广东省广州市2023-2024学年高三年级下册零模（3月月考）数学试题（含答案解析）

广东省广州市白云中学2023-2024学年高三下学期零模（3

月月考）数学试题

学校:.姓名:班级:考号:

一、单选题

1.若角C的终边过点(3,1),则sin(a+£7T=()

口3屈「Vw7

D.--------V-•-----

A・噜1010

言则z；=（）

2.已知i为虚数单位，若2=

A.V2B.2C.-2iD.2i

3.若集合/={x|nx>l,xeN*},集合2=/-6芯-7<0,则/c5的子集个数为（）

A.16B.15C.32D.31

logX,X>1

4.已知函数/（x）=（2：-l）x+4“xWl在R上为减函数，则实数。的取值范围是（）

°4,

A.B.

1

C.—,+00D.

66?2

5.已知Z花是夹角为120。的两个单位向量，若向量"+定在向量£上的投影向量为力,

则％=()

「2GD.与

A.-2B.2L•-------

3

6.已知某圆台的上、下底面半径分别为小马，且弓=2不若半径为2的球与圆台的上、

下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（）

28兀40兀56兀112兀

A.-----B.-----C.D.------

3333

7.由0,2,4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成的数列记为｛为｝,即

%=0,“2=2,%=4,…，若%=2024,贝!]〃=()

A.34B.33C.32D.30

22

8.已知双曲线£1:1-4=1（°>0,6>0）的左、右焦点分别为耳，匕，过点鸟的直线与

ab

双曲线E的右支交于45两点，若同=b月|,且双曲线E的离心率为血，则

cos/BAF、=()

试卷第1页，共4页

]_

B.C.D.

488

二、多选题

9.“体育强则中国强，国运兴则体育兴”.为备战2024年巴黎奥运会，已知运动员甲特

训的成绩分别为：9,12,8,16,16,18,20,16,12,13,则这组数据的（）

A.众数为12B.平均数为14C.中位数为14.5D.第85百分位数

为16

10.已知等差数列｛4｝的首项％=2,公差d=8,在｛4｝中每相邻两项之间都插入左个

数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列｛a｝,以下说法正确的是（）

A.%=8〃-6

B.当左=3时，bn=2n

C.当k=3时，砥不是数列｛%｝中的项

D.若为是数列｛。,｝中的项，则上的值可能为7

11.如图，八面体Q的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点8C,D,E在同一

个平面内.若点M在四边形8cDE内（包含边界）运动，N为4E的中点，则（）

TT

A.当〃■为。E的中点时，异面直线与C尸所成角为w

B.当儿W//平面/CD时，点M的轨迹长度为28

C.当1时，点M到3c的距离可能为百

D.存在一个体积为三兀的圆柱体可整体放入。内

三、填空题

12.若函数〃x）=sin（ox+0）1>O,|d<］的最小正周期为兀，其图象关于点（g,0

中心对称，则夕=.

试卷第2页，共4页

13.已知随机变量X〜N（0,b2）,且尸（XVO）=a,贝的展开式中常数项

为.

14.已知函数函a）=。（工一石）（工-%）（4-£）（。>0），设曲线了=/（x）在点（巧,/（%））处

切线的斜率为左1=1,2,3）,若玉,乙,%均不相等，且左2=-2,则匕+4%的最小值

为.

四、解答题

15.设5“为数列｛七｝的前〃项和，已知电=4,S4=20,且，｝，为等差数列.

⑴求证：数列｛g｝为等差数列；

⑵若数列出｝满足4=6,且智=+，设（为数列｛2｝的前〃项和，集合

°nan+2

M=｛r„|T„eN'）,求W（用列举法表示）.

16.多巴胺是一种神经传导物质，能够传递兴奋及开心的信息.近期很火的多巴胺穿搭

是指通过服装搭配来营造愉悦感的着装风格，通过色彩艳丽的时装调动正面的情绪，是

一种“积极化的联想”.小李同学紧跟潮流，她选择搭配的颜色规则如下：从红色和蓝色两

种颜色中选择，用“抽小球”的方式决定衣物颜色，现有一个箱子，里面装有质地、大小

一样的4个红球和2个白球，从中任取4个小球，若取出的红球比白球多，则当天穿红

色，否则穿蓝色.每种颜色的衣物包括连衣裙和套装，若小李同学选择了红色，再选连

衣裙的可能性为0.6,而选择了蓝色后，再选连衣裙的可能性为05

（1）写出小李同学抽到红球个数的分布列及期望；

（2）求小李同学当天穿连衣裙的概率.

