专题07 三角形的有关计算与证明（讲练）-2024年中考数学冲刺复习讲练测（浙江新中考）（解析版）

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考点要求命题预测三角形的基础近几年浙江省数学中考中，三角形相关的考查主要集中在三角形的性质、三角形的边角关系、三角形的全等和相似等方面。选择题和填空题主要考查学生对三角形基本性质和定理的理解和应用，而解答题则更注重对学生综合应用能力和解题技巧的考查，同时，题目中也经常出现一些需要结合其他知识点进行综合应用的情况，增加了题目的难度和复杂性。因此，在备考过程中，学生需要充分理解三角形的性质和定理，熟练掌握相关的计算方法和证明技巧，同时还需要注重培养自己的逻辑思维能力和空间想象能力特殊三角形的性质与判定相似三角形一．选择题（共6小题）1．（2023•金华）在下列长度的四条线段中，能与长6cm，8cm的两条线段围成一个三角形的是（）A．1cm B．2cm C．13cm D．14cm【答案】C【解析】解：设第三条线段长为xcm，由题意得：8﹣6＜x＜8+6，解得：2＜x＜14，只有13cm适合，故选：C．2．（2023•丽水）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝45°，以AB为腰作等腰直角三角形BAE，顶点E恰好落在CD边上，若AD＝1，则CE的长是（）A． B． C．2 D．1【答案】A【解析】解：如图，过点A作AF⊥BC于F，过点E作GH⊥BC于H，交AD的延长线于G，则∠AFB＝∠CHE＝90°，∴AF∥GH，∵AD∥BC，∠AFH＝90°，∴四边形AFHG是矩形，∴∠G＝∠AFH＝∠FHG＝∠FAG＝90°，∵△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝AE，∠BAE＝90°，∵∠FAG＝∠BAE，∴∠BAF＝∠EAG，∵∠AFB＝∠G＝90°，∴△AFB≌△AGE（AAS），∴AF＝AG，∴矩形AFHG是正方形，∴AG＝GH，∵AG∥BC，∴∠C＝∠EDG＝45°，∴△CHE和△DGE是等腰直角三角形，∴DG＝EG，CH＝EH，∴AD＝EH＝1，∴CH＝1，由勾股定理得：CE＝＝．解法二：如图2，过点E作EF⊥CD，交BC于F，∵∠C＝45°，∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝CE，∠CFE＝45°，∴∠BFE＝180°﹣45°＝135°，∵∠CFE＝∠FBE+∠BEF＝45°，∠AED+∠BEF＝90°﹣45°＝45°，∴∠AED＝∠FBE，∵△ABE是等腰直角三角形，∴＝，∵AD∥BC，∴∠C+∠D＝180°，∴∠D＝180°﹣45°＝135°，∴∠D＝∠BFE，∴△ADE∽△EFB，∴＝＝，∵AD＝1，∴EF＝，∴CE＝EF＝．故选：A．3．（2023•浙江）如图，点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，PE∥AC交BC于点E，DF∥BC交EP于点F．若四边形CDFE的面积为6，则△ABC的面积为（）A．12 B．14 C．18 D．24【答案】C【解析】解：如图，连接BD．∵点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，∴P在BD上，S△ABC＝2S△BDC，∴BP：PD＝2：1，∵DF∥BC，∴△DFP∽△BEP，∴＝，∵EF∥AC，∴△BEP∽△BCD，∴＝（）2＝（）2＝，设△DFP的面积为m，则△BEP的面积为4m，△BCD的面积为9m，∵四边形CDFE的面积为6，∴m+9m﹣4m＝6，∴m＝1，∴△BCD的面积为9，∴△ABC的面积是18．故选：C．4．（2023•衢州）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角∠O的大小，需将∠O转化为与它相等的角，则图中与∠O相等的角是（）A．∠BEA B．∠DEB C．∠ECA D．∠ADO【答案】B【解析】解：由示意图可知：△DOA和△DBE都是直角三角形，∴∠O+∠ADO＝90°，∠DEB+∠ADO＝90°，∴∠DEB＝∠O，故选：B．5．（2022•金华）如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：将圆柱侧面沿AC“剪开”，侧面展开图为矩形，∵圆柱的底面直径为AB，∴点B是展开图的一边的中点，∵蚂蚁爬行的最近路线为线段，∴C选项符合题意，故选：C．6．（2022•丽水）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB＝3，则线段BC的长是（）A． B．1 C． D．2【答案】C【解析】解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，则＝，即＝2，解得：BC＝，故选：C．7．（2023•衢州）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆，AB＝b，AB的最大仰角为α．当∠C＝45°时，则点A到桌面的最大高度是（）A． B． C．a+bcosα D．a+bsinα【答案】D【解析】解：如图，过点A作AF⊥BE于F，过点B作BG⊥CD于G，在Rt△ABF中，AF＝AB•sinα＝bsinα，在Rt△BCG中，BG＝BC•sin45°＝a×＝a，∴点A到桌面的最大高度＝BG+AF＝a+bsinα，故选：D．二．填空题（共6小题）8．（2023•金华）如图，把两根钢条OA，OB的一个端点连在一起，点C，D分别是OA，OB的中点，若CD＝4cm，则该工件内槽宽AB的长为8cm．【答案】8．【解析】解：∵点C，D分别是OA，OB的中点，∴CD是△AOB的中位线，∴AB＝2CD，∵CD＝4cm，∴AB＝2CD＝8（cm），故答案为：8．9．（2023•丽水）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB．若AB＝4，则DC的长是4．【答案】4．【解析】解：∵∠B＝∠ADB，AB＝4，∴AD＝AB＝4，∵DE是AC的垂直平分线，∴DC＝AD＝4，故答案为：4．10．（2023•台州）如图，点C，D在线段AB上（点C在点A，D之间），分别以AD，BC为边向同侧作等边三角形ADE与等边三角形CBF，边长分别为a，b，CF与DE交于点H，延长AE，BF交于点G，AG长为c．（1）若四边形EHFG的周长与△CDH的周长相等，则a，b，c之间的等量关系为5a+5b＝7c；（2）若四边形EHFG的面积与△CDH的面积相等，则a，b，c之间的等量关系为a2+b2＝c2．【答案】（1）5a+5b＝7c；（2）a2+b2＝c2．【解析】解：（1）∵△ADE和△CBF是等边三角形，∴∠A＝∠ADE＝∠B＝∠BCF＝60°，∴△CDH和△ABG是等边三角形，DE∥BG，CF∥AG，∴四边形EHFG是平行四边形，AB＝AG＝BG＝c，CH＝DH＝CD＝AD+BC﹣AB＝a+b﹣c，∴EG＝AG﹣AE＝c﹣a，GF＝BG﹣BF＝c﹣b，∵四边形EHFG的周长与△CDH的周长相等，∴2[（c﹣a）+（c﹣b）]＝3（a+b﹣c），整理得：5a+5b＝7c，故答案为：5a+5b＝7c；（2）∵S四边形EHFG＝S△ABG﹣S△BCF﹣S△ADE+S△CDH，四边形EHFG的面积与△CDH的面积相等，∴S△ABG﹣S△BCF﹣S△ADE+S△CDH＝S△CDH，∴S△ABG＝S△BCF+S△ADE，∵△ABG，△ADE和△CBF是等边三角形，∴c2＝a2+b2，∴c2＝a2+b2，故答案为：a2+b2＝c2．11．（2023•湖州）某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架（EF）放在离树（AB）适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架（EF）上的点E处，然后沿着直线BF后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量BF，DF，EF，观测者目高（CD）的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知CD⊥BD于点D，EF⊥BD于点F，AB⊥BD于点B，BF＝6米，DF＝2米，EF＝0.5米，CD＝1.7米，则这棵树的高度（AB的长）是4.1米．【答案】见试题解答内容【解析】解：过点E作水平线交AB于点G，交CD于点H，如图，∵DB是水平线，CD，EF，AB都是铅垂线，∴DH＝EF＝GB＝0.5米，EH＝DF＝2米，EG＝FB＝6米，∴CH＝CD﹣DH＝1.7﹣0.5＝1.2（米），又根据题意，得∠CHE＝∠AGE＝90°，∠CEH＝∠AEG，∴△CHE∽△AGE，∴，即，解得：AG＝3.6米，∴AB＝AG+GB＝3.6+0.5＝4.1（米）．