2023-2024学年四川省雅安市高三年级下册开学考试联考数学（文）试题（含解析）

2023-2024学年四川省雅安市高三下学期开学考试联考数学（文）

试题

考生注意：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分

钟.

2.请将各题答案填写在答题卡上.

3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.复数为（3一i）的共轨复数为（）

A.2+6iB.2-6iC.-2+6iD.-2-6i

2.已知集合"=2卜一Z9则八八（

)

)(同

A,0，+°°)B.[T+8c,D.H,S]

sin/=2

3.的内角A,B,C的对边分别为a,b,C.已知a=3,6=2,3,则

cos5=()

V65V654,V65

A.丁B.9C.9D.-9

5满足同=3孔且G+2"G一切，财

4.己知非零向量与B夹角的余弦值为

()

1£]_1

A.12B.6C.4D.3

5.己知是三条不重合的直线，出民/是三个不重合的平面，则下列结论正确的是

()

A,若/〃氏。〃4，贝〃〃尸

B.若ac0=l,m“I,则优〃a且加〃夕

C.若/_L私/_L%加ua,〃ua,则/_La

D.若ic分=/,a_L/,£_L/,则/

心F

6.函数.x--l的图象大致为（）

7.一组数据叼马，4…x”的平均数和标准差分别为3和1,另一组数据

3+6,6txi+bax3+baxn+b（其中0>0）的平均数和标准差分别为10和4,则

。"=（）

1]_

A.16B.8C.16D.8

8.执行如图所示的程序框图，若输入的值为。=0・3°2,b=0.203,c=-log020.3,则输出的

值为（）

logo.20302

A.B.O.3Q0.2°3D.—l°go.203

9.已知函数"X）=2'+&-4,若存在再使得则下列结论不正确的

是（）

再x>l

A,<1B.2

C./卜）在（4马）内有零点D.若/（X）在（“2J内有零点，则

x+x

x2>0

2

10.当两个变量呈非线性相关时，有些可以通过适当的转换进行线性相关化，比如反比例关

k1

z=—

下列表格中的数据可

A.2.98B.2.88C.2.78D.2.68

f（x）=2sin2j+V3sina>x+—\-2（a）>0}

11.若函数（2口I6）IJ在[”可上恰有两个零点，则

。的取值范围为（）

1325^|<1325

.3句R〔3'3.C.［不力D.E不一

~~22

G:―=l（ci>0,b>0^。2：4—~r—1（^>0,6>0）

12.我们把形如ab和6a的两个双曲线叫做共

23

—I—

扼双曲线.设共钝双曲线G,6的离心率分别为6,4,则当q02取得最大值时，

【（）

叵叵叵叵

A.2B.3C.6D.13

第n卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

x+y—4<0

<x-l>0

13.已知实数x,了满足约束条件口一1'°,则其表示的封闭区域的面积为.

14.已知抛物线E：r=8x的焦点为尸，伙方'%）是E上一点,河-丁/=

15.一个封闭的玻璃圆锥容器内装有部分水（如图1）,此时水面与线段工。交于点8,

产=

将其倒置后（如图2）,水面与线段/O还是交于点8,贝八/°）_____.

16.已知‘分别是函数/（x）=x+e、_xe*和g（x）=x+lnx_xlnx的零点，且［〉］,

11

---1---=

△>e,则aB.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题,

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分.

册I4+”+”+…+区=小2"|

17.已知数列但，了满足23«

(1)求{%}的通项公式;

⑵求数列⑵+2J的前〃项和兀

18.为了防止注册账号被他人非法登录，某系统在账号登录前，要先输入.已知该系统登入

设置的每个均由有序数字串组成，其中a，6，ce{1,2,3},某人非法登录一个账号，任选一

组输入.

(1)求这个人输入的恰有两位正确的概率；

(2)若这个人通过技术获得了的第一位数，求这个人输入的正确的概率.

19.如图，在四棱柱'88一N4G2中，底面N8CD和侧面均是边长为2的正方

(1)证明：BDi1B'C.

(2)若SBC=120°,求点G至呼面BCD,的距离.

20.已知函数/(x)=Mlnxj)+lnx+a.

⑴若。=1,当X>1时，证明：

⑵若a<2,证明：/(X)恰有一个零点.

21.己知椭圆°靛+铲一I'"">"的离心率为工~,且椭圆0的短轴长为2n.

