2024年高考数学新结构模拟适应性特训卷（一）（解析版）

2024年新结构模拟适应性特训卷（一）

高三数学

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注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.（2024上•河北沧州•高二校联考期末）已知数列｛%｝的通项公式为="+2,则123是该数列的（）

A.第9项B.第10项C.第11项D.第12项

【答案】C

【分析】根据通项公式可直接求出.

【详解】由%="+2=123,解得”=11（“=-11舍去）,

故选：C.

2.（2024上•四川凉山•高二统考期末）空间四边形ABCD中，点M在AD上，且万法=2耐，N为BC

中点，则丽等于（）

A.LAB--AC+-ADB.LAB--AC+-AD

232232

1—►1―►1—►

C.LAB+-AC--ADD.-AB——AC+-AD

223223

【答案】C

【分析】作出空间四边形，即可得出诙的表达式.

【详解】由题意，在空间四边形ABCD中，1）M=2MA^N为8c中点,

：.MN=MA+AB+BN=--AD+AB+-^C=--Ai5+AB+-（AC-AB）

3232、,

1―■1—1—

=——AD+-AB+-AC,

322

故选：C.

D

3.（2024上•广东深圳•高校考期末）若直线/：〃吠+在-1=0圆/+3；2+2尤=0相切,

则原点。到直线/距离的最大值为（）

A.73B.2C.2后D.1

【答案】B

【分析】原点。在圆上，到切线的最大距离等于圆的直径.

【详解】圆/+/+2%=0,即（尤+1t+y=1,圆心坐标半径为1,

直线/:枢x+wy-l=。与圆相切，则圆心到直线距离等于半径1,

原点。在圆上，所以原点。到直线/距离的最大值为1+1=2.

故选：B

4.（2024上•山西太原•高三统考期末）如图是函数“X）的部分图象，则“X）的解析式为（）

cos6x

B./w=

2X-2~X

cos6x

D./w=

2~X-2X

【答案】c

【分析】利用函数的奇偶性及函数值符号判定选项即可.

【详解】由图象可知函数"X）为偶函数，且x->0+j（x）<0,

四个选项函数的定义域均为｛小*0｝，

，/、sin（-6x）-sin6x，/、，、

对于A项，/（-尤）=2；2'=_（2-2-）="司'即〃x）为偶函数,

而xf0+,2工-27>0,sin6x>0=>/（x）>0,故A错误；

coscos6x

对于B、D项,/(T==一/⑺,

2~X-2X-2-x

/、cos（-6x）cos6x工（、

/（T）=2」2-、=_（2-21=力4显然两项均为奇函数，故B、D错误;

对于C项，即"X）为偶函数,

z-zz-Z

而无fo+,2T-2*（0,sin6x〉0n〃尤）＜0,故C正确.

故选：C

5.（2024上•四川成都・高三校考期末）若彳6=旬+弓（无一6）+%（无-6『+…+&（尤-6『，贝以=

()

A.6B.16C.36D.90

【答案】C

【分析】将V变形为[6+（x-6）7,然后令展开式的通项公式中厂=5即可求得结果.

【详解】因为％6=[6+（%-6）了，展开式的通项为&|=C[x66Tx（%-6丫，

令r=5,可得及=C：x6,x（x-6）s=36（x-6）s,

所以%=36,

故选：C.

6.（2024上•江西•高三校联考期末）下表统计了2017年〜2022年我国的新生儿数量（单位：万人）.

222222

年份

017018019020021022

年份代

123456

码X

新生儿111119

数量y72352346520006256

经研究发现新生儿数量与年份代码之间满足线性相关关系，且$=T56.66x+1据此预测2023年新生

6

儿数量约为（）（精确到0.1）（参考数据：Ex=7929）

i=l

A.773.2万B.791.1万C.800.2万D.821.1万

【答案】A

【分析】先求出"亍，3得回归直线方程，再代入冗=7可得结果.

-7929

【详解】由题意得£=3.5,y=——=1321.5,

6

所以A=7+156.66x3.5=1321.5+548.31=1869.81，

9=-156.66x+1869.81,

当x=7时，y=-156.66x7+1869.81=773.19«773.2.

故选：A.

7.（2024上・山东潍坊•高二统考期末）月光石是由两种长石混合组成的具有月光效应的长石族矿物.

它的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系x0y中，半圆的圆心在坐标原点，

半圆所在的圆过椭圆的上焦点/（0,1）,半椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线x=*与半圆交于点4与

半椭圆交于点8，则△ABE的面积为（）

【答案】D

【分析】依据题意求得椭圆和圆的方程后，解出关键点的坐标，再求面积即可.

