBG+ZBFG+ZFBG=2(NEBG+ZFBG)=2ZABC=90°,

EF=y]EG2+FG2=®EG^—BP，

2

当时，6P取最小值，此时，EF的值也最小，

ZC=60°,

:.ZPBC=30°,

PC=-BC=3,

2

BP=VBC2-CP2=373,

.•.BP的最小值为36，

此时，ER的最小值为受x3b=£6.

22

故选C.

A

BFC

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

11.1-716=.

【答案】-3

【解析】

【分析】本题主要考查了算术平方根，直接利用算术平方根的性质化简得出答案.

【详解】解：1—屈=1—4=—3,

故答案为：-3.

12.分解因式：2炉+12%+18=.

【答案】2（%+3）2

【解析】

【分析】先提取公因式2,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可.

【详解】解：2%2+12%+18=2（/+6无+9）=2（%+3）2.

故答案为:2（x+3『.

【点睛】本题考查了分解因式，解决问题的关键是熟练掌握提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解

因式.

13.如图所示，A3是。的直径，弦过点。作（。的切线交5A的延长线于点。，若

AM=1,5M=5则AT>=.

【答案】1.5

【解析】

【分析】本题考查的是切线的性质，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键；连接

CO,证明△OCMS/KODC,结合相似三角形的性质可得答案.

【详解】解：连接CO,

MO

AM=1,BM=5,

AB—6，OA=OB-OC=3，

：CD为「。的切线，CE1AB,

：.ZACO=ZCMO=90°,

V/COM=/COD,

：.Z\OCM^/\ODC,

.OC_OM

ODOC

OM3-12

AD=OD—04=4.5—3=1.5,

故答案为：1.5.

14.如图，在四边形ABCD中，BCLDC,连接CE交AD于点孔。在CE上,

OA=OB=AE=BC=CD,ZAOB=90°.

Ek

B^-——JC

(1)若NE=25°,则ZfiCE=°

(2)若OA=13,OC=10,贝！ItanZOAD=

7

【答案】①65②.一

17

【解析】

【分析】(1)由等腰三角形的性质得NAOE=NAEO=25。，可得NBOC=65°,由=可得

NBCE=65。；

(2)过点。作。于点M,于点N,于点R,ASLCE于S,得

AS//DM//BN,.ASO也ONB,得AS=ON,OS=5N,由勾股定理求出BN=12,,BNC也,CMD,

3s84XS

一AS尸也,DWR,求出。尸=7,证明一0MsA5M9,得旌=3，RO=J,AR=吆，从而可得答案

121313

【详解】解：(1)VAE=AO,

：.ZE=ZAOE=25°,

'：ZAO5=90。,

ZBOC=180°-25°-90°=65°,

•:OB=CB,

：.ZBOC=ZBCE=65°

(2)过点。作OMLCE于点M,5NLCE于点N,ERLAO于点R,45，。石于5,如图,

ZASO=ZBNO=/BNC=ZDMC=ZDMH=90°=ZAOB,

：.ZNBO+ZBON=ZBON+ZAOS=90°,

ZNBO=ZAOS,

OA=OB,ZASO=ZBNO=90°,

^ASOAONB,

AS=ON,OS=BN,

•/OB=BC,BN±OC,

：.ZNBO=ANBC,CN=ON^~OC=5,

2

由勾股定理得，BN^y/OB2-NC7=12,

AS=5,OS=12,

,/BCLDC,

：.ZBCD=90°,

：.ZDCM+NBCN=90°,

又ZBCN+ZCBN=90°,

ZDCM=/CBN

•/BC=CD,NBNC=ZDMC=90°,

:.aBNC—CMD,

：.CM=BN=12,DM=CN=5,

：.OM=CM-OC=2,SM=12-2=10,

ZASF=NDMF=90°,ZAFS=ZDFM,AS=DM=5,

：.^ASF^DMF,

：.SF=MF=5,

：.OF=1,

■：ZNBO=ZAOS,AFRO=ZBNO=90°,

：.-ORFsBNO,

.FRROOF

''~ON~~BN—访

.FRRO_7

…35cc84

FR=——,R0=—

1313

84_85

AR=13—

13-135

FR7

tanZOAD=——=—

AR17

7

故答案为：65；—

17

【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质在，全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性

质，勾股定理以及求角的正切值，正确作出辅助线构造全等三角形以及相似三角形是解答本题的关键

三、计算题(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)

15.计算：8+(2—6)°—(4—sin600).

