2021-2022学年浙江省宁波市江北区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

20212022学年浙江省宁波市江北区九年级（上）期末数

学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

已知Ri,则

2

7

2.如图是某几何体的表面展开图，该几何体是（）

A.长方体

B.圆柱

C.圆锥

D.直三棱柱

3.下列事件中是不可能事件的是（）

A.从一副扑克牌中任抽一张牌恰好是“红桃”

B.在装有白球和黑球的袋中摸球，摸出了红球

C.2022年大年初一早晨艳阳高照

D.从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级

4.如图，在EtZXABC中，/。=90°，cosA=i,贝ijs加5

的值为（）nN

2y/2

丁

D.2\/2

5.关于二次函数沙=一2（1-2猿+1的图象，下列叙述不正确的是（）

A.对称轴为直线1=2B.顶点坐标为（—2,1）

C.开口向下D.与工轴有两个交点

6.已知圆与直线有两个公共点，且圆心到直线的距离为4,则该圆的半径可能为（）

7.下列与相似有关的命题中，正确的是（）

①所有的等腰三角形都相似；

②所有的矩形都相似；

③所有的正六边形都相似.

A.①②③B.①C.②D.③

8.如图，是半圆。的直径，C、。是半圆上两点，

且满足^ADC=120°,BC==1,则瑟的长为（）\\

7TB

A."Ao

j

7T

B-4

7T

C.p

6

D>T

9.如图，点/是△ABC的重心，SGABC=9,将Z.BAC幺

平移使其顶点与点/重合,则图中阴影部分的面积为/BK

（）

A.6

B.7.5

C.8

D.8.5

10.如图,在等边△4BC中,4B=4,点。为4B的中点，入

动点E、F分别在4。、BC上，且EF=2，5，作

交，。于点G、当动点从/夕\\\

△BEF的外接圆。O,H.E

/。・\

点。向点/运动时，线段GH长度的变化情况为（）MW

c

eV~/F

A.一直不变

B.一直变大

C.先变小再变大

D.先变大再变小

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

11.请你用数学的眼光观察，以下历届冬奥会图标中，你最为欣赏的图标是______，（

选择①，②，③，④中的一项）选择理由是一

嘴②喙e

■）々

第2页，共25页

12.圆柱的底面半径为1cm,母线长为5c加，则该圆柱的侧面积为

13.某企业对其生产的产品进行抽检，抽检结果如下表：

抽检件数5501005001000200030005000

不合格件数0129214060100

不合格频率00.020.020.0180.0210.020.020.02

则该产品不合格的概率约为

14.如图，正五边形的外接圆半径为1cm,则边长ABx____cm.（

精确到O.lczn）（O

（参考数据：s加36°七0.6，cos36°«0.8»tan36°«0.7）'X/Cn

15.将二次函数沙=一/+01C+W7„,/1为常数）的图象，先向左平移1个单位长度,

再向上平移2个单位长度后，得到的图象顶点为（0,4）,则m+n的值为.

16.如图，在ESABC中，/a4。=90°，点。为ACAi―9

上一点，连结BO,若NOBC=45°，则k的最

大值为.

三、解答题（本大题共8小题，共80.0分）

17.计算：y/3tan30°+2cos60°-V2sin450■

18.面对新冠疫情，宁波教育人同心战“疫”•因有不少师生居家健康监测，无法到校

工作、学习，各校师生通过“云端”相连，停课不停教，停课不停学.某校在疫情

期间的教学方式主要包括直播授课、录播授课、自主学习、在线答疑四种形式.为

了了解学生的需求，该校随机对部分学生进行了“你对哪种教学方式最感兴趣”的

调查(每人只选其中的一种)，并根据调查结果绘制成如下图所示的统计图.

(1)本次调查的人数是人；

(2)请补全条形统计图；

(3)明明和强强参加了此次调查，均选择了其中一种教学方式，请用树状图或列表

表示所有可能的情况，并求明明和强强选择同一种教学方式的概率.

