2024高考数学二轮复习-比较法

【二轮复习一比较法】

专题14比较法

指数、对数式比大小三角函数比大小

P1-3P3-5

考向一指数、对数式比大小

【方法储备】

指数、对数式混合比较大小的方法：

1.若有同底的指数式或对数式，则先构造函数，由指数函数、对数函数的单调性进行比较.

2.对于不同底的指数式、对数式

①将指数式与“1”进行比较，1=a。，通过单调性比大小，同时指数式的值恒大于0；

②将对数式与"0","1"进行比较，1=logaa,0=logal,通过单调性比大小；

③若与“0”，“1”比较后仍不能比大小时，将中间量的值重新设定，如“1”，再运用同样的方法进行比较.

【典例精讲】

例1.（2023•山东省•月考试卷）已知a=log23,b=log34,c=log45,则下列结论正确的是（）

A.c>b>aB.c>a>bC.a>c>bD.a>b>c

解：c=log45=log25<log23=a,-c<a,

a-b=1砥3-1唯4巧广兽=（/一臂g4,

igNIgj11c2.胃3

Vlg2>0,lg4>0,Ig21g4<1=（lg3）2,

a-b>0,/.a>b,

b-C=1唯4-1嗝5=雪-；g；=（侬.蜉g5,

•••lg3>0,lg5>0,lg31g5<K皿=皿庄<也跳=32=（电4产

4444

•••b—c>0,b>c,

a>b>c.

故选D.

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【二轮复习一比较法】

【拓展提升】

练1-1(2023•广西壮族自治区南宁市・期末考试)已知a,b6(0,3),且41na=aln4,41nb=bln2,c=logo,30.06,

则()

A.c<b<aB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a

AB_Ini_21n2_ln2

解：田二二丁二丁二丁

Inb_ln2_lnl6_41n2_ln2

-b41616V'

令f(x)="工外X)=1-2—

V1一

所以f(x)在0］,e］上单调增,在(e,+8)上单调减，

因为a,be(0,3),所以a=2,由史(㈣，得b<a,

h2

又因为c=logo.3O.O6=log03(0.2x0.3)=log030.2+1>log030.3+1=2,所以a<c

综上所得b<a<c

故选C.

练1-2(2023•福建省•模拟题)已知f(x)是定义在(1,+8)上的单调函数，g(x)是(0,+8)上的单调减函数，且f(2x)=

f(3Y)=f(5z)，则()

A.g(2x)<g(3y)<g(5z)B.g(5z)<g(2x)<g(3y)

C.g(3y)<g(5z)<g(2x)D.g(3y)<g(2x)<g(5z)

解：由已知得2X=3y=5Z=k>1,则x,y,ze(0,+oo),

所以x=log2k,y=log3k,z=log5k,

bt、i2x21gklg3lg9Yrmcc

所以3y=lg2,31gk=lg8>T人」2x>3y,

。式MT•鼠=黑<1，则2X<5Z,

所以0<3y<2x<5z,

又因为g(x)是(0,+8)上的单调减函数,所以g(3y)>g(2x)>g(5z),

故选B.

练1-3(2023•浙江省丽水市•月考试卷)已知a=|劫T，b=?唯6+4og65,c=［乜'2,则

()

A.b>a>cB.b>c>aC.a>b>cD.a>c>b

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【二轮复习一比较法】

1

解一=管r=（e

lg5>0,lg6>0,

19lg691g5

b=logs6+log65------十-------

21g581g6

4(lg6)2+9(lg5)224(lg6)2X9(lg5)2_121g5-lg6_,

81g5-lg6>81g5-lg6=81g5-lg6=工*

1818

410g56+910g65?殷+?1分

lg5lg6

181g54g6_____181g5皿6181g5・lg6=15

4(lg6)2+9(lg5)224(lg6)2x9(lg5)2=121g5.lg6

故b>a>c.