⑴求椭圆C的方程.

⑵设尸是椭圆C上第一象限内的一点，A是椭圆C的左顶点，8是椭圆C的上顶点，直线

力与了轴相交于点直线尸3与x轴相交于点N.记A/BN的面积为耳，AMN的面积为

邑.证明：田一邑|为定值.

(-)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第

一题计分.

［选修4-4：坐标系与参数方程］

卜=cos6+sine

22.已知曲线C的参数方程为b=cose-sind(夕为参数)，直线/的参数方程为

.1

x=—+tcosa

<2

1

y=—+Zsin«

「2a为参数)，/与C相交于A,B两点.

(1)求曲线C的普通方程；

⑵设(22),证明：⑼•网为定值.

［选修4-5：不等式选讲］

23.已知正实数。，b,c满足/+〃+。2=3.

11c

——+—>2

(1)若。=1,证明：bc

⑵求湖+bc+ca的最大值.

1.B

【分析】利用复数的乘法化简复数方。-。，再利用共软复数的定义可得出结果.

【详解】因为万（3-。=6「万2=2+&,故复数的共辄复数为2-6i.

故选：B.

2.B

【分析】根据绝对值不等式的解法及函数定义域的求法，由集合并集可得结果.

【详解】由,一2归3,解得一”xw5,所以/=[T5].

1

因为函数五口的定义域为{小＞1},所以2=0，+°°）,

所以"*={XQT},

故选：B.

3.A

【分析】根据题意，由正弦定理代入计算，即可得到结果.

—sirtB=-

【详解】由正弦定理知，sin/sinS,则9.因为6＜。，所以

cosB=Vl-sin2S=

9.

故选：A

4.B

【分析】根据题意，由数量积的运算律，代入计算，结合平面向量的夹角计算公式，即可得

到结果.

.、*即、（5+2Z））±（5-4Z＞）

【详解】因为'）、）,

所以@+2不）,一43）=a2-2a-b-Sb2=b2-2a-b=Q

-b2

COS0=-^-|4|21_

26

设日与行的夹角为夕，则同W3b

故选：B

5.D

【分析】根据线面以及面面平行的性质可判断A；根据线面平行的判定定理可判断B；根据

线面垂直的判定定理可判断C；根据面面垂直的性质以及线面垂直的判定定理可判断D.

【详解】对于A,若/〃。，a〃尸，则/〃〃或人错误;

对于B,若ac/3=l,m41,则当％<za且加<z£时，才有?〃〃a且加〃尸，B错误;

对于C,若/,机,/J■凡加ua,〃ua,当“〃”时，推不出/_La,c错误；

对于D,如图，设2口7=加，方□/=〃，在7内取点尸，P走m,P史n,

作尸4,私P8L”,垂足为4台，因为a，八夕，7,则P/，生尸8，万，

而/ua,/u#,则P8_L/,又PARPB=A,PA,PBuy,

6.A

【分析】先判断函数的奇偶性，再根据特殊值即可得到选项.

ox_1_O-X&X,&一X

fG)=。+。f(—X)=。+。=f(x)

【详解】由函数I厂x2-l,'I.尸x2-l",令》2-「0,解得xw±l,

则其定义域为{x1x*±l},关于原点对称，

f(O)=^3°+-3°=-2

所以函数在定义内为偶函数，排除C,D选项，因为JT,观察选项可知，选

A.

故选：A

7.C

【分析】根据两组数据的线性关系确定它们的平均数与标准差的关系列方程，即可得。涉的

值，从而可得答案.

3a+b=10

22

<axl=4[a=4i

【详解】由题可知，〔°口,解得也=一2,则16.

故选：C.

8.D

【分析】执行程序框图可知，输出的值为最小值，故判断出仇,的大小关系即可得到答案.

【详解】执行程序框图可知，第一次判断输出中较小的数记为。，

再进行第二次判断，将。与c进行比较，记较小的数为。，最终输出.

故输出的值为a，b，c的最小值.

33

。=-logo,203=Tog177=log—<log1=0

因为。=0.3°2>0,b=O.20-3>0,55

所以输出的值为T°g0203.

故选：D

9.A

【分析】根据函数的单调性结合零点存在定理逐项判断即可得结论.