最感兴趣教学方式调查结果扇形统计图

19.如图，在平面直角坐标系工。9中，一次函数9="

的图象与二次函数V=-x2+bx

(b为常数)的图象相交于O,工两点，点4坐标为

(3,m).

(1)求772的值以及二次函数的表达式；

(2)若点P为抛物线的顶点，连结OP,AP,求

△PGM的面积.

第4页，共25页

20.某小区门口安装了汽车出入道闸.道闸关闭时，如图1,四边形/BCD为矩形，AB

长3米，4。长1米，点D距地面为0.2米.道闸打开的过程中，边/。固定，连杆

AB，CD分别绕点，，D转动,且边BC始终与边工。平行.

(1)如图2,当道闸打开至AADC=45°时,，边。少上一点P到地面的距离PE为

1.2米，求点P到A/N的距离PF的长.

⑵一辆轿车过道闸，已知轿车宽L8米，高1.6米.当道闸打开至乙40。=36°时，

轿车能否驶入小区？请说明理由.(参考数据：sln36°u0.59，co.s36°«0.81.

tan36°«0.73)

图1图2

21.如图1,是0。的直径，点。是③。上异于点A,B的一点，连结4C,BC,

并延长B4至点E,使得ZECA=NB.

(1)求证：CE是。O的切线；

(2)如图2,若=30°,请写出三个你认为正确的结论(注：不另外添加辅助线).

图1图2

22.某琴行销售一种笛子，每支进价为56元.当售价每支为8()元时，月平均销售量为60

支.为了倡导、弘扬艺术，琴行对该型号的笛子作降价销售(在不亏本的前提下).

经市场调查表明，当每支笛子的售价每降低1元时，月平均销售量将增加3支.

(1)若设销售单价为工元/支，则销售量为支(用含工的代数式表示)；

(2)求月平均销售利润水单位：元)关于销售单价工(单位：元/支)的函数表达式；

(3)当销售单价定为每支多少元时，所得月平均利润最大？

23.利用网格图，可以仅用无刻度的直尺来完成几何作图.

(注：以下点/、B、M、N均在格点上.)

【赏析】

(1)提出问题：下列图是由边长为1的小正方形构成的网格图.在网格图1中的线段

第6页，共25页

AB1.,求作一点P,使得BP=24P.

(2)观察欣赏：在图2中，AM=2,BN=4,且AA，〃/BN.连结MN交AB于

点P,点P即为所求作之点，此时BP=24P.

(3)求证：在图3中，点P也为所求作之点，即BP=24P.

【尝试】

(4)作图：下列图是由边长为1的小正六边形构成的网格图.请在线段上求作

点P.

2

①在图4中，过格点时作线段与交于点P,使得=

5

2

②在图5中，求作点P,使得4P=；8P.(要求：方法与①有别，不写作法但保

5

留作图痕迹)

图4图5

24.如图，等腰△ABC内接于0O,AB=AC,连结OC,过点B作4。的垂线，交

◎O于点。，交OC于点、M,交AC于点E,连结40.

(1)若/O=a,请用含a的代数式表示NOC4；

(2)如图1.

①求证：CE2=EM-EB：

②若BM=3,DM=2,求tan/B4c的值.

⑶如图2,连结C。，若一窑，人塞詈，求"关于”的函数表达式.

第8页，共25页

答案和解析

1.【答案】。

【解析】解：

b5

,5

•."=/

aa2

''a+b57.

a+滑

故选：C.

根据已知条件得出b=^a,再代入要求的式子进行计算即可得出答案.

此题考查了比例的性质，根据已知条件得出b=氤是解题的关键，较简单.

2.【答案】C

【解析】解：一个圆与一个扇形可围成圆锥.

故选：C.

根据常见立体图形的展开图特点，结合展开图进行解答.

本题考查几何体的展开图，熟记常见立体图形的展开图特点是解决此类问题的关键.注

意一个扇形与一个圆也可围成圆锥.

