2019-2020学年江苏省扬州市邗江区梅岭中学九年级（上）期末数学试卷

2019-2020学年江苏省扬州市祁江区梅岭中学九年级（上）期末

数学试卷

一、选择题

1.（3分）抛物线y=/+2x+3与y轴的交点为（）

A.（0,2）B.（2,0）C.（0,3）D.（3,0）

2.（3分）下列是一元二次方程的是（）

,,1

A.2x+1=0B.x~+2x+3=0C.y'+x=1D.—=1

x

3.（3分）已知圆O的半径是4,圆心O到直线乙的距离d=6,则直线L与圆O的位置关

系是（）

A.相离B.相切C.相交D.无法判断

4.（3分）如图，点A,B,C在O上，NA=36°,ZC=28°,则/B=()

A.100°B.72°C.64°D.36°

5.（3分）如图，点/是A48C的内心，ZB/C=130°,则NBAC=（)

C.70°D.80°

6.（3分）若关于x的一元二次方程or?+Z?x+4=0的一个根是犬=一1,则2015-a+6的值

是（）

A.2011B.2015C.2019D.2020

7.（3分）在平面直角坐标系中，如图是二次函数丫=以2+法+,（。工0）的图象的一部分,

给出下列命题：①a+b+c=0；©b>2a；③方程a?+历（：+。=0的两根分别为-3和1；④

b2-4ac>0,其中正确的命题有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.（3分）如图，在平面直角坐标系中，M,N,C三点的坐标分别为g,1）,（3,1）,（3,0）,

点A为线段上的一个动点，连接AC,过点A作ABLAC交y轴于点3,当点A从M

运动到N时，点3随之运动，设点8的坐标为（0力），则。的取值范围是（）

9121

c-->:D-->1

二、填空题

9.（3分）关于x的方程（，w-2）x2-2x+l=0是一元二次方程，则加满足的条件是.

10.（3分）抛物线y=3（x+2）2+5的顶点坐标是.

11.（3分）如图，在RtAABC中，ZACB=90°,CZ）是"边上的高，已知AB=25,3c=15,

则BD=

12.（3分）如图，已知圆O的半径为3,AASC内接于圆O,NACB=135。，则

13.（3分）二次函数），=Y-bx+c的图象上有两点4（3,-2）,8（-9,-2）,则此抛物线的对

称轴是直线x=.

14.（3分）边长分别为1和2的两个正方形按如图所示放置，图中阴影部分的面积是—.

15.（3分）如图，用一张半径为10C7”的扇形纸板做一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如

果做成的圆锥形帽子的高为8CT»,那么这张扇形纸板的弧长是—cm.

16.（3分）当磅*。+1时，函数y=f-2x+l的最小值为1,则〃的值为.

17.（3分）关于x的方程a（x+in）~+b=0的根是占=5,々=-6,（a»b>m均为常数，aw0）

则关于x的方程a（x-，*+2）2+b=0的根是.

18.（3分）如图，已知O是等边AABC边上的一点，现将AABC折叠，使点C与。重

合，折痕为EF,点E、尸分别在4c和上，如果4£>:。8=1:2,则（ECF的值为.

BC

三、解答题

19.（6分）计算:

(1)V3-2|-cos60°

2

(2)3tan300+cos45O-2sin60°

20.(6分)解方程：

(1)X2+2X-\=0

(2)(x-l>=3(x-l)

21.(6分)如图，在RlAABC中，44cB=90。，。是AB的中点，过。点作AB的垂线交AC

3

于点E,若BC=6,sinA=-，求£>£的长.

5

22.（6分）O中，直径钻和弦CZ）相交于点£,已知A£=lcm,EB=5an,且ZDEB=60°,

求8的长.

23.（6分）对于代数式or'+bx+c,若存在实数〃，当》="时，代数式的值也等于〃，则

称〃为这个代数式的不变值.例如：对于代数式V,当x=0时，代数式等于0；当x=l时,

代数式等于1,我们就称0和1都是这个代数式的不变值.在代数式存在不变值时，该代数

式的最大不变值与最小不变值的差记作A.特别地，当代数式只有一个不变值时，则A=0.

（1）代数式f-2的不变值是—，A=—.

（2）说明代数式3/+1没有不变值；

（3）已知代数式f-bx+1,若A=0,求6的值.

