2024年中考数学二次函数压轴题-平行四边形存在性（提高篇）（解析）

2024年中考数学二次函数压轴题-平行四边形存在性

(提高篇)

1.(2023•交城)如图，已知抛物线y^ax2+bx+c(a*0)的顶点坐标为Q(2,-1),

且与y轴交C(0,3),与％轴交于A,B两点(点A在点B的右侧)，点P是抛物线上的一

动点，从点C沿抛物线向点A运动(点P与A不重合)，过点P作PC，直线AC于点D.

备用图

(1)求该抛物线的解析式及A,B两点的坐标；

(2)求点P在运动的过程中，线段PD的最大值;

(3)若点P与点Q重合，点E在%轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A,P,E,

F为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)解：•••抛物线的顶点为Q(2,—1),

二设抛物线的解析式为y=a{x—2/-1,

把C(0,3)代入y=a(x—2)2—1中，

得：3=a(0—2)2—1,

解得：a=1

，抛物线的解析式为y=(%-2)2-1=%2-4%+3,

令y=0,则无2—4%+3=0,

解得：久1=1,亚=3

•.,点A在点B的右侧，

二4(3,0),B(L0)；

(2)解：设直线4C的解析式为y=k%+b,

把4(3,0),C(0,3)分别代入y=+b中,

得：解得｛k'=-l

b=3

直线ZC的解析式为y=—x+3,

过P作EF工％轴，交直线ZC于点E,交工轴于点F,连接4P、CP,

・・,点P在抛物线上，点E在直线4c上，EF1%轴,

设P(%,%2—4%+3)>£*(%,—%+3),

PE——X+3-(%2—4%+3)=—X2+3%,

•APAC=S/pfc+SAPEA,

11

=2PExx+PEx(3一%),

3

=尹凡

_3^9

——x2+a%，

Va=-|<0,

•••S/p4c有最大值，

2

S/p4c最大值=4"f=N，

4a8

在Rt△AOC^P,AC=VOC2+OA2=V32+32=3企，

1

,S4PAe=义PD，

/.^=1x3V2PD,

•9V2

♦・PDDn=­g—»

即当S』P4c最大值为年时，PD有最大值为警；

o8

(3)解：存在，^(2-72,1),F2(2+V2,1)

【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-

动态几何问题

【解析】【解答】(3)解：存在，分两种情况讨论：

①以AP为边构造平行四边形，平移直线4P交x轴于点E,交抛物线与点F,

:点P与点Q重合，

二点P的坐标为(2,-1),

二设点F的坐标为Q,1),

%2—4%+3=1,

解得：％]_=2—V2,亚=2+V2,

二点F的坐标为(2—VI，1)和(2+71,1);

②以AP为对角线构造平行四边形，

•••点A、E的纵坐标为0,

.,.点F的纵坐标为0,此时P、F两点重合，

二不存在这种情况，

综上所述，符合条件的F点有两个，即(2-VI,1)和(2+&，1).

【分析】(1)先利用待定系数法求出函数解析式y=(久—2)2—1=/一4久+3,再将

y=0代入解析式求出x的值即可；

(2)先求出直线AC的解析式，设P(x,x2-4x+3)、E(x,一支+3),求出PE=—％+

3—(x2—4x+3)=—x2+3x,再利用割补法可得S4P4c=^APEC+^APEAX2+

^x,最后利用二次函数的性质求解即可；

(3)分两种情况讨论：①以4P为边构造平行四边形，平移直线4P交%轴于点E,交抛

物线与点F,②以ZP为对角线构造平行四边形，再分别求解即可。

2.(2023•金华)如图，已知抛物线y=a久2+b%—4经过4(—8,0),B(2,0)两点，直

(2)点P在抛物线上，点E在直线久=-4上，若以A,0,E,P为顶点的四边形是平

行四边形，求点P的坐标；

(3)若B,D,C三点到同一条直线的距离分别是电，d2,d3,问是否存在直线

使询=(/2=学？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)解：:抛物线y=a/+.一4经过2(一8,0),8(2,0)两点，

工设抛物线的解析式为y=a(x+8)(x-2)=ax2+6x-16a,

-16a--4,

解之：Q=/

二・抛物线的解析式为y=+|x—4

(2)解：如图，设点P(m,^m2+—4)

当AO为一边时，

・・•以A、0、E、P为顶点的四边形是平行四边形，点A(0,-8)

・・・A0=PE=8,

A|m+4|=8

・・.m+4二±8

解之：mi=-12,m2=4,

当m=4时.病+|m—4=^xl6+^x4—4=6;

当m=12时97n2+-4=1x144-1x12-4=14

.•.点P(-12,14)或(4,6)

