2023年上海市长宁区高考二模数学试卷含答案

2023学年第二学期高三数学教学质量调研试卷

考生注意：

1.答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码.

2.解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上

的答案一律不予评分.

3.本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1〜6题每题4分，第7〜12题每题5分）考

生应在答题纸的相应位置直接填写结果.

1.已知集合人={1,2},B=[l,3,a],若则〃=.

2.不等式|2x-1|<3的解集为.

3.在,+的展开式中/的系数为.

4.在△回（7中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若/-62=秘+02,则人=.

5.若3"=2〃=6,贝1」工+1=.

ab

6.直线2x-y-3=O与直线x-3y-5=O夹角的大小为.

7.收集数据，利用2x2列联表，分析学习成绩好与上课注意力集中是否有关时，提出的零假

设为：学习成绩好与上课注意力集中.（填：有关或无关）

8.己知函数y=〃x）是定义域为R的奇函数，当x>0时，〃x）=log2尤.若〃“）>1,则实

数。的取值范围为.

9.用铁皮制作一个有底无盖的圆柱形容器，若该容器的容积为万立方米，则至少需要

平方米铁皮.

10.已知抛物线r：y2=4尤的焦点为厂，准线为/,点M在：r上，点N在/上，MNLI,

ZNFM=30°,则点M的横坐标为.

11.甲、乙、丙三辆出租车2023年运营的相关数据如下表：

甲乙丙

接单量f（单）783182258338

油费S（元）107150110264110376

平均每单里程左（公里）151515

平均每公里油费。（元）0.70.70.7

出租车空驶率一出喘篇黑黑学程.依据上述数据，小明建立了求解三辆车空驶

率的模型a=左,“），并求得甲、乙、丙的空驶率分别为23.26%、21.68%、x%,则％=

.（精确到0.01）

12.已知平面向量a、b、c满足：=,=2,若（c-a＞（c-6）=0,则卜-目的最

小值为.

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）

每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13.设zeC,则“z=A是"zeR”的（）.

A.充分不必要条件；B.必要不充分条件；

C.充要条件；D.既不充分也不必要条件.

14.已知直线a、）和平面a,则下列判断中正确的是（）.

A.若alIa,b//a,则。〃》；B.若。〃Z?,b//a,则。〃cz；

C.若a〃tz,b.La,则a_LZ?；D.若a_LZ?,blIa,则a_Ltz.

15.某运动员8次射击比赛的成绩为：9.6,9.7,9.5,9.9,9.4,9.8,9.3,10.0.

已知这组数据的第x百分位为机，若从这组数据中任取一个数，这个数比%大的概率为

0.25,则x的取值不可能是（）

A.65；B.70；C.75；D.80.

16.设数列｛«„｝的前九项和为Sn,若存在非零常数c，使得对任意正整数n,都有2区=。“+c,

则称数列｛4｝具有性质

①存在等差数列｛”"｝具有性质p;②不存在等比数列｛册｝具有性质p.

对于以上两个命题，下列判断正确的是（）

A.①是真命题，②是真命题；B.①是真命题，②是假命题；

C.①是假命题，②是真命题；D.①是假命题，②是假命题.

三、解答题(本大题共有5题，满分78分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要

的步骤.

17.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分).

设/(x)=sin(0x+0)(<y>0).

(1)某同学用“五点法”画函数y=/(x)的图象时，列表并填入了部分数据，如下表:

713冗

CDX-\-(p71

0~22兀

715兀In117T

X▲

~6~L2T~\2

sin(G九4-cp)01▲-10

请在答题卷上将上表▲处的数据补充完整，并直接写出函数y=/(x)的解析式;

(2)设0=1,夕=0,g(x)=/2(x)+/(x)/(1^-x)lXG,求函数y=g(元)值域.

18.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分).

如图，在长方体ABCD-44GR中，AB=AD=2,A4,=1.

(1)求二面角R—AC—O的大小；

(2)若点尸在直线4G上，求证：直线〃平面RAC.

19.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分).

盒子中装有大小和质地相同的6个红球和3个白球.

(1)从盒子中随机抽取出1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其颜色相同的球3

个，然后再从盒子随机取出1个球，求第二次取出的球是红球的概率；

(2)从盒子中不放回地依次随机取出2个球，设2个球中红球的个数为X,求X的分

布、期望和方差.

20.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分).

22

已知椭圆「上+工=1,O为坐标原点.

63

(1)求「的离心率e；

(2)设点N(1,O),点M在「上，求的最大值和最小值；

(3)点7(2,1),点P在直线元+y=3上，过点尸且与OT平行的直线/与「交于A、B两

点.试探究：是否为存在常数2，使得•2,=2卜”2恒成立，若存在，求出该常数的值；

若不存在，说明理由.