17.如图，在四棱锥尸-/BCD中，四边形48CD是菱形，平面48a>/平面P/D,点

M在。P上，且。河=2〃？,40=/尸,/尸40=120°.

（1）求证：5。1平面/CM；

⑵若ZADC=60°，求平面ACM与平面ABP夹角的余弦值.

试卷第3页，共4页

18.已知函数/(x)=a(x-1)产|-Zxlnx-x?(aeR).

⑴当a=0时，求函数〃x)在区间［r,1］上的最小值；

(2)讨论函数的极值点个数；

(3)当函数/(x)无极值点时，求证：asin—>^.

2a兀

2

19.已知动点P与定点，(九0)的距离和尸到定直线x=上的距离的比为常数二.其中

m〃

m>0,«>0,且加记点尸的轨迹为曲线C.

(1)求。的方程，并说明轨迹的形状；

⑵设点8(-〜0),若曲线。上两动点均在无轴上方，AM//BN,且/N与血相

交于点。.

L11

①当a=2后,〃=4时，求证：面彳+/M的值及A/8。的周长均为定值；

②当加>〃时，记A/30的面积为S,其内切圆半径为〜试探究是否存在常数X,使得

S=恒成立？若存在，求2(用见"表示)；若不存在，请说明理由.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.A

【分析】根据给定条件，利用三角函数定义结合诱导公式求解即得.

【详解】角。的终边过点(3,1),则/=乒丁=而，

福卜1•/兀、33^/10

所以sm(a+—)=cosa=—=-------.

2r10

故选：A

2.B

【分析】由复数的运算及共物复数的定义即可求出结果.

【详解】因为z二丁一二L^7T=f=l+i,所以亍=1—i,

l+i(l+i)-(l-i)2

z-z=(l+i)-(l-i)=2.

故选：B.

3.A

【分析】解对数不等式和一元二次不等式可得集合48,利用交集运算计算进而可

得子集个数.

【详解】对于集合/={引lnx〉l,%£N*}可得lnx〉l=lne,解得X>e,

所以/={x|x>e,x£N*},

对于集合5={%|/_6%_7<0}可得/_6%_7<0,解得—1<%<7,

所以8={巾l<x<7},

所以/c3={3,4,5,6},故/c8的子集个数为24=16.

故选:A.

4.D

【分析】根据分段函数单调性以及对数函数性质列式求解.

0<tz<l

【详解】由题意可得：2a-l<0,解得:

6a-l>01'

所以实数0的取值范围是

o2J

答案第1页，共18页

故选：D.

5.A

【分析】由投影向量计算公式可得答案.

（a+Xb\a（a+Ab]-a

【详解】£+宓在向量Z上的投影向量为‘-==2.

同同

n+•万二|同之+2|3|-|ft|cosl20°=1一;/l=2n/l=—2.

故选：A

6.C

【分析】根据圆台的轴截面图，结合圆台和球的结构特征求解不与，然后代入圆台体积公式

求解即可.

【详解】如图，

设圆台上、下底面圆心分别为。1，。2，则圆台内切球的球心。一定在。1。2的中点处，

设球。与母线切于M点，所以。所以（W=OQ==2,

所以△/O。]与“。忆全等，所以4A1=0，同理所以/3=彳+弓=3勺

过4作垂足为G,则5G=G—4=G，/G=O02=4,

所以4G2=4^2—5G2,所以16=（3q『一片=防2,所以q=也，所以弓=2万，

所以该圆台的体积为，2兀+8兀+4兀）x4=等.

故选：C

7.B

【分析】由题意可知一位自然数有3个，两位自然数有6个，三位自然数有18个，利用列

举法列出符合题意得自然数，即可求解.