24.（6分）如图，宾馆大厅的天花板上挂有一盏吊灯某人从C点测得吊灯顶端A的

仰角为35。，吊灯底端5的仰角为30。，从C点沿水平方向前进6米到达点。，测得吊灯底

端8的仰角为60。.请根据以上数据求出吊灯他的长度.（结果精确到0.1米.参考数据:

sin35°®0.57,cos35°®0.82,tan350®0.70.忘之1.41,6=1.73)

25.（6分）“早黑宝”葡萄品种是我省农科院研制的优质新品种，在我省被广泛种植，邓州

市某葡萄种植基地2017年种植“早黑宝”100亩，到2019年“卓黑宝”的种植面积达到196

亩.

（1）求该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率；

（2）市场调查发现，当“早黑宝”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每

降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时减少库存，已

知该基地“早黑宝”的平均成本价为12元/千克，若使销售“早黑宝”每天获利1750元，

则售价应降低多少元？

26.（6分）如图，以4?边为直径的。经过点尸，C是O上一点，连结PC交于点E,

且ZACP=60°,PA=PD.

（1）试判断PD与。的位置关系，并说明理由；

（2）若点C是弧A5的中点，已知AB=4,求CECP的值.

27.（9分）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果

这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”.

(1)如图I,已知RtAABC在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点八,

使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形(画出1个即可)；

(2)如图2,在四边形ABCZ)中，ZABC=80°,ZAZX?=140°,对角线皮)平分NABC.

求证：是四边形ABCD的“相似对角线”；

运用：

(3)如图3,已知尸〃是四边形EFG”的''相似对角线”，ZEFH=ZHFG=30。.连接EG,

若AEFG的面积为46,求正〃的长.

28.(9分)如图①抛物线丫=加+以+4("0)与x轴，y轴分别交于点A(-1,0),3(4,0),

点C三点.

(1)试求抛物线解析式；

(2)点以3,")在第一象限的抛物线上，连接BC,BD.试问，在对称轴左侧的抛物线上

是否存在一点P,满足NPBC=NDBC?如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说

明理由；

(3)点N在抛物线的对称轴上，点〃在抛物线上，当以M、N、B、C为顶点的四边形

是平行四边形时，请直接写出点M的坐标.

图①备用图

2019-2020学年江苏省扬州市祁江区梅岭中学九年级（上）期末

数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题

1.（3分）抛物线y=/+2x+3与y轴的交点为（）

A.（0,2）B.（2,0）C.（0,3）D.（3,0）

【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征

【分析】把x=0代入抛物线y=/+2x+3,即得抛物线y=x?+2x+3与y轴的交点.

【解答】解：把x=0代入y=丁+2x+3,求得y=3,

抛物线y=d+2x+3,与y轴的交点坐标为（0,3）.

故选：C.

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，比较简单，掌握y轴上点的横坐标为0

是解题的关键.

2.（3分）下列是一元二次方程的是（）

,,1

A.2x+1=0B.x2+2x+3=0C.y+x=1D.—=1

X

【考点】Al：一元二次方程的定义

【分析】根据一元二次方程的定义判断.

【解答】解：A、2x+l=O,未知数的最高次数是1,不是一元二次方程；

B、d+2x+3=0,是一元二次方程；

C、y2+x=1,含有两个未知数，不是一元二次方程；

D、-=\,不是整式方程，所以不是一元二次方程；

x

故选：B.

【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是

2的整式方程叫一元二次方程.

3.（3分）已知圆O的半径是4,圆心O到直线L的距离d=6,则直线L与圆。的位置关

系是（)

A.相离B.相切C.相交D.无法判断

【考点】MB：直线与圆的位置关系

【分析】若则直线与圆相交；若“=「，则直线于圆相切；若d>r,则直线与圆相

离.

【解答】解：根据圆心到直线的距离6大于圆的半径4,则直线和圆相离.

故选：A.

【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，能够熟练运用数量关系判断直线和圆的位置关系.

4.（3分）如图，点A,B,C在O上，NA=36。，NC=28。，贝ijNB=（）

【考点】M5：圆周角定理

【分析】连接OA,根据等腰三角形的性质得到NO4C=NC=28。，根据等腰三角形的性质

解答即可.