故答案为：4.1．12．（2023•衢州）下面是勾股定理的一种证明方法：图1所示纸片中，∠ACB＝90°（AC＜BC），四边形ACDE，CBFG是正方形．过点C，B将纸片CBFG分别沿与AB平行、垂直两个方向剪裁成四部分，并与正方形ACDE，△ABC拼成图2．（1）若cos∠ABC＝，△ABC的面积为16，则纸片Ⅲ的面积为9．（2）若，则＝．【答案】（1）9；（2）．【解析】解：（1）在图1中，过C作CM⊥AB于M，如图：∵CT∥AB，∴∠ABC＝∠BCT，∵cos∠ABC＝，∴cos∠BCT＝，即＝，∴CT＝BC，∵∠ACM＝90°﹣∠BCM＝∠ABC，∴cos∠ACM＝cos∠ABC＝，即＝，∴CM＝AC，∴CT•CM＝BC•AC＝BC•AC，∵△ABC的面积为16，∴BC•AC＝16，∴BC•AC＝32，∴CT•CM＝18，∴纸片Ⅲ的面积为CT•BT＝CT•CM＝9；故答案为：9；（2）如图：∵＝，∴＝，设NT＝19t，则BT＝15t，BN＝34t，∵∠FBN＝90°﹣∠CBN＝∠BCW，BF＝BC，∠BFN＝∠CBW＝90°，∴△BFN≌△CBW（ASA），∴BN＝CW＝34t，∵∠BCT＝∠WBT，∠BTC＝∠WTB＝90°，∴△BCT∽△WBT，∴＝，∴CT•WT＝BT2，∴CT•（34t﹣CT）＝（15t）2，解得CT＝9t或CT＝25t，当CT＝9t时，WT＝25t，这情况不符合题意，舍去；当CT＝25t时，WT＝9t，而BK＝CT，AK＝WT，∴＝．故答案为：．13．（2022•温州）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA，OB，此时各叶片影子在点M右侧成线段CD，测得MC＝8.5m，CD＝13m，垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2：3，则点O，M之间的距离等于10米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于（10+）米．【答案】10，（10+）．【解析】解：解法一：如图，过点O作OP∥BD，交MG于P，过P作PN⊥BD于N，则OB＝PN，∵AC∥BD，∴AC∥OP∥BD，∴＝，∠EGF＝∠OPM，∵OA＝OB，∴CP＝PD＝CD＝6.5，∴MP＝CM+CP＝8.5+6.5＝15，tan∠EGF＝tan∠OPM，∴＝＝，∴OM＝×15＝10；∵DB∥EG，∴∠EGF＝∠NDP，∴sin∠EGF＝sin∠NDP，即＝，∴OB＝PN＝，以点O为圆心，OA的长为半径作圆，当OB与OM共线时，叶片外端离地面的高度最大，其最大高度等于（10+）米．解法二：如图，设AC与OM交于点H，过点C作CN⊥BD于N，∵HC∥EG，∴∠HCM＝∠EGF，∵∠CMH＝∠EFG＝90°，∴△HMC∽△EFG，∴＝＝，即＝，∴HM＝，∵BD∥EG，∴∠BDC＝∠EGF，∴tan∠BDC＝tan∠EGF，∴＝＝，设CN＝2x，DN＝3x，则CD＝x，∴x＝13，∴x＝，∴AB＝CN＝2，∴OA＝OB＝AB＝，在Rt△AHO中，∵∠AHO＝∠CHM，∴sin∠AHO＝＝，∴＝，∴OH＝，∴OM＝OH+HM＝+＝10（米），以点O为圆心，OA的长为半径作圆，当OB与OM共线时，叶片外端离地面的高度最大，其最大高度等于（10+）米．故答案为：10，（10+）．三．解答题（共7小题）14．（2023•衢州）已知：如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面四个条件：①AB＝DE；②AC＝DF；③BE＝CF；④∠ABC＝∠DEF．（1）请选择其中的三个条件，使得△ABC≌△DEF（写出一种情况即可）．（2）在（1）的条件下，求证：△ABC≌△DEF．【答案】（1）选择的三个条件是：①②③，或者选择的三个条件是：①③④；（2）证明见解析过程．【解析】解：（1）由题知，选择的三个条件是：①②③；或者选择的三个条件是：①③④．证明：（2）当选择①②③时，∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF．在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）．当选择①③④时，∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF．在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．15．（2023•金华）如图，为制作角度尺，将长为10，宽为4的矩形OABC分割成4×10的小正方形网格，在该矩形边上取点P，来表示∠POA的度数，阅读以下作图过程，并回答下列问题：作法（如图）结论①在CB上取点P1，使CP1＝4．∠P1OA＝45°，点P1表示45°．②以O为圆心，8为半径作弧，与BC交于点P2．∠P2OA＝30°，点P2表示30°．③分别以O，P2为圆心，大于OP2长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，连接EF与BC相交于点P3．…④以P2为圆心，OP2的长为半径作弧，与射线CB交于点D，连结OD交AB于点P4．…（1）分别求点P3，P4表示的度数．（2）用直尺和圆规在该矩形的边上作点P5，使该点表示37.5°（保留作图痕迹，不写作法）．【答案】（1）点P3表示60°，点P4表示15°；（2）见解析．【解析】解：①∵四边形OABC是矩形，∴BC∥OA，∴∠OP2C＝∠P2OA＝30°，由作图可知，EF是OP2的中垂线，∴OP3＝P3P2；∴∠P3OP2＝∠P3P2O＝30°，∴∠P3OA＝∠P3OP2+∠P2OA＝60°，∴点P3表示60°；②作图可知，P2D＝P2O，∴∠P2OD＝∠P2DO，∵CB∥OA，∴∠P2DO＝∠DOA；∴，∴点P4表示15°；答：点P3表示60°，点P4表示15°；（2）作∠P3OP4的角平分线交BC于P5，点P5即为所求作的点，如图：∵点P3表示60°，点P4表示15°，∴∠P3OP4＝60°﹣15°＝45°，∴∠P3OP4+∠P4OA＝22.5°+15°＝37.5°，∴P5表示37.5°．16．（2023•湖州）【特例感知】（1）如图1，在正方形ABCD中，点P在边AB的延长线上，连结PD，过点D作DM⊥PD，交BC的延长线于点M．求证：△DAP≌△DCM．【变式求异】（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AB上，过点D作DQ⊥AB，交AC于点Q，点P在边AB的延长线上，连结PQ，过点Q作QM⊥PQ，交射线BC于点M．已知BC＝8，AC＝10，AD＝2DB，求的值．【拓展应用】（3）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点P在边AB的延长线上，点Q在边AC上（不与点A，C重合），连结PQ，以Q为顶点作∠PQM＝∠PBC，∠PQM的边QM交射线BC于点M．若AC＝mAB，CQ＝nAC（m，n是常数），求的值（用含m，n的代数式表示）．【答案】（1）证明见解答过程；（2）；（3）．【解析】（1）证明：在正方形ABCD中，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝DC，∴∠DCM＝180°﹣∠BCD＝90°，∴∠A＝∠DCM，∵DM⊥PD，∴∠ADP+∠PDC＝∠CDM+∠PDC＝90°，∴∠ADP＝∠CDM，在△DAP和△DCM中，，∴△DAP≌△DCM（ASA）；（2）解：如图2，作QN⊥BC于点N，∵∠ABC＝90°，DQ⊥AB，QN⊥BC，∴四边形DBNQ是矩形，∴∠DQN＝90°，QN＝DB，∵QM⊥PQ，∴∠DQP+∠PQN＝∠MQN+∠PQN＝90°，∴∠DQP＝∠MQN，∵∠QDP＝∠QNM＝90°，∴△DQP∽△NQM，∴，∵BC＝8，AC＝10，∠ABC＝90°，∴，∵AD＝2DB，∴DB＝2，∵∠ADQ＝∠ABC＝90°，∴DQ∥BC，∴△ADQ∽△ABC，∴，∴，∴；（3）解：∵AC＝mAB，CQ＝nAC，∴CQ＝mnAB，∴AQ＝AC﹣CQ＝（m﹣mn）AB，∵∠BAC＝90°，∴，如图3，作QN⊥BC于点N，∵∠BAC+∠ABN+∠BNQ+∠AQN＝360°，∠BAC＝90°，∴∠ABN+∠AQN＝180°，∵∠ABN+∠PBN＝180°，∴∠AQN＝∠PBN，∵∠PQM＝∠PBC，∴∠PQM＝∠AQN，∴∠AQP＝∠NQM，∵∠A＝∠QNM＝90°，∴△QAP∽△QNM，∴，∵∠A＝∠QNC＝90°，∠QCN＝∠BCA，∴△QCN∽△BCA，∴，∴，∴．