【详解】因为"x）=2、+4-4在［0,+e）上单调递增，且&＜2/（再）/6）＜0,

所以/（再）＜°,/（尤2）＞°,根据零点存在定理可得函数/（x）在（占户2）内有零点，故c正确;

又因为所以某＞1,故B正确;

___3

又因为"121）=2.+位1-4＜27.9=2后-2.9＜。，则,可能大于1，故人不正确；

若函数JU）在I2J内有零点，贝。I2J，故D正确.

故选：A.

10.B

【分析】设，=/后，得到了与z之间的关系表格，计算出z，y的值，利用色，》）在线性回归

方程上进行计算即可.

【详解】设z=,，贝口=°」43+g,则

Z149162536

y2.53.64.45.46.67.5

_1+4+9+16+25+3691

z-------------------------------------

则66,

_2.5+3.6+4.4+5.4+6.6+7.5

y=--------------------------------------=5

6,

»91

Z)=y-0.14z=5-0.14x—®2.88

则6

故选：B.

11.C

【分析】利用三角恒等变换先化简函数式，结合三角函数的图象与性质计算即可.

f(x)=1-cos2sina)x+-\-2

【详解】•LI6

=-sin(yx+—cos®x-l=sinf<yx+-71>|-l

223

71

COXH---=1

令"x)=。，得sin3

兀7171

—<CDX+—<COTI+—

由0«工《兀，得333

sin(DX+—=1

因为I3恰有两解,

5兀719711325

——<a)x+—<——=@w

所以23266

故选：C

12.A

232a+3ba=ccos。,

—i—=----------0<6><^

【分析】根据题意可得6%c，由,2+b\可设b=csmO结合

三角恒等变换与正弦型函数的最值即可得答案.

c

，=­

a

C2+巨=的+/=24+36

【详解】由题意可知则，,2。。c

a=ccos6,

o<e苫

由。2=/+〃，可设b=csin。

3

coscp——-^=,

V13

0

232ccos0+3csin6.2

—I—二=3sin6+2cos0=V13sin(0+0)sincp=—f=

则eie2c,其中<13

23

71兀八兀—I—

0+(D=—O=(06

当2,即2时,>取得最大值屈,

C1

，=-

aCCOS0COS0

此时

故选：A.

13.2

【分析】利用线性规划作出约束条件所表示的封闭区域，从而得解.

【详解】根据约束条件作出的平面区域图如图所示,

易得4(1,1),2(3,1),C(l,3),

S=-\AB\-\AC\=-X2X2=2

则’2112,故封闭区域的面积为2.

故2.

14.6

【分析】根据抛物线的定义及焦半径公式计算即可.

【详解】由题可矢‘2，°"叼=%+2=苧》=6

故6

15.2##0.5

【分析】由已知可得前后两次水面的交点相同可得圆锥的体积是圆锥体积的一半，再

由圆锥的体积公式计算可求.

【详解】由题意知，在图1中，圆锥的体积是圆锥体积的一半，分别设圆8,圆。的

12

"—TIK,A.B

VAB31AB

AAO4

„„'。-Ttr^-AO।

半径为勾马，则3-

故5

16.1

【分析】求/'("),判断函数/(%)在O'+8)上的单调性，根据函数零点及单调性可得

11

---1----

a=ln£,化简可得a尸的值.

【详解】由题意可得a+ea-ae"=O,。+ln。-°=0,

又r(x)=l+e"(x+l)e』-xe，,当》>1时，/'3<。，所以(G)在0，+°°)上单调递减,

因为a>l,ln£>lne=l,且ln'+夕一'In,,

1+1_a+j3_\nj3+j3_j3]nj3

又/(a)=a+e°—ae。，所以a=ln/?,所以戊BaP01n/3

故1.

*(]产=〃("+1)2"

⑵4=(〃T"+1

【分析】(1)根据题意，当〃22时，用(”一1)替换〃，然后代入计算，即可得到结果;

(2)根据题意，由错位相减法代入计算，即可得到结果.

【详解】(1)当〃=1时，％=4.

、％+”+”+...+工=〃.2""a+区+2+...+也-1).2"

当“22时，由।23n，得।23«-1V7

则〃V'J,则。〃-+,

因为《也符合上式，所以％="("+1>2"

———=n-

(2)由(1)可知，2H+2

贝I」/；=lx20+2x2i+3x22+・—+〃-2"T

贝g27；=lx2i+2x22+3x23+L+n-2"

2°-2"

~T=2°+2i+2?+…+2"T-"-2"=-n-2n=-l+(l-n)-2"

两式相减得1-2

则1W+1.

