2020-2021学年凉山州高一年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年凉山州高一上学期期末数学试卷

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分)

1.设全集U=fl,2,3,4,5}，集合4={1,2),B={2,3,4},则4U)=()

A.[1,2,4)B.[1,2,3)C.[1,2,5)D.[1,2,3,41

2.已知久E(一],0),且cos%=%贝！Js讥2%=()

A.胃B.ifC.D.-if

25252525

3,下列函数中，既满足函数的图象关于坐标原点对称，又满足在其定义域上为增函数的是()

A./(%)=JB./(%)=sinx

c./(%)=Inx2D.f(x)=W

7v_i_oq_

4.若函数/(%)=-g(%)=—+Inx,在平面直角坐标系％0y中，直线a%-y+2-a=0与/(%)

%—12.X

的图象交于4,B两点，点C在函数g(尤)的图象上，

则布•(0A+南)的最小值为()

A.4B.8C.8+4b13D.10

5.已知扇形的圆心角为120。，半径为3,则这个扇形的面积为()

7T

A.37rB.27rC.nD.-

6.若0<%<yVl,则下列不等式正确的是（）

X33x

A.4y<4B.%>yC.log4x<log4yD.（J）<

7.函数/（x）=x2-5x+6的零点是（）

A.-2,3B.-2,-3C.2,3D.2,-3

8.函数,翼磁=点的图象过点络嘴：,那么函数舞礴的单调递增区间是()

A.GA#噂B.C.I睥书噂D.a啊「瀚:

9.求函数、=<：05方的值（）

—

AV6V2BV2—V6c—V6--72DV6+V2

444.4

10.函数/(%)=s讥％•ln(e"+?-%)的图象大致为()

11.已知函数/(%)是R上的奇函数，且/(%)的图象关于直线％=1对称，当汽e时，/(%)=1-

则/(2016)+/(2017)=()

A.-1B.1C.2D.2006

{•aa

X=sin-+COS-

二_2(a为参数)的普通方程为()

y—V2+sina

A.y2—%2=1B.%2—y2=1

c.y2-X2=1(|%|<V2)D.x2-y2=1(|%|<V2)

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知函数/(%)=[(5尸+□"-2,则f(f(2))=____；函数g(x)=/(x)-k恰有两个零点,

\<log2x,0<%<2

则实数k的取值范围是.

14.已知：.演曲且：»'=醺您碱:带胆二，则客的值为。

懈

(log2(2-x),x<1

15.对于函数/(切=工4(aeR)的叙述，正确的有____(写出序号即可).

I十CL,XNA.

①若a20,则/(x)>0；②若/Q)有一个零点，则—lWa<0；③/(%)在R上为减函数.

16.已知命题p："Vxe[1,2],a<x+F，若"为假命题，则实数a的取值范围为.

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.计算下列各式的值

(I)国24-lg3—仞4+1g5

(H)(V3-V2)6+(V3?^)3-V2x8025-(2015)°-

18.已知集合M={x\2x—4=0},集合N={x\x2—3%+m=0},

(1)当m=2时，求MAN,MUN；

(2)当MCN=0时，求实数ni的取值范围.

19.已知函数f(x)=l—/

(1)若函数g(x)=/(x)-a为奇函数，求a的值；

(2)试判断函数f(x)在(0,+8)上的单调性，并用定义证明.

20.某校办工厂生产学生校服的固定成本为20000元，每生产一件需要增加投入100元，已知总收益

R(x)满足函数R(x)=黑嬴%湍其中久是校服的月产量，问：

(1)将利润表示为关于月产量x的函数/(%)；

(2)当月产量为何值时，工厂所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益=总成本+利润).

21.已知函数/(%)=%2+2%+alnx^aGR).

①当a=-4时,求/(%)的最小值；

②若函数/(%)在区间(0,1)上为单调函数，求实数a的取值范围；

③当£之1时，不等式/(2t—1)22/(七)一3恒成立，求实数a的取值范围.

