函数的对称性三大题型讲义-高三数学一轮复习

函数的对称性三大题型知识归纳1．奇函数、偶函数的对称性(1)奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称．(2)若是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为；若是奇函数，则函数图象的对称中心为．2．若函数的图象关于直线对称，则；若函数满足，则函数的图象关于点对称．题型一：轴对称问题若函数的图象关于直线对称⇔⇔；若函数满足，则的图象关于直线成轴对称．1.奇函数的图象关于直线对称，，则的值为(

)A. B.4 C. D.32.函数关于直线对称，则函数关于(

)A.原点对称 B.直线对称 C.直线对称 D.直线对称3.定义在R上的函数满足，若的图象关于直线对称，则下列选项中一定成立的是(

)A. B. C. D.4.已知函数是定义在R上的奇函数，的图象关于对称，当时则(

)A.3 B.1 C.2 D.5.已知奇函数定义域为R，，当时，，则(

)A. B.1 C. D.06.已知函数为定义在R上的奇函数，是偶函数，且当时，，则(

)A. B.

C. D.0题型二：中心对称问题（点对称问题）函数的图象关于点对称⇔⇔；若函数满足，则的图象关于点成中心对称．7.已知定义在R上的函数的图象关于点对称，，且函数在上单调递增，则(

)A. B.

C. D.8.已知定义在R上的函数满足，当时，，则不等式的解集为(

)A. B. C. D.9.已知函数对任意，都有的图像关于对称，且则(

)A.0 B. C. D.10.已知函数的定义域为R，若与都是奇函数，则(

)A.是偶函数 B.是奇函数 C. D.是奇函数11.已知奇函数的定义域为R，且若当时，，则的值是A. B.C.2 D.3题型三：两对称函数的交点坐标之和问题12.定义在R上的偶函数满足，当时，，设函数，则函数与的图象所有交点的横坐标之和为(

)A.2 B.4 C.6 D.813.已知函数满足，若函数与图象的交点为，，…，，则(

)A.0 B.m C.2m D.4m14.已知函数是奇函数，，且与图象的交点为，，…，，则(

)A.0 B.m C.2m D.4m15.已知函数满足：对任意的，，若函数与图像的交点为，则的值为(

)A.0 B.n C.2n D.3n16.已知函数满足，，且与的图象交点为，，…，，则的值为(

)A.20 B.24 C.36 D.4017.已知定义在R上的函数满足若函数与的图像的交点为，，…，，则(

)A.5 B.10 C.15 D.2018.已知函数满足，函数若函数与的图象共有214个交点，记作，则的值为A.642 B.1284 C.214 D.321

答案和解析1.【答案】C

【解答】

解：依题意，是奇函数且关于对称.所以，故选：2.【答案】D

【解答】

解：将函数的图象向左平移2个单位长度即可得到函数的图象，结合函数关于直线对称，可知函数关于直线对称.故答案为：3.【答案】A

【解答】

解：因为的图象关于直线对称，

所以，

又因为，即，

所以，

令得：，

令得：，

而，D错误；

所以，A正确；

因为是的对称轴，取值仅仅受到的限制，不确定，所以不确定，

同样，也不能确定的值.4.【答案】A

【解答】

解：根据题意，是定义在R上的奇函数，则，

的图象关于直线对称，则，

则有，变形可得，即函数是周期为4的周期函数，

则，

故选5.【答案】D

【解答】

解：根据题意，奇函数定义域为R，，则，

变形可得，则有，

则有，

故选：6.【答案】C

【解答】

解：因为函数是偶函数，所以

所以函数的图像关于直线对称，

所以，

所以，

所以，

所以函数的周期为8，

所以

.

故选7.【答案】A

【解答】解：因为函数的图象关于点对称，

故函数的图象关于原点对称，所以是R上的奇函数.

由可得，

所以的周期为

因为函数在上单调递增，

所以函数在上单调递增，

又，

所以，

故选8.【答案】D

【解答】

解：函数满足，

函数关于中心对称，

又当时，，

作出函数图象如下：

结合函数图象可得不等式的解集为，

故选9.【答案】B

【解答】解：函数对任意，都有，

，

因此函数的周期，

把的图象向左平移1个单位，得到的的图象关于对称，

因此函数为奇函数，

，故选10.【答案】D

【解答】

解：因为与都是奇函数，图象关于原点对称，

将的图象向右平移1个单位，

得到的图象，

将的图象向左平移1个单位，得到的图象，

所以函数关于点及点对称，

所以，，

所以有，函数是周期的周期函数，

所以，因为是奇函数，所以也是奇函数，

故选11.【答案】B

【解答】

解：根据题意，对任意都有，则函数的图象关于直线对称，

又由函数为奇函数，则函数的图象关于原点对称，

则有，

故，即函数为周期为4的周期函数，

则，

又由时，，，则，

故选12.【答案】B

【解答】

解：，

，

的周期为

是偶函数且周期为2

，

故的图象关于直线对称．

又的图象关于直线对称，

作出的函数图象如图所示：

由图象可知两函数图象在上共有4个交点，

所有交点的横坐标之和为

故选13.【答案】B

【解答】

解：函数满足，

故函数的图象关于直线对称，

又函数的图象也关于直线对称，

故函数与图象的交点也关于直线对称，

当m为偶数时，此时，

当m为奇数时，必有一个交点在上，此时，

综上，，

故选14.【答案】C

【解答】解：令

，则

，即

，即

，故函数

的图象关于

对称，

又

关于

对称，两个函数图象的交点都关于

对称，

设关于

对称的两个点的纵坐标分别为

，

，则

，即

.故选：C15.【答案】C

【解答】

解：因为函数满足：对任意的，，

则的图象关于点对称，

函数，

则函数的图象关于点对称，

故函数与图象的交点为也关于点对称，

所以交点成对出现，且每一对点都关于点对称，

故

故选：16.【答案】D

【解答】

解：对任意的，都有成立，即，

故的图象关于点中心对称，

函数的图象也关于点中心对称，

故两个函数图象有相同的对称中心，

故每两个关于对称的交点的横坐标之和为4，纵坐标之和为6，

故得到…，…，

故

故选17.【答案】A

【解答】

解：函数满足，

即为