17．（2023•温州）如图1，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆于点D，BE⊥CD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知OA＝，AC＝1．如图2，连结AF，P为线段AF上一点，过点P作BC的平行线分别交CE，BE于点M，N，过点P作PH⊥AB于点H．设PH＝x，MN＝y．（1）求CE的长和y关于x的函数表达式；（2）当PH＜PN，且长度分别等于PH，PN，a的三条线段组成的三角形与△BCE相似时，求a的值；（3）延长PN交半圆O于点Q，当NQ＝x﹣3时，求MN的长．【答案】（1）CE＝，y＝﹣x+4；（2）a的值为或或；（3）MN的长为．【解析】解：（1）如图1，连接OD，∵CD切半圆O于点D，∴OD⊥CE，∵OA＝，AC＝1，∴OC＝，BC＝4，∴CD＝＝2，∵BE⊥CE，∴OD∥BE，∴，∴，∴CE＝，如图2，∵∠AFB＝∠E＝90°，∴AF∥CE，∴MN∥CB，∴四边形APMC是平行四边形，∴CM＝PA＝＝＝＝x，∵NM∥BC，∴△BCE∽△NME，∴，∴＝，∴y＝﹣x+4；（2）∵PN＝y﹣1＝﹣x+4﹣1＝﹣x+3，PH＜PN，△BCE的三边之比为3：4：5，∴可分为三种情况，当PH：PN＝3：5时，x＝﹣x+3，解得：x＝，∴a＝x＝，当PH：PN＝4：5时，x＝﹣x+3，解得：x＝，∴a＝x＝，当PH：PN＝3：4时，x＝﹣x+3，解得：x＝，∴a＝x＝，综上所述：a的值为或或；（3）如图3，连接AQ，BQ，过点Q作QG⊥AB于点G，则∠AQB＝∠AGQ＝90°，PH＝QG＝x，∴∠QAB＝∠BQG，∵NQ＝x﹣3，PN＝y﹣1＝﹣x+3，∴HG＝PQ＝NQ+PN＝x，∵AH＝x，∴AG＝AH+HG＝3x，∴tan∠BQG＝tan∠QAB＝＝＝，∴BG＝QG＝x，∴AB＝AG+BG＝x＝3，∴x＝，∴y＝﹣x+4＝，∴MN的长为．18．（2022•杭州）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形，＝．（1）若AB＝8，求线段AD的长．（2）若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．【答案】（1）2；（2）6．【解析】解：（1）∵四边形BFED是平行四边形，∴DE∥BF，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∵AB＝8，∴AD＝2；（2）∵△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∵△ADE的面积为1，∴△ABC的面积是16，∵四边形BFED是平行四边形，∴EF∥AB，∴△EFC∽△ABC，∴＝（）2＝，∴△EFC的面积＝9，∴平行四边形BFED的面积＝16﹣9﹣1＝6．19．（2022•宁波）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF＝CF，AF交DE于点G，求证：DG＝EG．【尝试应用】（2）如图2，在（1）的条件下，连结CD，CG．若CG⊥DE，CD＝6，AE＝3，求的值．【拓展提高】（3）如图3，在▱ABCD中，∠ADC＝45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∥BD交AD于点G，EF⊥EG交BC于点F．若∠EGF＝40°，FG平分∠EFC，FG＝10，求BF的长．【答案】（1）证明见解答过程；（2）；（3）5+5．【解析】（1）证明：∵DE∥BC，∴△AGD∽△AFB，△AFC∽△AGE，∴＝，＝，∴＝，∵BF＝CF，∴DG＝EG；（2）解：∵DG＝EG，CG⊥DE，∴CE＝CD＝6，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝＝；（3）解：延长GE交AB于M，连接MF，过点M作MN⊥BC于N，∵四边形ABCD为平行四边形，∴OB＝OD，∠ABC＝∠ADC＝45°，∵MG∥BD，∴ME＝GE，∵EF⊥EG，∴FM＝FG＝10，在Rt△GEF中，∠EGF＝40°，∴∠EFG＝90°﹣40°＝50°，∵FG平分∠EFC，∴∠GFC＝∠EFG＝50°，∵FM＝FG，EF⊥GM，∴∠MFE＝∠EFG＝50°，∴∠MFN＝30°，∴MN＝MF＝5，∴NF＝＝5，∵∠ABC＝45°，∴BN＝MN＝5，∴BF＝BN+NF＝5+5．20．（2023•绍兴）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱OA垂直地面OB，支架CD与OA交于点A，支架CG⊥CD交OA于点G，支架DE平行地面OB，篮筐EF与支架DE在同一直线上，OA＝2.5米，AD＝0.8米．∠AGC＝32°．（1）求∠GAC的度数；（2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）【答案】（1）∠GAC的度数为58°；（2）该运动员能挂上篮网，理由见解答．【解析】解：（1）∵CG⊥CD，∴∠ACG＝90°，∵∠AGC＝32°，∴∠GAC＝90°﹣∠AGC＝90°﹣32°＝58°，∴∠GAC的度数为58°；（2）该运动员能挂上篮网，理由如下：延长OA，ED交于点M，∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∵DE∥OB，∴∠DMA＝∠AOB＝90°，∵∠GAC＝58°，∴∠DAM＝∠GAC＝58°，∴∠ADM＝90°﹣∠DAM＝32°，在Rt△ADM中，AD＝0.8米，∴AM＝AD•sin32°≈0.8×0.53＝0.42（米），∴OM＝OA+AM＝2.5+0.424＝2.924（米），∵2.924米＜3米，∴该运动员能挂上篮网．考点一三角形的基础题型01三角形的三边关系三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．推论：三角形的两边之差小于第三边．【解题技巧】1）判断三条已知线段能否组成三角形，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形．2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|＜c＜a＋b3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形．1．（2023•衢江区三模）已知一个三角形的两边长分别为1和2，则第三边的长可以是（）A．1 B．2 C．3 D．3.5【答案】B【解析】解：设第三边的长为l，则2﹣1＜l＜2+1，即1＜l＜3，所以只有2适合，故选：B．2．（2023•淳安县一模）袁老师在课堂上组织学生用小棍摆三角形，小棍的长度有8cm，7cm，13cm和15cm四种规格，小朦同学已经取了8cm和7cm两根木棍，那么第三根木棍不可能取（）A．15cm B．13cm C．8cm D．7cm【答案】A【解析】解：设第三根木棍的长为xcm，则8﹣7＜x＜8+7，即1＜x＜15，∴第三根木棍不可能取15cm，故选：A．题型02与三角形有关的线段的综合问题三角形有关的线段的性质：高（AD）中线（AD）角平分线（AD）中位线（DE）∠ADB=∠ADC=90°BD=CD，S△ABD=S△ADCC∠BAD=∠DAC=12AD=DBAE=ECDE=12BC1．（2024•拱墅区一模）王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段AD应该是△ABC的（）A．角平分线 B．中线 C．高线 D．以上都不是【答案】B【解析】解：由三角形的面积公式可知，三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分，∴他所作的线段AD应该是△ABC的中线，故选：B．2．（2023•西湖区校级模拟）如图图形中，作△ABC的边BC上的高，正确的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：A、图形中，AD是△ABC的BC边上的高，本选项符合题意；B、图形中，不能表示△ABC的BC边上的高，本选项不符合题意；C、图形中，不能表示△ABC的BC边上的高，本选项不符合题意；D、图形中，不能表示△ABC的BC边上的高，本选项不符合题意；故选：A．题型03三角形内角和定理与外角和定理综合问题三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．推论：直角三角形的两个锐角互余.