2024年高考数学：二次函数与字母参数的关系

高考复习材料

专题12二次函数与字母参数的关系

抛物线y=ax2+bx+c的图象与字母系数a,b,c之间的关系：

⑴a开口向上

(2)b左同右异

(3)c抛物线与y轴的交点位置

(4)a+b+c系列，当x=l时，y=ax2+bx+c=a+b+c的位置；

⑸判断a与b的关系，看对称轴；

(6)b2-4ac>0看抛物线与x轴交点个数；

(7)判断a与c,b与c,先搭建一个有关a、b、c的平台，再利用对称轴找

到a与b的关系，替换掉不需要的字母，即出现目标。

(8)遇到新的参数比如：m(am+b)<a+b(m1),关注最值就行。

A.a>0,b>0,c>0B.a<0,b<0,c>0C.a>0,b<0,c<0D.a>0,b>0,c<0

【答案】D

【解题过程】试题解析：根据开口向上可判断a>0,对称轴在y轴左侧可判断b>0,与y

轴交于负半轴可判断c<0,

故选D.

2.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是

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A.abc<0,b2-4ac>0B.abc>0,b2-4ac>0

C.abc<0,b2-4ac<0D.abc>0,b2-4ac<0

【答案】B

【解题过程】解：根据二次函数的图象知：抛物线开口向上，则a>0,

抛物线的对称轴在y轴右侧，则x=-3>0,所以b<0,

2a

抛物线交y轴于负半轴，则c<o,.^">0,

•.・抛物线与x轴有两个不同的交点，.•.△=b2-4ac>0,故选B.

【我思故我在】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，熟知抛物线的开口方向确定a的

符号，结合对称轴可确定b的符号，根据与y轴交点确定c的符号，与x轴交点的个数确定

b2-4ac的符号是解题的关键.

3.已知二次函数y=a/+6x+c（aN0）,图象的一部分如图所示，该函数图象经过点（-2,0）,

对称轴为直线x=-；,下列结论正确的是（）

1

A.abc<0B.am?+bm<-(a-2b)

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C.a+b+c>QD.若/(西,弘)和％)均在该函数图象上,

且再>无2>1，则

【答案】B

【分析】根据抛物线与x轴的一个交点(-2,0)以及其对称轴，求出抛物线与x轴的另一个交

点(1,0),利用待定系数法求函数解析式，再根据抛物线开口朝下，可得。<0,进而可得

6<0,c>0,再结合二次函数的图象和性质逐条判断即可.

【解题过程】解：••・抛物线的对称轴为直线x=-g,且抛物线与x轴的一个交点坐标为

(-2,0),

抛物线与x轴的另一个坐标为(1,0),

把(-2,0),(1,0)代入y=ax2+bx+c(aw0),可得：

4a-2b+c=0

a+b+c=0

b=a

解得

c=-2a

/.a+b+c=a+a-2a=0,故C错误；

••・抛物线开口方向向下，

Q<0,

.:b=a<0,c=-2a>0,

.:abc>0,故A错误；

•/am2+bm=am2+am=a(m+-^)2,

一(Q-2b)——(a—2Q)——a,

444

11

am2+bm-—(a-2b)=a(m+—)2,

又a<0,

2

am+~I<0,

,1

即am+bmS—(Q-2b),故B正确；

4

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••・抛物线的对称轴为直线X=-g,且抛物线开口朝下，

...可知二次函数，在时，V随X的增大而减小，

,1

-：Xl>X2>\>--,

•,•%<%,故D错误，故选：B

【我思故我在】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数和一元二次方程的关系等知识,

掌握二次函数的性质，利用数形结合思想解题是关键.

4.已知，二次函数j=ox2+bx+c图像如图所示，则下列结论正确的是（）

①46c<0；②2。+6=0；③4〃+26+c>0；@a+b>m（am+b）（其中，加为任意实

数）；⑤（a+cpV^

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】D

【分析】由图像可知，a>0,c>0,根据对称轴在抛物线的右侧可得b>0,即可得；根据

对称轴为x=l得-3=1,即可得；当x=0时丁>。，即当x=2时，y>0,即可得

4a+2b+c>0,即可判断；当x=l时,y有最大值：a+b+c，所以当、=加时，y=am2+bm+c,

即a+6+c>am2+bm+Ci进行计算即可得；当x=T时，V<。，a-b+c<0,^b>a+c,

即可得（。+。）2<〃，综上，即可得.

