2024年高考第二次模拟考试：数学（新高考Ⅰ卷1）（解析版）

2024年高考第二次模拟考试

高三数学（新高考I卷）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、

准考证号填写在答题卡上.

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

4.测试范围：高考全部内容

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.设集合M={x|log2X<l},N={x|2x_l<o},则AfcN=()

1

A.{x|x<2}B.<XX<—>C.{x[0<x<2}D.<x0<x<—>

22

【答案】D

【解析】因为log2X<l=log22,所以o<x<2,即Af={x|log2X<l}={x|0<x<2},

因为2x—1<0,解得x<L所以N={x|2x_1<0}={X|

2

所以，MryN=sx0<x<—>.

2

故选：D

2.已知复数z满足z（l+i）-l+2i=。，则在复平面内z对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】由zd+i）-l+2i=。，得z=*(l-2i)(l-i)-l-3i13.

=---------1

(l+i)(l-i)222

则复平面内z对应的点位于第三象限.

故选：C

3.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2,高为3的正四棱

锥，所得棱台的体积为（）

A.26B.28C.30D.32

【答案】B

【解析】由于2==，而截去的正四棱锥的高为3,所以原正四棱锥的高为6,

42

所以正四棱锥的体积为gx（4x4）x6=32,

截去的正四棱锥的体积为:x（2x2）x3=4,

所以棱台的体积为32-4=28.

故选：B.

4.双曲线1=1的一条渐近线与圆C:（x—3）2+丁=4相交于A,3若的面积为2,

则双曲线E的离心率为（）

A375口76S口II@

5577

【答案】C

22

【解析】双曲线石：3—27=1（。〉0］〉0）的一条渐近线：bx-ay=o,

与圆（x—3『+丁=4相交于A3两点，圆的圆心（3,0）,半径为2,

,3b胡2飞4a1-5b°

圆心到直线的距离为：d=,弦长|AB|=2、4—二七=：22

G+。Va+byja+b

13b46-5b2

可得:—XX/—

2J/+/右2+/

整理得：2a2=7/,即2a2=7(4—。2卜

解得双曲线E的离心率为之互.

7

故选：C.

兀71/\3/x11ancc

5.已知0<tz<—,Q<B<—,cos(a+B\=—,sin(a-，)=—,则-----=()

22v'5v'5tan,

33510

A.—B.-C.—D.—

10533

【答案】C

JIJIJIJI

【解析】因为0<。<万，0<yff<—,所以0<。+分<兀,——<Clf—,

Q1____________________________4

又因为cos(0+〃)=§,sin(。一/?)=1，所以sin(a+/)=Jl-cos2(o+尸),

14

所以sinacosP-cosorsinsinacos/?+cososin〃=《②,

3

①+②得2sinacos。=1,②-①得2sin°cosa=-,

2sinorcos!315<

----------=—=—tana5

上述两式相除即可得2sin尸cosa33，则^=二，

—tanp5

故选：c.

6.为了贯彻落实《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》，某造纸企业的污染治理

科研小组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放

废水中含有的污染物数量为2.25g/m3,首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为

3

2.21g/m,第〃次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量rn满足函数模型

rn=rQ+(rx一“)•3°3"'«eR,〃eN*),其中“为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，

1为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，〃为改良工艺的次数，假设废水中含有的

污染物数量不超过0.25g/n?时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工

艺的次数最少要()(参考数据：1g2ao.30,1g3ao.48)

A.15次B.16次C.17次D.18次

【答案】B

【解析】由题意知乃=2.25g/n?省=2.21g/n?,

当”=1时，｛=%+任—q)x3°25+‘，故3°如=1,f=-0.25,

故q=2.25-O.CHXBOWT,

由rn<0.25得3°，25("T)>50，即—2学?，

联

4(2-lg2)

则_^+1^15.17,而“eN*，故"216,

联

故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要16次，

故选：B

7.若(1—c)e"=(l—c)lnb=l,则”,仇c的大小关系为()

A.c<a<bB.c<a<b

C.c<b<aD.b<a<c

【答案】A

【解析】由(1-c)e“=(l-c)ln)=l,

可得e">0，所以1一<?>0,故c<l,

所以e"=Inb=」一，

1-c

令/(x)=(l-x)ex(x<l),则/''(%)=—xe*,

当x<0时，/^x)>0,当0<x<l时，f\x)<0,

所以/(%)在(-8,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减,

所以/(x)W/(O)=l,即

1-X

所以eXV，(x<l),当且仅当x=0时取等号,

1-X

故选：A.