【详解】由0,2,4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成数列{%},

答案第2页，共18页

则一位自然数有3个，两位自然数有32-3=6个，

三位自然数有3:9=18个，四位自然数有3"-27=54个，

又四位自然数为2000,2002,2004,2020,2022,2024,•••

2024为四位自然数中的第6个，所以“=3+6+18+6=33.

故选：B

8.D

【分析】由双曲线的定义结合已知条件求得忸阊=2。，从而再得忸用=4°,由余弦定理求

得cos用耳,由诱导公式得cosUg耳，设|/闾=加，则以耳|=加+2。，再由余弦定理求

2

得加=§*从而利用余弦定理求解即可.

【详解】因为双曲线E的离心率为后，所以c=®a，因为|/同=|/耳

所以怛阊=|/邳一|2阊=|/耳|一|/闾=2°,由双曲线的定义可得忸耳|一|陷|=|明卜2a=2°,

所以忸团=4a=2忸引,

忸q+闺可-跖「4^+8^-jW__V|

在△明心中,由余弦定理得cosNBg片=

2此IM/I2义2。x26a4

在△/片鸟中，cosZF{F2A=-cosAFXF2B=＞设M月|=加，则M4|=加+2〃，

由M周2=闺闻2+恒闾2—2闺周恒用cosN耳％4得

62

(2a+m)2=(2V2tz)2+m2-2-141a-m-,解得冽=§Q,所以

64tz264a2i,

------+---------16。2

AF+AB2BF£

所b以rcosZBAF,=J\―X―\1--------!—\LX:99

八8。8。

2\AF^AB\2x——x——8

33

答案第3页，共18页

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用cosN片工/=-cos/片工8,结合余弦定理与

双曲线的定义，从而得解.

9.BC

【分析】由众数，中位数，平均数，第百分位数的定义求出即可.

【详解】成绩从小到大排列为：8,9,12,12,13,16,16,16,18,20.

A：出现次数最多的数为16,故A错误；

B：平均数=5（8+9+12+12+13+16+16+16+18+20）=14,故B正确；

C：中位数为：上等=14.5,故C正确；

D：第85百分位数为第10x0.85=8.5,即第9位，为18,故D错误；

故选：BC.

10.ABD

【分析】求出通项判断A；求出公差、通项判断BC；探讨数列｛6｝与｛，｝的下标关系判断

D.

【详解】对于A,由题意得见=2+8（〃-1）=8〃-6,A正确；

1A

对于B,新数列的首项为2,公差为又广=2,故6.=2+2（〃-1）=2〃，B正确；

对于C,由B选项知砥=58,令8"-6=58,则〃=8,即砥是数列｛0｝的第8项，C错误;

对于D,插入方个数，则%=="+2,。3=33,%=4k+4,…,

则等差数列｛%｝中的项在新的等差数列｛，｝中对应的下标是以1为首项，发+1为公差的等差

数列，

于是g=4+（"-1）伯+1），而4是数列｛%｝的项，令1+（〃-9优+1）=9,当左=7时，〃=2,D正

确.

故选：ABD

11.ACD

【分析】对于AC：建立空间直角坐标系计算求解；对于B：过N作面/CD的平行平面，

进而可得点”的轨迹；对于D：由于图形的对称性，我们可以先分析正四棱锥/-BCDE内

接最大圆柱的体积，表示出体积，然后利用导数求其最值即可.

答案第4页，共18页

【详解】对于A,因为BCDE为正方形，如图，连接5。与CE,相交于点。，连接04,

则两两垂直，故以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系,

则D(2四,0,0)，网-2@,0,0),£(0,2^0)C。-240)/(),0,240,-2行),

N为NE的中点，则N(0,五码，

当M为DE的中点时，M(V2,V2,0),A^V=(-^0,^\CF=@2&-26)，

设异面直线龙W与CF所成角为。，

则c°se=1c°s＜疝"故"会故A正确;