22.已知函数/(%)=4«cosxsin(x-^).

(1)求函数八%)的最小正周期和对称轴；

(2)当力6[-白自时，求函数八久)的值域.

参考答案及解析

1.答案：C

解析：解：因为全集U=门，2,3,4,5),集合a={1,2},B=②3,4),所以QB={1,5},

4U(CpB)={1,2,5},故选C.

2.答案：C

解析：解：1•16(-p0),且cosx=：,.1.sinx=-V1-cos2%=

则sin2x=2sinxcosx=2x(—|)x^=—

故选：C.

由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinx,在利用二倍角的正弦公式求得s出2x的值.

本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，属于基础题.

3.答案：D

解析：解：根据题意，要求函数的图象关于坐标原点对称，则函数f(尤)是奇函数，且在其定义域上

为增函数，

依次分析选项：

对于4竺，有/(一久)=行二=—(q3=—/(乃，函数/(尤)为奇函数，

又由「(%)=—(二竺)<0,则函数f(x)在其定义域上为减函数，不符合题意；

对于8,/(%)=sinx,为奇函数，但在其定义域上不是增函数，不符合题意；

对于C,f(x)=Inx2,有/(一%)=ln(-x)2=Inx2=/(%),是偶函数，不符合题意；

对于。，f⑺=W，f(—x)=急=一(W)=—"X)，函数〃切为奇函数，

且〃%)=1-品，易得其为增函数，符合题意；

故选：D.

根据题意，分析可得函数是奇函数，且在其定义域上为增函数，据此分析选项中函数的奇偶性

与单调性，综合即可得答案.

本题考查函数奇偶性与单调性的判定，注意分析函数的定义域.

4.答案:B

解析：

本题考查了平面向量数量积的运算及导数的应用，属中档题.

由平面向量数量积的运算及函数图象的性质可得：0C-(OA+0B)=2x+^+4lnx,设其为做吗=

2%+(+4Znx,则h'(x)=2(="),

则y=h(%)在(0,1)为减函数，在(1,+8)为增函数，即h(x)min=%(1)=8,得解.

解：由/。)=言=2+W得：

y=/■(%)的图象关于点(1,2)对称，

又直线ax-y+2-a=0过定点(1,2),

设4(m,n),则B(2—m,4—n),

则6?+加=(2,4),

设+Inx),

则。。♦(。4+。8)=2%+?+4加％,

设九(%)=2%+|+4Znx,

则“功=2(x+3y-l)>

当0<尤<1时，h'(x)<0,当x>l时，h'Qx)>0,

则y=h(x)在(0,1)为减函数，在(1,+8)为增函数，

即h(x)加讥=h(l)=8,

故选：B.

5.答案：A

解析：解：由题意得，n=120°,R=3,

2

「miR120XTTX32C

S扇形=M=36。=3兀,

故选：A.

根据扇形公式s扇形=需，代入数据运算即可得出答案.

此题主要考查了扇形的面积计算，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积公式，另外

要明白扇形公式中，每个字母所代表的含义.

6.答案：C

解析：解：若0<久<y<l,

则4y>4%故4错误;

%3<y3,故5错误；

log4x<log4y,故C正确;

C)x>G)y，故。错误；

故选：C.

根据X,y的范围，结合指数函数、对数函数的性质从而得到答案.

本题考查了不等式问题，考查基本初等函数的性质，是一道基础题.

7.答案：C

解析：解：令/■(%)=尤2-5%+6=0,

解得：x=2或久=3,

故选：C.

令/(无)=0,解方程即可.

本题考查了解方程问题，考查函数的零点，是一道基础题.

8.答案：C

解析：解析：解：由题意得®:=塞，所以，典碱：，=:梦，它在代福期上递减，在:胡:出臧:上递增。

9.答案:C

bj3ATJ117T,71、717T71、7171.71.71

WW：用牛：v=cos——=cos(7r---)=—cos—=—cos(Z-----)=—cos-cos——sin-sin-=------•

)12'12，12'46，46464

故选：c.