【解答】解：连接

OA=OC,

.­.ZO4C=ZC=28°,

:.ZOAB=M°,

OA=OB,

:.ZB=ZOAB=64°,

故选：C.

c

【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握圆的半径相等、等腰三角形的性质是解题的关键.

5.(3分)如图，点/是A4BC的内心，ZBZC=130°,则N8AC=()

A.60°B.65°C.70°D.80°

【考点】Ml：三角形的内切圆与内心

【分析】根据三角形的外接圆得到NABC=2N/3C,ZACB=2ZICB,根据三角形的内角和

定理求出4BC+NICB,求出NACB+NABC的度数即可.

【解答】解：点/是A48C的内心，

:.ZABC=2A1BC,ZACB=2ZICB,

ZBIC=130°,

AIBC+ZZCB=180°-NCIB=50°,

/.ZABC+ZACB=2x50°=100°,

ZBAC=180。-(ZACB+ZABC)=80°.

故选：D.

【点评】本题主要考查的是三角形的内切圆与内心，三角形的内角和定理等知识点的理解和

掌握，能求出4CB+NA8C的度数数解此题的关键.

6.(3分)若关于x的一■元二次方程/+/zx+4=0的一个根是x=-l,则2015-〃+6的值

是()

A.2011B.2015C.2019D.2020

【考点】A3：一元二次方程的解

【分析】把x=-l代入方程依2+法+4=0得°一。+4=0,然后利用整体代入的方法计算

2015-4+6的值.

【解答】解：把x=-l代入方程ox?+〃x+4=0得。一/?+4=0,

所以a—b——4,

所以2015-a+人=2015-3-6)=2015-(-4)=2019.

故选：C.

【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一

元二次方程的解.

7.(3分)在平面直角坐标系中，如图是二次函数y=ax2+bx+c(axO)的图象的一部分，

给出下列命题：①a+A+c=O；®h>2a；③方程加+bx+c=O的两根分别为一3和1；④

b2-4ac>0,其中正确的命题有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【考点】W3：二次函数的性质；H2：二次函数的图象

【分析】根据二次函数的图象可知抛物线开口向上，对称轴为x=-1,且过点(1,0),根据

对称轴可得抛物线与x轴的另一个交点为(-3,0),把⑩代入可对①做出判断；由对称轴为

x=-l,可对②做出判断；根据二次函数与一元二次方程的关系，可对③做出判断，根据根

的判别式解答即可.

【解答】解：由图象可知：抛物线开口向上，对称轴为直线x=-1,过(1,0)点，

把(1,0)代入尸尔+6x+c得，a+h+c=0,因此①正确；

对称轴为直线x=-l,即：--=-1,整理得，b=2a,因此②不正确；

2a

由抛物线的对称性，可知抛物线与x轴的两个交点为(1,0)(-3,0),因此方程+^+'=0

的两根分别为-3和1；故③是正确的；

由图可得，抛物线有两个交点，所以。2一4%>0,故④正确；

故选：C.

【点评】考查二次函数的图象和性质，抛物线通常从开口方向、对称轴、顶点坐标、与x轴,

y轴的交点，以及增减性上寻找其性质.

8.(3分)如图，在平面直角坐标系中，M,N,C三点的坐标分别为(；，1),(3,1),(3,0),

点A为线段MN上的一个动点，连接AC,过点A作他，AC交y轴于点8,当点A从M

运动到N时.，点B随之运动，设点8的坐标为(0,力，则〃的取值范围是()

Q121

C.-D.1

424

【考点】D5：坐标与图形性质

【分析】延长交y轴于P点，则MN_Ly轴.连接C7V.证明ARABIAN。，得出

—,设夕小，则N4设尸正，代入整理得到

NANC

a9I

y=3x-x2=-(x-1)2+^根据二次函数的性质以及(剜C3,求出y的最大与最小值，进

而求出Z?的取值范围.

【解答】解：如图，延长交y轴于P点，则轴.连接C7V.

在与ANC4中，ZAPB=ZCMA=90°,ZPAB=ZNCA=9G°-ZCAN,

APAB^ANCA，

.PBPA

"~NA~~NC'

设a=x,则M4=/W-R4=3—x,设P8=y,

•.•丁一」9

3-x1

y=3x-^=-(x-^)2+；,

-l<0,1瓢3,

3

;.X=3时，y有最大值2,止匕时/>=1_2=_W,

2444

x=3时，y有最小值0,此时6=1,

.•2的取值范围是一9鼓少1.