【详解】由题意得，半圆的方程为一+丁=1（＞＜0）,在半椭圆中b=c=l,则”应,

故半椭圆方程为］+/=1（＞20）,将x=#代入半椭圆，解得力T，

将x代入半圆，解得力=一年，故a邳=号2,

松0_1V2+2行_1+痣

然用.=~xX~2~=4'

故选：D

TT

8.（2024上•江苏扬州•高二统考期末）在口ABC中，已知。为边BC上一点，CD=^DB,ZBAD=~.

4

tanNACB的最大值为2,则常数几的值为（）

.Vio-30Vio+3「Vio+icVio-i

A.------D.--------------C.-----U.-----

4444

【答案】D

【分析】令C£>=XDB=22且0W2W1,求得△A8O外接圆半径为r=也，若B(-1,0),0(1,0),结合已

知得点A在圆x2+(y-l)2=2被3。分割的优弧上运动，进而确定tan/ACB的最大，只需AC与圆相切，综合

运用两点距离、圆的性质、正弦定理、三角恒等变换列方程求参数人

【详解】令0)=202=2/1且0W/IW1,即80=2,则△A3。外接圆半径为厂=———=也，

2sin44。

若B(-l,0),D(l,0),AABD的外接圆方程为(x-m)2+(y-n)2=2,

(m+\Y+n2-2(m=0

所以0、2,=>{4，令圆心G",〃)为(0,1),

(m-l)-+H2=2[n=±i

即点A在圆尤2+(y_l)2=2被83分割的优弧上运动，如下图,

要使tanN4cB的最大，只需AC与圆相切，由上易知CQ+2尢0),

则|AC|=J(l+2/i)2+1-2=20(2+1)，而IBC1=2(2+1),由圆的性质有/ZMC=,

|AC||BC|aa

_______=______________7rSirSir

口ABC中sinZB一.Z4CB=TI-(2ZB+-)=--2ZB,显然4＜京，

sin(ZB+-)448

4

3兀.1+tan2ZB

由tanZACB=tan(——24)=2,n则-=-2--n---ta-n-2ZB=3

4tan24—1

所以言*=3-4+2tand3=。,可得tan包毕(负值舍)，

710-130二J/L+1

…二京而“而》而百一'

所以以=12(2+1)=.=2(2+1),

sinZBsinZB+cosZBsin2ZBl+2sinZBcosZB

整理得id旃2+1211-2V10Vio-i

7+2丽4(710-1)一-4-

故选：D

【点睛】关键点点睛：令CD=Xr>B=22且0W/W1,3(-1,0),。(1,0)得到点人在圆/+()；-1)2=2被8。

分割的优弧上运动为关键.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.(2024上•浙江宁波•高三镇海中学校考期末)已知复数4,z2,则下列结论正确的有()

A.z；=z；B.az?4C.上尼闫讣㈤D.Izj+z^lzJ+lzJ

【答案】BC

【分析】根据复数的运算性质以及模的运算公式对应各个选项逐个判断即可求解.

【详解】设4=1+历，z2=c+di,其中ER.

对于选项A:z；=(。+⑤)2=/一/+2。历,z；=〃一62-2。历，所以2〃万与-2H?不一定相等，故选项A

错误；

对于选项B:因为Z[&=(〃+寸i)(c+di)=(〃c—Z?d)+(〃d+Z?c)i,

所以Z1•z?=(ac-8d)-(qd+hc)i,

因为Z1•Z2=(4-bi)(c-di)=^ac-bd^-^ad+bc^i,

所以4&=42，故选项B正确；

对于选项C:因为4,z2=(〃+bi)(c+di)=(〃c-bd)+(〃d+bc)i,

所有卜1Z2I=J(〃C-Z7d)2+(qd+/7c)2_+b2d2+42d〜+力?。:

因为㈤㈤=yja2+b2ylc2+d2=Va2c2+b2d2+a2d2+b2c2,

所以上㈤引讣㈤,故选项C正确；

对于选项D：因为Z]+Z2=(〃+C)+伍+d)i,所以B+Z2I=J(〃+C)2+

2222

I211+1221=J/+b?+J-2+d?,而^a+c)+(b+d)与^a+b+G+/不一定相等,故选项D错误;

故选：BC.

10.(2024上•福建莆田・高一莆田第四中学校考期末)已知实数羽>满足丁+丁=1,则一定有()

A.-1<X<1B.-1<xy<^C.-l<x+y<lD.-75<x+2y<75

【答案】ABD

【分析】利用三角代换，结合三角函数恒等变换和性质，即可求解.

