福建省厦门市第一中学2022-2023学年八下期中考试数学试卷（解析版）

福建省厦门第一中学2022～2023学年度第二学期期中考试初二年数学试卷命题教师：姚丽萍审核教师：郑辉龙2023.4班级______________座号______________姓名______________考生须知：1．解答内容一律写在答题卷上，否则不得分，交卷时只交答题卷．2．所有答案都必须写在答题卷指定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应．一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）1.下列图形中的曲线不能表示y是x的函数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的定义：对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与它对应，那么就称是的函数．再结合图象，可得到答案．【详解】解：由函数的定义，可知B选项中，存在某一些的值，有两个值与之对应，不符合函数定义，因此B选项中的曲线不能表示y是x的函数，故B符合题意．而选项A，C，D中的曲线都符合函数的定义，故不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查了函数的定义，理解函数的定义，每一个确定的值只能对应一个确定的值，再结合函数图象解题是关键．2.如图，矩形中，对角线交于点．若，则的长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由矩形的性质得出，结合题意证明是等边三角形即可．【详解】解：四边形是矩形，且，是等边三角形，故选：B．【点睛】本题考查了矩形对角线相等且互相平分的性质及等边三角形的判定方法，熟练掌握矩形性质是解决本题的关键.3.如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D，CD=1，则AB的长为（）A. B.2 C. D.2【答案】C【解析】【分析】在Rt△ACD中求出AD，在Rt△CDB中求出BD，继而可得出AB．【详解】在Rt△ACD中，∠A=45°，CD=1，则AD=CD=1，在Rt△CDB中，∠B=30°，CD=1，则BD=，故AB=AD+BD=+1．故选C．【点睛】本题考查了等腰直角三角形及含30°角的直角三角形的性质，要求我们熟练掌握这两种特殊直角三角形的性质．4.如图，平行四边形ABCD的周长为20cm，AC与BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△CDE的周长为（）A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm【答案】C【解析】【详解】∵四边形ABCD平行四边形，∴AB=DC，AD=BC，OA=OC，∵▱ABCD的周长为20cm，∴AD+DC=10cm，又∵OE⊥AC，∴AE=CE，∴△CDE的周长=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=10cm，故选C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质以及三角形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，运用线段垂直平分线的性质得出AE=CE是解决问题的关键．5.如图，的顶点，，，则点D为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据平行四边形的性质结合，，证明，轴，从而可得答案．【详解】解：∵，∴，，∵，，∴，轴，∵，∴；故选C．【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，坐标与图形，熟练的利用平行四边形的性质解题是关键．6.如图，已知正方形ABCD的边长为1，连结AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE长（）A. B. C.1 D.1﹣【答案】A【解析】【分析】过E作EF⊥DC于F，根据正方形对角线互相垂直以及角平分线的性质可得EO=EF，再由正方形的性质可得CO=AC=，继而可得EF=DF=DC-CF=1-，再根据勾股定理即可求得DE长．【详解】过E作EF⊥DC于F，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵CE平分∠ACD交BD于点E，∴EO=EF，∵正方形ABCD的边长为1，∴AC=，∴CO=AC=，∴CF=CO=，∴EF=DF=DC-CF=1-，∴DE=EF2+DF故选A．【点睛】本题考查了正方形的性质、角平分线的性质、勾股定理等知识，正确添加辅助线、熟练应用相关性质与定理进行解题是关键．7.十一假期，小明去万州桐花湾美人谷景区游玩，坐上了他向往已久的摩天轮，摩天轮上，小明离地面的高度h（米）和他坐上摩天轮后旋转的时间t（分钟）之间的部分函数关系如图所示，则下列说法错误的是（）A.摩天轮旋转一周需要6分钟 B.小明出发后经过6分钟，离地面的高度为3米C.小明离地面的最大高度为42米 D.小明出发后的第3和第9分钟，离地面的高度相同【答案】C【解析】【分析】对于选项A，由图象可知，用两个最高点对应的时间作差即可；对于选项B，从图上看出，小明出发后经过6分钟恰好到达最低点，最低点为3米；对于选项C，观察图得出，图象的顶点对应的高度为45米，与42米不符；对于选项D，根据图象看出第3分钟与第9分钟小明离地面的高度均为45米，即可当得到结论．【详解】解：由图可知小明第一次到达最高点时间节点为3分钟，第二次到达最高点时间节点为9分钟．．∴A选项正确．由图可知，摩天轮旋转一周需要6分钟，摩天轮的最低点为3米，旋转一圈回到最低点．∴B选项正确．图象的顶点对应的高度为45米．∴C选项错误，符合题意．第3分钟与第9分钟小明离地面的高度均为45米，高度相同．∴D选项正确．故选：C．【点睛】本题考查了函数的图象，常量和变量，解答问题的关键是明确题意，找出所求问题的条件，利用数形结合思想解答．8.如图，顺次连接四边形ABCD各边的中点，若得到的四边形EFGH为矩形，则四边形ABCD一定满足（）A.AC⊥BD B.AD∥BC C.AC＝BD D.AB＝CD【答案】A【解析】【分析】此题要根据矩形的性质和三角形中位线定理求解；首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解．【详解】∵点E、F分别为AB、BC的中点，∴EF∥AC；同理可证FG∥BD，∵四边形EFGH为矩形，∴∠HEF=∠EFG=∠OKF=90°，∴∠OKF=∠BOC=90°，∴∠EFG＝90°，即AC⊥BD，故选：A．【点睛】此题考查了矩形的性质和三角形中位线定理，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答．9.下列说法中错误的是（）A.中，若，则是直角三角形 B.中，若三边长，则是直角三角形C.中，若的度数比是，则是直角三角形 D.中，若三边长，则是直角三角形【答案】D【解析】【分析】利用三角形内角和定理求解可判断A、C的正误；利用勾股定理逆定理求解可判断B、D的正误．【详解】解：A中，解得，则是直角三角形，正确，故不符合要求；B中设，则，，由，可得是直角三角形，正确，故不符合要求；C中，则是直角三角形，正确，故不符合要求；D中设，则，，由，可得不是直角三角形，错误，故符合要求；故选：D．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，勾股定理逆定理．解题的关键在于正确的运算．10.已知四边形的四个顶点A，B，C，D的坐标分别为，，，，若对角线互相平分，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由对角线互相平分，可得中点与的中点相同，即，求解得，则A，B，C，D的坐标分别为，，，，勾股定理得，，，则，可判断的形状，进而可求的值．【详解】解：∵对角线互相平分，∴的中点与的中点相同，∴，解得，∴A，B，C，D的坐标分别为，，，，∴，，，∵，∴是直角三角形，，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，勾股定理，三元一次方程组．解题的关键在于求出的值．二．填空题（第11每空2分，其余每题4分，共32分）11.化简：①________；②________；③________；④________；⑤比较大小：________；⑥________．【答案】①.②.③.④.⑤.⑥.【解析】【分析】根据零次幂的含义可得①的答案，根据负整数指数幂的含义可得②的答案，根据二次根式的化简法则可得③④的答案，根据二次根式的大小比较的方法可得⑤的答案，根据同分母分式的加减运算的运算法则可得答案．【详解】解：①；②；③；④；⑤∵，，而，∴；⑥．故答案为：；；；；；．【点睛】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，二次根式的化简，二次根式的大小比较，同分母分式的加减运算，掌握以上基础运算的运算法则是解本题的关键．12.函数中，自变量的取值范围是_______.【答案】【解析】【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数．【详解】依题意，得x-3≥0，