三角形的内角和定理的应用：1)在三角形中,已知两个内角的度数,可以求出第三个内角的度数；2)在三角形中,已知三个内角的比例关系,可以求出三个内角的度数；3)在直角三角形中,已知一个锐角的度数,可以求出另一个锐角的度数.三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°．三角形的外角和的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．1．（2024•浙江模拟）如图，直线l与直线a，b分别相交于点A，B，点C在直线b上，若a∥b，CA＝CB，∠2＝74°，则∠1的度数为（）A．74° B．37° C．32° D．16°【答案】C【解析】解：∵a∥b，∠2＝74°，∴∠CBA＝∠2＝74°，∵CA＝CB，∴∠1＝180°﹣74°﹣74°＝32°，故选：C．2．（2023•丽水模拟）如图，小明用一副三角板拼成一幅“帆船图”，∠E＝45°，∠B＝30°，AC∥EF，CA＝CF，连结AF，则∠BAF的度数是（）A．127.5° B．135° C．120° D．105°【答案】A【解析】解：∵∠D＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠B＝30°，∴∠DFE＝45°，∠BAC＝60°，∵AC∥EF，∴∠ACF＝∠DFE＝45°，∵CA＝CF，∴∠CAF＝∠CFA＝×（180°﹣∠ACF）＝67.5°，∴∠BAF＝∠BAC+∠CAF＝127.5°，故选：A3．（2023•杭州二模）如图所示，将含角45°的直角三角板与含60°角的直角三角板叠放在一起，若∠1＝70°，则∠2的度数为（）A．85° B．60° C．50° D．95°【答案】D【解析】解：如图，∵∠1＝70°，∴∠3＝180°﹣60°﹣∠1＝50°，∵∠4＝45°，∴∠2＝∠3+∠4＝50°+45°＝95°，故选：D．4．（2023•临平区校级二模）如图，在△ABC中，以点B为圆心，AB为半径画弧交BC于点D，以点C为圆心，AC为半径画弧交BC于点E，连接AE，AD．设∠EAD＝α，∠ACB＝β，则∠B的度数为（）A．α﹣ B．2α﹣β C．α+ D．3α﹣β【答案】B【解析】解：由题意得：BA＝BD，CA＝CE，∵CA＝CE，∠ACB＝β，∴＝，在△AED中，∠ADE＝180°﹣∠AED﹣∠EAD＝180°﹣＝90°+，∵BA＝BD，∴，在△BAD中，＝2α﹣β．故选：B．5．（2024•镇海区校级一模）如图，在△ABC中，D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，已知DE∥BC且DB＝DE．（1）求证：BE是△ABC的角平分线；（2）若∠A＝65°，∠C＝45°，求∠AEB的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）80°．【解析】（1）证明：∵DE∥BC，∴∠DEB＝∠CBE，∵DB＝DE，∴∠DBE＝∠DEB，∴∠CBE＝∠DBE，∴BE是△ABC的角平分线；（2）解：∵∠A＝65°，∠C＝45°，∴∠ABC＝70°，∵BE是△ABC的角平分线，∴∠ABE＝35°，∴∠AEB＝180°﹣∠A﹣∠ABE＝80°．6．（2023•新昌县模拟）在△ABC中，BA＝BC，在射线BC上取点D，E，且BD＜BE，作△ADE，使DA＝DE．（1）如图，当点D在线段BC上时，且∠BAD＝30°．①若∠B＝40°，求∠EAC的度数；②若∠B≠40°，求∠EAC的度数；（2）当点D在BC延长线上时，猜想∠BAD与∠EAC的数量关系并说明理由．【答案】（1）①15°；②15°；（2）∠BAD＝2∠EAC，见证明．【解析】解：（1）①∵∠BAD＝30°，∠B＝40°，∴∠ADE＝70°，∵DA＝DE，∴∠DEA＝55°，∵∠B＝40°，BA＝BC，∴∠BCA＝70°，∴∠EAC＝∠BCA﹣∠DEA＝15°，②∠B≠40°时，设∠B＝a，∵∠BAD＝30°，∴∠ADE＝30°+α，∵DA＝DE，∴∠DEA＝＝，∵∠B＝a，BA＝BC，∴∠BCA＝，∴∠EAC＝∠BCA﹣∠DEA＝＝15°；（2）∠BAD＝2∠EAC，理由如下：作图如图2，设∠B＝a，∠BAD＝β，∴∠ADE＝α+β，∵DA＝DE，∴∠DEA＝，∵∠B＝a，BA＝BC，∴∠BCA＝，∴∠EAC＝∠BCA﹣∠DEA＝＝，∴∠BAD＝2∠EAC．考点二特殊三角形的性质与判定题型01线段垂直平分线的性质与判定垂直平分线的概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）.性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.解题技巧：对于含有垂直平分线的题目，首先考虑将垂直平分线上的点与线段两端点连接起来1．（2023•临安区一模）在Rt△ABC中，∠A＝90°，以C为圆心，适当长为半径画弧交BC，AC于D，E两点，分别以D，E为圆心，大于长为半径画弧交于M点，作射线CM交AB1于K点．以K为圆心，CK为半径画弧交射线CM于H点，分别以C，H为圆心，大于为半径画弧交于N，L，作直线NL交BC于G，AC＝4，CG＝5，则GK＝（）A． B． C．3 D．【答案】A【解析】解：由作法得CK平分∠ACB，NL⊥CH，∴∠ACK＝∠BCK，∠CKG＝90°，∵∠A＝∠CKG，∠ACK＝∠GCK，∴△ACK∽△KCG，∴AC：CK＝CK：CG，即4：CK＝CK：5，解得CK＝2，在Rt△CKG中，KG＝＝＝．故选：A．2．（2023•西湖区校级二模）如图，△ABC中，∠BAC＝70°，AB的垂直平分线与∠BAC的角平分线交于点O，则∠ABO的度数为（）A．35° B．30° C．25° D．20°【答案】A【解析】解：∵AO平分∠BAC，∴，∵OD垂直平分AB，∴OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝35°，故选：A．3．（2023•宁波模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，CD，若BC＝5，CD＝6.5，则△BCE的周长为（）A．17 B．18 C．19 D．20【答案】A【解析】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，AD＝DB，在Rt△ABC中，AD＝DB，CD＝6.5，∴AB＝2CD＝13，∴AC＝＝＝12，∴△BCE的周长＝BC+CE+BE＝BC+CE+EA＝BC+AC＝17，故选：A．题型02角平分线的性质与判定角平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．角平分线的判定定理：角的内部，与角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．解题技巧：看到角平分线的题目，可考虑作“两垂线”1．（2023•椒江区一模）点P在∠ABC的平分线上，点P到BA边的距离等于3，点D是BC边上的任意一点，则下列选项正确的是（）A．PD＞3 B．PD≥3 C．PD＜3 D．PD≤3【答案】B【解析】解：∵点P在∠ABC的平分线上，点P到BA边的距离等于3，∴点P到BC边的距离等于3，∵点D是BC边上的任意一点，∴PD≥3，故选：B．2．（2023•舟山模拟）如图，AE，BE，CE分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，ED⊥BC于点D，ED＝3，△ABC的面积为36，则△ABC的周长为（）A．48 B．36 C．24 D．12【答案】C【解析】解：过点E作EF⊥AB，垂足为F，过点E作EG⊥AC，垂足为G，∵BE平分∠ABC，ED⊥BC，EF⊥AB，∴EF＝ED＝3，∵CE平分∠ACB，ED⊥BC，EG⊥AC，∴ED＝EG＝3，∴△ABC的面积＝△ABE的面积+△BEC的面积+△AEC的面积＝，∴AB+BC+AC＝24，即△ABC的周长为24．故选：C．3．（2023•鹿城区校级模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝9，DC＝AC，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】解：如图，过点D作DH⊥AB，垂足为H，∵AC＝9，DC＝AC，∴DC＝3，∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，DH⊥AB，∴CD＝DH＝3，∴点D到AB的距离等于3，故选：B4．（2023•滨江区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．（1）若∠C＝32°，求∠A的度数．