111…

8.在数列｛。“｝中，4=1,且44+1=〃，当“22时，—+—++—<氏+4+1—2,则实

a?^^34

数X的取值范围为()

A.(-<x>,l]B.[1,-«»)C.(0,1]D.(-℃,4]

【答案】A

【解析】因为4,4+1=〃，q=l,所以%=L且当时，an_xan=n-V,

1

a

所以a„an+i-4-M,=1，所以一=n+i-%,

an

所以

111

-----1------FH-----=〃3-+〃4-〃2+〃5—〃3+.+1=

“2"3

-的+4+4+]=4+限-2.

111y

因为一+—++—~an+an+l~2，

d?CI3

所以aa+a“+i—2<a“+aa+i—2",所以2'<2，故XW1.

故选：A.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是()

A.数据2,1,3,4,2,5,4,1的第45百分位数是4

B.若数据%,尤2,马，•,X”的标准差为s,则数据2再,2X2,2X3,-,2xn的标准差为2s

31

C.随机变量X服从正态分布N(l,2),若P(X>0)=z，则P(0<X<2)=e

327

D.随机变量X服从二项分布6(4,p),若方差。(X)="则P(X=2)=运

【答案】BCD

【解析】对于A中，数据从小到大排列为1,1,2,2,3,4,4,5,共有8个数据，

因为8x45%=3.6,所以数据的第45分位数为第4个数据，即为2,所以A不正确；

对于B中，数据%,42，%3，-，%的标准差为s，

由数据方差的性质，可得数据2西,2%,…,2%的标准差为亚亨=2s，所以B正确；

对于C中，随机变量X服从正态分布N(l,2),且P(X>0)=7，

根据正态分布曲线的对称性，可得P(0<X<2)=2P(X>0)—l=g,所以C正确；

3

对于D中，随机变量X服从二项分布5(4,0),且。(X)=a，

313

可得4p(l—p)=—,解得。=—或?=—,

444

当。=；时，可得P(X=2)=G(%•a-%喂;

444IZo

当p=］时，可得P(X=2)=C通2.(1—扣=盖,

444IZo

27

综上可得，P(X=2)=—,所以D正确.

128

故选：BCD.

10.设函数了⑶的定义域为R,7(尤)为奇函数，/(1+x)=/(1-%),/(3)=1,则()

A/(-1)=1B./(x)=/(4+x)

18

c./(x)=/(4-x)D.Z/W=T

k=\

【答案】ABD

【解析】由/(X)为奇函数，即函数了⑴的图象关于(0,0)对称，

又/(l+x)=〃l—x),则〃尤)的图象关于x=l对称，

所以〃x+2)=/(—%)=——(%),

贝ijf(4+x)=-f(x+2)=f(x),

・・・/(九)为周期函数且周期为T=4,B对.

所以/(3)=/(-1)=1，A对.

m/(4c错.

由上可知"2)=—"0)=0,/(4)=/(0)=0,

所以/⑴+〃2)+/(3)+〃4)=—/(—1)+0+1+。=。，

18

则2/伏)=/⑴+〃2)=T，D对.

k=l

故选：ABD.

11.古希腊哲学家芝诺提出了如下悖论：一个人以恒定的速度径直从A点走向8点，要先走完总路

程的三分之一，再走完剩下路程的三分之一，如此下去，会产生无限个“剩下的路程”，因此他有无

限个“剩下路程的三分之一”要走，这个人永远走不到终点，由于古代人们对无限认识的局限性，故

芝诺得到了错误的结论.设=S,这个人走的第n段距离为a”，这个人走的前n段距离总和为

S”，则下列结论正确的有()

A.VneN*,使得《用=2.—S")BGN*,使得。=|.%

n+i33fi

c.V〃eN*，使得*=1—[I]

D.m〃eN*，使得优=1

3

【答案】BC

【解析】由已知得，％=一,

3

S-S

不难得到，VneN%所以A错误.

c_cc_c2

走〃段距离后，由4+]=^^得4二一六(〃22),两式相减化简得为+]=§/(〃22),当

S2sl2

〃=1时，4=彳，。2=-§-X耳=也符合，所以B正确.