【解题过程】解：由图像可知，a>0,c>0,

・・・对称轴在抛物线的右侧，

：.b>0,

即abc>0,

故结论①正确；

•・,对称轴为％=1,

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即2Q+6=0,

故结论②正确；

•••当x=0时，

・•・歹>0,

，当x=2时，V>0,

即4〃+2b+c>0,

故结论③正确；

,・,当x=l时，y有最大值：a+b+c,

.•.当x=m时，y-am2+6加+c,

即。+b+c2am2+bm+c,

a+b>m(am+b),

故结论④正确；

当了=一1时，y<0,

-,-a-b+c<0,

即6>Q+C,

(Q+c)2<b2,

故结论⑤正确；

综上，①②③④⑤正确，正确的个数为5个，

故选：D.

【我思故我在】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是掌握二次函数的图像和性

质.

5.如图，抛物线y=ax2+6x+c(“N0)的对称轴为直线x=l,与x轴的一个交点坐标为(-1,

0),其部分图象如图所示，下列结论：®4ac<b\②方程ax2+bx+c=0的两个根是

网=-1,%=3；③2a+6=0；(4)abc>0；⑤当x<0时，y随x增大而增大，其中结论正确

的个数是().

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A.5个B.4个C.3个D.2个

【答案】B

【分析】由抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x

轴的一个交点坐标为（3,0）,则可对②进行判断；由对称轴方程得到b=-2a,即可得到

2a+b=0,则可对③进行判断；由抛物线的位置可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤

进行判断.

【解题过程】解：由图象可知：

抛物线的对称轴为直线x=l,

而点（-1,0）关于直线x=l的对称点的坐标为（3,0）,

二方程ax?+6x+c=0的两个根是再=-1,马=3,故②正确；

故△=/-4ac>0,即44c</,故①正确；

vx=--=1,即b=-2a,

2a

.,.2a+b=0,故③正确；

•・・抛物线开口向下，

.,•a<0,

・・・对称轴在y轴的右侧，

b

•,*-->0,

2a

/.b>0,

••,抛物线交y轴的正半轴，

•,•abc<0,故④错误；

•・・抛物线的对称轴为直线x=l,

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・••当xVl时，y随x增大而增大，故⑤正确.

综上，①②③⑤共4个正确.

故选：C.

【我思故我在】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数》="2+队+。

（awO）,二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<

。时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同

号时（即ab>0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0）,对称轴在y轴右；常数

项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0,c）；抛物线与x轴交点个数由△决

定：A=〃-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；A=〃_4ac=0时，抛物线与x轴有1个

交点；A="-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点.

6.二次函数y=。无2+6x+c图象如图所示，下列结论：①/-4m>0；②2a+6=0；③

abc>Q-,④办2+H+c-3=0有两个相等的实数根，其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】根据二次函数的图象和性质进行判断即可.

【解题过程】解：根据抛物线的开口朝下可知：a<Q,

根据对称轴是1：x————=：1,得到：2a+b=0,b>0,

2a

与y轴交于正半轴：c>0,

与x轴有两个交点：b2-4ac>0,

顶点坐标：（1,3）,ax?+6x+c-3=0有两个相等的实数根.

综上：b2-4ac>0,2a+b=0,abc<0,"?+乐+£；-3=0有两个相等的实数根.

正确的是：①②④，共3个.

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故选：C.

【我思故我在】本题考查二次函数图像和系数之间的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题

的关键，利用数形结合的思想可以快速的解决此类问题.

7.如图，二次函数>="2+云+°(。*0)的图像经过点4(-2,0),5(4,0),与y轴交于点

C.则以下结论：

①ac>0；

②6=-2a；

③a+6<an2+bn;

④当x<0时，了随x的增大而减少；

⑤若方程a无2+bx+c=〃?没有实数根，则机<c-a.