解得：x≥3．【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．13.如图，菱形中，，，则菱形的周长是____，菱形的面积是____．【答案】①.20②.24【解析】【分析】由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相等即可得出周长，由菱形面积公式即可求得面积．【详解】解：根据题意，设对角线相交于O，则由菱形对角线性质知，，，且，∴，∴周长，∵菱形对角线相互垂直，∴菱形面积是．故答案为20，24．【点睛】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，熟记菱形的性质并灵活应用是解本题的关键．14.如图，在中，是角平分线，于点E，，则的值为_____．【答案】5【解析】【分析】先利用勾股定理求出，根据角平分线的性质定理得到，由此证明，推出，设，则，利用勾股定理求出的值．【详解】解：∵，∴，∵是平分线，，，∴，在和中，∴，∴，∴，∴设，则，∴，∴，即．故答案为：5．【点睛】此题考查了角平分线的性质定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确掌握角平分线的性质定理是解题的关键．15.如图，在中，，P为边上一动点，于E，于F，M为中点，则的最小值为_____．【答案】【解析】【分析】根据已知得当时，最短，同样也最短，从而不难根据三角形的面积求得其值．【详解】解：连接，如图：中，，，∴是直角三角形，且，∵，，∴四边形是矩形，∴．∵M是的中点，∴，根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即时，最短，同样也最短，，即，．故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，矩形的判定及性质、直角三角形的性质，解题的关键是能够把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段．16.《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是_____寸．【答案】101【解析】【分析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论．【详解】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸，∴AE＝（r﹣1）寸，在Rt△ADE中，AE2＋DE2＝AD2，即（r﹣1）2＋102＝r2，解得：r＝50.5，∴2r＝101（寸），∴AB＝101寸，故答案为：101【点睛】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．三、解答题17.计算（1）；（2）．（3）已知，，求①；②．【答案】（1）（2）（3）①12；②【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质进行化简，然后进行乘法、加法运算即可；（2）先进行乘法运算，然后根据二次根式的性质进行化简，最后进行加减运算即可；（3）由题意得，，利用完全平方公式、平方差公式将①②进行因式分解，然后代入求值即可．【小问1详解】解：；【小问2详解】解：；【小问3详解】解：由题意知，，，①解：；②解：．【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的混合运算，分母有理化，公式法因式分解，代数式求值等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．18.如图，在▱ABCD中，P1、P2是对角线BD的三等分点．求证：四边形APlCP2是平行四边形．【答案】见解析【解析】【分析】由题意可得BP1=DP2，AB=CD，AB//CD，根据平行线的性质可得∠ABP1=∠CDP2，证明△ABP1≌△CDP2，根据全等三角形的性质可得AP1=CP2，同理可证：CP1=AP2，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得结论.【详解】∵P1，P2是对角线BD的三等分点，ABCD是平行四边形，∴BP1=DP2，AB=CD，AB//CD，∴∠ABP1=∠CDP2，在△ABP1和△CDP2中，，∴△ABP1≌△CDP2(SAS)，∴AP1=CP2，同理可证：CP1=AP2，∴四边形AP1CP2是平行四边形.【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键.19.如图，四边形中，，，，且.（1）求的长；（2）求的度数.【答案】（1）；（2）135°【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可求得AC的长；