当AO为对角线时，

•.•点A(-8,0),点C(-4))

二点A,。关于直线x=-4对称，直线x=-4与抛物线的交点为P,

当x=-4时#+1%-4=|xl6-1x4-4=-6

二点P(-4,-6)

••.点P的坐标为(-12,14)或(4,6)或(-4,-6)

(3)解:存在

连接BD,过点C作CHLBD于点H,

...点C(-4,0),点B(2,0),点D(-4,-6),

.\0C=4,0B=2,CD=6,

/.△CDB是等腰直角三角形，

:・CH=CD•sin450=6X孝=3或，

VBD=2CH,

•••BD=6V2

VCO：OB=2：1,

过点0且平行于BD的直线L满足条件，

作直线BE_L直线L,DF_L直线L于点F,CH交直线L于点G,在ACDB外作直线k〃

DB,延长CH交直线L于点G,使CH=HG',

,.,BE=DF,即di=d2,

.CG__CO__2CG_2

••丽一前—GH~1

.^3_2

••ds—2di,

••&=(12=2(13,

2

..CG=^CH,

o

・'・C?3=wX3V2=2V2；

."3=CG7=2CH=6V2;

如图，过点H,0作直线L,作BELL于点E,DF，13于点F,CG，13于点G,作HI，x

轴于点I,

ADH=BH,BE=DF,

即di=d2,

VCO：0B=2：1,

dr：d2=冬

i

:・H1=CI=^CB=3,

.*.01=4-3=1,

:・OH=V///2+OI2=V32+I2=VTo,

・•SXCOH=,x4x3=,xVlOc/39

解之：d3=噌

；.d3的值为：2/或6V2或卷VTU.

【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实

际应用-几何问题

【解析】【分析】(1)利用点A,B的坐标设函数解析式为y=a(x+8)(x-2),将函数解

析式化简，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，可得到函数解析式.

(2)设点P(m,lm2+fm-4),利用平行四边形的性质，分情况讨论：当A0为

一边时，利用点A的坐标可得到A0的长，利用平行四边形的性质可证得A0=PE=8,据此

可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到点P的坐标；当A0为对角线时，可

知点A,。关于直线x=-4对称，直线x=-4与抛物线的交点为P,将x=-4代入函数解析

式，可求出点P的坐标，综上所述可得到符合题意的点P的坐标.

(3)连接BD,过点C作CHLBD于点H,利用点C,B,D的坐标，可求出OC,OB,CD

的长，利用解直角三角形求出CH的长，根据BD=2CH,可得到BD的长；过点。且平行于

BD的直线L满足条件，作直线BE,直线L,DFL直线L于点F,CH交直线L于点G,

在4CDB外作直线12#DB,延长CH交直线L于点G,使CH=HG',根据BE=DF,可知d=4,

可得到ch与&的比值，可证得dFd,=；d3,可推出CG与CH的数量关系，据此可求出d3

的值；过点H,0作直线作BELL于点E,DF，13于点F,CG，13于点G,作HI，x

轴于点I,可得到DH=BH,BE=DF,di=d2,可证得&=a=吴，同时可得到HI,01的长，

利用勾股定理求出0H的长，利用三角形的面积公式，可得到关于d,的方程，解方程求

出ds的值；综上所述可得到符合题意的小的值

3.(2023•南宁)如图1,在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x，bx+c交x轴于A,

B两点(A在B左侧)，交y轴于点C,且0C=0B=3,对称轴1交抛线于点D,交x轴于

点G.

图1图2图3

(1)求抛物线的表达式及顶点坐标；

(2)如图2,过点C作CH_LDG于H,在射线HG上有一动点M(不与H重合)，连接

MC,将MC绕M点顺时针旋转90°得线段MN,连接DN,在点M的运动过程中，磊是否

为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；

(3)如图3,将抛物线y=-x，bx+c向右平移后交直线1于点E,交原抛物线于点Q

且点Q在第一象限，过点Q作QPXx轴于点P,设点Q的横坐标为m,问：在原抛物线y

=-x2+bx+c上是否存在点F,使得以P,Q,E,F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，

求出m的值；若不存在，说明理由.