3.【答案】B

【解析】解：4从一副扑克牌中任抽一张牌恰好是“红桃”，这是随机事件，故4不

符合题意；

A在装有臼球和黑球的袋中摸球，摸出了红球，这是不可能事件，故B符合题意；

C.2022年大年初一早晨艳阳高照，这是随机事件，故C不符合题意；

。.从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级，这是必然事件，故。

不符合题意；

故选：B.

根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可.

本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键.

4.【答案】B

1

AC1

【解析】解：在中，NC=90°，cosA=^-=^,

.AC1

.••93n=而=『

故选：B.

根据锐角三角函数的定义即可解答.

本题考查了互余两角三角函数的关系，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切是解

题的关键.

5.【答案】B

【解析】解：由二次函数沙=一2（1—2-+1可知：a=-2＜0,所以开口向下，顶点

坐标为（2,1）,对称轴为H=2,二次函数的图象与仁轴有两个交点，故A、。、£＞正确，

8错误，

故选：B.

根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解.

本题考查了二次函数的性质，主要利用了开口方向，顶点坐标，对称轴以及抛物线与工

轴的交点.

6.【答案】D

【解析】解：•.•圆与直线有两个公共点，且圆心到直线的距离为4,

二该圆的半径＞4,

故选：D.

根据直线和圆相交，则圆心到直线的距离小于圆的半径，即可得到问题答案.

本题考查了直线和圆的位置关系，熟悉直线和圆的位置关系与数量之间的联系.同时注

意圆心到直线的距离应是非负数是解题的关键.

第10页，共25页

7.【答案】D

【解析】解：①所有的等腰三角形都不一定相似，故错误，不符合题意；

②所有的矩形的对应角相等，但对应边的比不一定相等，不都相似，故原命题错误,

不符合题意：

③所有的正六边形都相似，正确，符合题意，

故选：D.

利用相似图形的定义分别判断后即可确定正确的选项.

考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解相似图形的定义，难度不大.

8.【答案】A

【解析】解：如图，连接OC.

乙40。=120°,

ZABC=60°>

.•OB=OC,

:.乙OCB=AOBC=NB=60°，

OB=OC==1,

x一'xgiz607rx11

...瑟的长为一=丁,

故选：A.

由圆周角定理求出OCB=ZOBC=NB=60°,再根据弧长公式进行计算即可.

本题考查等边三角形的性质，三角形内角和定理以及圆周角定理，掌握等边三角形的性

质，三角形内角和定理以及圆周角定理是正确解答的关键.

9.【答案】C

【解析】解：延长4,交BC于。，如图,

•.•点/是△43C的重心，

AI=2ID,

ID=\AD,

平移使其顶点与点/重合,

Z.EIF=ABAC,AIEF=LB,

;.4IEFS4ABC,

・敦空=马2=d)2」

.'S^ABC{DA)卬9，

•'•S&IEF——1>

.•.图中阴影部分的面积=9-1=8.

故选：C.

延长41交BC于D,如图，根据三角形的重心性质得到再利用平移的性

质得到/E/F=/B4。，4EF=4B,则可判断△/£?一△ABC,利用相似三角形

的性质得到S4IEF=^ABC=1，从而得到图中阴影部分的面积.

本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离

与重心到对边中点的距离之比为2：1.也考查了平移的性质和相似三角形的判定与性质.

10.【答案】D

【解析】解：如图，连接BO,EO,FO,GO,HO,过点。作ON_LEF于N,

OP_LGH于P,

•••△ABC是等边三角形，

.•.ZABC=60°.

ZEOF=120%

OE=OF,ON1EF,

:.NOEF=4OFE-30°,EN=FN=B

：.OF=2ON,FN=V3ON>

：.ON=1,FO=2,

OB=GO=OH=2,

.•.点O在以点B为圆心，2为半径的圆上运动，

第12页，共25页

：OG=OH,OPA.GH,

：.GH=2PH,

PH=y/OH2-OP2=，4一OP,

GH=21/4-OP2)

•.•动点E从点。向点4运动时，OP的长是先变小再变大，

GH的长度是先变大再变小，

故选：D.