故选：B.

V

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，得出y与X之间的函数解

析式是解题的关键.

二、填空题

9.（3分）关于x的方程（机-2）/-2x+1=0是一元二次方程，则机满足的条件是_〃?#2

【考点】A1：一元二次方程的定义

【分析】根据一元二次方程的定义列出不等式，解不等式得到答案.

【解答】解：方程（心-2）/一2x+1=0是一元二次方程，

tn—2w0,

解得，07/2,

故答案为："7/2.

【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住

5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；

“整式方程”.

10.（3分）抛物线y=3（x+2）2+5的顶点坐标是_（-2,5）_.

【考点】H3：二次函数的性质

【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标.

【解答】解：由y=3（x+2y+5,根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（-2,5）.

故答案为：（-2,5）.

【点评】考查将解析式化为顶点式y=a（x-A）2+*,顶点坐标是他,心，对称轴是犬=〃.

11.（3分）如图，在RtAABC中，ZACfi=90°,CD是A5边上的高，已知AB=25,BC=15,

贝ijBD=9.

【考点】KQ：勾股定理；SE；射影定理

【分析】根据射影定理计算，得到答案.

【解答】解：由射影定理得，BC-^BDAB,

:.BD=^^=9,

AB

故答案为：9.

【点评】本题考查的是射影定理，射影定理：每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和

斜边的比例中项.

12.（3分）如图，己知圆O的半径为3,AABC内接于圆O,NACB=135。，则AB=_3及

【考点】M5：圆周角定理；MA：三角形的外接圆与外心

【分析】根据圆内接四边形对角互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得ZAOB

的度数，然后根据勾股定理即可求得的长.

【解答】解：连接4）、AE.OA.OB,

O的半径为2,AAfiC内接于O,ZACB=135°,

.-.ZADB=45°,

ZAOB=90°,

OA=OB=3,

AB=30

故答案为3人.

【点评】本题考查三角形的外接圆和外心，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要

的条件，利用数形结合的思想解答.

13.(3分)二次函数y=x2-bx+c的图象上有两点A(3,-2),8(-9,-2),则此抛物线的对

称轴是直线x=_-3_.

【考点】W3：二次函数的性质；H5：二次函数图象上点的坐标特征

【分析】由于两点的纵坐标相等，故对称轴是两点横坐标之和的一半.

【解答】解：函数y=瓜+c的图象上有两点A(3,-2),8(-9,-2),且两点的纵坐标相

等，

.•.A、8关于抛物线的对称轴对称，

.♦・对称轴为：直线》=士2=-3,

2

故答案为：-3

【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是正确理解对称点的特征，本题属于基础题

型.

14.(3分)边长分别为1和2的两个正方形按如图所示放置，图中阴影部分的面积是

【考点】59：相似三角形的判定与性质

【分析】由正方形的性质，线段的和差求出£8=3,相似三角形的判定与性质求出AN=2,

3

根据线段的和差求得MN=1,最后由三角形的面积公式求出阴影部分的面积是L.

36

【解答】解：如图所示:

DC

正方形ABCD的边长为2,

正方形的边长为I,

:.AB=AD=2,EF=AM=\,

又EB=EA+AB,

;.EB=3

又AN//EF,

:・MJ3Ns.BF,

ABAN

:.AN=—EF=-xl=-,

EB33

又AM=AN+MN,

MN=一，

3

S,MN=；FMMN

1

=—;

6

故答案为」.

6

【点评】本题综合考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，线段的和差，三角形的

面积公式等相关知识点，重点掌握相似三角形的判定与性质，拓展求相似图形的面积是三角

形的面积比等于相似比的平方.

15.（3分）如图，用一张半径为10cm的扇形纸板做一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如

果做成的圆锥形帽子的高为8的，那么这张扇形纸板的弧长是12万c,n.

【考点】MN：弧长的计算；MP-.圆锥的计算

【分析】首先根据底面半径求得圆锥的底面的周长，从而求得扇形的弧长.

【解答】解：扇形的半径为10cm,做成的圆锥形帽子的高为8c〃?，

.••圆锥的底面半径为＞/102-82=6,

底面周长为2x6万=12万，

.•.这张扇形纸板的弧长是12万37,

故答案为：12%.