【答案】(1)解：由0C=0B=3知，点B、C的坐标分别为(3,0)、(0,3),

将点C、B的坐标代入抛物线的表达式得｛_9=o'

解得,1，

Ib=2

故抛物线的表达式为y=—%2+2%+3=—(x—I)2+4①，

故顶点的坐标为(1,4)；

(2)解：是定值，

理由：过点N作NKLGD于点K,设点M的坐标为(1,m),

AZCMH=ZMNK,

VZMHC=ZNKM=90°,MC=MN,

AAMHC^ANKM(AAS),

AKN=MH=3-m,KM=CH=1,

故点N的坐标为(4-m,m+1),

22

由点N,D的坐标得：ND=/(4_m_i)++i_4)=V2(3-m),

而HM=3-m,

:.^=鱼为定值;

nM

（3）解：设抛物线向右平移了t（t>0）的单位,

则平移后的抛物线表达式为y=-(x-t)2+2(x-t)+3②,

%=nt+1

联立①②并解得gpPQ=-lt2+4,

=-#+44

点Q的坐标为&t+1,一t2+4);则m=,t+l

•..点F在原抛物线上，故点F只能和点D重合，即点F（l,4）,

当x=l时，y=-(x-t)2+2(x-t)+3=-t2+4,即点E的只能为(1,七+4),

则FE=4-(-t2+4)=t2,

当以P,Q,E,F为顶点的四边形是平行四边形，则DE=PQ,

即产=一）产+4,解得七=誓（负值已舍去），

45

故771=2t+1=+1；

②当PQ是对角线时，

设点F的坐标为（p,q）,则q=-p?+2p+3,

由中点坐标公式得：；（p+l）=/&七+1+41+1）且3（一〃产+4）=；（q—产+4）,

（p=t+1

解得3鹿，

即枭2=一«+1）2+2«+1）+3,

解得t=#Z（负值已舍去），

故ni=与Z+l,

综上，！11=等+1或竽+1.

【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质；

三角形全等的判定(AAS)；直角坐标系内两点的距离公式

【解析】【分析】(1)由0C=0B=3知，点B、C的坐标分别为(3,0)、(0,3),将点C、

B的坐标代入y=-x?+bx+c中求出b、c的值，进而可得抛物线的解析式以及顶点坐标；

(2)过点N作NKLGD于点K,设M(l,m),由同角的余角相等可得NCMH=NMNK,证

明△MHC/ZkNKM,得至!JKN=MH=3-m,KM=CH=1,则N(4-m,m+1),由两点间距离公式

表示出ND,据此求解；

(3)设抛物线向右平移了t(t>0)的单位，则平移后的抛物线表达式为y=

-(x-t)2+2(x-t)+3,联立抛物线的解析式可得PQ=-h2+4,则Q(|t+l,-1t2+4),m=lt+l,

①当PQ为边时，F(1,4),当x=l时，y=-t2+4,即E(1,-t2+4),表示出FE,根据

平行四边形的性质可得DE=PQ,据此可求出t、m的值；②当PQ是对角线时，设F(p,

q),则q=-p°+2p+3,由中点坐标公式可得p、q,进而可得t、m的值.

4.(2023•开州)如图，抛物线y=a/+b久+3交x轴于点2(—1,0)和点B(3,0),与

y轴交于点C,连接BC.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是直线BC上方的抛物线上的一点，连接PB,PC,求APBC的面积的最大

值以及此时点P的坐标；

(3)将抛物线y=ax2+bx+3向右平移1个单位得到新抛物线，点M是新抛物线

的对称轴上的一点，N是新抛物线一动点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边

形，直接写出点M的坐标.

【答案】(1)解：将点4(—1,0)和点B(3,0)代入y=a/+6久+3,

彳曰1CL—8+3=0

F9a+3b+3=0'

解得｛箕?

・•・y=—x2+2%+3；

(2)解：如图，过点P作于F,交3C于E,

・・•抛物线y=-v2+2久+3的图象与y轴的交点为点C,

AC(0,3),

设直线的解析式为y=kx+b(kW0),

代入B(3,0),C(0,3)得：｛"

解得:『J：，

lb=3

J直线BC的解析式为：y=-x+3,

设点P(3—产+21+3),

••E(t9—£+3),

PE——产+2t+3—(—t+3)=—严+33

2

,•S"BC=；*(一/+3t)x3=—|(t—1)+需'

.,•当七=楙时，△PBC的面积的最大值为当

Zo

，点P(l'苧);

(3)点M的坐标为(2,—8)或(2,-2)或(2,0)

【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质;

二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax-2+bx+c的性质

【解析】【解答］解：(3)将抛物线y=-/+2久+3=-(久-I)2+4向右平移1个单

位得到新抛物线，

二新抛物线解析式为y=-(X-2)2+4=-/+4无，

二新抛物线的对称轴为直线％=2,

设点M(2,m),点N(n,—n2+4n),

VB(3,0),C(0,3),

①当BC为边，若四边形BCNM是平行四边形时,

7•汨3+n_0+2—n2+4n+03+m

可n将丁一丁'2=F-'

解得：n=-1»m=-8,

二点M(2,-8);

②当BC为边，若四边形BCMN是平行四边形时，

7~汨3+2_0+n0+m—n2+4n+3

可n将丁一丁'-=2'

解得：n=5,m--2,

.,.点M(2,-2);

③若BC为对角线，则四边形BMCN是平行四边形时,

•殂3+0_2+n0+3—n2+4n+m

可7n将,一丁‘丁=2'

解得：n=1,m=0,

.,.点M(2,0);

综上所述：点M的坐标为(2,—8)或(2,-2)或(2,0).