97S

由4+1=-4可知｛4｝是公比为:，首项为一的等比数列，

<s，所以c正确，D错误.

故选：BC

12.过抛物线后：12=2加(0>0)的焦点厂的直线/交抛物线后于43两点(点A在第一象限)，

M为线段A3的中点.若|”|=2忸同=4,则下列说法正确的是()

Q

A.抛物线E的准线方程为y=-§

B.过A,3两点作抛物线的切线，两切线交于点N,则点N在以A3为直径的圆上

C.若。为坐标原点，则|。闾=亭

D.若过点口且与直线/垂直的直线加交抛物线于C,。两点，贝|]|48卜]。。|=288

【答案】BD

/、

【解析】对于A：由已知设过点尸0,日的直线方程为丁=依+§次〉0,

I2J2

_日+_£2

联立方程《，一十5,消去尤得：/—（2左2+1）〃y+£_=0,

x2=2py4

可得

为+勺2

又因为|人同=2忸月=4,所以＜

%+方=4

[64

所以抛物线方程为必=可丁，准线方程为y=-3,A错误;

对于B:抛物线石：/=—y,即丁二—X2,了二一1,

3168

,33

易得用VA=77F，左NB=77%2，

99\------

所以2」4X*xL*=

64V949

故直线Ml,NB垂直，所以点N在以A3为直径的圆上，B正确；

164

对于C：由A项知，抛物线E:d=§y,直线/的方程为丁=6+§,左〉0,

人（石,乂）,5（%2，%），

',4

y=kx+—/9x

联立方程3,消去X得y2—8（2左+1）3=0,

必=£39

13•

口_168（2F+1）

可侍%%=3，％+~L

pn88（2/+1）

\AF\+\BF\=L+yi+L+y2=p+yi+y2=_+V/=6,

解得左=立，

4

所以/+%=y，

44108_

,「I产—].40

所以石+%2=kky[23

4

所以西+々=2&y+%=Q,即M哀2,工

23'23I33）

半，c错误;

所以|。河|=

对于D：由C选项知।Ab|+|5A|=§+8（2'+1）=6,

4

因为直线/垂直于直线机，

Q

所以Q

\CF\+\DF\=-+-

贝1ABH3=288,D正确.

故选：BD.

第n卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

6

13.已知无+生的展开式中常数项为20,则实数根的值为

【答案】1

r62r3

【解析】展开式的通项为C>6一rC6mx-,令6—2厂=0解得r=3,AC>=20.

二m=l.

故答案为：1

14.矩形ABCZ）中，AB=2,BC=1,且瓦/分为BC,CD的中点，则人£而=—.

7

【答案】-4

4

【解析】以A为坐标原点，建立如下图所示的平面直角坐标系，

A（0,0）,JB（2,0）,C（2,l）,D（0,l）,£l2,1j,F（l,l）,

所以AE=[2,J,Ek=L，A，

1117

AE-EF=2x(—1)H—x—=—2H—=—.

v72244

故答案为：:7

4

D\FC

B

=；与曲线丁=/(力的两个交点，若

15.已知函数/(x)=sin(tyx+0),如图A,3是直线y

\AB\=—,则①=____________,/(兀)=____________.

6,

JA

\7、\/「、

¥丁

【答案】±4；

2

_71

【解析】设由|人创=弓可得々―石一，

6

,.1_,715TI

由sm;r=一可知，%=—+2E或尤=---b2E,左eZ,由图可知，

266

57C27r

当力>0时，口尤2+9—(Q玉+0)=%兀一W=-^-，即%2一%)=，•・①二4；

57L2兀

当G<0时，力玉+夕一(公G+0)=Z兀—不=~^-，即G(X1~X2)=~~9=

综上：CD-±4;

因为同一图象对应的解析式是一样的，所以此时不妨设G二=4,贝!J/(x)=sin(4x+e),

因为/[■|兀]=sin[g+o]=0,所以，+夕=防1,即87

(P———7C+KU,k£Z.