运用诱导公式及特殊角的三角函数值即可得解.

本题主要考查了诱导公式及特殊角的三角函数值的应用，属于基础题.

10.答案:C

解析：

本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性、函数值符号的分析，属于中档题.

根据题意，先分析/(%)的奇偶性，再分析区间(0,兀)和(兀,2兀)上的符号，利用排除法分析可得答

案.

解：根据题意，函数f(x)=sinx•ln(el+e-工),其定义域为R,

有/'(一x)=—sinx-ln(ex+e-x)=f(x)为奇函数，排除D,

在区间(0,兀)上，sinx>0,ex+e~x>1,则有/'(x)=sinx-ln(e，+e=)>0,排除4

在区间(兀,2兀)上，sinx<0,ex+e~x>1,=sinx-ln(ex+e~x)<0,排除B,

故选：C.

1L答案：B

解析：解：因为/(%)图象关于％=1对称，所以/(%)=/(2-x),

又/(%)为奇函数，所以f(2—x)=—/(久―2),即/(%)=一〃%—2),

则f。+4)=-/(%+2)=-[-/(x)]=f(x),

故4为函数f(x)的一个周期，

从而“2016)+/(2017)=/(0)+/(I),

而/'(0)=1—1=0,f(1)=—f1)=—[1—2]=1,

故f(0)+/(I)=1,即/(2016)+f(2017)=1,

故选：B.

由函数的对称性可得/(%)=/(2-%),再由奇偶性可得/(X)=—f(x-2),由此可推得函数的周期，

根据周期性可把f(2016),f(2017)转化为已知区间上求解.

本题考查函数的奇偶性、周期性、对称性及其应用，考查函数求值，解决本题的关键是利用已知条

件推导函数周期.

12.答案：C

解析：

本题考查将参数方程化成普通方程，同角三角函数的基本关系，二倍角公式，辅助角公式，正弦函

数的性质.

先由辅助角公式，正弦函数的性质得xe[-V2.V2],再结合同角三角函数的基本关系可得/,又*=

2+sina,消去a可得答案.

解：x=V2sin(^+7)£[-V2,V2],

Z4

%2=1+sina,

y2=2+sina,

・•.y2—x2=l(|x|<V2).

故选C,

•••/(/(2))=/(l)=log2l=0.

由/(%)-k=0得f(%)=k,设y=/(%),y=k,分别画出这两个函数的图象，如图所示.

观察图象可知，当实数k的取值范围是弓,1)时，直线y=k与函数y=〃x)的图象有且只有两个交点,

即函数g(%)=/(%)-k恰有两个零点，

故答案为0;(|,1).

先根据分段函数求出/'(2),再求出/'(x(2))即得；由/■(%)-k=。得/'(x)=k,设丫=/(%),y=k,

分别画出这两个函数的图象，欲使g(x)=/(%)-k恰有两个零点，结合图可求得实数k的取值范围.

本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象

思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎

刃而解，且解法简捷.

14.答案:0

解析：试题分析：财产=崛题磷十崛上=胞|射用二=il[£f：ill#=：1.,=:([):

考点：对数运算

点评：对数运算法则Ife微,涉中瞬期产=帆得j鲍力，崛零道-瞬&y=1幅黑、I二

ik®翟&澎州=捌:崛翟&说

当a之0,y=：+a的图象在不轴上方，则/(x)>0,故①正确；

若/(久)有一个零点，则需y=5+a的图象与x轴有一个交点，则-lwa<o,故②正确;

只有当aW-1时，分段函数为减函数，否则，分段函数不是单调函数，故③错误.

故答案为：①②.

由题意画出图形，结合图象，逐一分析三个命题得结论.

本题考查分段函数的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题.

16.答案：（—8,2）

解析：解：:"为假命题，，P为真命题，

:命题p：V%£[1,2],a<%+,1•a<（%+

X+^>2V1=2,当且仅当久=1,即X=1时取等号，二（X+，m讥=2

■■■a<2.