【分析】(1)利用待定系数法求抛物线解析式即可；

(2)过点P作于F,交BC于E,由(1)知y=—/+2x+3,可求出C(0,

3),再求直线BC为y=—久+3,设点P(t,-乎+2t+3),贝比(3-1+3),可得PE=

2

一产+33利用三角形的面积公式可得S“BC另x(—t2+3t)x3=T(­|)+条

利用二次函数的性质即可求解;

(3)先求新抛物线解析式为y=-(%-2)2+4=-%2+4%,可得对称轴为直线x=2,

设点M(2,m),点、N(n,-n2+4n),分三种情况：①当BC为边，若四边形BCNM是平

行四边形时，②当BC为边,若四边形BCMN是平行四边形时，③若BC为对角线，则四

边形BMCN是平行四边形时，据此分别求解即可.

5.(2023•仁寿)如图，抛物线y=。尤2+入+3与*轴交于点八(1,0)和B(3,0).

(1)求抛物线的解析式；

(2)若抛物线的对称轴交x轴于点E,点F是位于x轴上方对称轴上一点，FC//X

轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C,且四边形0ECF是平行四边形，求点C的坐标；

(3)在(2)的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P,使AOCP是等腰三角形,

若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)解：把点A(1,0)和B(3,0)代入y=。尢2+6%+3得，

(9^+3^+^=0,解得｛『二'4,所以,抛物线的解析式为y=/一轨+3；

(2)解:抛物线的对称轴为直线x=2,

,/四边形OECF是平行四边形.•.点C的横坐标是4,

:点C在抛物线上，，y=42-4X4+3=3,

•••点C的坐标为(4,3)；

(3)解：•点C的坐标为(4,3),，0C的长为5,

①点0是顶角顶点时，0P=0C=5,

*.•OP2=OE2+EP2,0E=2EP=V52-22=V21>

所以，点P的坐标为(2,V21)或(2,-V21)；

②点C是顶角顶点时，CP=0C=5,同理求出PF=V^T,所以，PE=V21±3,

所以，点P的坐标为(2,3+V21)或(2,3-V21h

③点P是顶角顶点时，点P在oc上，不存在.

综上所述，抛物线的对称轴上存在点P(2,V21)或(2,-V21)或(2,3+V21)或

(2,3—VH),使AOCP是等腰三角形.

【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；二次函

数图象上点的坐标特征

【解析】【分析】(1)把点A(1,0)和B(3,0)代入y=a/+力尤+3得到关于未知

数a、b的方程组，求解得出a、b的值，从而即可得出该抛物线的解析式；

(2)根据抛物线的解析式易得对称轴直线为x=2,根据平行四边形的性质易得FC=0E=2,

从而得出得出点C的横坐标为4,将x=4代入抛物线的解析式算出对应的函数值，即可

得出点C的坐标；

(3)根据两点间的距离公式易得0C=5,然后分①点0是顶角顶点时，0P=0C=5,②点

C是顶角顶点时，CP=0C=5,根据两点间的距离公式求解即可；③点P是顶角顶点时，

点P在0C上，不存在.；综上所述即可得出答案.

6.(2023•舟山)如图，抛物线y=ax2+bx+c(a*0)经过点A(2,0),B(-2,4),(-4,

0),直线AB与抛物线的对称轴交于点E.

(1)求抛物线的表达式；

(2)点M在直线AB上方的抛物线上运动，当AABM的面积最大时，求点M的坐标;

(3)若点F为平面内的一点，且以点B,E,C,F为顶点的四边形是平行四边形，

请写出符合条件的点F的坐标.

【答案】(1)解：将点A(2,0),B(-2,4),C(-4,0)分别代入丫=ax2+执+c得:

(1

4a+2b+c=0CL=一

16a—4b+c=0,解得，b=-1

.4a—2b+c=4<c=4

•••抛物线的表达式为y=-4%2-%+4.