由等腰三角形的性质可求ON=1,FO=OB=GO=OH=2,则点O在以点B为

圆心，2为半径的圆上运动，由勾股定理可求GH=2,4—OP?,即可求解.

本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，

确定点O的运动轨迹是解题的关键.

11.【答案】②②既是轴对称图形，又是中心对称图形

【解析】解：我最为欣赏的图标是②，选择理由是②既是轴对称图形，又是中心对称

图形

①是轴对称图形，③既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，④是轴对称图形.

故答案为：②；既是轴对称图形，又是中心对称图形.

根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可.

本题考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握相关定义是解答本题的关键.

12.【答案】107F

【解析】解：•.•圆柱的底面半径为1cm，母线长为5cm,

圆柱的侧面积S=2TT”=2TTx1x5=IOTTCTW2>

故答案为：107r.

根据已知中圆柱的底面半径为母线长为5c"2,代入圆柱侧面积公式，可得答案.

本题考查的知识点是圆柱的侧面积公式，难度不大，直接代入运算即可，属于基础题.

13.【答案】0.02

【解析】解：观察表格发现，随着实验次数的增多，不合格的频率逐渐稳定在0.02,

所以该产品不合格的概率约为().02.

故答案为：0.02.

大量重复试验下，数据的频率可以估计概率.

本题考查了利用频率估计概率及概率的计算，是统计在实际生活中应用，问题的生活化

可激发学生的兴趣和求知欲望，同样这样的问题也影响学生的思维方式，学会用数学的

视野关注身边的数学.

14.【答案】1.2

【解析】解：:。。是正五边形的外接圆，

„=等=72。,

5

•.0013于。，0A=0B,

Z.AOC=^AOB=36°,

•/AO=1cm,

/.AC=OA*sin36°=1x0.6=0.6(cm),

/.AB=2AC=1.2cm,

故答案为：1.2.

根据正五边形的的性质得到乙4OB=哈=72。，解直角三角形即可得到结论.

本题考查了正多边形和圆的知识，属于基础性知识，比较简单.

15.【答案】3

【解析】解：根据题意知，原抛物线的顶点坐标是(0+1,4-2),即(1,2),则原抛物

线解析式为y=—(x—I)2+2=-x2+2x+l.

故m=2,n=1.

所以m+zi=2+l=3.

故答案是：3.

根据平移规律“左加右减，上加下减”得到原抛物线顶点坐标，将其代入二次函数

y=—x1+mx+n,即可求得772、〃的值.

本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故Q不变，所以

第14页，共25页

求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：-是求出原抛物线上任意两点平移后的

坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式.

16.【答案】避二1

2

【解析】解：如图1,作△8。。的外接圆。0,作OELAC于点E,作OF，45于

-----、、

点尸，连结OB,

LAEO=AAFO=ABAC=90°,

二四边形OF4E是矩形，

AE=OF,

\/

DE=CE=,

：.CD=2CE,

图1

当OE最大时，则，E最大，此时CE最小,也

最小，

•.•4。的长一定，

An

,此时4。最大，卷的值也最大，

.•OF^OB,

二当OF=08时，OF的最大，

此时，点B与点F重合，

如图2,当点B与点F重合时，连结O。、

设DE=CE=m,则CO=2m,\/

\/

\/

NOB。=45°，

4DOC=2ADBC=90°，

：OD=OC,图2

：.OE=；CD=DE=m,

・•.AE=OB=OD=y/DE2+OE2=Vm2+7H2=\[2m，

/.AD=AE—DE=x/2m—m，

ADy/^TTb—772—1

…CD-2m—2

故答案为：虫二1.