其中正确结论的个数是()

C.4个D.5个

【答案】C

【分析】根据抛物线的开口方向与y轴的交点可判断①；利用抛物线的对称轴直线对称轴

判断②；利用抛物线的对称轴为》=三上=1,抛物线开口向上，可得到抛物线的最小值,

进而可判断结论③；利用抛物线的增减性可判断④；利用一元二次方程的判别式结合

6=-2a即可求解⑤.

【解题过程】对于①：二次函数开口向上，故a>0,与y轴的交点在y的负半轴，故c<

0,故ac<0,因此①错误；

对于②：二次函数的图象与x轴相交于A(-2,0)、B(4,0),由对称性可知，其对称轴

为：x=W巴=1，又对称轴直线为工=-二，所以-3=1,所以因此b=-2a,故②正确；

22a2a

_9+4

对于③：••・抛物线的对称轴为X=，一=1,抛物线开口向上，

.,.当x=l时，y最小=a+6+c,

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'•a+b+c<an2+6〃+c,

贝!Ia+bWan2+bn

・•・因此③正确；

对于④：•••抛物线的对称轴为X=l,抛物线开口向上，

.•.当X<1时，y随x的增大而减少，

则有当x<0时，y随x的增大而减少，故④正确；

对于⑤：••・若方程"2+/+°=„?没有实数根，

:.、=廿-4a(c-w)=(-2a)2-4a(c-m)<0,

解得加<c-a,故⑤正确；

・•.正确的有②③④⑤，

故选：C.

【我思故我在】本题考查了二次函数的图象与其系数的关系及二次函数的对称性，熟练掌握

二次函数的图象性质是解决此类题的关键.

8.已知二次函数>=办2+及+。(4w0)的图象如图所示，有下列结论：①〃bc〈O；

②2a-b<0；③a+b+c=O；@b2=Aac；⑤方程分之+反+。=0的两个根是一3和1；

【答案】A

【分析】根据二次函数的图象，逐一进行判定即可.

【解题过程】解：由图象可知：

开口朝上：Q0；

对称轴为：x=---=-1

2a

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b=2a>0,2a-b=0；

与歹轴交于负半轴：c<0；

与x轴有两个交点：b2-4ac>0；

与X轴交于（1,0）,故：a+b+c=o；根据对称性：与X轴的另一个交点为：（-3,0）；

综上：abc<Q,①正确；

2a—b=0,②错误；

a+b+c=0,③正确；

b2>4ac,④错误；

方程办°+6x+c=0的两个根是-3和1,⑤正确;

a+b+c=0,b=2a,故：3a+c=0,⑥错误；

综上分析可知，正确的有3个，故A正确.

故选：A.

【我思故我在】本题考查二次函数的图象和二次函数系数之间的关系.熟练掌握二次函数的

性质，从图象中挖掘有效信息是解题的关键.

9.如图是二次函数》=如2+加+,图象的一部分，其对称轴是直线x=-l,且过点（-3,

0）,下列说法：①a6c<0；②2a-6=0；③4a+26+c<0；④若（-5,竺），（-1,以）是

抛物线上两点，则乃</，其中说法正确的是（）

C,①②④D.②③④

【答案】A

【分析】根据抛物线开口方向得到a>0,根据抛物线的对称轴得b=2a>0,则2a-b=0,

则可对②进行判断；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c<0,则abc<0,于是可对

①进行判断；由于x=2时，y>0,则得到4a+2b+c>0,则可对③进行判断；通过点

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（-5,%）和点（g,y2）离对称轴的远近对④进行判断.

【解题过程】解：•••抛物线开口向上，

.*.a>0,

•••抛物线对称轴为直线x=-3=-1,

・・.b=2a>0,则2a-b=0,所以②正确；

,・・抛物线与y轴的交点在x轴下方，

.,.c<0,

•e•abc<0,所以①正确；

•・・x=2时，y>0,

.•.4a+2b+c>0,所以③错误；

•.•点（-5,%）离对称轴要比点（I"，力）离对称轴要远，

.5>%,所以④错误.

故选:A.