(2)解:如图，作MN||y轴交直线AB于点N,

设直线AB的方程为丫=kx+n,将4(2,0),B(—2,4)代入解析式得：

(2k+n=0

t—2/c+几=4'

解得/=

，直线AB的解析式为：y=—%+2,

11

—771+2)，MN=—aTn2—7n+4—(―m+2)=—+2,

111

••=2MN(XA—%B)=2x(-2m2+2)x(2+2)=—?n^+4(-2VTH)，

V-l<0,且-2V0V2,

...当m=0时，AABM的面积最大，此时—^^2一加+4=%所以M的坐标为(0,4).

(3)解：•.•抛物线的对称轴为直线为=_2=__zi

2a2X(-1)

将％=-1代入y=-x+2得y=3,

AE(-1,3),

当BC为对角线时，构成KECF.

VB(-2,4),E(-1,3),

二点E到点B向左一个单位长度，向上1个单位长度，

•••点C到点F也向左一个单位长度，向上1个单位长度，

VC(-4,0),

/.F(-5,1).

同理，当BE为对角线时，构成组CEF,可得F(1,7)；

当BF为对角线时，构成金CFE,可得F(-3,-1).

综上所述点F得坐标为(-5,1)或(1,7)或(-3,-1).

【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实

际应用-几何问题

【解析】【分析】(1)分别将点A,B,C的坐标代入函数解析式，可得到关于a,b,c

的方程组，解方程组求出a,b,c的值，可得到抛物线的解析式.

(2)作乂1^〃丫轴交直线AB于点N,利用待定系数法求出直线AB的函数解析式；利用

两函数解析式点M(m,—^m2—m+4),N(m,—巾+2),根据点M在直线AB上方的

抛物线上运动，可表示出MN的长；然后根据SAABM=^MN(xA-xb)，代入可得到S

与m之间的函数解析式，根据m的取值范围及二次函数的性质，AABM的面积最大时的

点M的坐标.

(3)利用抛物线的解析式，可求出抛物线的对称轴，将x=T代入一次函数解析式，

可求出对应的y的值，可得到点E的坐标；再分情况讨论：当BC为对角线时；当BC为

对角线时；当BF为对角线时；分别可得到点F的坐标.

27.(2023九上•舟山月考)如图，已知抛物线丫=。/+力无一1(£1井0)与*轴交于点，

A(-2,0),B(2,0),与y轴交与点D.过点C(0,1)的直线AC与抛物线交与A,F两

(1)求抛物线的解析式;

(2)点P为直线AF下方抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线交AC于点Q,过

点P作x轴的平行线交y轴于点E,求PQ+PE的最大值及相应点P的坐标；

(3)在(2)的条件下，将抛物线丫=。/+8久—l(aHO)先向右平移2个单位，再

向下平移1个单位，得到新抛物线打,点M为丫1对称轴上一点，点N为打上一点，若以

点D,P,M,N为顶点的四边形为平行四边形，写出所有符合条件的点M的坐标，并任

选其中一个点M的坐标写出求解过程.

【答案】(1)解：将点4(—2,0),5(2,0)代入y=a/+b久一l(aHO),得

Z1

-

得

解a=

(4CL—2b—1=0K4

—=

Ua+2b-l=0,lb0

二抛物线的解析式为y=i%2-1

(2)解：设直线AC的解析式为y=mx+n,

「2m+：=0,解得,另，

〔n=1ln=l

...直线AC的解析式为y=：久+1,

设P(X,1%2-1),则Q(x,E(0)

当点P在y轴右侧时，

•*-PQ+PE=(ix+1)-(J7—1)+x——i(x—3)2+

L44141

当x=3时，PQ+PE有最大值?，

此时点P的坐标为(3,盘)；

当点P在y轴左侧时，

.•.PQ+PE=(1x+l)-dx2-1)+(0-x)=_i(x+I)2+

当X=-1时，PQ+PE有最大值垓，

此时点p的坐标为(-1,3)；

综上，PQ+PE有最大值¥，点P的坐标为(3,1)；

(3)解：•.？=1/一1与y轴交于点D,

AD(0,-1),

:将抛物线y=a/+bX-l(a不0)先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到

新抛物线=1(x-2)2-2,

.•.点M的横坐标为2,

①当DP为对角线时，点N的横坐标为1,

.•.点N的纵坐标为一:，

二将点N向左平移1个单位，再向上平移)得到点D,则点P作同样的平移后得到点M,

41

即M(2,2)；

②当DM为对角线时，点N的横坐标为-1,

二点N的纵坐标为三

二将点D向左平移1个单位，再向上平移盘得到点N,则点P作同样的平移后得到点M,

即M⑵1)；

③当DN为对角线时，点N的横坐标为5,

•••点N的纵坐标为

二将点P向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到点N,则点D作同样的平移后得

到点M,即M(2,-2)；

综上，M(2,2)或(2,|)或(2,-2).