【详解】由cos?fz+sin?a=1,

令x=cosa,y=sina,

:.-\<x=cosa<\,故A正确；

孙=cosasina=—sinla--<—sin2a<—,故B正确；

2222

•・•x+y=cosa+sina=血sin[a+-72<x+y<42,故C错误；

...%+2y=cosa+2sina=逐sin(a+0)一6<x+2y(君，故D正确.

故选：ABD

11.(2024上・山东烟台.高三统考期末)我国著名数学家华罗庚先生说：“就数学本身而言，是壮丽多

彩、千姿百态、引人入胜的……认为数学枯燥乏味的人，只是看到了数学的严谨性，而没有体会出数学的内

在美.”图形美是数学美的重要方面.如图，由抛物线V=2px(p>0)分别逆时针旋转90。、180。270。可围成“四角

A.开口向下的抛物线的方程为/=-2py(p>0)

B.若|明=8,则。=2

C.设。=1,则f=l时，直线尤=/截第一象限花瓣的弦长最大

D.无论P为何值，过点B且与第二象限花瓣相切的两条直线的夹角为定值

【答案】ABD

【分析】根据图象的对称性判断A；由=8及抛物线方程得到点A的坐标，由对称性得到点B坐标，

代入炉=-2。>(。>0)即可求。，判断B；由题意得到直线x=f截第一象限花瓣弦长的函数，借助导数即可

判断C；利用导数的几何意义求出过点B的切线，借助图象的对称性判断D.

【详解】对于A,因为抛物线y2=2px(p>0)的焦点为„,

若抛物线逆时针旋转270。，则开口向下，焦点为(0,-光)

故开口向下的抛物线方程为：V=_2py(p>0),故A正确；

因为|AB|=8,设A(尤-%)，B(4,%)，所以以=4,%=一4,

因为点A在抛物线y2=2px(p>0)上，所以16=2?4，

所以与=",即A］』，所以45,-41,

由B在抛物线—=_2py(p>0)上，所以『=-2px(-4),解得p=2,故B正确;

由仁;得3

对于C,当P=l,,所以0</<2,

212

由题意直线X=t截第一象限花瓣弦长为y=收-0<t<2,

所以令y'=0,如也,

当0<t<g时,y'>0,函数单调递增，

当仁<：<2时，y<o,函数单调递减，

所以当f=七时，函数取到最大值，故c错误；

对于D,由厂：=2广得B(2p,-2p),

［厂=-2py

过第二象限的两抛物线分别为：x2=2py®,y?=_2px②,

对于①，y=^-'则"=土，设切点坐标为(也多-］,

2PP12Pl

所以过点B的切线方程为：y+2p=^(x-2p),

将点|加,代入得/+4〃%-4//=0,解得m=2p±2yflp,

I2pJ

因为〃2<0,故.=2P_2亚0=(2-2亚,

所以切线的斜率为2-2加，故无论。为何值，切线斜率均为2-2攻，其与直线丫=苫的夹角为定值，

由题意可知，f=2py与J=-2px关于直线>=尤对称，

故过点B的两切线也关于直线>=无对称，故丁=-2px的切线与直线>=尤的夹角为定值，

即无论P为何值，过点B且与第二象限花瓣相切的两条直线的夹角为定值，故D正确.

故选：ABD

【点睛】关键点点睛：本题的关键是借助抛物线图象的对称性，利用导数的几何意义和导数求单调性

及最值解决问题.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.(2024上•广东深圳•高一统考期末)已知集合A={-2-1,0,1.2},B={xeN|2x-3<0},则4口2=—.

【答案】{0,1}/。,。）

【分析】由交集的定义和运算直接得出结果.

【详解】集合B={xeN12K0}={0,1},

所以4门8={0,1}.

故答案为：{。」}

13.（2024.广东肇庆.校考模拟预测）采取随机模拟的方法估计某型号防空导弹击中目标的概率，先由

计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示击中目标，5,6,7,8,9,0表示未击中

目标，以三个随机数为一组，代表三次发射的结果，经随机数模拟产生了20组随机数：

107956181935271832612458329683

331257393027556498730113537989

根据以上数据，估计该型号防空导弹三次发射至少有一次击中目标的概率为.

17

【答案】—/0.85

【分析】根据题意，得到这20组随机数中一次为没有击中目标的次数，结合对立事件的概率计算公式，

即可求解.

【详解】根据题意，这20组随机数中一次也没有击中目标的有956,556,989,共有3组，

317

所以，这20组随机数中至少有一次击中目标的概率为p=l-茹=笳.