【点评】考查圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的底面周长=侧面展开图的弧长；

16.（3分）当凝ka+1时，函数），=/-2x+l的最小值为1,则a的值为2或-1.

【考点】"7：二次函数的最值

【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=l时x的值，结合当属鼓a+1时函数

有最小值1,即可得出关于。的一元一次方程，解之即可得出结论.

【解答】解：当y=l时，有2x+l=l,

解得：%=0,x2—2.

当瀛*a+1时，函数有最小值1,

r.a=2或a+1=0,

r.a=2或a=-1,

故答案是：2或-1.

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象

上点的坐标特征找出当y=l时%的值是解题的关键.

17.（3分）关于x的方程a（x+/w）2+。=0的根是A；=5,x2=-6,（a,b,m均为常数，awO）

则关于x的方程a（x-机+2尸+6=0的根是_x=—7或x=4_.

【考点】A5：解一元二次方程-直接开平方法

【分析】将方程变形为4(-x-2+〃z)2+b=0,将-X-2看做原方程中的X可得答案.

2

【解答】解：方程a(x+/n)+6=0的根是4=5,x2=—6,

：.方程a(x-，〃+2)2+b=0的根满足一工一2=5或一x-2=-6,

解得x=-7或x=4,

故答案为：x=-7或x=4.

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：

直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解

题的关键.

18.(3分)如图，已知。是等边AA8C边AB上的一点，现将AA8C折叠，使点C与。重

合，折痕为EF,点E、F分别在AC和3c上，如果AD:AB=1:2,则CE:CF的值为

4:5.

【考点】P8：翻折变换（折叠问题）；KK：等边三角形的性质

【分析】首先证明A4DES&?田，表示出ED,DF,EA,DB,AD,BF,再利用相似

三角形的性质解决问题即可.

【解答】解：AEFC与AEFD关于EF对称，

ZEDF=ZECF=60°,EC=ED,FC=FD,

ZBDF+ZEDF=ZBDE=ZA+ZDEA,

ZEDF=ZA=60°,

:.ZBDF=ZDEA,

^ADE^ABFD,

设AD=x,CE=DE=a,CF=DF=b,

AD:BD=l:2,

:.DB=2x,

/.AB=3x=AC=BC,

AE=3x—a>BF=3x—b,

■DEs岫FD,

.EDEAAD

a3x-ax

,—=-----=-----,

b2x3x-b

由前两项得，=,

由后两项得，(3x-a)(3x-b)-2x2,

即：3x(3x-a)-b(3x-a)=2x2,

3x(3x-a)-2ax=2x2,

7

:.a=—x，

5

a_3x-a_4

"~b~2x-5,

/.CE:CF=4:5.

故答案为4:5.

【点评】本题考查翻折变换，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的

关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

三、解答题

19.(6分)计算:

(1)173-2|-cos60°

2

(2)3tan300+cos450-2sin60°

【考点】T5：特殊角的三角函数值；6F：负整数指数累；2C：实数的运算

【分析】(1)直接利用负指数幕的性质以及绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别化简得

出答案；

(2)直接利用特殊角的三角函数值分别代入化简得出答案.

【解答】解：⑴原式=2—(2-几)」

2

=2-2+73--

2

=73-1;

2

(2)原式=3x立+也-2x且

322

=6+也

2

=显

~~2,

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.

20.(6分)解方程：

(1)d+Zx-lH

(2)(x-1)2=3(x-l)

【考点】A8：解一元二次方程-因式分解法；A6：解一元二次方程-配方法

【分析】(1)利用配方法求解可得；

(2)利用因式分解法求解可得.

【解答】解：(1)x2+2x=l,

:.x2+2x+l=l+l,即(x+lf=2,

x+1=±5/2,

贝|JX=-1±&；

(2)(X-1)2-3(X-1)-0,

.■.(x-l)(x-4)=0,

贝口一1=0或x-4=0,

解得x=1或x=4.

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：

直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解

题的关键.

21.（6分）如图，在RlAABC中，44cB=90。，。是AB的中点，过。点作AB的垂线交AC

3

于点E,若3c=6,sinA=-,求DE的长.

5

【考点】T7：解直角三角形；KG：线段垂直平分线的性质

【分析】在RlAABC中，先求出Afi,AC继而得出4）,再由AAAESMCB,利用对应边

成比例可求出£>E.