（2）画∠ABC的平分线BD交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E．若AB＝3，BC＝4，求DE的长．（画图工具不限）【答案】（1）58°；（2）．【解析】解：（1）由题意得，∠A＝90°﹣∠C．∵∠C＝32°，∴∠A＝90°﹣32°＝58°．即∠A＝58°．（2）如图，∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°．又∠ABC＝90°，∴∠AED＝∠ABC．∴ED∥BC．∴△AED∽△ABC．∴．∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠ABC＝45°．又∵DE⊥AB，∴∠EBD＝∠EDB＝45°．∴EB＝ED．设ED＝x，∴EB＝ED＝x．∴AE＝AB﹣ED＝3﹣x．∴．∴x＝．∴DE＝．题型03等腰三角形的性质与判定等腰三角形性质：1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）.等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.1．（2023•桐乡市一模）若等腰△ABC的一个外角等于130°，则该三角形的顶角等于（）A．50° B．80° C．65°或80° D．50°或80°【答案】D【解析】解：①当130°外角是底角的外角时，底角为：180°﹣130°＝50°，∴顶角度数是180°﹣50°﹣50°＝80°；②当130°外角是顶角的外角时，顶角为：180°﹣130°＝50°，∴顶角为50°或80°．故选：D．2．（2023•秀洲区校级二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，，D在AC上，且∠APD＝∠B，则CD的长是（）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】解：∵，∴BC＝3BP＝6，∴CP＝BC﹣BP＝6﹣2＝4，∵AB＝AC＝9，∴∠B＝∠C，∴∠BAP+∠APB＝180°﹣∠B，∵∠APD＝∠B，∴∠APB+∠DPC＝180°﹣∠APD＝180°﹣∠B，∴∠DPC＝∠BAP，∴△ABP∽△PCD，∴，∴，∴，故选：D．3．（2023•西湖区校级二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BA延长线上一点，且ED⊥BC交AC于点F．（1）求证：△AEF是等腰三角形；（2）若AB＝13，EF＝12，F为AC中点，求BC的长．【答案】见试题解答内容【解析】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵ED⊥BC，∴∠EDB＝∠EDC＝90°，∴∠E+∠B＝90°，∠C+∠DFC＝90°，∴∠E＝∠DFC，∵∠DFC＝∠EFA，∴∠EFA＝∠E，∴AE＝AF，∴△AEF为等腰三角形；（2）解：过点A作AG⊥ED于点G，AH⊥BC于H，如图所示：∵AE＝AF，AG⊥ED，EF＝12，∴FG＝GE＝EF＝6，∵F为AC中点，∴AF＝FC＝AC＝AB＝，在△AFG与△CFD中，，∴△AFG≌△CFD（AAS），∴DF＝FG＝6，∴AH＝2DF＝12，∴BH＝＝5，∴BC＝2BH＝10，题型04等边三角形的性质与判定等边三角形的性质：1）等边三角形的三条边相等.2）三个内角都相等，并且每个内角都是60°.等边三角形的判定：1）三边相等或三个内角都相等的三角形是等边三角形.2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.1．（2023•东阳市三模）如图，直线a∥b，等边△ABC的顶点C在直线b上，若∠1＝42°，则∠2的度数为（）A．92° B．102° C．112° D．114°【答案】B【解析】解：如图：AB，AC分别交直线a于点D，E，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，又∵∠ADE＝∠1＝42°，∴∠DEC＝∠ADE+∠A＝102°，又∵a∥b，∴∠2＝∠DEC＝102°．故选：B．2．（2023•西湖区校级三模）如图，已知△ABC是等边三角形，AB＝6，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，BD：BE＝2：3，DE同时平分∠BEF和∠BDF，则＝，BD的长是．【答案】；．【解析】解：∵DE平分∠BEF和∠BDF，∴∠BED＝∠FED，∠BDF＝∠FDE，∵DE＝DE，∴△BDE≌△FDE（ASA），∴FD＝BD，BE＝FE，∠DFE＝∠B，∵BD：BE＝2：3，∴＝＝；设BD＝2x，BE＝3x，∴FD＝2x，FE＝3x，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝6，∠B＝∠A＝∠C＝60°，∴AD＝6﹣2x，CE＝6﹣3x，∵∠DFE+∠EFC＝∠A+∠ADF，∴∠EFC＝∠ADF，∵∠C＝∠A，∴△ADF∽△CFE，∴＝＝，∴＝＝，∴CF＝9﹣3x，AF＝4﹣2x，∵CF+AF＝AC＝6，∴9﹣3x+4﹣2x＝6，∴x＝，∴BD＝2x＝．故答案为：；．3．（2023•绍兴模拟）已知，如图，AB＝8，P为线段AB上的一个动点，以PB为边作等边三角形PBC，在射线PC上取PD＝PA，连接AD，BC，M，N分别是AD，BC的中点，当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离的最小值为．【答案】2．【解析】解：连接PM、PN，∵△PBC是等边三角形，∴∠CPB＝60°，∴∠APC＝120°，∵PD＝PA，∴∠A＝30°，∵M，N分别是对角线AD，BC的中点，∴∠CPM＝∠APC＝60°，∠CPN＝∠CPB＝30°，∴∠MPN＝60°+30°＝90°，设PA＝2a，则PB＝8﹣2a，∴PM＝a，BN＝PB＝4﹣a，∴PN＝（4﹣a），∴MN＝＝＝＝，∴a＝3时，MN有最小值，最小值为2，故答案为：2．4．（2023•安吉县模拟）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是6．【答案】见试题解答内容【解析】解：∵等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点，∴EF＝2，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，又∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，∴△DEF是等边三角形，∴剪下的△DEF的周长是2×3＝6．故答案为：6．题型05全等三角形的性质与判定判定两个三角形全等常用的思路方法如下：2．找等角的常用方法证三角形全等时，常见的隐含等角有（1）公共角；（2）对顶角相等；（3）等角加（或减）等角仍得等角；（4）角平分线得两等角；（5）同角（或等角）的余角或补角相等；（6）平行线得同位角、内错角相等；（7）垂直定义得两角相等；（8）一些自然规律：“太阳光线可以看作是平行线”“光的入射角等于反射角”等也是常见的隐含条件．3．根据对应顶点的字母写在对应位置上准确确定出全等三角形的对应边和对应角是解题关键．4．全等三角形的性质（1）全等三角形性质的应用：可用来证明两条线段相等，两个角相等．（2）平移、折叠、旋转属于全等变换，都能产生全等图形，利用全等的性质得到对应边相等、对应角相等解决问题．1．（2023•金东区二模）如图，点B，E，C，F共线，AB∥DE，∠A＝∠D，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（）A．AB＝DE B．∠ACB＝∠F C．BE＝CF D．AC＝DF【答案】B【解析】解：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF．A、由∠B＝∠DEF，∠A＝∠D，AB＝DE可以判定△ABC≌△DEF（ASA），不符合题意；B、由∠B＝∠DEF，∠A＝∠D，∠ACB＝∠F不可以判定△ABC≌△DEF（AAA），符合题意；C、由∠B＝∠DEF，∠A＝∠D，BE＝CF可以判定△ABC≌△DEF（AAS），不符合题意；D、由∠B＝∠DEF，∠A＝∠D，AC＝DF可以判定△ABC≌△DEF（AAS），不符合题意；故选：B．2．（2023•义乌市校级模拟）如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL【答案】B【解析】解：在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC（SAS），故选：B．3．