所以/(%)=sin4x——7t+lai=sin4x——it+kit

所以/(x)=sin]4x—|•兀)或/(x)=-sin14x-g27t),

3

又因为〃0)<0,所以/(xhsin,》—1],

二〃兀)=sin(4兀一,兀=_皂

I3一~2

故答案为：±4；-?

16.已知直四棱柱ABC。-A4Goi的所有棱长均为4,ZABC=60°,以A为球心，2行为半

径的球面与侧面8RG的交线长为.

【答案】a兀

【解析】如图：取CCi，D，,C。的中点E,”G,连接AC,AG,AE,AF,FG,EG,

结合题意：易得，ACD为等边三角形，

因为G为CD的中点，所以AG_LCD

因为在直四棱柱ABC。—A4GR中有CG，面ABC。,且AGu面ABCD，

所以AGLCC],又因CG

所以AG上面CGDD],结合球的性质可知G为该截面圆的圆心，

因为直四棱柱ABC。—的所有棱长均为4,ZABC=6Q°,

所以/EGF=90°,AG=26，AE=AF=2卮EG=2四,

故以A为球心，2行为半径的球面与侧面CDQG的交线为：以G为圆心，2&为半径的圆所成的

圆弧EF-

所以EF=—x27ir=—x2Kx2^2=夜兀.

44

故答案为：垃穴.

回

B

»r

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）记S”为数列｛4｝的前几项和，若q=3,（〃+1）24+I+（2〃+1）S"=2.

（1）求S"；

（2）若2=下~寸，求数列也｝的前几项和北.

【答案】（1）s“=^^；n

(2)

n2n+l

【解析】⑴由题设("+l)2(S"+i—S“)+(2〃+l)S“=2,贝h”+l)2S"+1-〃2s“=2,

又FxS]=%=3,故｛/S,｝是首项为3,公差为2的等差数列，......................3分

所以/S〃=3+2("-l)=2"+l,则S”="1

..........5分

n

71111、

（2）由（1）得储=方——~~-=z一---一-）,..........7分

（2〃一1）（2〃+1）22n—l2n+l

…一11、n

所以（二一（1---1-------1-H--------------）=一（1-------）=-----

〃23352〃-12〃+122〃+12〃+1

...................................................................................10分

18.（12分）已知AB是圆锥PO的底面直径，C是底面圆周上的一点，PC=AB=2,AC=6,

平面PAC和平面PBC将圆锥截去部分后的几何体如图所示.

（1）证明：oc，平面me；

（2）求二面角a—尸5—c的余弦值.

【答案】（1）证明见解析（2）叵

7

【解析】（1）C为底面圆周上一点，

：.CA±CB,又,,AC=也,AB=2,:.BC=①，

又：。为AB中点，.•.OCLAB,..................2分

又•.尸底面ABC,OCu底面ABC,

:.POLOC,

又ABcPO=O,AB,POu底面R45,

平面E43.....................5分

（2）尸OJ_底面ABC,OC,O3u底面ABC，

所以「O,OC,PO,O5,

又因为OC_LAB,..................6分

所以以。为原点，OC,OB,OP分别为苍％z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

因为PC=A3=2,AC=0,

PO=V4^T=73,.-.P（0,0,T3）,JB（0,1,0）,C（1,0,0）,

.•.依=（0,1,-@,3。=（1,-1,0）,..........7分

设平面P8C的一个法向量&=（x,y,z）,

：一"0=0"=/国）

9分

而平面APB的一个法向量%=（1,0,0）,

设二面角A—尸5—C平面角为。，显然。为锐角,

cos6,12分

同同手7

19.（12分）在「ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=3夜,<2sinB=Z?sin(A+j1.

（1）求角求

（2）作角A的平分线与交于点。，且A£）=6，求b+c.