作△BCD的外接圆©O,作OEJ.AC于点E,作OFJ.AB于点F,连结OB,先

证明四边形OE4E是矩形，因为4C的长为定值,所以当4E最大时，则CE的长最小，

此时CD的长也最小，则4少的值最大，蒜的值也最大；因为垂线段最短，所以当点

B与点尸重合时，则4E=OB,此时4E最大，连结O。、OC,设。E=CE=m,

AD

则。/?=2小，根据勾股定理可求得4£=08=0。=四.，即可求出黑的值.

OLJ

此题重点考查圆周角定理、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的

辅助线是解题的关键.

17.［答案】解：y/3tan3O°+2cos60°-V2sin45°-

=A苧+2x；—警

=1+1—1

=1.

【解析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可.

本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的

关键.

18.【答案】80

【解析】解：⑴本次调查的人数有20・25%=80（人）,

故答案为：80；

第16页，共25页

(3)把直播授课、录播授课、自主学习、在线答疑四种形式分别记为4、B、C、D,

画树状图如下：

开始

共有16种等可能情况，其中明明和强强选择同一种教学方式的结果有4种，

明明和强强选择同一种教学方式的概率为44=；1

(1)根据录播授课的人数和所占的百分比求出调查的总人数即可；

(2)用总人数减去其它方式的人数求出自主学习的人数，补全条形统计图即可；

(3)画树状图，共有16种等可能情况，其中明明和强强选择同一种教学方式的结果有4种,

再由概率公式求解即可.

本题考查了树状图法以及条形统计图和扇形统计图，树状图法可以不重复不遗漏的列出

所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是

不放回试验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

19.【答案】解：(1)把点/坐标为(3,m)代入一次函数v=z中可得:

m=3,

.,.4(3,3),

把点4坐标为(3,3)代入二次函数沙=一/+bx中可得：

3=—9+3b,

解得：6=4,

y=—x2+41,

答：m的值为3,二次函数的表达式为：〃=—/+如；

⑵过点产作轴，垂足为。，交。力于点。，过点工作垂足为E,

•/y——x2+4rr=—(x—2)2+4,

顶点P（2,4）,

把z=2代入V=s中得：

2/=2，

.・回2,2）,

PZ）=4-2=2,

V△PCL4的面积=4OPD的面积+/\APD的面积,

/\POA的面积=^PD-OC+^PD-AE

=；PD（OC+AE）

=—x2x3

2

=3，

答：△POA的面积为3.

【解析】（1）把点力的坐标为（3,m）代入?/=工可求出，九的值，然后再把/点坐标代入

二次函数表达式即可解答；

（2）过点P作PCJ.支轴，垂足为C,交04于点。，然后把△OPD的面积与△八PO

的面积相加即可.

本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，正比例函数的图象，把

△POA的面枳分成的面积与的面积之和是解题的关键.

20.【答案】解：（1）如图，过点。作。QJ_PE,

垂足为Q,由题意可知，AADC=45°>

PE=1.2米，QE=0.2米，

在中，/PDQ=45°,

PQ=1.2-0.2=IX,

OQ=PQ=1（米），

r.PF=-OQ=3—1=2（米），

⑵当NADC=36°，PE=1.6米时,则

/DPQ=36。，PQ=1.6-0.2=1.4（米）,

DQ=PQ-tan36°«1.4x0.73=1.022（米）,

：.PF=3—1.022々1.98（米）,

1.98>1.8,

第18页，共25页

.•.能通过.

【解析】（1）在RfZXPOQ中，由NPOQ=45。，DQ=PQ=1,进而求出PP即可;

⑵当/4DC=36°，PE=1.6米时，求出PF,与1.8米比较即可得出答案.

本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提.

21.【答案】（1）证明：连接OC,

图1

是0。的直径，

.•.乙4。3=90°,

ZB+ZC4B=900,

■：OA^OC,

ACAO=AACO,

NB+N4CO=90°,

ZB=NECA,

NECA+/.ACO=90°,

：2ECO=90°，

ECIOC,

•.•o。为圆的半径，

.•.CE是OO的切线；

⑵解：•.•NB=30。,

ZCXB=60°.AB^2AC,

■：NECA=4B=30°,

NE=30°,

•.EA=AC.