17

故答案为：—■

14.（2024・全国•模拟预测）在三棱锥S-ABC中，侧面SBC，底面ABC,AABC是等腰直角三角形，

且斜边AC=4,SB=SC=410,则三棱锥S-ABC的外接球的表面积为.

【答案】a41兀

【分析】方法一：设球心为O,如图①，取线段AC的中点N,过点N作直线/工平面ABC,则易知

球心。在直线/上，连接OS,设外接球的半径是厂，则OA=OS=r,再根据侧面SBC，底面ABC,过点S

作于连接跖V,易得1〃SM,过点。作OPLSM（或MS的延长线）于尸，得到四边形MN0P

是矩形求解；方法二：将平面SBC作为底面，设△加（7的外心为点过点M作直线//平面S8C,取

的中点N,在平面ABM内过点N作的垂直平分线，交直线/于点。，得到点。为所求外接球的球心求

解.

【详解】解：方法一：设球心为。，如图①，取线段AC的中点N,

过点N作直线//平面ABC,则易知球心。在直线I上.

连接OS,设外接球的半径是「，则。4=OS=r.

因为侧面SBC，底面ABC,过点5作5/_£8。于M,

连接MN,则由面面垂直的性质定理知，SMJ.平面A8C,所以/〃SM.

过点。作。尸，（或MS的延长线）于尸，则四边形MNOP是矩形.

又由题意易知，M是BC的中点，AB=BC=2y/2,而SB=SC=,

则SM=2应，。尸=MN=C,PM=0N=介-4，所以“=,亚-V7rm,

在RtZkSO尸中，由S尸+0尸=0$2,所以卜亚-J产一4『+（0『=',

,____4141/r

化简得6-4vLV7^=o,解得/=工，所以S表=4%/=

o2

方法二：如图②，调换视图角度，将平面S8C作为底面，由题意知，AB工平面SBC.

设ASBC的外心为点M,过点M作直线//平面SBC,则/〃AB.

取AB的中点N,在平面A8M内过点N作的垂直平分线，交直线/于点。，

则点。为所求外接球的球心，在ASBC中，利用正弦定理，得2BM=%;.

sinC

在等腰二角形SBC中，SB=SC=V10?得sinC=—=—y=,

V10V5

SB屈56r

所以sinC22,所以BM=---，

忑4

所以所求外接球的半径0B=-乎，所以%=4兀。卤=号.

故答案为：号41兀

四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分.解答应

写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（满分13分）（2024.广东广州.仲元中学校考一模）在CMBC内，角A,8,C所对的边分别为。，b,

c,且bcosA-ccosB=(a-c)cos(A+C).

⑴求角8的值；

（2）若□ABC的面积为36，b=岳,求CABC的周长.

【答案】(1)8=。

(2)7+713

【分析】(1)由正弦定理和三角恒等变换得到cosB=；,求出角8；

(2)由余弦定理和面积公式得到方程，求出a+c,进而求出周长.

【详解】(1)由cos(A+C)=-cosB,得Z?cosA-ccosB=(c-〃)cosB

由正弦定理，得sin3cosA-sinCcos8=(sinC-sinA)cos5.

/.sinAcosB+cosAsinB=2sinCcosB.

...sin(A+B)=2sinCcosB.

又A+5+C=7L,

/.sin(A+8)=sinC.

又0<C<兀,

/.cosB=1.

2

又3e(。,江

：.B=~.

3

•jr

(2)由(1)知5=

/.b1=a1+C1-2«ccosB=a2+c2-ac®

XS=—acsinB=^-ac,i^L^-ac=3^3,

244

ac=12,②

又・：b:岳,

二.由①②，得/+02-12=13,故4+C2=25,

•**(a+c)-/+c?+24c—25+24—49,

故a+c=7,周长为7+屈.

16.（满分15分）（2024.广东肇庆•校考模拟预测）在四棱锥尸-A3CO中，底面是边长为2的正方形，PD1

平面ABCD,PD=3,E是棱PB上一点.

⑴若E为PB的中点，求直线PB与平面AEC所成角的正弦值;

(2)若平面AEC与平面PBC的夹角的余弦值为二H,求点E的位置.

26

【答案】(l)g庖

(2)点E为PB的中点

【分析】(1)由题设条件建系，表示出相关点，分别计算而坐标和平面4EC的法向量坐标，利用线

面所成角的空间向量计算公式即得；

(2)在原有坐标系中，设出参数t表示出点E的坐标，分别计算平面AEC与平面P8C的法向量，利用

面面所成角的空间向量计算公式列出方程解之即得.

【详解】(1)

1

如图，分别以DA,DC,OP为％%z轴的正方向建立空间直角坐标系.则

3

A(2,0,0),C(0,2,0),BQ,2,0),P(0,0,3),E(l,l,-).