（2024•宁波一模）如图，在三角形ABC中，过点B，A作BD⊥AC，AE⊥BC，BD，AE交于点F，若∠BAC＝45°，AD＝5，CD＝2，则线段BF的长度为（）A．2 B． C．3 D．【答案】C【解析】解：∵BD⊥AC，AE⊥BC，∴∠BDA＝∠AEC＝90°，∵∠BAC＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD＝BD，∵∠FAD+∠AFD＝90°，∠DBC+∠BFE＝90°，∠AFD＝∠BFE，∴∠FAD＝∠DBC，在△ADF与△BDC中，，∴△ADF≌△BDC（ASA），∴DF＝CD，∴BF＝BD﹣DF＝AD﹣CD＝5﹣2＝3，故选：C．4．（2023•安吉县模拟）如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE交于点F，连接AF，下列结论：①BD＝CE；②BF⊥CF；③AF平分∠CAD；④∠AFE＝45°．其中正确结论的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】解：∵∠BAC＝∠EAD，∴∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE．故①正确；∵△BAD≌△CAE，∴∠ABF＝∠ACF，∵∠ABF+∠BGA＝90°、∠BGA＝∠CGF，∴∠ACF+∠BGA＝90°，∴∠BFC＝90°，故②正确；分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE垂足分别为M、N，∵△BAD≌△CAE，∴S△BAD＝S△CAE，∴，∵BD＝CE，∴AM＝AN，∴AF平分∠BFE，无法证明AF平分∠CAD．故③错误；∵AF平分∠BFE，BF⊥CF，∴∠AFE＝45°，故④正确．故选：C5．（2024•拱墅区一模）已知：如图，∠ADC＝90°，DC∥AB，BA＝BC，AE⊥BC，垂足为点E，点F为AC的中点．（1）求证：BF⊥AC；（2）求证：△ADC≌△AEC；（3）连结DE，若CD＝5，AD＝12，求DE的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）DE＝．【解析】（1）证明：∵BA＝BC，F是AC的中点，∴BF⊥AC（等腰三角形的三线合一）；（2）证明：∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∵∠ADC＝90°，∴∠ADC＝∠AEC，∵DC∥AB，∴∠DCA＝∠CAB，∵BA＝BC，∴∠ECA＝∠CAB，∴∠DCA＝∠ECA，在△ADC和△AEC中，，∴△ADC≌△AEC（AAS）；（3）解：设DE，AC交于G，由（2）知△ADC≌△AEC，∴CD＝CE，AD＝AE，∴AC垂直平分线DE，∴DG＝EG，在Rt△ACD中，AC＝＝＝13，∵S△ACD＝AD•CD＝DG•AC，∴DG＝＝＝，∴DE＝．6．（2024•金华一模）已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，且BF＝AC，DF＝DC．（1）求证：△BDF≌△ADC．（2）已知AC＝5，DF＝3，求AF的长．【答案】（1）证明见解答．（2）1．【解析】（1）证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△BDF和Rt△ADC中，，∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）．（2）解：∵BF＝AC，AC＝5，∴BF＝5．在Rt△BDF中，BD2+32＝52，∴BD＝4，即：AD＝BD＝4，∴AF＝1．题型06勾股定理﹑勾股定理定理逆定理与网格问题1.已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先明确所求边是斜边还是直角边，再决定用勾股定理的原式还是变式．2．勾股定理的证明是通过拼图法或割补法完成的，探索时利用面积关系，将“形”的问题转化为“数”的问题．3．勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形．4．利用勾股定理解应用题的关键是寻找直角三角形，若不存在直角三角形，可通过添加辅助线构造出直角三角形．5．利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形的一般步骤：①确定三角形的最长边；②分别计算出最长边的平方与另两边的平方和；③通过比较来判断最长边的平方与另两边的平方和是否相等；④作出结论，若相等，则说明这个三角形是直角三角形，否则不是直角三角形．6．勾股数（1）常见的勾股数有：①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15．常见的勾股数需牢记，平时在解决问题时常用，有利于打开思路．（2）用含字母的代数式表示组勾股数：①（为正整数）．1．（2023•镇海区校级一模）下列长度的三条线段不能组成直角三角形的是（）A．3cm，4cm，5cm B．4cm，3cm， C．6cm，8cm，9cm D．1cm，，【答案】C【解析】解：A、32+42＝52，故选项A中的三条线段能构成直角三角形；B、32+（）2＝42，故选项B中的三条线段能构成直角三角形；C、62+82≠92，故选项C中的三条线段不能构成直角三角形；D、12+（）2＝（）2，故选项D中的三条线段能构成直角三角形．故选：C．2．（2023•宁波模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE的中点，连接BF，若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（）A．2 B．2.5 C．3 D．4【答案】B【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝10．又∵CD为中线，∴CD＝AB＝5．∵F为DE中点，BE＝BC即点B是EC的中点，∴BF是△CDE的中位线，则BF＝CD＝2.5．故选：B．3．（2023•鹿城区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，连接AD，AH，AG，DH，若AH＝AG＝10，则S△ADH的面积为（）A．40 B．45 C． D．【答案】A【解析】解：如图所示，连接HC并延长交AD于点M，∵四边形CIHB，ACDE是正方形，且A，C，I；D，C，B共线，∴∠DCM＝∠BCH＝∠ACM＝∠ICH＝45°，∴HM⊥AD，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，依题意得：c2＝a2+b2，∵AH＝AG＝10，∴，（a+b）2+a2＝100，即a2+b2＝50①，2a2+2ab+b2＝100，∴2ab+a2＝50②，由①②得b2＝2ab，∵b≠0，∴b＝2a③，将③代入①得：a2+4a2＝50，解得：（负值舍去），则，∵，AH2＝（AC+CI）2+IH2＝（a+b）2+a2，∴，∴，∴，∴，故选：A．题型07赵爽弦图赵爽弦图的几何意义：1）证明勾股定理：c2=a2+b22)IJ=b-a3）S正方形EFGH=c2=a2+b2,S正方形IJKL=(b-a)24）S阴影=S正方形EFGH-S正方形IJKL=2ab1．（2024•金华一模）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形．连结DG并延长，交BC于点P，点P为BC的中点．若EF＝2，则AE的长为（）A．4 B． C． D．【答案】C【解析】解：由题意，EF＝HG＝FG＝2，AD∥BC，BG⊥HC，DH⊥HG，∠ADE＝∠GBP，∴∠ADG＝∠GPC．∵点P为BC的中点，∴PB＝PG＝PC．∴∠BGP＝∠GBP，∠GPC＝2∠GBP．∴∠GPC﹣∠ADE＝2∠GBP﹣∠ADE，即∠GDH＝∠GBP．∴△GDH∽△CBG．∴＝，即＝．设AE＝BF＝HD＝x，∴＝．∴x＝1+或x＝1﹣（舍去）．故选：C．2．（2023•鹿城区校级二模）三国时代的数学家刘徽创作了一幅“青朱出入图”（如图1），利用割补的方法可以得到两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积，这样就证明了勾股定理，图2也是一幅青朱出入图，设△ABM，△EFH，△CMQ的面积分别为S1，S2，S3，已知S1+S2+S3＝42，S1+S2﹣S3＝36，则大正方形AMNE的面积为（）A．114 B．117 C．120 D．