【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应

用；二次函数的实际应用-几何问题

【解析】【分析】(1)分别将点A,B的坐标代入二次函数解析式，可得到关于a,b的

方程组，解方程组求出a,b的值，即可得到抛物线的解析式.

(2)设直线AC的解析式为y=mx+n,将点A,C的坐标代入，建立关于m,n的方程组，

解方程组求出m,n的值，可得到直线AC的函数解析式；利用两函数解析式，设P(X,

则Q(x,E(0)分情况讨论：当点P在y轴的右侧时；

当点P在y轴的左侧时；分别可得到PQ+PE与x之间的函数解析式，将函数解析式转化

为顶点式，利用二次函数的性质，可分别求出PQ+PE的最大值及点P的坐标.

(3)利用y=-1,由x=0可求出对应的y的值，可得到点D的坐标；再利用二次

函数图象平移规律:上加下减,左加右减,可得到平移后的函数解析式y1=/(久-2)2-2,

可得到点皿的横坐标；再利用平行四边形的性质，分情况讨论：①当DP为对角线时，

点N的横坐标为1,可得到点N的纵坐标，利用平移可得到此时点M的坐标；当DM为对

角线时，点N的横坐标为-1,利用函数解析式可求出点N的纵坐标；将点D向左平移1

个单位，再向上平移"导到点N,则点P作同样的平移后得到点M利用点的坐标平移规

律：上加下减，左减右加，可得到点M的坐标；当DN为对角线时，点N的横坐标为5,

同理可求出点N的纵坐标，利用平移可得到点M的坐标；综上所述可得到符合题意的所

有的点M的坐标.

8.（2023•文登）如图所示，在坐标系xOy中，抛物线y=-Jx'+bx+c与x轴交于点A,

q

（1）求抛物线的解析式；

（2）在AC上方的抛物线上有一动点P.

①如图1,当点P运动到某位置时，以AP,A0为邻边的平行四边形第四个顶点恰好

也在抛物线上，求出此时点P的坐标；

②如图2,过点0,P的直线y=kx（k<0）交AC于点E,若PE：0E=5：6,求k的

值.

【答案】（1）解：•直线y=x+8经过A,C两点，

•，.A点坐标是（~8,0）,点C坐标是（0,8）,

又•.•抛物线过A,C两点,

解得―5,

•"•y——jx2—5x+8；

图1

♦.•由（1）知，抛物线解析式是y=一5x+8,

...抛物线的对称轴是直线x=-2=寺.

•••以AP,A0为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好也在抛物线上,

，PQ〃AO,PQ=A0=8.

•••P,Q都在抛物线上，

.♦•P,Q关于直线x=与对称，

••.P点的横坐标是《，

・厂、门

..当*x-—----2时2H,y—_3（一,丁2）2.2一5X（一,丁2）2+8।=丁,13

•♦.P点的坐标是中,竽）;

②如图2,过P点作PF〃OC交AC于点F,

图2

VPF//OC,

/.△PEF^AOEC,

.PE_PF

''OE=OC-

又：PE：0E=5：6,0C=8,

...PF=岑，

•.•点F在AC上，

・•・设点F（x,x+8）,

（一京?—5X+8）—（x+8）=岑,

化简得：（x+4）.攀

解得：X1=^^,x2=

••.P点坐标是（专,8）或（g均.

又：点P在直线y=kx上，

.♦.把（号,8）或（g岑）分别代入丫=1«中,

.•.k=-1或k=-10.

【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动

态几何问题

【解析】【分析】(1)利用待定系数法求出二次函数解析式即可；

(2)①先求出p点的横坐标是q,再将x=q代入函数解析式求出y的值，即可得

到点p的坐标；

②过P点作PF〃OC交AC于点F,根据△PEFs/iOEC,可得舞=桨，求出PF的长，再

OEOC

设点F(X,x+8),根据题意列出方程(-#-5x+8)-(x+8)=冬求出x的值，即

可得到点P的坐标，再将点P的坐标代入正比例函数解析式求出k的值即可。

9.(2023•岳麓)如图，抛物线y=a/+b久+6经过4(一2,0)、B(4,0)两点，与y轴

交于点C,点。是抛物线上一动点，设点。的横坐标为巾(1<m<4),连结AC、BC、DB、

DC.

(1)求抛物线的函数表达式.

(2)当△BCD的面积等于△40C的面积的确时，求血的值.