【答案】空_3

2

【解析】

【分析】根据算术平方根，零指数塞，特殊角的函数值计算即可，本题考查了算术平方根，零指数塞，特

殊角的函数值，熟练掌握公式和函数值是解题的关键.

【详解】+(2-V3)°-(4-sin60°)

=2V3+l-4+—=^-3.

22

16.某校组织七年级学生到合肥市园博园研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没有座位；租用5

辆，还空10个座位.求参加研学的学生人数.

【答案】190

【解析】

【分析】设每辆车能乘坐x人，根据题意，得4x+30=5x-10,解方程即可.本题考查了一元一次方程

的应用，租车问题，正确找到等量关系是解题的关键.

【详解】设每辆车能乘坐x人，

根据题意，得4x+30=5x-10,

解得x=40,

故4元+30=190(人),

答：参加研学的学生有190人.

四、解答题(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)

17.如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点4(0,1)、6(3,2)、(1,4)均在小正方形网格的格点上.

(1)画出一ABC关于x轴的对称图形AB'C'(点A、B、。的对应点分别为A、8、C).并写出

A、B'、C'的坐标；

(2)在第三象限内格点上找点。，连接A。、B'D.使都NA'£>B'=45°.(保留作图痕迹，不写作

法)

【答案】⑴作图见解析，4(0,—1)、5'(3,—2)、C(l,-4)；

(2)作图见解析.

【解析】

【分析】(1)作4(0,1)、5(3,2)、(1,4)关于x轴对称的点A、B'、C,连接各点即可；

(2)以A'B'为边构造等腰直角三角形即可；

本题考查了坐标系中作图，对称作图，作已知角等于定角，熟练掌握作图的基本要领是解题的关键.

小问1详解】

如图，作4(0,1)、5(3,2)、(1,4)关于x轴对称的点A(Q—1)、6'(3,—2)、C'(1,T),

.AB'C即为所求;

【小问2详解】

如图，以A'B'为边构造等腰直角三角形,

由网格可知ATP=io，43'2=10，37)2=20,

AB'=AD,AD2+AB'2=B'D1，

，A8£)是等腰直角三角形，

乙AD5'=45。，

•••点。即为所求.

18.某公园中的一条小路使用六边形、正方形、三角形三种地砖按照如图方式铺设，图1为有1块六边形地

砖时，正方形地砖有6块，三角形地砖有6块；图2为有2块六边形地砖时，正方形地砖有11块，三角形

地砖有10块；.…

(1)按照规律，每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加块，三角形地砖会增加块；

(2)若铺设这条小路共用去。块六边形地砖，分别用含。的代数式表示正方形地砖、三角形地砖的数量;

(3)当。=25时，求此时正方形地砖和三角形地砖的总数量.

【答案】(1)5,4

(2)正方形地砖有(5a+l)块，三角形地砖有(4a+2)块

(3)正方形地砖和三角形地砖的总数量为228块

【解析】

【分析】本题主要考查图形的规律，整式的运算，理解图形的数量关系，掌握整式的运算是解题的关键.

（1）根据图形的数量，找出数量关系即可求解；

（2）根据（1）中的数量关系列式求解即可；

（3）把a=25代入上述的数量关系式即可求解.

【小问1详解】

解：第1个图，六边形的个数为1块，正方形地砖有6块，三角形地砖有6块；

第2个图，六边形的个数为2块，正方形地砖有H块，三角形地砖有10块；

第3个图，六边形的个数为3块，正方形地砖有16块，三角形地砖有14块；

L,

第九个图，六边形的个数为〃块，正方形地砖有6+5（〃—1）=（5〃+1）块，三角形地砖有

6+4（〃—1）=（4八+2）块；

每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加5块，三角形地砖会增加4块，

故答案为：5,4；

【小问2详解】

解：根据第九个图，六边形的个数为几块，正方形地砖有6+5（〃-1）=5〃+1块，三角形地砖有

6+4（〃—1）=4〃+2块，

用去。块六边形地砖时，正方形地砖有（5a+l）块，三角形地砖有（4a+2）块；

【小问3详解】

解：当a=25时，正方形地砖有：5a+l=5x25+l=126（块），三角形地砖有：

4a+2=4x25+2=102（块），

--.126+102=228（块），

•♦•正方形地砖和三角形地砖的总数量为228块.