【解答】解：BC=6,sinA=—r

5

/.AB=10,

・•・AC=A/102-62=8,

。是钻的中点，

,\AD=-AB=5

2f

DEADHnDE5

BCAC68

解得：DE=—.

4

【点评】本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是熟练掌握三角函数的定义及勾

股定理的表达式.

22.（6分）O中，直径他和弦8相交于点E,己知A£=lc加，EB=，且Z£>£B=60。，

求8的长.

【考点】M2：垂径定理

【分析】作OP_LCZ）于P,连接8,根据正弦的定义求出OP,根据勾股定理求出叨,

根据垂径定理计算.

【解答】解：作OPL8于尸，连接

:.CP=PD,

AE=\,EB=5,

AB=6,

:.OE=2,

在RtAOPE中，OP=OEsinNDEB=6

:.PD=^OD2-OP2=V6,

CD=2PD=2在(cm).

【点评】本题考查的是垂径定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条

弧是解题的关键.

23.（6分）对于代数式or?+bx+c,若存在实数"，当》="时，代数式的值也等于"，则

称〃为这个代数式的不变值.例如：对于代数式当x=0时，代数式等于0；当x=l时,

代数式等于1,我们就称0和1都是这个代数式的不变值.在代数式存在不变值时，该代数

式的最大不变值与最小不变值的差记作A.特别地，当代数式只有一个不变值时，则A=0.

（1）代数式9-2的不变值是-1和2,A=.

（2）说明代数式3x2+1没有不变值；

（3）已知代数式X?-bx+1,若A=0,求6的值.

【考点】AD：一元二次方程的应用

【分析】（1）根据不变值的定义可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，再做

差后可求出A的值；

（2）由方程的系数结合根的判别式可得出方程3/-x+l=0没有实数根，进而可得出代数

式3/+1没有不变值；

(3)由A=0可得出方程x2-3+l)x+l=0有两个相等的实数根，进而可得出△=(),解之

即可得出结论.

【解答】解：(1)依题意，得：X2-X-2=0,

解得：x,=—1,x2=2,

A=2—(—1)=3.

故答案为:-1和2；3.

(2)依题意，得：3x2—x+1=0>

△=(-1)2-4X3X1=-11<0,

该方程无解，即代数式3d+1没有不变值.

(3)依题意，得：方程V-(b+l)x+l=O有两个相等的实数根，

.•.△=[-S+l)]2_4xlxl=0,

4=—3,4=1.

答：匕的值为—3或1.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，根据不变值的定义，找出一元二

次方程是解题的关键.

24.(6分)如图，宾馆大厅的天花板上挂有一盏吊灯某人从C点测得吊灯顶端A的

仰角为35。，吊灯底端5的仰角为30。，从C点沿水平方向前进6米到达点。，测得吊灯底

端B的仰角为60。.请根据以上数据求出吊灯43的长度.(结果精确到0.1米.参考数据：

sin35°»0.57,cos35°®0.82,tan35°»0.70,夜=1.41,6=1.73)

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题

【分析】延长8交相的延长线于点E,构建直角三角形，利用直角三角形的三角函数解

答即可.

【解答】解：延长8交加的延长线于点石，则ZAEC=90°

4DE=60。，ZDCB=30。,

.・.NCBD=60°-30°=30°,

,\ZDCB=ZCBD,

:.BD=CD=6（米）

BE

在RtABDE中，sinZBDE=——，

BD

:.BE=BDsinZBDE=6xsin600=3>/3®5.19（米），

DE=-BD=3（米），

2

Ar

在RtAAEC中，tanNACE=—,

CE

AE=CEtanZACE=（6+3）xtan35°»9x0.70=6.30（米），

/./AB=y4£-BE®6.30-5.19®1.1（米），

吊灯AB的长度约为1.1米.

【点评】此题考查了解直角三角形问题，注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是

解此题的关键.

25.（6分）“早黑宝”葡荀品种是我省农科院研制的优质新品种，在我省被广泛种植，邓州

市某葡萄种植基地2017年种植“早黑宝”100亩，到2019年“卓黑宝”的种植面积达到196

亩.