44

练1-4(2021•安徽省•模拟题)已知55<8,13<85.设a=log53,b=log85,c=log138则()

A.a<b<cB,b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

解：a=log53=；；：,b=log85=，c=logi38=,

-b—3—In5_In3In8^1n5)2(ln3+inH)2Tm5)2

''In51n8In58<ln..

1n2弋,Inoa

(In24+ln25)(In24—In25)

_•<0>

-41n5In8'

-4ln8-451n8-41n13In85ln134、

C=,「==->0n;

5ln13551n1351n13

,4In5451n541n8In55In84

51n8551„851c8

综上所述，a<b<-<c,BPa<b<c,

故选A.

考向二三角函数比大小

【方法储备】

1.比较三角函数值的大小，既要用到三角函数的有关性质，又要用到不等式中比较大小的方法.

2.非特殊角的三角函数和指对基函数混合的比大小题型中，往往需要借助中间值“0”或“1”进行比较.

【典例精讲】

例2.（2022•江苏省•月考试卷）设a=sin250°,b=—-cos50°,c=■,岑则a,b,c的大小关系为（）

COSJU1♦

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b

.1cos2osi951o<io*t10o

解：对于b=-B=/犷=_=l_cos：,

cos50°coss・cos51yBcos02cos50

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【二轮复习一比较法】

所以b-_1)>o,故：b>a,

?£2s50-22'e150r

由于c=：n5黑=Ix-tan50-=sin50°cos50°,

l<tanz5021♦tan25o

a-c=sin50°(sin50°—cos50°)>0,故a>c,

故：b>a>c.

故选：B.

【拓展提升】

练2-1(2023•安徽省阜阳市•月考试卷)不求值，比较下列各组数的大小，其中正确的是()

Asin(-蔺>sin(-B.cos(-芋)>cos(-阴

C.sin250°<sin260°D.cos年<cos(T)

解：对于A,因为<-六<0,

正弦函数y=sinx在区间［-'0］上单调递增，

所以sin(-yg)>sin(一台，故A正确；

对于B,cos(-=COS^22=cos—,cos(--^―^)=cosAZZ=cos—,

54G444

因为0<一<<7T,余弦函数y=cosx在区间［0,n］上单调递减，

4S

所以cos->cos—,即cos(—L!)>cos(—二IL),故B错误；

454S

对于C,sin250°=sin(180°+70°)=—sin70°,sin260°=sin(180°+80°)=—sin80°,

因为y=sinx在［0；］上单调递增，所以sin70°<sin80°,

所以一sin70°>-sin80°,即sin250°>sin260°,故C错误；

对于D,cos（一J/）=cos孚，因为工<工函数y=cosx在［0,n］上单调递减，

所以cos-二>cos-*^-，即cos~：>3（弋,故D错误.

故选A.

练2-2（2022•广东省•联考）设函数f（x）=tanx-x,x#kit+三，keZ,则（）

A.f4()<f1)<喟)B.f4()<f侍)<fl

C.f［l)<哨<f4D.f(li<f4()<fj)

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【二轮复习一比较法】

解：函数f(x)=tanx-X,xrkTT+『！，keZ,

f1(x)=T=CO^2X-1>0恒成立，所以f(x)在(0,〉和上分别单调递增,

因为0<1<'：<；,所以f(0)<f(l)<f(；),而f(0)=0,所以0<f(l)<f()

因为4e(',T),且4<=<?所以f(4)<f(箪=ta4一¥=3一斗<0,

故f(4)<f(l)<f(S).

故选A.

练2-3(2022•山东省•模拟题)已知a=(tan芋严，b=log2(sin'),c=log2(cos^L),则a,b,c的大小关系

是()

A.a>c>bB.b>a>cC.c>a>bD.a>b>c

解：因为tan—>tan；=1,所以a=(tan-^)01>1,

又0<cos岑=sin'<sinJ<1,y=log2X在(0,+8)上单调递增，

所以log2cos?<log2sin^<0,

所以c<b<a.

故本题选D.

练2-4(2022•江苏省•月考试卷)设a=siME-