五、解答题（本大题2小题，每小题10分，满分20分）

19.随着测量技术的发展，测量飞机可以实现精确的空中测量.如图，为测量我国某海岛两端A、B的距离，

我国一架测量飞机在距海平面垂直高度为2千米的点C处，测得端点A的俯角为30°,然后沿着平行于A3

的方向飞行5.82千米到点Q,求某海岛两端的距离.（结果精确到0.1千米，参考数据：sin570~0.84,

cos57°®0.55,tan57°«1.54,^3»1.73）

c

【答案】3.6千米

【解析】

【分析】本题考查了俯角的定义、解直角三角形与矩形的性质，注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三

角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用.首先过点A作AELCD于点E,过点B作防，CD延长

线于点/，易得四边形A5FE为矩形，根据矩形的性质，可得=AE=5尸.由题意可知：AE=BF

以及CD的距离，然后分别在直角△AEC与直角△BED中，利用三角函数即可求得CE与的长，继

而求得海岛两端A3的距离.

【详解】解：过点A作AELCD于点E,过点8作呼，CD延长线于点尸，

AB//CD,

:.ZAEF=ZEFB=ZABF=90°,

四边形为矩形，

:.AB=EF,AE=BF=2,

在直角△AEC中，ZC=30°,AE=2,

:.CE=--------=V3AE=2凤3.5,

tan30°

在直角/XBED中，ZBDF=5T,BF=2,

DF=———=--—«1.3,

tanNBDFtan57°

:.AB=EF=CD+DF-CE=5.82+1.3-3.5~3.6（千米）.

答：海岛两端A5的距离约为3.6千米.

20.如图，AB为「0的直径，AC和BD是一。的弦，连接AD,CD.

p

(1)若点C为AP的中点，且PC=?D,求的度数；

(2)若点C为弧A。的中点，PD=4,PC=2下,求。的半径.

【答案】(1)60°

(2)3

【解析】

【分析】(1)根据直径所对的圆周角为直角得NADfi=90°,在Rt_ADP中，点C为斜边AP的中点，

则CE>=AC=PC,再根据PC=PD可得_PCD为等边三角形，则NPCD=60°,然后根据圆内接四

边形的性质可得13的度数；

(2)根据点C为弧A。的中点得NC4O=NCZM,AC=CD,证NCDP=ZP得CD=PC=26,

则AC=CD=PC=2Q,AP=4石，再证△尸COsPBA得CD:AB=PD:PA,由此可得

AB=6,由此可得。。的半径.

【小问1详解】

解：为「。的直径，

ZADB=90°,

在Rt_ADP中，点C为斜边AP的中点，

CD=AC=PC,

,:PC=PD,

：.CD=PC=PD,

PCD为等边三角形，

/PCD=60°,

..•四边形内接于C0,

：.ZPCD+ZACD=1SO°,ZACD+ZB=180°,

ZB=ZPCD=60°；

【小问2详解】

:点c为弧AD的中点，

/.ZCAD=ZCDA,AC=CD,

•：ZADB=90°,

NCDA+NCDP=90°,

在Rt.ADP中，ZCAD+ZP=90°,

/.ZCDP=ZP,

•••CD=PC=2g，

•••AC=CD=PC=2百，

•••AP=AC+PC=46，

ZPCD=ZB,ZP=ZP,

：..PCD^PBA,

CD:AB^PD:PA,

即

4.A5=2^X4A/3.

***AB=6,

/.。的半径为工AB=3.

2

【点睛】此题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，圆内接四边形的性质，等边三角形和等腰三角

形的判定和性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等，综合运用各知识点是解决问题的关

键.

六、解答题（本大题1小题，满分12分）

21.某学校在实施德智体美劳“五大行动”中，计划在实施“美育熏陶”课程中开设书法、音乐、绘画，

舞蹈四种项目供学生选择.为了合理安排课程，美育王老师从全校学生中随机抽取了部分学生进行调查（规

定每个学生必须且只能选择一个项目），并把调查结果绘制成如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计

图，部分信息如下：

请你根据以上信息，解答下列问题：

(1)求出参加这次调查的学生人数，并补全条形统计图；

(2)求扇形统计图中“书法”项目所对应扇形的圆心角度数；

(3)若该校共有3000名学生，试估计该校选择“舞蹈”项目的学生有多少人.

【答案】(1)60人，见解析

(2)108度(3)300人

【解析】

【分析】(1)根据选择“绘画”项目的学生人数占20%,可知选择其余项目的学生人数占80%,再根据条

形统计图求出其余项目的总数，从而求出参加这次调查的学生人数和选择绘画”项目的学生人数，从而补

全条形统计图；

(2)用“书法”项目所占比例乘以360°即可求得所对应扇形的圆心角度数；

(3)用该校学生数乘以调查中选择“舞蹈”项目的学生比例即可得解.