（2）根据勾股定理的逆定理可以求得∠CAD=90°，根据等腰三角形的性质可以求得∠BAC=45°，从而求解．【详解】解：（1）∵AB=BC=4，且∠B=90°，

∴AC==4；

（2）∵CD=6，DA=2，AC=

∴CD2=DA2+AC2，

∴∠CAD=90°．

∵AB=BC，且∠B=90°，

∴∠BAC=45°．

∴∠DAB=90°+45°=135°【点睛】此题综合考查了勾股定理及其逆定理．能够根据勾股定理由直角三角形的已知两边求得第三边；能够根据三角形的三边判断三角形是否是直角三角形．20.如图，已知．（1）尺规作图：作平行四边形ABCD；（保留作图痕迹，不写作法．）（2）在（1）所作的平行四边形ABCD中，连接BD，交AC于点O．①若，，，求BD的长；②过点O作直线EF与边AD，BC分别交于点E，F，设四边形EDCF的面积为，平行四边形ABCD的面积为，求的值．【答案】（1）见解析；（2）①；②．【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定定理和平行线的画法作图即可；（2）①根据平行四边形的性质可知，再根据勾股定理可求出，进一步求出；②由平行四边形的性质可得：，，，表示出四边形EDCF的面积为，平行四边形ABCD的面积为，即可求出．【小问1详解】解：根据平行线的画法，过点A作BC的平行线，再过点C作AB的平行线交于点D，则边形ABCD为所求，如图：【小问2详解】解：①如图：∵ABCD是平行四边形，，∴，∵，，∴，∴；②如图：由平行线四边形性质可知：，，在和中，∴，同理：，，四边形EDCF的面积为，平行四边形ABCD的面积为:，∴．【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，平行线的画法，三角形全等的判定及性质，勾股定理，解题关键是掌握理解平行四边形的判定及性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理，表示出和．21.如图1，已知等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为，在同一条直线上，开始时点A与点M重合，让向右移动，最后点A与点N重合．图1图2（1）试写出两图形重叠部分的面积与线段的长度之间的函数关系式；（2）写出自变量x的取值范围；（3）当点A向右移动时，重叠部分的面积是多少？（4）请在如图2如示的坐标系中画出此函数的图象，并结合图象指出重叠部分面积的最大值．【答案】（1）（2）（3）重叠部分面积为（4）图象见解析，重叠部分面积的最大值为【解析】【分析】（1）根据图形及题意所述可得出重叠部分是等腰直角三角形，从而根据的长度可得出y与x的关系；（2）根据开始时点A与点M重合，让向右移动，最后让点A与点N重合，可得，据此得出自变量的取值范围；（3）根据自变量的取值，运用（1）中的函数解析式，通过计算求得重叠部分的面积即可．（4）画出图象，结合图象回答即可【小问1详解】由题意知，是等腰直角三角形，，∴重叠部分是等腰直角三角形，又∵线段∴；【小问2详解】∵开始时点A与点M重合，让向右移动，最后让点A与点N重合，∴，即，故自变量x的取值范围是：；【小问3详解】当时，重叠部分的面积【小问4详解】图象如图，当时，重叠部分面积的最大值为【点睛】本题属主要考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质以及二次函数求值的综合应用，判断出重叠部分是等腰直角三角形是解决问题的关键．等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．22.阅读下列材料：如图1，在四边形ABCD中，若AB＝AD，BC＝CD，则把这样的四边形称之为筝形．（1）如图2，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE＝AF，∠AEC＝∠AFC．求证：四边形AECF是筝形．（2）如图3，在筝形ABCD中，AB＝AD＝26，BC＝DC＝25，AC＝17，求筝形ABCD的面积．【答案】（1）见解析；（2）筝形ABCD的面积为408．【解析】【分析】（1）先判断出∠AEB＝∠AFD在得到△AEB≌△AFD（AAS）然后判断出平行四边形ABCD是菱形即可；（2）先判断出△ABC≌△ADC．