(3)当TH=2时，若点M是%轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在

这样的点M,使得以点3、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写

出点M的的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)解：由抛物线交点式表达式得：y-a(%+2)(%—4)=a(x2—2%—8)=

ax2—2ax—8a,

即-8a=6，解得：a=—fr，

故抛物线的表达式为：y=—梳％2+鼠+6；

J42

(2)解：由抛物线的表达式知，点C(0,6)，

由点B、C的坐标，得直线BC的表达式为：y=—+6,

如图所示，过点。作y轴的平行线交直线BC于点H,

、

设点D(m,—^3m2+3+6)，贝!J点H(jn,—]37n+6)，

1QQQQ

则S^BDC=?HDxOB—2(—7m2+2171+6+—6)=2(—^m2+3m)

3319

%-XX6X2-

-力---

4CO422

39

-

Bp:-n2m--

画2(41+3

-或2

故

舍

m=去

w:m3(

3;

点

小

能当-2

3)0((2，6)

设点MQ,0),点N(t,71)>则n——t+6(1)，

①当BD是边时,

点B向左平移1个单位向上平移6个单位得到点D，同样点M(N)向左平移1个单

位向上平移6个单位得到点N(M)，

X—1=t

故或｛"屋:②,

0+6=n

—J33-1

x=3x=-2-

联立①②并解得：t=2或<,1+V33或<1-V33(不合题意的值已舍去)

n=6t=F

<n=—6<n=-6

故点M的坐标为(3,0)或(乌二1,0)或(W0)；

②当BD是对角线时，

件(3+4)=i(%+Tn)

由中点公式得：w彳③，

(2(6+0)=a(71+0)

m=3

联立①③并解得n=6,

故点M的坐标为(4,0);

综上，点M的坐标为(3,0)或(骨T，0)或(一咤T,0)或(4,0).

【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质；二次函数与一次函数的综合

应用；二次函数-动态几何问题

【解析】【分析】(1)由A、B的坐标可设抛物线的解析式为

y=a(x+2)(x-4)=a(x2-2x_8)=ax2-2ax-8a,则-8a=6,求出a的值，进而可得抛物线的解

析式；

(2)由抛物线的表达式知C(0,6),求出直线BC的解析式，过点D作y轴的平行线交

直线BC于点H,设D(m,一》?+而+6),则H(m,-|m+6),根据三角形的面积公式表

不出SABDC,结合题意可得ID的值；

(3)当m=2时，点D(2,6),设M(x,0),N(t,n),则n=—率+素+6,然后分①BD

是边，②BD为对角线，结合平行四边形的性质可得x、t、m、n的值，进而可得点M的

坐标.

10.(2023•溪湖)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a/+2ax+4与％轴交于点

71(-4,0),B(X2,0),与y轴交于点C.经过点B的直线y=fcr+b与y轴交于点。(0,2),

与抛物线交于点反

(1)求抛物线的表达式及B,C两点的坐标；

(2)若点P为抛物线的对称轴上的动点，当AAEP的周长最小时，求点P的坐标；

(3)若点M是直线BE上的动点，过M作“'〃谟由交抛物线于点N,判断是否存在点

M,使以点M,N,C,。为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；

若不存在，请说明理由.

【答案】(1)解：•・•点4(一4,0)在抛物线y=ax2+2ax+4上，

***0=16Q—8a+4,

Cl=­

:.y=—yX2—%+4.

令y=0,得一讶工2—%+4=0

解得：久i=-4,x2-2,

.,.点B的坐标为(2,0),

令x=0,则y=4,

・••点C的坐标为(0,4)

(2)解：如图，

可得对称轴为：*=一八（1、=一1，

2x（一2）

•・•△AEP的边AE是定长，

.•.当PE+P4的值最小时，A4EP的周长最小.

点力关于％=-1的对称点为点B,

・•・当点P是BE与直线久=—1的交点时，PE+P4的值最小.

••・直线BE经过点B(2,0),£)(0,2),

。片一解得《k=-1

b=2

•,•直线BE：y——x+2,

令第=—1,得y=3,

.•.当AAEP的周长最小时，点P的坐标为(―1,3);

(3)解：存在点M,使以点M,N,C,。为顶点的四边形是平行四边形.

•••MN//CD,

・••要使以点M,N,C,。为顶点的四边形是平行四边形，则MN=C。即可，

•1-CD=4-2=2,

MN=CD=2,

••,点M在直线y=-x+2上，

可设点M的坐标为(TH,—m+2),则点N的坐标为(m,—^m2—m+4),

•••|—m+2+^m2+m—4|=2,

即|g小2—21=2,

当：巾2_2=2时，

解得m=+2V2,

此时点M的坐标为：(2V2,2-2/)或(一271,2+2加)，

当④巾？—2=—2时，

解得6=0(舍去)，

综上所述，存在点M使以点M,N,C,。为顶点的四边形是平行四边形，此时点M的坐

标为：(2/，2-2鱼)或(一2/，2+2V2).