对于B,如图，设尸为OE的中点，N为4E的中点,

则PN//4),/Ou平面/CD,PN仁平面/CD,

则PN//平面/CD,又ACV//平面/CD,又MNcPN=N,设。eBC,

故平面跖VP〃平面/CD,平面NCDCl平面BCZ)E=CD,平面MVPI平面2cDE=P。，

则尸。〃CD,则。为6c的中点，点M在四边形8cDE内(包含边界)运动，则MeP0,

点"的轨迹是过点。与。平行的线段尸。，长度为4,故B错误；

对于C,当时，^M{x,0),MA=(-x,-y,272),ME=(-x,272-0),

MA-ME^x2+y(y-242)^0,得/+/_2。=0,即Y+(尸后=2,

答案第5页，共18页

即点M的轨迹以OE中点K为圆心，半径为亚的圆在四边BCDE内（包含边界）的一段弧

（如下图）,

K到BC的距离为3,弧上的点到BC的距离最小值为3-收，

因为3-收＜6，所以存在点〃■到3c的距离为百，故C正确;

对于D,如图，由于图形的对称性，我们可以先分析正四棱锥/-3CDE内接最大圆柱的体

设圆柱底面半径为「，IWJ为〃，尸为DE的中点，。为的中点，PQ=4,AO=2血,

根据△ZGHS^NOP,得空=空,即2=拽二,〃=忘（2--），

OPAO22V2

则圆柱体积/=兀尸2〃=拒兀尸2Q一升），

设厂（尸）二后兀（》2_尸3）（0＜/＜2）,求导得『（〃）=0兀（4r一3/）,

44

令广⑺=0得，或尸=0,因为0〈尸＜2,所以厂=0舍去，即〃=;,

33

44

所以当o〈/〈—时，r（r）＞o,当—＜2时，r（r）＜o,

33

即当r=g时，曦、”《）=等兀，

JD//

则32®_5K_（32＞/2-45）7t_（J2048--025）元〉。

'273-27-27'

所以必叵＞2,

273

故存在一个体积为岸的圆柱体可整体放入。内，故D正确.

故选：ACD.

答案第6页，共18页

71

12.

3

【分析】由三角函数的周期公式求出口=2,再由正弦型函数的对称中心即可求出。.

27r

【详解】由7=同=兀（。>°）得，。=2,所以/（x）=sin（2x+0）,

又/（x）=sin（2x+9）的图象关于点中心对称，

所以+（p=kit,keZ,解得（p=——+kit,keZ,又闸<弓，

IT

所以，k=\,（p=--.

故答案为：-三

c15

13.—

4

【分析】由正态分布求出参数后再利用二项式定理计算即可.

【详解】由题意得随机变量X〜N（0,b2）服从正态分布，且尸（XV0）=a,由〃=0,所以

15

的常数项,由二项式定理得常数项为C；

4

14.18

【分析】求出函数的导数,可得勺（i=1,2,3）的表达式，由此化简推出《+；=；,结合e=-2

说明尢〉0，&>0,继而利用基本不等式，即可求得答案.

【详解】由于/（X）=Q（X—项）（工一工2）（%—%3）（。〉。），

故/'（X）=q［（x-4）（x一毛）+（X一毛）（X一%）X1一%）（X—q，

故后1=〃（石一工2）（项一%3）,后2=a（%2—%3乂%2-石）,无3=〃（%3一玉）（%3一马），

111111

贝I1---------1-~-----------------------------rH—-----------歹------rH：-----y-------------r

、k［k2k34（玉一工2）（再一工3）4％2一工2一X）《％3—勾（工3一过

二（％一迎）+（网_£）+卜一占）=0

a（X1-x2）（x2-x}）（x3-X］）

111

由左2=-2,得厂+厂=5,

%k32

答案第7页，共18页

由左2=-2,即左2=a(%2—X3)(x2-再)＜0，知才2位于再，%3之间，

不妨设芭＜%2＜%3，贝U左＞0,左3〉。，

左1_4k3

k,k

当且仅当；]y]即自=6,右=3时等号成立,

—I—=—

左k32

故则占+44的最小值为18,

故答案为：18

【点睛】关键点睛：本题考查了导数的几何意义以及不等式求最值的应用，解答的关键是利

用导数的表达式推出：+：=；,并说明左＞0,质＞0,然后利用基本不等式求最值即可.