故答案为：（—8,2）.

命题P：由已知可得：a<（x+：）m讥，若"是假命题，可得p是真命题，即可得出.

本题考查了函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

17.答案：解：（1）国24—国3—国4+国5

=lg3x23—lg3—lg4+IgS

=lg3+31g2—lg3—2lg2+IgS

=lg2+lg5

=1.

（H）（V3-夜）6+（737^）3-V2X8025-（2015）°

3411

=32-23+（3J）i-2J♦（23）2-1

=72+3-2-1

=72.

解析：（I）直接利用对数的运算性质化简求值；

（n）化根式为分数指数幕，然后利用有理指数幕的运算性质化简求值.

本题考查对数的运算性质，考查了有理指数幕的化简与求值，是基础的计算题.

18.答案：解：（1）M={2},当爪=2时，N={1,2},

:.MCN={2},MUN={1,2}...（5分）

（2）2住N,

•••22-3x2+m0...（10分）

解得：m.丰2

解析：(1)解方程求出M,N,进而结合集合交集，并集，补集的定义，可得答案.

(2)由2CM可得：当MCiN=0时，2住N,即2?—3X2+670.

本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集及其运算，难度不大，属于基础题.

19.答案：解：⑴由已知g(x)=f(x)—a,

得g(x)=1-a-1，

g(x)是奇函数，

g(r)=_g(%)，

7o

即l-a—告=—

解得a=1；

(2)函数/(x)在(0,+8)上是增函数，

证明如下：设任意X],%2满足

2^2,

fQi)-f(x2)=(i—分—(i一今=

0<<%2，•••11—%2V0,%1%2>0

从而迎3<0,

X1X2

即/(%1)</。2)，

，函数/(%)在(0,+8)上是增函数.

解析：本题考查了函数的奇偶性问题，考查根据单调性的定义证明函数的单调性问题，是一道中档

题.

(1)根据函数的奇偶性求出a的值即可；

(2)根据函数的单调性的定义证明即可.

20.答案：解：(1)由题意，

当0<x<400时，

/(X)=400%-0.5%2-20000-100%

=300x-0.5%2-20000；

当工>400时，/(%)=80000-100%-20000

=60000-100%；

的))_(300%—0.5x2—20000,0<x<400

WW=160000_ioo%,x>400；

(2)当0<%<400时，

以X)=300%-0.5x2-20000；

当"=黑=300时，=25000；

当%>400时，

/（X）=60000-100%<60000-40000=20000；

故当月产量为300件时，工厂所获利润最大，最大利润为25000元.

解析：⑴由题意，由总收益=总成本+利润可知，分0WXW400及x>400求利润，利用分段函数

表示；

（2）在0W久W400及无>400分别求函数的最大值或取值范围，从而确定函数的最大值.从而得到最

大利润.

本题考查了分段函数在实际问题中的应用，属于中档题.

21.答案:解：①:/(%)=/+2x—>0)

/0)=2x+2—：=2一+2厂1)(2分)

当x>1时，f'(x)>0,当0<x<1时，f(x)<0

・••/(%)在(0,1)上单调减，在(1,+8)上单调增

•­-fMmin=f(1)=3(4分)

②[(%)=2%+2+詈空—(5分)

若/(%)在(0,1)上单调增，则2/+2%+a>0在%G(0,1)上恒成立=>a>-2x2-2%恒成立

22

令〃=—2%—2x,x6(0,1),则〃=—2(%+-)+umax=0

・•・a>0(7分)

2

若/(%)在(0,1)上单调减，则2久2+2%+a<。在％G(0,1)上恒成立=a<[-2x-2x]min=-4

综上，a的取值范围是:(一8,-4]"0,+8)(9分)

(3)(2t—I)2+2(21—1)+alTi(2t—1)22t?+4t+2dint—3怛成立矶ln(2t—1)—2Znt]N_2t2+

4t—2=矶ln(2t—1)—"[2]>2[(2t-1)—/1(io