【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质；轴对称的应用-最短距离问

题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax~2+bx+c的性质

【解析】【分析】(1)将点AJ4,0)代入y=aK2+2〃+4中，求出a值，即得解析

式，再求出y=0与x=0时的x与y值即得B、C的坐标；

(2)求出对称轴为x=-l,由于4AEP的边AE是定长，所以当PE+PA的值最小时，ZiAEP

的周长最小，连接BE交对称轴于点P,此时PE+PA的值最小，利用待定系数法求出直线

BE解析式，再求出x=T时的y值，即得点P坐标；

(3)由MN〃CD可知MN为平行四边形的边，设点M的坐标为(m,-m+2),则点N的坐

标为(m,—^m2—m+4)＞利用MN=CD,可得关于m的方程，从而求出点M的坐标.

11.(2023•宜宾)如图，抛物线丫=a/+b%+c与％轴交于人©,0)、B(—l,0)两点,

与y轴交于点C(0,3),其顶点为点O,连结2C.

(1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点。的坐标；

(2)在抛物线的对称轴上取一点E,点F为抛物线上一动点，使得以点4、C、E、F为

顶点、4C为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标；

(3)在(2)的条件下，将点。向下平移5个单位得到点M,点P为抛物线的对称轴

上一动点，求PF+|PM的最小值.

【答案】(1)解：:•抛物线3/=。/+6%+。经过4(3,0)、6(-1,0),C(0,3),

9a+3b+c=0

**,CL—b+c=0，

、c=3

解得［in)

、c=3

••・抛物线的解析式为y=--+2久+3,

•••y=—(x—I)2+4,

••・顶点。的坐标为(1,4)

(2)解：设直线4C是解析式为y=kx+b,

0

把4(3,0),C(0,3)代入，得

.化二一1

・•・直线4c的解析式为y=-x+3,

过点尸作FGIDE于点G,

・・•以4C,E,F为顶点的四边形是以4C为边的平行四边形，

AC=EF,AC//EF,

vOA//FG,

・•・NOAC=/GFE,

.-.△OXC^AGFE(XXS),

••・OA=FG=3,

设F(zn,—m2+2m+3),贝1)G(1,—m2+2m+3),

FG=\m-1\=3,

.・.m=—2或TH=4,

当m=—2时，-zu2+2m+3=—5,

&(—2,—5),

当771=时，—7712+2m+3=—5,

・・・尸2(4,-5)

综上所述，满足条件点点F的坐标为(-2,-5)或(4,-5)

(3)解：由题意，M(l,-1),Fi(4,-5),F2(-2,-5)关于对称轴直线%=1对称,

连接交对称轴于点〃，连接F2M,过点七作尸2%_1%用于点N,交对称轴于

点P,连接「%则知”=4,HF]=3,时0=5,

在RSMH&中，sin/HMR=谭=亳,则在RtMPN中，sin/PMN=皆=

3

・・・PN=^PM,

•・,PF2=PF1,

PF+^PM=PF】+PN=FNz为最小值，

11

,**S^MF1r2=2义6'4=2X5、F2N,

24

・•.F2N=学

PF+尚PM的最小值为等.

【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质；解直角三角形；二次函数图

象上点的坐标特征；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，再求其顶点坐标；

（2）先求出直线AC的解析式为y=—%+3,过点F作FGLDE于点G,以A,C,E,F

为顶点的四边形是以AC为边的平行四边形，可得AC=EF,AC〃EF,证明△OAC丝AGFE,

得。4=FG=3,设—m2+2m+3),则G(l,—m2+2m+3),即得FG=\m-

1|=3,据此求出m,继而得解；

(3)易知M(1,-1),件(4,-5)与握(-2,-5)关于直线x=l对称，连接FE交对

称轴于H,连FM,F2M,过F2作FZNLFIN于点N,交对称轴于P,连PF1则MH=4,HF1=3,

MFi=5,证明PN=[PM,由PF?=PR可得PF+=Pa+PN=FN2为最小值.

12.（2023•毕节）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-K2+法+c与x轴交于A,

B两点，与y轴交于点C,顶点为£)(2,1),抛物线的对称轴交直线BC于点E.

C1)求抛物线y=—%2+bx+c的表达式；

(2)把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为武/>0),在平移过程中，

该抛物线与直线BC始终有交点，求h的最大值；

(3)M是(1)中抛物线上一点，N是直线BC上一点.是否存在以点D,E,M,N为顶

点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)解：由。(2,1)可知,

b

=2

2^(=1)

4x(-l)c-孑2解得:｛工

I4x(-1)—1

.*.y=—x2+4%—3

(2)解：分别令丫=-%2+4