（1）求该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率；

（2）市场调查发现，当“早黑宝”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每

降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时减少库存，己

知该基地“早黑宝”的平均成本价为12元/千克，若使销售“早黑宝”每天获利1750元，

则售价应降低多少元？

【考点】AD：一元二次方程的应用

【分析】（1）设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为X,根据题意得关于X的

一元二次方程，解方程，然后根据问题的实际意义作出取舍即可；

（2）设售价应降低y元，根据每千克的利润乘以销售量，等于1750,列方程并求解，再结

合问题的实际意义作出取舍即可.

【解答】（1）设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x,根据题意得

100（1+x>=196

解得弓=0.4=40%,x,=—2.4（不合题意，舍去）

答：该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为40%.

（2）设售价应降低y元，则每天可售出（200+50y）千克

根据题意，得（20-12-y）（200+50y）=1750

整理得，9_分+3=0,

解得y=1，%=3

要减少库存

,x=i不合题意，舍去，

y=3

答：售价应降低3元.

【点评】本题考查了一元二次方程在增长率问题和销售问题中的应用，根据题目正确列出方

程，是解题的关键.

26.（6分）如图，以河边为直径的O经过点P,C是O上一点，连结PC交于点E,

且ZACP=60°,PA=PD.

（1）试判断PD与。的位置关系，并说明理由；

（2）若点C是弧AS的中点，已知他=4,求CECP的值.

【考点】M4：圆心角、弧、弦的关系；MB：直线与圆的位置关系；S9：相似三角形的

判定与性质

【分析】（1）连结OP,根据圆周角定理可得NAOP=2NACP=120。，然后计算出"W和

N。的度数，进而可得49叫=90。，从而证明凡）是。的切线；

（2）连结3C,首先求出NC4B=NABC=NAPC=45。，然后可得AC长，再证明

AC4E-ACE4,进而可得上=匹，然后可得CECP的值.

CPCA

【解答】解：（1）如图，PD是。的切线.

证明如下：

连结OP,

ZACP=60°,

/.ZAOP=120°,

OA=OP,

:.ZOAP=^OPA=30°,

PA=PD,

.\ZPAO=ZD=30°,

NOPD=90。,

:.PD是O的切线.

（2）连结3C,

AB是O的直径，

ZACS=90。，

又C为弧4?的中点，

・•.NC4B=ZA8C=NAPC=45。，

45=4,AC=ABsin450=2y/2.

ZC=ZC,ZGW=ZAPC,

/.\CAE^\CPA,

CACE

~CP~~CAJ

:.CPCE=CA2=(2y/2)2=S.

【点评】此题主要考查了切线的判定和相似三角形的性质和判定，关键是掌握切线的判定定

理和相似三角形的判定与性质定理.

27.(9分)定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果

这两个三角形相似(不全等)，我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”.

A

图1

理解：

(1)如图1,已知RtAABC在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点。,

使四边形A8C。是以AC为“相似对角线”的四边形(画出1个即可)；

(2)如图2,在四边形45a)中，ZABC=80°,ZAZX?=140°,对角线平分NABC.

求证：8。是四边形的“相似对角线”；

运用：

(3)如图3,已知尸”是四边形E尸G”的“相似对角线”，NEH7=N〃尸G=30。.连接EG,

若AEFG的面积为46,求尸”的长.

【考点】SO：相似形综合题

【分析】(1)先求出4?,BC,AC,再分情况求出CD或AD,即可画出图形；

(2)先判断出NA+NAD3=14()o=NADC,即可得出结论；

(3)先判断出AFEHSA/T/G,得出再判断出EQ=^FE,继而求出

FGFE=3,即可得出结论.

【解答】解：(1)由图1知，AB=J5,BC=2y[5,ZABC=90°,AC=5,

四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形,

①当ZACD=90。时，/SACD^MBC或^ACD^ACBA，

ACABIACBC

CDBC2CDAB

.•.8=10或8=2.5

同理：当NC4T>=90。时，AD=2.5或45=10,

如图中，R,D2,Dy£即为所求.

(2)证明：如图2中,

ZABC=80°,BD平分ZABC,

：.ZABD=ZDBC=40°,

.-.ZA+ZADB=140°

ZAT>C=140。，

/.ZBDC+ZADB=140°,

：.ZA=ABDC,

..AABD^ADBC,

.•.BD是四边形ABCZ）的“相似对角线

(3)如图如

E

切是四边形EFG”的"相似对角线”，

.\AEFH与A