15.(1)证明见解析

⑵八｛6,8,9,10,11｝

【分析】(1)设等差数列，｝，的公差为d,由题意可得每+34=5、H+2d=4,解得

H=2,d=l,结合%=S"-S.T求得。“=2〃(”eN*),即可证明；

bnT12._,11/、T*\

⑵由(1)可得^=-根据累乘法可得〃=不小=12(———x)«eN,结合裂

项相消求和法计算即可求解.

【详解】(1)设等差数列［显］的公差为力贝!|自=1+3］，即5+3d=5,①

InJ41

因为邑=%+g=H+4,所以由2=*+4,得1+24=4.②

C

由①、②解得，=2,4=1,所以'=〃+1,即s“=〃e+i),

n

当“22时，an=S“_S"_1+=,

当”=1时，%=S］=2,上式也成立，所以.”=2"6eN"),

所以数列｛g｝是等差数列.

答案第8页，共18页

（2）由（1）可知?=2nn

a2〃+4n+2

b“n+2

b.,n—\n-212

当“22时，—•bx=-----x-------xx—x6=

b

如„-2bxn+1n3

1211

因为4=6满足上式，所以“=而可=12（丁v1M〃eN）

7"=12］［一口+《一口+…+］卜曰卜12*1一1=12-普,

1o

因为当言eN*时，"=1,2,3,5,11,所以M={6,8,9,10,11}.

O

16.（1）分布列见解析，-

【分析】（1）根据超几何分布求出P（X=4）,P（X=3）,P（X=2）的概率，列出分布列，求出数学

期望即可；

（2）设/表示穿红色衣物，则7表示穿蓝色衣物，2表示穿连衣裙，则石表示穿套装.求出

尸（4）,尸⑶，尸（同⑷,尸倒力，结合条件概率和尸（8）=P（5⑷P（/）+P（s印）计算即可

求解.

【详解】（1）设抽到红球的个数为X,则X的取值可能为4,3,2,

4C3cl

C18C2C22

P（X=4）=苻网》=3）=h=

1515

所以X的分布列为:

X432

182

P

15155

故£（X）=4x-'-+3

（2）设/表示穿红色衣物，则］表示穿蓝色衣物，2表示穿连衣裙，则》表示穿套装.

1oq

因为穿红色衣物的概率为尸（4）=尸（》=4）+*>=3）=石+石=丁

则穿蓝色衣物的概率为尸⑸=P（X=2）=|,

穿红色连衣裙的概率为尸（即）=0.6=|,穿蓝色连衣裙的概率为P（2冈=0.5=；,

答案第9页，共18页

则当天穿连衣裙的概率为尸（8）=尸（即）尸⑷+尸,冈尸⑷=；x；+；x1=*

JJ。

所以小李同学当天穿连衣裙的概率为K.

17.（1）证明见解析

⑵g

【分析】（1）由余弦定理结合勾股定理逆定理可得血伍，AD,后结合平面/BCD工平面PAD,

可得M4lBD,后结合/C/可得结论；

（2）由（1）结合题意建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面/CM与平面N3尸的

法向量，即可得答案.

【详解】（1）不妨设AD=AP=3j;NPAD=l2Qo,DM=2MF,

DP=3®DM=243,PM=百，

由余弦定理得AM=yjAP2+MP2-2AP.MPcos30°=6，

在LADM中，AD2+AM2=DM2MA1AD,

平面ABCD工平面PAD,平面ABCDc平面PAD=AD,MAu平面PAD,

：.MAV^ABCD.

QBDu平面，

・••四边形/BCD是菱形，，/C_L8。，

又•.•/CnM4=A,且/Cu平面/CW,M4u平面/CA/,;.8Z）_L平面/CM.