【小问1详解】

解：由扇形图可知：选择“绘画”项目的学生人数占20%,

选择其余项目的学生人数占80%,

由条形统计图可知：选择其余项目的学生人数是：18+24+6=48(人)

参加这次调查学生人数为：48+80%=60(人)，

...选择绘画”项目的学生人数为：60x20%=12(A),

补全补全条形统计图如下：

360°x—=108°,

60

答：扇形统计图中“书法”项目所对应扇形的圆心角度数为108度；

【小问3详解】

3000x9=300（人）

60

答：估计该校选择“舞蹈”项目的学生有300人.

七、解答题（本大题小题，满分12分）

22.在学习“旋转”这一重要的平面图形变换时，李老师设计如下的一个问题，让同学们进行探究.如图

1,NC=90°,AC=230=10,40=2,过点。作DE1AC交AB于点E,将VAQE绕点A逆时针方

向旋转a（0<a<360°）.

BBB

a

D）zi/I

图1图2备用图

（1）将VADE旋转至如图2的位置时，连接BE,CD,求证：—.

BECD

（2）若将VADE旋转至瓦。,后三点在同一条直线上时,求线段CD的长.

【答案】（1）详见解析

（2）与I或4若

【解析】

Al）Ap

【分析】（1）利用平行线的判定与性质求出.ADEs,ACB,根据相似的性质得到——=—,由旋转的

ACAB

性质得到ZDAC=ZEAB，再利用相似三角形的判定与性质即可得解;

(2)根据勾股定理求出AB=5有，根据平行线分线段成比例定理求出CD=曾5£，分点、D在BE

上、点。在跖的延长线上两种情况，根据勾股定理求出国，据此计算即可.

【小问1详解】

证明：•NC=90°,DE，AC

：.DE//BC

ADEs,ACS

,ADAE

,AC-AB

将VADE绕A点顺时针旋转到图2位置

:.ZEAD+ZDAB=ZBAC+ZDAB

:.ZDAC=ZEAB

:.AADCSAAEB

AE_AD

"BE~CD

【小问2详解】

ZABC=90°,AC=2BC=10

：.BC=5

AB=VAC2+BC2=V102+52=5A/5

DE//BC

ADACAEAB

"DE~BC~'AD~AC

AD=2

：.DE=1

，「AEAD

由(1)知，——=——

BECD

.BE_AE

-CD—AD

BEAB57575

"CD~AC~10—2

:.CD=-^BE

5

如图，当点。在班上时,

:.ZADB=90°

在RjADB中，AB=5A/5,AD=2

由勾股定理得，DB=^AB2-AD2=*J（5A/5）2-22=11

;.BE=BD+DE=11+1=12

.。=小拽=2

55

如图，当点。在BE的延长线上时，

在用_ADB中，AD=2,AB=5y/5

由勾股定理得，BD=7AB2-AD2=J（5A/5）2-22=11

；.BE=BD—DE=11-1=10

2/s

CD=10x^-=4y/5

综上所述：线段CD的长为笞叵或4班.

【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了旋转的性质、勾股定理，相似三角形的判定和性质，比例的基

本性质，根据题意分情况画出图形是解题的关键.

23.如图（1）是一个高脚杯的截面图，杯体CPD呈抛物线形（杯体厚度不计），杯底AB=2&cm，点。

是A5的中点，QP=CD=6cm,杯子的高度（即CD,AB之间的距离）为15cm，A5所在直线为x

轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系（1个单位长度表示1cm）.

（1）求杯体CPD所在抛物线的解析式;

（2）将杯子向右平移2cm,并倒满饮料，杯体CPQ与y轴交于点E（图2）,过。点放一根吸管，吸管

底部碰触到杯壁后不再移动，发现剩余饮料的液面低于点E,设吸管所在直线的解析式为了=依+6,求上

的取值范围；

（3）将放在水平桌面/上的装有饮料的高脚杯绕点8顺时针旋转60。，液面恰好到达点。处（DQ/）,

如图3.

①请你以A3的中点。为原点，A5所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系；

②请直接写出此时杯子内液体的最大深度.

【答案】（1）y=x2+6

(2)1＜左＜5

(3)①.0,15-3@见解析;②/平

【解析】

【分析】（1）根据题意，得到P（0,6）,0（3,15）,设抛物线解析式为丁=奴2+。，代入计算即可；

（2）先确定平移后的解析式为y=（x—2『+6=f—4%+10,再计算直线OE的解析式和直线。歹的解

析式，结合喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点E