小题压轴题专练36-双曲线3-2022届高三数学一轮复习

小题压轴题专练36—双曲线3一．单选题1．已知点为双曲线右支上一点，，分别为的左，右焦点，直线与的一条渐近线垂直，垂足为，若，则该双曲线的离心率为A． B． C． D．2．已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，它们的离心率分别为，，是它们的一个公共点，且．若，则A． B． C． D．3．已知，，是双曲线上的不同的三点，直线的斜率为，直线的斜率为，且，是关于的方程的两个实数根，若，为坐标原点，则双曲线的离心率是A．2 B． C． D．4．设，分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点，使，为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为A． B． C．2 D．5．已知定点，动点在圆上，的垂直平分线交直线于点，若动点的轨迹是双曲线，则的值可以是A．2 B．3 C．4 D．56．已知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点为，点在双曲线左支上运动，点在圆上运动，则的最小值为A．6 B．7 C．8 D．97．设双曲线的左、右焦点为，，左顶点为，点是双曲线在第一象限内的一点，直线交双曲线的左支于点，若，则A． B． C． D．8．双曲线与椭圆有公共的焦点，，若，的四个交点与两个焦点六点共圆，则椭圆的离心率为A． B． C． D．二．多选题9．已知的两个顶点，的坐标分别是，，且，所在直线的斜率之积等于且斜率之差等于，则正确的是A．当时，点的轨迹是双曲线 B．当时，点在圆上运动 C．当时，点所在的椭圆的离心率随着的增大而增大 D．无论如何变化，点的运动轨迹是轴对称图形10．已知点为双曲线右支上一点，，为双曲线的两条渐近线，点，在上，点，在上，且，，，，为坐标原点，记，的面积分别为，，则下列结论正确的是A． B． C． D．11．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于、两点，若，则A． B．双曲线的离心率 C．双曲线的渐近线方程为 D．原点在以为圆心，为半径的圆上12．已知双曲线的左、右焦点分别为，，左顶点为，点在的右支上，若点满足为坐标原点，且为等边三角形，则下列说法正确的是A．的渐近线方程为 B．的离心率为 C．若点，则△的面积为 D．上存在点，使得三．填空题13．若椭圆和双曲线的共同焦点为，，是两曲线的一个交点，则的值为．14．已知为双曲线的右焦点，为坐标原点，点是以为直径的圆与双曲线的一个公共点．若点关于点的对称点也在双曲线上，则双曲线的渐近线的斜率为．15．双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，过作直线的垂线交双曲线右支于点，若，则．16．已知双曲线，的左右焦点分别为，过的直线与圆相切，与双曲线在第四象限交于一点，且有轴，则直线的斜率是，双曲线的渐近线方程为．

小题压轴题专练36—双曲线3答案1．解：如图：取的中点．，．直线垂直，垂足为，，故△为等腰三角形．，可得．，．，解得．故选：．2．解：如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义：，解得，，设，．则：在△中由余弦定理得，，化简得：，该式可变成：．．又，解得，所以．故选：．3．解：设点的坐标为，点的坐标为，，因为，所以点的坐标为，，因为，所以，即，又，在双曲线上，所以，，两式相减得，即，又因为，所以，所以，所以，，故选：．4．解：由，得，即，取的中点，连接，则，为△的中位线，，由题意，，，则，，在△中，由勾股定理可得，整理可得，则．故选：．5．解：当在圆内，设与圆的另一交点为，设点为弦的中点，则，线段的中点在线段内，则线段的中垂线交线段于点，如图1，连接，则，所以，则，此时的轨迹是以，为焦点的椭圆，当点在圆上时，线段的中垂线交线段于圆心，当点在圆外时，设与圆的另一交点为，设点为弦的中点，则，线段的中点在线段内，则线段的中垂线交线段的延长线于点，如图2，连接，则，所以，则，此时点的轨迹是以，为焦点的双曲线的一支，同理当在圆上运动时，还会得到，所以动点的轨迹是双曲线，则点在圆外，所以．综上可得，．故选：．6．解：由题意双曲线的一条渐近线方程为，可得，则，可得双曲线，焦点为，，由双曲线的定义可得，由圆可得圆心，半径，，连接，交双曲线于，圆于，可得取得最小值，且为，则的最小值为．故选：．7．解：由题意知，，，，，，，设，，，，由双曲线的定义知，，，，，，在中，由余弦定理知，，在△中，由余弦定理知，，，解得，．故选：．8．解：方法一：由题意可知，设双曲线与椭圆在第一象限的交点为，由题意可知，，设椭圆方程为，则，再设，，由在双曲线上，所以，可得，则，所以，椭圆的离心率为．方法二：由椭圆和双曲线的焦点相同，，且一个交点，且，离心率分别为，，则离心率满足，所以，由题意可知，，且，所以，即，所以，椭圆的离心率为，故选：．9．解：设，则由题知，即为点的轨迹方程．当时，点的轨迹为焦点在轴上的双曲线（除去两个顶点），故错误；当时，点的轨迹为，点在圆上运动，故正确；当时，点的轨迹为焦点在轴上的椭圆（不含左右顶点），离心率，随的增大而减小，故错误；由，可得，当时，点的轨迹为，当时，点的轨迹为，均为轴对称图形，故正确．故选：．10．解：由，，则，，，四点在以为直径的圆上，则，故选项正确；由双曲线的方程，可设，，则，由，，则，所以，故，，所以，故选项错误；设，，满足，则，由点到直线的距离的公式可得，，同理可得，所以，故选项正确；故，在中，由余弦定理可得：，所以，当且仅当时等号成立，故选：．11．解：如图，设，则，由双曲线的定义知，，即；，即，，，故选项正确；由余弦定理知，在中，，在△中，，化简整理得，，离心率，故选项正确；双曲线的渐近线方程为，故选项正确；若原点在以为圆心，为半径的圆上，则，与不符，故选项错误．故选：．12．解：如图，由对称性不妨设点在第一象限，，由为等边三角形知，故，且，过点作，垂足为，故，，则点，，代入双曲线的方程，得，即，对于：双曲线的渐近线方程为，故错误；对于：离心率，故正确；对于：若点，，则，，，所以△的面积为，故正确；对于：若，则，即离心率，与矛盾，故错误．故选：．13．解：椭圆和双曲线的共同焦点为，，，不妨设点是双曲线右支上的一点，由椭圆和双曲线的定义可知，，解得，，在△中，由余弦定理可知，．故答案为：．14．解：设点关于点的对称点为，左焦点为，根据题意可得，所以为以为直径的圆与双曲线的交点位于轴右边的点，以为直径的圆的方程为，联立方程，解得点的坐标为，的中点的坐标为，又点在双曲线线上，代入双曲线方程得，，，，把代入化简有，所以，所以渐近线的斜率为．故答案为：．15．解：设