（2）在平面/BCD内，过点3作ND的垂线，垂足为N,

平面ABCD7,平面PAD,平面ABCDc平面PAD=AD,

又；四边形48cZ）是菱形，ZADC=60°,ZBDA=30°,

△4CD,AABC均为等边三角形，

以点N为坐标原点，/。，/可及过点/平行于NB的直线分别为x,八z轴，

建立空间直角坐标系（如图），

则/（0,0,0）,8--（3,0,0）,P-g,3：,0,

由（1）BD/平面ZCM,

答案第10页，共18页

—•93j3

BD=为平面/CW的一个法向量,

设平面ABP的法向量为加=(XJ,Z),

'3373n

AB-m=0,22

则一即

AP-m=0,33A/3N

[22

I373IV5

令尤=百，可得成=(百,1,1),•■•|cos5D,m|

|岛国

35

•••平面/CM与平面/8P的夹角的余弦值为好.

18.(1)-1

(2)答案见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)对〃x)=-2xhM72求导，构造函数后再求导，由二次导数得到g(x)在［底,1］

上单调递减，再由零点存在定理确定/(x)的最小值.

(2)求导后令/'何=0得”=2叫：：+1),再利用换元法设lnx+x+l=/,得到。=当

ee

构造函数/?")=?,利用导数分析其单调性和极值，画出图像，再由方程〃«)=“根的个数

e

讨论函数零点的个数.

(3)先证明当时，^手，构造函数"3=手［｛0,；］|,求导后分析单

调性得到最小值〃(6>"］£|=乎可证明之；再由(2)知，当函数“X)无极值点时，

答案第11页，共18页

贝取最小值取x=1,则有2qsin，>迪，即可证明.

【详解】(1)当。=0时，f(x)=-2xlwc-x2,

则厂(x)=-211.Inx+x•—-2x=-2(inx+x+1),

令g(x)=/'(x),贝1］8。)=-21；+”,

因为所以g<x)<0.则g(x)在［e-11］上单调递减，

又因为/'(婷)=2(1--2)>0/(1)=7<0,

所以叫使得/(x0)=0,〃x)在(J,%)上单调递增，在伉,1)上单调递减.

因此，“X)在［底,1］上的最小值是/(J)与/⑴两者中的最小者.

因为/(I?)=4-2_e-4=e-2(4-1?)>0JQ)=-1,

所以函数/(x)在［e-2,1］上的最小值为

(2)/'(x)=-ex+1+(x-1)ex+1J-2f1-Inx+x•—-2x=axex+1-2(inx+x+1),

由;■'(x)=0,解得，=2(1-：：+D=2(l弋：+l),

易知函数>=向+、+1在(0,+e)上单调递增，且值域为R,

令lnx+x+l=z,由/'(x)=0,解得。=工，

e

设/)=当则/⑺=4口，

ee

因为当f<1时，/7'(。>0,当t>l时，〃⑺<0,所以函数力⑺在(-8,1)上单调递增，在(1,+℃)

上单调递减.

/22

根据刀⑴=一/—-00时，/?(x)T-co,lim//(f)=lim—=0,

得〃(/)的大致图像如图所示.

答案第12页，共18页

(i)当。＞|时，方程力(/)=。无解，即/'(X)无零点，/(无)没有极值点；

(ii)当&=：时，/'(》)=26映+*-2(&+尤+1),

设m(x)=e、-x-l(xNO),贝！(尤)=e'l,令e*-lNOnxNO,

则m(x)在［0,+司上时单调递增函数，即x+1,

得/'(x)Z2(ln_Y+x+l)-2(lnx+x+l)=0,此时/(尤)没有极值点；

(iii)当0＜。＜；时，方程有两个解，即/'(X)有两个零点，/(无)有两个极值点；

(iv)当aWO时，方程力«)=。有一个解，即尸(x)有一个零点，“X)有一个极值点.

综上，当aVO时，/⑺有一个极值点；当0＜。＜;时，〃尤)有两个极值点；当。时，“X)

没有极值点.

(3)先证明当xe0,十时，吧±＞壬.

14Jx兀

设〃(力手心“"，则小”回『吧，

记P(x)=xcosx-sinx］x,贝ljp'(x)=1-cosx+%•(

-sinx)-cosx=-xsinx<0,p(x)在

(0卷］上单调递减，

当xe(0,1］时，p(x)＜p(0)=0,n'(x)＜0,则在］上单调递减，马廷,

答案第13页，共18页

即当xe］。：］时，不等式照>迪成立.