2

18.（1）9

j_

⑵9

【分析】（1）利用古典概型的概率求解；

（2）利用古典概型的概率求解.

【详解】（1）解：由题可知，所有的包括

111,112,113,121,122,123,131,132,133,211,212,213,221,222,223,231,

232,233,311,312,313,321,322,323,331,332,333,共27种.

不妨设正确的为111,则恰有两位正确的包括112,113,121,131,211,311,共6种，

_6__2

故这个人输入的恰有两位正确的概率为万一§.

（2）不妨设正确的为111,这个人通过技术获得的的第一位数为1,

则这个人输入的可能为111,112,113,121,122,123,131,132,133,共9种，

则这个人输入的正确的概率为3.

19.（1）证明见解析

2后

⑵7

【分析】（1）由线面垂直证明线线垂直，先连接8G,由已知得到四边形2CG用为菱形后推

tBBC'1B'c,再证明G2■平面得到CQi’qc,推出与C,平面8G2,最后可

证明.

S=—x2?=

（2）用等体积法求点到面的距离，先求出14,得到

]2-\/3।

V=X

DX-BCC{T^A5CC1xC[D]=-^—S&BCD\=-x2xV?=V7

33,再由2得到

1„,

v—x3x4=____

yC「BCD1

一32-3,最后由体积相等解出即可.

【详解】（1）证明：连接因为底面N8C。和侧面48片4均为正方形，所以四边形

8CCe为菱形，则2cl_L2C.

ABCD

由底面和侧面CDDG均为正方形，得GA1BG,GA,eq.

因为片GCCG=G,所以Cd，平面5CC4.

又用cu平面2CG瓦，所以GA,BC.

因为8GnC|〃=G,所以用“平面8GA.

又BD\u平面BCR,所以8口_LBfi

⑵因为4削=120。，BC=BB、=2,所以％“一彳*2"3.

又CR1平面BCCA,所以kcc、=|xS.Bcc、*CR=当

CDX=JCQ；+CC；=2V2BDl=4CQj+BC；=272

S„=-x2xV7=V7

则皿ca2

va_行d

设点G到平面2c口的距离为a,则G-BCD「1X,BCD、X-.，

Hid2V3,2V212V21

则3-3,解得-7,即点G到平面2cA的距离为7.

20.(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)根据题意，求导可得即可得到/(、)在a+8)上单调递增，再由

/(%)>/(1)=0日口由、工用

jv7jv7，即可证明；

/、Inxa

⑵根据题意，构造函数g⑺一n”"+求导可得g'G)>°,即gG)在(。，+8)上

单调递增，再结合g°)=°,即可证明.

【详解】⑴证明：因为。=1,所以/(x)=xlnx-x+lnx+l,/(x)-lnx+-^

当x>l时，-则,（X）在°，+吟上单调递增,

所以当X>1时，/（X）>/（1）=°

Inxa

f(x)=x(\nx-a^+h\x+a=x\lnx-4十---+—

(2)Ixx

1-lnxax+l-lnx-q

g(x)=Inx-tz++—g'(x)=—+

222

令XX,贝I]XXXX

令〃(x)=x+l-lnx-a,则"3=1一厂下,

当xe(O,l)时，〃。)<0,"x)在(0,1)上单调递减，当xe(l,+oo)时，"(x)>0,〃(x)在

（1，+°°）上单调递增,

，/、x+1-lnx-tz

所以，(x"，(l)=2-a>0,所以gOx2>

则g(x)在(°，+00)上单调递增.

因为所以g（x）恰有一个零点，则/（X）恰有一个零点.

X2J2

—+—=1

21.（1）96

（2）证明见解析

【分析】（1）根据题意，列出关于风a°的方程，代入计算，即可求得结果;

（2）根据题意，分别表示出点的坐标，从而表示出岳,邑，然后结合椭圆的方程，代入

计算，即可证明.

c_V3

a3

2b=2aa=3

a2=b2+c2<b=y[6

c=VJ

【详解】（1）由题可知，〔,解得

故椭圆C的方程为96

以、V=2J(X+3)叼0，上、

证明：设尸则直线尸/的方程为％。+3,令、=0,得I%+3人

广上风+&N一Rx。

Co-点?

直线总的方程为X。,令y