----3——►

于是，P5=(2,2,-3),AE=(-1/Q),AC=(-2,2,0),设平面AEC的法向量为

n-AE=-x+y+—z=0

则2

n-AC=-2x+2y=0

故可取n=(1,1,0).设直线PB与平面AEC所成角为Q,

则sin0=|cos(PB,ri)|=|.——~产|=-V34.

VT7XV217

即直线PB与平面AEC所成角的正弦值是士庖.

(2)

如图，设E(〃,"c),^E=tBP，则0W1,因5(2,2,0),尸(0,0,3),故(〃-2/-2,c)=《-2,-2,3),解得:

E(2-2^,2-2r,30,

则荏=(-2/,2-2/,3/),衣=(-2,2,0),设平面AEC的法向量为卮=(4％,Z1),

m.•AE=-2tx,+(2-2/)y+3tz,=0—,

则——_►，故可取叫=(3/,31,41-2).

㈣•AC=-2x1+2%=0

又丽=(-2,-2,3),BC=(-2,0,0)，设平面BPC的法向量为和=(%,%，z?)，

m-BP=-2x-2y+3z=0—►

则7_____?_9?，故可取回=(0,3,2).

m2-BC=-2X2=0

3726一一►171—4

设平面AEC与平面P5C的夹角为。，则cosa=-------=|cos〈叫，m?〉|=|I,

26V34?-16z+4xV13

解得：♦=；或'=-1，因。W1，故，=；，即当点E为PB的中点时，平面AEC与平面P8C的夹角

的余弦值为也.

26

17.(满分15分)(2024•湖南邵阳•统考一模)已知递增的等差数列｛七｝("eN*)满足：%+%+延=21,仆的，生

成等比数列.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

C

⑵记s”为数列｛叫的前W项和，2=寸，求数列抄“｝的前”项和

【答案】⑴a,=2I〃eN*

v/+4w+6,

⑵4=6--------------,«eN

【分析】(1)根据题中条件列出方程组，解出即可；

(2)错位相减后得到结果，再用错位相减法进行计算，即可求解.

【详解】(1)设—l)d,"＞。，

3aA=213(q+3d)=21；或CL=1

由题意得2：，即彳导

—〃5(q+d)=q(4+4d)Lo(舍去)

c1n=2n-l,n£N".

〃(%+4)=〃2

由(可得

(2)1)S,2~n

贝IJ6=&=丑=々+4+4+…+a='+今+为+…+鼠，①

"2"2"'123n222232〃

可得：口除+>+…+吐+必，②

242"2n+l

①-②可得：='+||~+/+…+anSn

T2〃+i

设簿吟+号+墨+…+/③

1叱a,%a.

K=i+2+3+..•+%+片，④

2n222324T2n+1

③-④可得:

n-1

1

1-1

12222n-l42n-\32〃+3,

2&=+…+2+2-

222232n2〃+i--2n+1~2--2.

则给=3-2

2n

2

；T，=K「2：「3一2n+3n

T2n+1

2

Tnn+4/1+62*

:1=6-，〃eN.

18.(满分17分)(2024•全国•模拟预测)已知函数/⑴=ax+lnx+l,g(x)=xex-2x.

⑴若f(%)的极大值为1,求实数〃的值;

(2)若。=—1,求证：f(x)<g(x).

【答案】⑴T

⑵证明见解析

【分析】(1)分类讨论，利用导数判断函数的单调区间，根据极大值建立方程求解即可;

(2)把问题转化为证明泥-x-Inx-120,构造函数，利用导数研究函数最值即可证明.

ax+1

【详解】(1)了⑺的定义域为(0,+8),f'(x)=a+-=

Xx

当时，r(x)>0,了⑺在(0,+8)上单调递增，函数"X)无极值;

当。<0时，令/(x)>0,得0<x<-L令/(x)<0,得X>-L

aa

所以/(X)在上单调递增，在(-：，+e]上单调递减，

故当彳=一工时，了⑺取得极大值，极大值为解得

a\ciJ\aJe

经验证a=-工符合题意，故实数。的值为」.

ee

(2)当。二一1时，f(x)=\nx-x+l,故要证/(x)Wg(x),即证xe"—x—Inx—120.

令尸(x)=xe*-则F'(x)=(x+l)ex------1=(%+1)(e%-—|,x>0.

x\X)

令G(尤)=]-1,x>0,贝1]G'(x)=e'+与>0,

XX

所以G(x)在(0,+◎上单调递增，

又因为=五-2<0,G(l)=e-l>0,

所以使得G(x0)=0,即

当xe(O