71

【答案】（1）(2)6

【解析】（1）因asinB=Z?sin[A+]1

由正弦定理可得：sin3[工sinA+Y3cosA]-sinAsin3=0,

[22J

即sinBcosA--sinA=03分

2)

因Be(0,7i),故sinBwO,则有无cosA=』sinA，即tanA=百，

22

因Ae(0,7t),故A=1................5分

(2)因为AD为角平分线，所以S.DAB+SDAC—SABC,

所以,AB•ADsinZDAB+-ACADsinADAC=-AB-ACsinABAC................7分

222

因NBAC=乌,ZDAB=ZDAC=~,AD=A则且A5+无AC=-AC,

36444

即AB+AC=AB-AC,所以Z?+c=c/?..................9分

又由余弦定理可得：a1=b2+c2-2Z?ccos^=(Z?+c)2-3bc,................10分

把a=30，b+c=仍分别代入化简得：(6+c)2—3(6+c)—18=0,

解得：Z?+c=6或Z?+c=-3(舍去)，所以Z?+c=6....................12分

20.(12分)为考察药物M对预防疾病A以及药物N对治疗疾病A的效果，科研团队进行了大量

动物对照试验.根据100个简单随机样本的数据，得到如下列联表：(单位：只)

疾病A

药物M

未患病患病合计

未服用301545

服用451055

合计7525100

(1)依据£=0.1的独立性检验，分析药物M对预防疾病A的有效性；

(2)用频率估计概率，现从患病的动物中用随机抽样的方法每次选取1只，用药物N进行治疗.已

知药物N的治愈率如下：对未服用过药物/的动物治愈率为:，对服用过药物/的动物治愈率为

3

一.若共选取3次，每次选取的结果是相互独立的.记选取的3只动物中被治愈的动物个数为X,求X

4

的分布列和数学期望.

2

2_n(ad-be)

,(a+Z?)(c+d)(a+c)伍+d)n=a+b+c+d

a0.1000.0500.0100.001

Xa2.7063.8416.63510.828

【答案】20.药物/对预防疾病A没有效果.21.答案见解析.

【解析】(1)零假设为“°：药物/对预防疾病A无效果，

根据列联表中的数据，经计算得到

2n{ad-bcy100x(30xl0-15x45)2100二八°八表表”

Z=7---r；------------7T=-----------------=——x3.030<6.635.

(a+b)[c+d)(a+c)(b+d)75x25x45x5533

根据小概率值£=0」的独立性检验，我们推断零假设成立，即认为药物/对预防疾病A没有效

果..........5分

（2）设A表示药物N的治愈率，耳表示对未服用过药物M,为表示服用过药物M由题,

P（4）=H=S6,P（B2）=^=0.4,

且尸（川耳）=0.5,p（A忸2）=0.75,

P（A）=P（B,）XP（A|B1）+P（B2）XP（A|B2）

=0.6x0.5+0.4x0.75=0.6.........7分

3

药物N的治愈率尸=0.6=1，

2

则3,—,所以P（X=0）=C；

।二ll

P（x=1）=c；［|J］|［卷

9=2）=4|1圈=言

3I23427

P（X=3）=Cf9分

125）

X的分布列如下表所示

X0123

8365427

P

125125125125

E（X）=0」+lx至+2x43x"

12分

'）1251251251255

21.（12分）在平面直角坐标系xOy中，动点/到点R（l,0）的距离与到直线x=4的距离之比为

（1）求动点M轨迹W的方程；

（2）过点尸的两条直线分别交W于A,B两点和C,。两点，线段AB,C。的中点分别为P,Q.设

11,

直线ASC。的斜率分别为占，k,且7+厂=1，试判断直线尸。是否过定点.若是，求出定点

2«Vj

的坐标；若不是，请说明理由.

22

【答案】（1）土+上=1（2）直线尸Q过定点（0,—1）.

43

J(xT)2+/

【解析】(1)设点M的坐标为(％y),由题意可知1

2

22

化简整理得，W的方程为土+上=1.4分

43

22

(2)由题意知，设直线的方程为y=K(x-l),与W的方程?+1_=1联立可得,

(%+3)x2-80+46—12=0,

设A(%,yJ,3(%2，y2)，由韦达定理得,

…1-上%+3,

则X+为=K(%+%)—2仁=警

/IIJ

_4_后-3^]

1

所以，点尸的坐标为y<2'O,6分

1%+3O4%7+3)

；2—3h、

同理可得，。的坐标为7分

’4月+3,

4kk—3

所以,直线PQ的斜率为kpQ=4f)

/

的213%

所以,直线PQ的方程为y=X—