126【答案】B【解析】解：设AD＝a，DE＝b（a＞b），由题意得：△ADE的面积＝S1，△AGH的面积＝S3，∴S1+S2﹣S3＝正方形DEFG的面积＝36，∴b＝6，∵S1+S2+S3＝42，S1+S2﹣S3＝36，∴S3＝3，∴（a﹣b）•GH＝3，∴GH＝，∵GH∥DE，∴△AGH∽△ADE，∴AG：AD＝HG：DE，∴（a﹣b）：a＝GH：b，∴GH＝，∴＝，∴a＝9或a＝4（舍），∵AE2＝AD2+DE2＝92+62＝117．∴正方形AMNE的面积＝117．故选：B．3.（2023•武义县一模）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连结DH并延长交AB于点K，若DF平分∠CDK，则＝（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：过点K作KM⊥AH，设DE＝a，AE＝b，∵DF平分∠CDK，∴∠CDF＝∠EDH，∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，∴∠CDF＝∠ABH，DE＝AH，∠DEA＝∠EHB，∴DF∥HB，∴∠EDH＝∠BHK，∴∠KBH＝∠KHB，∴KH＝KB，∵∠AHB＝90°，∴∠KBH+∠KAH＝90°，∠KHB+∠KHA＝90°，∴∠KHA＝∠KAH，∴KH＝KA，∴，∵∠HED＝∠DEA，∠HDE＝∠EAD，∴△EHD∽△EDA，∴，即，解得：，∵DE∥KM，∴△HED∽△HMK，∴，故选：C．|题型08利用勾股定理解决实际问题利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：1)将实际问题转化为数学问题；2)明确已知条件及结论；3)利用勾股定理解答，并确定实际问题的答案.1`．（2023•金华模拟）如图2是一扇窗户（图1）打开示意图，AB是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，OA＝6cm．当窗户垂直打开，即OM⊥ON时，有，窗户闭合时，另一端B在ON上滑动，点A，B的对应位置分别记为点A′，B′．（1）滑动支架AB的长为14cm；（2）当A，A′，B′三点在同一直线上时，OB′的长度为12cm．【答案】12．【解析】解：（1）∵OM⊥ON，∴∠AOB＝90°，∵OA＝6cm，OB＝4cm，∴AB＝＝＝14（cm）．故答案为：14；（2）当A，A′，B′三点在同一直线上时，如图，则OA＝OA′＝6cm，A′B′＝14cm，过点O作OC⊥AB′，∴AC＝A′C，设AC＝A′C＝xcm，OB′＝ycm，则B′C＝（14+x）cm，在Rt△AOC中，OC2＝OA2﹣AC2＝62﹣x2，在Rt△B′OC中，OC2＝OB′2﹣B′C2＝y2﹣（14+x）2，∴62﹣x2＝y2﹣（14+x）2，∴y2＝62+142+28x，在Rt△B′OA中，OB2＝y2＝AB2﹣OA2＝（14+2x）2﹣62，∴62+142+28x＝（14+2x）2﹣62，解得x＝2（舍去负值），∴y2＝62+142+28×2＝288，∴y＝12（舍去负值），∴OB′＝12cm．故答案为：12．2．（2023•长兴县校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12．在Rt△DEF中，∠F＝90°，DF＝3，EF＝4．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF，Rt△DEF从起始位置（点D与点B重合）平移至终止位置（点E与点A重合），且斜边DE始终在线段AB上，则Rt△ABC的外部被染色的区域面积是21．【答案】见试题解答内容【解析】解：如图，连接CF交AB于点M，连接CF′交AB于点N，过点F作FG⊥AB于点H，过点F′作F′H⊥AB于点G，连接FF′，则四边形FGHF′是矩形，Rt△ABC的外部被染色的区域是梯形MFF′N．在Rt△DEF中，DF＝3，EF＝4，∴DE＝＝＝5，在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，∴AB＝＝＝15，∵•DF•EF＝•DE•GF，∴FG＝，∴BG＝＝＝，∴GE＝BE﹣BG＝，AH＝GE＝，∴F′H＝FG＝，∴FF′＝GH＝AB﹣BG﹣AH＝15﹣5＝10，∵BF∥AC，∴＝＝，∴BM＝AB＝，同法可证AN＝AB＝，∴MN＝15﹣﹣＝，∴Rt△ABC的外部被染色的区域的面积＝×（10+）×＝21，故答案为：21．3．（2023•温州三模）如图1是由两个正六边形组成的壁挂置物架，轴对称仙人掌盆栽放置在木板上，图2是其示意图，两个正六边形的边AB与CD，BF与EG均在同一直线上．木板AD＝44cm（木板厚度忽略不计），FG＝4cm，则AB的长为20cm，盆栽由矩形HIJK和圆弧组成，且K，E，D恰好在同一直线上，已知AI＝BJ＝3cm，圆弧最高点P到MN的距离与线段HI的长度之比为，则圆弧的半径为cm．【答案】20，．【解析】解：设的圆心是O，作PQ⊥HK于Q，连接OH，DK，BN，∵P是圆弧最高点，∴O在PQ上，∵两个多边形是正六边形，∴CD＝CE＝EG，AB＝BG，∠ECD＝∠BFN＝∠CEG＝120°，∴∠BEC＝∠BCE＝60°，∴△BCE是等边三角形，∴BC＝CE＝CD，∴AD＝AB+BC+CD＝AB+2CD＝44cm，∵BF+FG＝BE+EG＝2CD，∴AB+4＝2CD，∴AB＝20（cm），CD＝12（cm），∴DJ＝CD+BC+BJ＝12+12+3＝27（cm），IJ＝AB﹣AI﹣BJ＝20﹣3﹣3＝14（cm），∵CE＝CD，∠ECD＝120°，∴∠EDC＝30°，∵K、E、D共线，∴KJ＝DJ＝9（cm），∵四边形HIJK是矩形，∴HI＝KJ＝9（cm），∵圆弧最高点P到MN的距离与线段HI的长度之比为，∴P到MN的距离是9×＝4cm，∵BF＝NF，∠BFN＝120°，∴BN＝BF＝20（cm），∴PQ＝20﹣9﹣4＝7（cm），设的半径是rcm，∴OQ＝7﹣r，∵OQ⊥HK，∴HQ＝HK＝7，∵OH2＝OQ2+HQ2，∴r2＝+72，∴r＝，∴的半径是rcm．故答案为：20，考点三相似三角形题型01比例线段1、比例：如果两个数的比值与另两个数的比值相等，就说这四个数成比例，通常我们把四个实数成比例表示成：或者a：b=c：d，期中b，c称为比例内项，a，d称为比例外项。等式两边同乘以bd，可得ad=bc，反过来等式ad=bc同除以bd，可得2、比例线段：在四条线段中，如果的比等于的比，即，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。3、比例中项：如果三个数a，b，c满足比例式，那么b叫做a、c的比例中项，此时有。4、黄金分割：如果点P把线段分成两条线段AP和PB，使，那么称线段AB被点P黄金分割，点P叫做线段的黄金分割点，比值叫做黄金比。≈0.6185、比例式变形：或1．（2023•婺城区模拟）下列各组数中，成比例的是（）A．1，﹣2，﹣3，﹣6 B．1，4，2，﹣8 C．5，6，2，3 D．，，1，【答案】D【解析】解：A．由﹣2×（﹣3）≠1×（﹣6），得1，﹣2，﹣3，﹣6不成比例，故A不符合题意．B．由4×2≠1×（﹣8），得1，4，2，﹣8不成比例，故B不符合题意．C．由6×2≠5×3，得5，6，2，3不成比例，故C不符合题意．D．由，得，，1，成比例，故D符合题意．故选：D．2．（2023•兰溪市模拟）若＝，则＝（）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：∵＝，∴＝，∴＝2+＝2+＝，故选：D．3．（2023•开化县模拟）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到美的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【答案】C【解析】解：根据已知条件得下半身长是165×0.60＝99cm，设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：＝0.618，解得：y≈8cm．故选：C．4．（2023•鹿城区校级三模）把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值为黄金分割，比值为，它被公认为是最能引起美感的比例，如图1为世界名画蒙娜丽莎．如图2，点E是正方形ABCD的AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，以AE为边作正方形AEHF，延长EH交CD于点I，连结BF交EI于点G，连结BI，则S△BCI：S△FGH为（）A．1：1 B． C． D．【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝DA＝AB．