全等三角形综合训练（五）（原卷版）

全等三角形综合训练（五）1．如图，中，点D在上，，点E是的中点，连接，则______________．2．如图，在中，，，求边上中线的范围为_____．3．如图，，，，，点M为的中点，，______．4．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D是线段BC上一点，∠ADC=90°，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：①∠APO=∠ACO；②∠APO+∠DCO=30°；③AC=AO+AP；④PO=PC，其中正确的有______．5．如图，△ABC中，E在BC上，D在BA上，过E作EF⊥AB于F，∠B＝∠1+∠2，AB＝CD，BF＝，则AD的长为________．6．在中，，，，点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是_______．7．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝50，∠CAP＝______．8．如图，平行四边形中，于，点为边中点，，，则_________9．已知，如图1，四边形是正方形，，分别在边、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．(1)在图1中，连接，为了证明结论“”，小亮将绕点顺时针旋转后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程；(2)如图2，当绕点旋转到图2位置时，试探究与、之间有怎样的数量关系？10．已知为等腰三角形，，直线过点（不经过点），过点作于点，过点作于点．(1)如图1，当点位于直线的同侧时，判断与的大小关系，并说明理由；(2)如图2，若点位于直线的两侧，①（1）的结论是否还能成立，请说明理由；②设与交于点，当时，判断与是否相等，并说明理由．11．课堂上，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明．(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使=______，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；(2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：如图3，点D在的内部，分别平分，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）；(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．12．在中，且．(1)如图（1），若分别平分，交于点C、B，连接．请你判断是否相等，并说明理由；(2)的位置保持不变，将（1）中的绕点A逆时针旋转至图（2）的位置，相交于O，请你判断线段与的位置关系及数量关系，并说明理由；(3)在（2）的条件下，若，试求四边形的面积．13．在中，，点D是直线BC上一点（不与重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．(1)如图1，当点D在线段上，如果，则为多少？说明理由；(2)设，．①如图2，当点D在线段上移动，则之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线上移动，则之间有怎样的数量关系？请写出你的结论，画出图形，简要证明．14．如图，在中，，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，垂足为D，E．若，求DE的长．15．如图1，∠DAB＝90°，CD⊥AD于点D，点E是线段AD上的一点，若DE＝AB，DC＝AE．(1)判断CE与BE的关系是．(2)如图2