得到S△ABC＝S△ADC．利用勾股定理BH2＝AB2﹣AH2＝262﹣AH2，BH2＝CB2﹣CH2＝252﹣（17﹣AH）2，即可求出AH，再根据面积公式即可求解．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，∵∠AEC＝∠AFC，∠AEC+∠AEB＝∠AFC+∠AFD＝180°，∴∠AEB＝∠AFD，∵AE＝AF，∴△AEB≌△AFD（AAS），∴AB＝AD，BE＝DF，∴平行四边形ABCD是菱形，∴BC＝DC，∴EC＝FC，∴四边形AECF是筝形．（2）如图∵AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴S△ABC＝S△ADC，过点B作BH⊥AC，垂足为H，在Rt△ABH中，BH2＝AB2﹣AH2＝262﹣AH2，在Rt△CBH中，BH2＝CB2﹣CH2＝252﹣（17﹣AH）2，∴262﹣AH2＝252﹣（17﹣AH）2，∴AH＝10，∴BH＝＝24，∴S△ABC＝×17×24＝204．∴筝形ABCD的面积＝2S△ABC＝408．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质和判定，三角形的全等的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质，解本题的关键是理解筝形的定义．23.如图，中，，，，点D从A出发沿以每秒2个单位的速度向终点B匀速运动，同时，点E从B出发沿以每秒1个单位的速度向终点C匀速运动．设点D、E运动的时间为t，作于F，连．（1）求证：；（2）当t为多少时，四边形为菱形？说明理由；（3）当t为何值时，为直角三角形？说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）（3）当秒或4秒时，为直角三角形．【解析】【分析】（1）先根据动点的速度、时间表示路程：，，再求，则，可得结论；（2）先根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形为平行四边形，若使为菱形则需要满足的条件：，列方程可求得结论；（3）①时，证明四边形为矩形，根据列式求得；②时，由（2）知，则得，根据列式求得；③时，此种情况不存在．【小问1详解】证明：由题意得：，，∵，，∴，而，∴，∴；【小问2详解】如图2，∵，，∴，又，∴四边形为平行四边形，在中，，，∴，，∴，，∴，若使为菱形，则需，即，解得：，即当时，四边形为菱形；【小问3详解】为直角三角形时，要分三种情况：①如图3，当时，∴，∴四边形为矩形，∴，即，解得：；②如图4，时，由（2）四边形为平行四边形，∴，∴，∴，∴，即，解得：，③时，此种情况不存在；综上所述，当秒或4秒时，为直角三角形．【点睛】本题是四边形综合题，考查了动点运动问题、菱形的性质和判定、平行四边形、矩形的性质和判定、勾股定理的应用，含的直角三角形的性质，难度适宜，根据不同结论确定其等量关系，列方程可以解决问题．24.已知平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点O，点P在边AD上，过点P分别作PE⊥AC、PF⊥BD，垂足分别为E、F，PE＝PF．（1）如图，若∠EPF=60°，EO＝1，求PF的长；（2）若点P是AD的中点，点F是DO的中点，BF＝BC＋3－4，求BC的长．【答案】（1）；（2）4【解析】【分析】（1）连接OP，易证Rt△PEO≌Rt△PFO，所以PF=PE，∠EPO=∠FPO=30°，在Rt△PEO，EO=1，PO=2，得到PE=，即PF=；（2）根据条件证出平行四边形ABCD是正方形，然后利用正方形对角线与边长的关系列示计算即可【详解】（1）连接PO，如图，∵PE＝PF，PO＝PO，PE⊥AC、PF⊥BD，∴Rt△PEO≌Rt△PFO（HL）∴PF=PE，∠EPO=∠FPO=30°在Rt△PEO中，EO=1，∠EPO=30°∴PO=2，得到PE=∴PF=（2）如下图∵P是AD中点，∴AP=PD又∵PE＝PF，∴Rt△PEA≌Rt△PFD（HL）．∴∠OAD＝∠ODA．∴OA＝OD．∴AC＝2OA＝2OD＝BD．∴平行四边形ABCD是矩形．∵点P是AD的中点，点F是DO的中点，∴AO∥PF．∵PF⊥BD，∴