•.正确的结论有4B=24C,NE=30°，EA=4C等.

【解析】(1)连接O。，由圆周角定理得出/4。3=90。，由等腰三角形的性质得出

ACAO=AACO,证出NECO=90°，则可得出结论；

(2)由等腰三角形的性质及直角三角形的性质可得出结论.

本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，切线的判定，直角三角形的性质，熟练掌

握切线的判定是解题的关键.

22.【答案】(—37+300)

【解析】解：(1)根据题意，当销售单价为/元/支时，销量为：

60+3(80-»)=-3a:+300,

.•.销售量为(—37+300)支，

故答案为：(―3x+300)；

(2)设销售单价为工元/盏，月销售利润？/元，根据题意得：

y=(x-56)(-3x+300)=-3/+468a;-16800,

.•.月平均销售利润V关于销售单价z的函数表达式为？/=-3/+468工一16800；

(3)由⑵知：y=-3x2+468a:-16800=-3(x-78)2+1452,

—3<0,56《z《80,

.•.当a:=78时，U有最大值，最大值为1452,

当销售单价定为每支78元时，所得月平均利润最大.

(1)根据售价每支为80元时，月平均销售量为6()支，当每支笛子的售价每降低1元时，

月平均销售量将增加3支，列出销售量代数式；

(2)根据“总利润=单件利润x销售量”列出函数解析式即可；

(3)利用二次函数的性质求函数最值即可.

此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，解题关键是要读懂题目的意思,

根据题目给出的条件，找出合适的等量关系.

第20页，共25页

23.【答案】(1)解：如图1中，点P即为所求;

(3)证明：观察图象可知，AM//BN,BN=2AM,

AP_AM__1

,•而=丽=5'

PB=2PA；

(4)解：①如图4中，点P即为所求.

②如图3中，点P即为所求.

【解析】(1)利用平行线分线段成比例定理解决问题即可；

(3)利用平行线分线段成比例定理证明即可；

⑷①取点J,连接A/J交于点P,点P即为所求；

②取点G,T,连接GT交4B于点P,点P即为所求.

本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理解决问题.

24.【答案】（1）解：如图1,

图1

连接04,OB,

在△AOB和△AOC中，

'AB=AC

<OB=OC,

OA=AO

.-.AAOB^AAOC(SSS),

NOAB=AOAC=^BAC,

2

AB—AB'

・•.//"=ZD=a,

AB=AC,

LABC=ZACB=a,

ZB?1C=180°-2a,

・•・ZOAC=90°-a,

•：OA=OC,

・•.N0C4=LOAC=90°-a；

⑵①证明：•.•BOLAC,

NBEC=90°,

Z.CBE=90°-AACB=90°-a,

AOCA=Z.CBE,

乙CEM=4CEB,

MJEMs丛BEC,

CE_EM

：.CE2=EM-EB;

②解：如图2,

第22页，共25页

A

连接49并延长交BD于N,连接CN,CD,

-：AB=AC.AOAB=AOAC,

・•・49垂直平分BC,

：,BN=CN,

Z.OCA=Z.DAC,

：.OC//ADf

.・.4DMC=Z.ABD=AACB,

•:锭=定’

・•.ABAC=4CDM,

Z.DCM=AABC，

/.ZDCM=ADMC，

.•・CD=DM=2,

ACLBD,

：.Z.AED=Z.AEN,

•/Z.OAC=ADAC,AE=AE,

A4EN三△4EO(4S4),

・•.EN=ED,

.・.4。垂直平分ON,

.・.CN=CD=2,

.・.BN=CN=2,

/.MN=BM-BN=3-2=1f

由EN=D石得，

MN+EM=DM-EM,

1+EM