21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分).

设函数y=的定义域为。，若存在实数3使得对于任意xe。，都有〃无)4左，则

称函数y=〃力有上界，实数k的最小值为函数y="X)的上确界.

记集合出={/(》)y="在区间(。,收)上是严格增函数}.

2

(1)求函数y=——^(2<x<6)的上确界；

32

(2)f(x)=x-hjc+2xlnxeM1,求/z的最大值；

(3)设函数y=〃无)的定义域为(。,笆).若/(x)e必，且y=有上界，求证：

f(x)<0,且存在函数>=/(彳)，它的上确界为0.

2023学年第二学期高三数学教学质量调研试卷

参考答案和评分标准

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1〜6题每题4分，第7〜12题每题5分）

1.2；2.[-1,2]；3.4；4.—；5.1；6-1

7.无关；8.(一；,。)(2,+oo)；9.3万；10.1；

11.20.68；12.2

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）

13.C；14.C；15.D；16.B

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）

17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.

解：⑴

兀3〃

CDX+(p071271

~2~2

71715〃2TI\\n

X

"12~6

sin(0x+(p)010-10

〃力=sin2x+-\.每空2分，解析式2分

I6

12*712

(2)g(x)=sinx+sinxsin--X=sinx+sinxcosx

冗

=—1l-cos2x、)+I—s.inc2x=A-/-2--sin|2x--|+|-4分

2V7224

,所以2x一万工号］,进而sin（2x-:n

因为xe呜e6分

4444

所以函数y=g（x）的值域为0,8分

18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.

解：（1）设与AC相交与E,连接

因为ABCD为正方形，所以BD_LAC,

又因为平面ABCD,所以。E_LAC,.2分

Di

B,

所以/£（1田即为二面角。-AC-O的平面角,4分

由已知=所以tan/RED=击,

二面角R-AC-O的大小为arctaiiF-..........6分

(2)连接即、BCX

因为网〃CO],所以网〃平面DXAC,........2分

因为BCJ/AD},所以2cJ/平面AAC,.........4分

所以平面网G〃平面RAC,...........6分

因为直线5Pu平面BAG'所以直线BPII平面DjAC........................8分

方法二：以9、AD,招为x、y、z轴，建立空间直角坐标系.则

A(0,0,0),8(2,0,0),C(2,2,0),Dj(0,2,1),...........2分

因为点尸在直线4G上，所以可设尸....4分

设平面DXAC的法向量为n=(x,y,z),

由“•ACuO,n-ADX-0,得2x+2y=0,2y+z=0,

所以可取w=(l,-l,2),6分

因为BP=(a-2,a,l),所以小8尸=0,进而〃,8尸，

又因为3P不在平面&AC上，所以直线BP〃平面。]AC.....................8分

19.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分).

21

解：(1)第一次取出红球的概率为*,取出白球的概率为乙，....2分

33

第一次取出红球，第二次取出红球的概率为±2x±3二L1

342

第一次取出白球，第二次取出红球的概率为....4分

326

所以第二次取出的球是红球的概率为1上+上1=49...........6分

263

⑵P(x=°)=|l=5，尸(X=1)=曾£c1A

P(X=2)==

2C厂12

‘012、

所以X的分布为115............4分

.12212,

E[X]=Ox—+lx-+2x—=-6分

L」122123

1513

£—+44x—=

KJ=212-6

所以［X］=E1一㈤X］）2=W=（'-……8分

20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.

解：（1）设「的半长轴长为〃，半焦距为C,

贝!Ja=",c=6，.....2分

所以e=£=且.....4分

a2

(2)设Af(x,y),

\MN\=^(x-lf+y2=^(x-2)2+2,……2分

因为-布4%«病，...3分

所以当九=2时，|MN|取得最小值为也,....4分

当x=-46时，取得最大值为1+76.....6分

(3)设尸A(Xp%),B(x2,y2),

,13

则直线/:>=—%+3——a,.....2分

22

附2=2("2)2,.....3分

PA—(七一%-3+=[玉一d,—x^一—J,

PB=(%2-CL,,2-3+Q)—|%2—a,-X?|

将直线I方程代入椭圆方程得炉+2（2—〃）X+（2—a）2—4=0

2

所以％+无2=-2(2-〃)，x1x2=(2-tz)-4,5分

6分

得中小

所以存在力=：,使得1PA.依卜4尸7『恒成立.....8分

21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.

9

（1）解：函数y=—；在区间（2,6）严格减，

x-1

所以函数y=V（2<x<6）的值域为由］,

・2分

进而函数丫=—；（2<x<6）的上确界为2.4分

X-1

（2）解：y==x2—hx+21nx,yf=2x-h-\--,・・2分

Xx