∵点E是正方形ABCD的AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，∴＝＝．∵四边形AEHF是正方形，∴EH＝HF＝FA＝AE，FH∥AE，∴△FHG∽△BEG，∴＝，∴＝＝＝＝，∴GH＝HE＝AE，∵∠C＝∠CBE＝∠BEI＝90°，∴四边形BCIE是矩形，∴IC＝BE，∴S△BCI：S△FGH＝＝＝•＝•＝•＝＝．故选：D．5．（2024•镇海区校级模拟）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：∵DE∥BC，∴＝，＝，∴＝，A正确；∵DE∥BC，∴＝，B错误；∵DE∥BC，∴＝，C错误；∵DE∥BC，∴＝，D错误，故选：A．6．（2023•萧山区二模）如图，已知AB∥CD∥EF，BC：CE＝3：4，AF＝21，那么DF的长为（）A．9 B．12 C．15 D．18【答案】B【解析】解：∵AB∥CD∥EF，BC：CE＝3：4，∴＝＝，∵AF＝21，∴＝，解得：DF＝12，故选：B．7．（2023•越城区模拟）小明用地理中所学的等高线的知识在某地进行野外考察，他根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示（注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两条等高线的数值范围内），若A，B，C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则的值为（）A． B． C． D．2【答案】B【解析】解；∵点A，B，C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，∴＝＝，故选：B．8．（2023•金华模拟）已知线段a＝2，b＝8，则线段a和b的比例中项为4．【答案】4．【解析】解：∵线段c是线段a、b的比例中项，∴c2＝ab＝2×8＝16，∴c＝4（负值舍去）．故答案为：4．9．（2024•浙江模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心、BA为半径画劣弧交射线CB于点D，M为的中点，联结CM、AD，CM分别交AB、AD于点E、F，如果点B是线段CD的黄金分割点，则cos∠ABC＝．【答案】．【解析】解：由题意得：BD＝BA，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AB＞BC，∴BD＞BC，∵点B是线段CD的黄金分割点，∴＝＝，∴cos∠ABC＝＝＝，故答案为：．10．（2023•拱墅区校级二模）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝AC，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于AE点D，再以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AC于点E，则＝．【答案】．【解析】解：由作法设BD＝CB＝a，AE＝AD，AC＝2a，∵∠ABC＝90°，AB＝2a，BC＝a，∴由勾股定理可得AC＝a，∴AD＝AB﹣BD＝a﹣a，∴AE＝a﹣a＝（﹣1）a，∴＝＝．故答案为：．题型02相似三角形的性质和判定1.判定定理判定定理1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．判定定理2：三边成比例的两个三角形相似．判定定理3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．判定定理4：两角分别相等的两个三角形相似．2．判定三角形相似的几条思路：（1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定定理1；（2）条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定定理1]或再找夹边成比例[用判定定理2]；（3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；（4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；（5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．3.性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．(3)相似三角形周长的比等于相似比．(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方1．（2024•义乌市模拟）如图所示，若△DAC∽△ABC，则需满足（）A．CD2＝AD•DB B．AC2＝BC•CD C． D．【答案】B【解析】解：由CD2＝AD•DB，可得CD：AD＝BD：CD，由此得不出结论；由AC2＝BC•CD，可得AC：BC＝CD：AC，∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△DAC，故B选项正确；由得不出结论；由＝及∠BAC＝∠ADC＝90°可得结论，但题目中未提及．故选：B．2．（2023•海宁市校级一模）两个相似三角形的面积之比为1：4，较小的三角形的周长为4，则另一个三角形的周长为（）A．16 B．8 C．2 D．1【答案】B【解析】解：设另一个三角形的周长为x，则4：x＝，解得：x＝8．故另一个三角形的周长为8，故选：B．3．（2023•余杭区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝108°，点P在BC边上，若AP是∠BAC的三等分线，则BP的长度为（）A．或5 B． C．﹣1或2 D．或2【答案】C【解析】解：∵AB＝AC＝2，∠BAC＝108°，∴∠B＝∠C＝36°，∵AP是∠BAC的三等分线，∴∠BAP＝36°，∠CAP＝72°，∴∠CPA＝72°，∴AC＝PC＝2，在△BAP与△BCA中，，∴△BAP∽△BCA，∴＝，∴＝，∴BP2+2BP﹣4＝0，∴BP＝﹣1或2（舍去）．当∠BAP＝72°，∠CAP＝36°时，AB＝PB＝2，故选C．4．（2023•柯桥区一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边OB，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点A的坐标为（8，6），点P在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，且满足△PBE∽△CBO，当△APC是等腰三角形时，点P的坐标为（，）或（4，3）．【答案】（，）或（4，3）．【解析】解：∵点P在矩形ABOC的内部，且△APC是等腰三角形，∴P点在AC的垂直平分线上或在以点C为圆心AC为半径的圆弧上；①当P点在AC的垂直平分线上时，点P同时在BC上，AC的垂直平分线与BO的交点即是E，如图1所示：∵PE⊥BO，CO⊥BO，∴PE∥CO，∴△PBE∽△CBO，∵四边形ABOC是矩形，A点的坐标为（8，6），∴点P横坐标为4，OC＝6，BO＝8，BE＝4，∵△PBE∽△CBO，∴＝，即＝，解得：PE＝3，∴点P（4，3）；②P点在以点C为圆心AC为半径的圆弧上，圆弧与BC的交点为P，过点P作PE⊥BO于E，如图2所示：∵CO⊥BO，∴PE∥CO，∴△PBE∽△CBO，∵四边形ABOC是矩形，A点的坐标为（8，6），∴AC＝BO＝8，CP＝8，AB＝OC＝6，∴BC＝＝＝10，∴BP＝2，∵△PBE∽△CBO，∴＝＝，即：＝＝，解得：PE＝，BE＝，∴OE＝8﹣＝，∴点P（，）；综上所述：点P的坐标为：（，）或（4，3）；故答案为：（，）或（4，3）．题型03相似三角形的实际应用1.利用投影、平行线、标杆等构造相似三角形求解2.测量底部可以到达的物体的高度3.测量底部不可以到达的物体的高度4.测量河的宽度1．（2024•温州模拟）如图是“小孔成像”示意图，保持蜡烛与光屏平行，测得点O到蜡烛、光屏的距离分别为10cm，6cm．若CD长为2cm，则AB长为（）A． B．2cm C． D．【答案】D【解析】解：如图：过点O作OE⊥AB，垂足为E，延长EO交CD于点F，由题意得：OF⊥CD，AB∥CD，∴∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC，∴△OAB∽△OCD，∴＝，∴＝，解得：AB＝，∴AB的长为cm，故选：D．2．（2023•莲都区一模）如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为3cm，AC被分