I4；X71

由⑵知，当函数/(x)无极值点时，«>-,则

e2。44

在不等式包竺〉迪中，取x=；,则有2asin，>迪，

x7i2a2。兀

即不等式asin-1-〉正成立.

2a71

【点睛】关键点点睛：

(1)求函数在给定区间上的最值时，通常求导，利用导数的单调性分析最值，若在给定区

间上不是单调的，常用零点存在定理分析其单调性，再比较区间的端点值找到最值.

(2)讨论函数的极值点个数值，通常转化为分离参数，转化为两函数图像交点的个数或两

函数相等时方程根的个数问题用导数分析其单调性，求最值，再数形结合分析交点个数或

方程根个数.

(3)证明不等式成立问题时可采用构造函数，找到不等式一边的最小值大于另一边，或最

大值小于另一边，即函数不等式恒成立问题.

19.(1)答案见解析

(2)①证明见解析；②存在；A=(W+Z?)2

2n

22

【分析】(1)设尸(尤)),由题意可得「+_J=1，结合椭圆、双曲线的标准方程即可

nn-m

求解；

(2)设点必),N(》2,%),"(%,力),其中乂>0,%>0且退=-孙%=-%.

(i)由/M//BN可知监4”三点共且忸=设JW'：x=ty+2y/2,联立C的方

_11

程，利用韦达定理表示乂+%,乂%，进而表示出+而I，结合(1)化简计算即可；由

\AJV1\D1\

,,(8—MM).忸N|I1(8一|5N|)・bM

椭圆的定义，由/M//TN得忸0JLi，AQ-ILiLI>进而表示出

\AQ\+\BQ\,化简计算即可；(ii)由⑴可知M4”三点共线，且忸N|=|4W［,设MM\

尤=57+加，联立C的方程，利用韦达定理表示乂计算化简可得

112〃

―2,结合由内切圆性质计算即可求解.

\AM\\BN\m—n

答案第14页，共18页

］（%一加）2+/m

【详解】（1）设点尸（尤/）,由题意可知U一—工，

X---

m

BP（x-m）2+y2=x-,

22

经化简，得。的方程为F=l,

nn—m

当机<〃时，曲线C是焦点在X轴上的椭圆；

当时，曲线C是焦点在x轴上的双曲线.

（2）设点M（X］，M）,N（X2/2），M'（X3，%）,其中%>0,%>0且x,=-％,%=-%，

22

⑴由（1）可知C的方程为标+'=1,/（20,0）,3（-2几0）,

因为AMUBN,所以£石=匚需==为二匚为’

因此，M,A,M'三点共线,且忸N|=卜+20+/=卜「20+⑶2）匕1,

（法一）设直线的方程为x=卬+2后，联立C的方程，得（/+2）必+46>-8=0,

则乂+%=_/2乂％=--^―>

13t2+23/+2

27216IV2lDAr,.彳“,|“6

D口J利|40|=丁X「募rp2%1?|1"1尸

卜加+卜一豹（

11\AM\+\BN\

AM,网

\\’—“一J

4一也，叫

4“--血,5+%、）21〃+2,

答案第15页，共18页

11_11_2+V2cos^2-A/2COS^_

所以|4W|+网一一4+4一

11

所以国+的为定值L

由椭圆定义忸。|+|。徵+1儿创=8,得|。叫=8-忸q-|/叫,

\AM\12M8-幽-［wI

AM/1BN,:.\~

忸M

（8-|/叫）.网(8-忸MblW

解得忸0|=同理可得|/。|=

\AM\+\BN\\AM\+\BN\

(8-忸(8-\AM1)mI8卜/N1)-2.1柳|

所以|40|+BQ|=

\AM\+\BN\\AM|+即I-\i.M\r^N\

=8----j--—j—=8—2=6

----------1---------.

\AM\忸N|

因为|/用=4近，所以“80的周长为定值6+4收.

22

（ii）当加〉〃时，曲线C的方程为鼻--二^=1，轨迹为双曲线,

nm—n

根据⑴的证明，同理可得监4”三点共线，且忸=

（法一）设直线2W的方程为尤=sy+%,联立C的方程,