【我思故我在】本题主要考查了二次函数的图像及性质，二次函数y=ax2+6x+c（axO）,二

次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的

位置:当a与b同号时（即ab>0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0）,对称轴在y

轴右.（简称:左同右异），抛物线与y轴交于（0,c）.熟练掌握二次函数的各项系数与对

称轴的关系是解题的关键.

10.已知二次函数y=办?+6x+c的图象如图所示，有以下结论：（1）abc>0；

②a-6+c<0；③4a+2b+c>0；④2a=6；⑤3a+c<0其中正确结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

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【分析】由抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，可确定。<0,O0.再根据对称轴是直

线x=l,即x=-3=l,可确定6=-2°>0,从而可判断①④；根据当x=T时，y=0即

2a

可判断②；根据当x=2时，>>0,即可判断③；由a-6+c=0,b=-2a,即可判断

⑤.

【解题过程】解：•••抛物线开口向下，与了轴交于正半轴，

:.a<0fc>0.

・•・对称轴是直线X=1,

•.•Jrv__A_iJL,

2a

b--2a>0,

abc<0f故①④错误；

•••当x=—1时，尸0.

:.a-b+c=0,故②错误；

,当％=2时，y>0,

:.4a+2b+c>0,故③正确；

a—Z?+c—0,b——2。

a+2a+c=0.

：.3a+c-0,故⑤错误.

综上可知正确结论的个数是1个.

故选A.

【我思故我在】本题考查二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是求解本题

的关键.

11.如图，已知二次函数了=。/+加+以。20)的图象如图所示，其对称轴为直线x=l,以

下4个结论：①abc<0；(2)(a+c)2<b2；③4a+26+c>0；@a+b<m(am+b')

的实数).其中正确结论的有()

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A.3个B.4个C.2个D.1个

【答案】A

【分析】由抛物线开口向下得到a<0；由抛物线的对称轴为直线x=-3=l得到b>0；由

2a

抛物线与y轴的交点在X轴的上方得到c>0,则abc<0；观察图象得到当x=-l时，y<0,

即a-b+cVO；当x=2时，y>0,即4a+2b+c>0；根据二次函数的最值问题得到x=l时，y有

最大值a+b+c,则a+b+c>am2+bm+c(mwl),变形得到a+b>m(am+b).

【解题过程】解：•・・抛物线开口向下，

.，•a<0；

•••抛物线的对称轴为直线x=-3=l,

/.b>0；

•・・抛物线与y轴的交点在x轴的上方，

.,.c>0,

.,.abc<0,所以①正确；

当x=-l时，y<0,即a-b+c<0,

当x=l时，y>0,BPa+b+c>0,

・•・(a-b+c)(a+b+c)<0

(a+C)?—<0

(a+cP<b2

所以②正确；

当x=2时，y>0,即4a+2b+c>0,所以③正确；

••・抛物线的对称轴为直线x=l,

.”=1时,y有最大值a+b+c,

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.,.a+b+c>am2+bm+c(m^l),

.,.a+b>m(am+b),所以④错误.

故选：A.

【我思故我在】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c(a/0)的图

象为一条抛物线，当a<0,抛物线的开口向下，当x=-§时，函数值最大；抛物线与y轴

的交点坐标为(0,C).

12.如图所示的二次函数y=a/+6x+c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：(1)

(4)a+b+c<0.你认为其中错误的有()

C.4个D.1个

【分析】由抛物线与x轴交点情况判断与。的关系，由抛物线与y轴的交点判断c

与工的关系，然后根据对称轴及a的范围推理2a-b的符号，根据当x=l的函数值判断

a+b+c的符号.

【解题过程】解：(1)根据图示知，该函数图象与x轴有两个交点,

A=Z?2-4ac>0；

故本选项正确；

(2)由图象知，该函数图象与y轴的交点在点(0,1)以下，

c<1;故本选项错误；

(3)由图示，知对称轴为=-3>-1；又函数图象的开口方向向下,

2a

a<0,

***—b<—2a,即2a—6<0,

故本选项正确;

(4)根据图示可知，当x=L即kq+b+c<0,

・•・a+b+c<0；故本选项正确；