考点06指数函数图象与性质（解析版）

【2022版】典型高考数学试题解读与变式

考点06指数函数图象与性质

一'知识储备汇总与命题规律展望

1.知识储备汇总：

(1).〃次方根概念与表示

定义一般地，如果炉=〃，那么X叫做4的"次方根，其中〃>1,且〃6N*.

正数的n次方根是一

个正数

”是奇数。的"次方根用符号箫表示

负数的〃次方根是一

个负数

性质

正数4的正的〃次方根用符号缶表示，负的〃

及表正数的n次方根有两

个，这两个数互为相反次方根用符号一缶表示.正的"次方根与负的

示〃是偶数

数

n次方根可以合并写成土名(a>0).

负数没有偶次方根

0的任何次方根都是0,记作如=0.

(2)根式概念

式子名叫做根式，这里〃叫做根指数，〃叫做被开方数.

(3)根式的性质

a,〃为奇数

①函）"=〃.②"=♦

为偶数;

(4)分数指数幕

in1*tni

①6（”>0,加,〃eN,且〃>1）,②a〉0,加,N*,且〃>1）

0的正分数指数基等于0；0的负分数指数某没有意义

(5)无理数指数幕

一般地，无理数指数幕43>0,a是无理数)是一个确定的实数;

(6)实数指数嘉的运算性质

①ar-as=a,+s（a>0,r,s^R）.②（a‘）'=。"（。>0",s£R）.

③（a匕）r=a1br{a>0,h>0,rG/?）.

(7)指数函数概念：形如y=a、(a>0且awl)函数叫指数函数，其中x是自变量，函

数定义域为R.

(8)指数函数图象与性质

y=axa>\0<4<1

片nr

…普,1

图像-®半一片1

-c7|~I?0,~

定义域R

值域(0,+oo)

性

过定点(0,1)

质

单调性在(-8,+8)上是增函数在(-8,+8)上是减函数

函数值分布当x>0r时,y>1；x<0时，0<><1当x>0时，0<><1；x<0时，y>l

(9)指数函数在第一象限按逆时针方向底数依次增大.

2.命题规律展望：指数与指数函数概念、图像、性质是历年的热点和重点，常以指数函数及

其图像与性质为载体，考查指数型函数定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等图像与性

质，特别是以指数函数为载体的复合函数更是考查的重点，难度既有容易题也有中档题还有

难题，分值常为5分.学％科网一

二'题型与相关高考题解读

1.指数运算

1.1考题展示与解读

例1.【2020年高考全国I卷文数8】设alog34=2,则=()

A.—B.-C.-D.-

16986

【答案】B

【思路导引】首先根据题中所给的式子,结合对数的运算法则，得到log34〃=2，即4“=9，

进而求得4“=",得到结果.

【解析】由alog34=2可得log34"=2,；.半=9，有4一"=g,故选B.

【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了指数式与对数式的互化，考查塞的运算性

质，考查数学运算学科素养.解题关键是正确进行指数式与对数式的互化.

1.2【典型考题变式】

【变式1：思维变式】已知九,log32=l,则4"=()

A.4B.6C.4啕9D.9

【答案】D

【解析】♦.”,log32=l,，x=log23,晦3=4啕9=9,故选D

,、3、，x<01

【变式2：改编条件】已知函数f(x)=4、，则的值是()

log2x>x>02

A.-1B.3C.D.V3

3

【答案】c

【解析】由题意可得，f(工)=102』=-1，(f(!))=f(-1)=3一|=!，故选c.

§

22223

2*T—1X^1

【变式3：改编结论】已知函数/5)=,二一，若/(a)=l,则/(I-4)=()

-log2(3-x),x<1

A.2B.-2

C.1D.-1

【答案】B

【解析】当a之1时,20-i-1=1,即a=2,则/(1-a)=-log24=-2>当a<1时,-log式3-。)=L即

a=|，不合题意，故f(l-a)=-2应选B.

f(x+1),x<4

【变式4：改编问法】已知f(x)=11„、，贝If(k)g23)=()

(y)-x>4

A.B.J-C.1D.1

122442

【答案】B

【解析】由题意的,V2=log24>log23>log22=1,.*.f(log23)=f(l+log23)=f(2+log23)

=f(3+log23)=(1)3+log23=li故选B.

224

2.比较指数值大小

2.1考题展示与解读

421

例2【2016高考新课标3理数】已知a=2?,b=^,c=25§,则()

(A)b<a<c(B)a<b<c(C)b<c<a(D)c<a<b

【命题意图探究】本题主要考查指数函数与黑函数的图象与性质，是容易题.

【答案】A

422j22

【解析】因为a=2§=4§>45=b,c=253=53>43=a,所以8<a<c,故选A.

【解题能力要求】转化与化归思想、运算求解能力

【方法技巧归纳】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、

幕函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑基函数的单调性；如果指

数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及到对数，则一联系对数的单调性来

解决.

2.2【典型考题变式】

【变式1：改编条件】若0<c<l,则

A.ac<hcB.abc<hac

C.a\oghc<b\ogucD.log/〈log/

【答案】C

【解析1选项A,考虑基函数y=x,，因为c>(),所以y=为增函数，又。>匕>1,

所以a。〉。。，A错.对于选项B,abc<bac又y=(2)*是减函数，所以B

aaa

错.对于选项D,由对数函数的性质可知D错，故选C.

x

【变式2：改编结论］已知实数x,y满足a<ay(0<a<l),则下列关系式恒成立的是()

A.In(x2+l)>ln(y2+l)B.sinx>siny

C.x3>y3D.—>~—

x2+ly2+l

【答案】C

【解析】：实数x,y满足ax<ay(OVaVl),；.x>y,A.取x=2,b=-3,不成立；B.取

x=jt,y=-兀，不成立；C.由于y=x3在R上单调递增，因此正确；D.取x=2,y=-1,不

成立，故选C.

【变式3：.改编问法】设e为自然对数的底数，则a,"，e"-l的大

小关系为()

A.e"-1<a<a'B.a'<a<e"—1C.a'<e"-l<aD.a<e"-l<a’

【答案】B

【解析】因为()<a<l，所以l<e"<e,相<1,故e"-1最大，而当0<a<1时，y=ax

为.递减函数，所以#'<“，故选B。

3.含指数型函数的图象应用

3.1考题展示与解读

例3.【2018年理新课标I卷】已知函数/(%)=<‘'*'°'g(x)=/(%)+X+〃.若g(x)

Inx,x>0,

存在2个零点，则。的取值范围是

()

A.[—1,0)B.[0,+co)C.[-1,+co)D.[1,+co)

【答案】C

【解析】函数g(x)=/(x)+x+a存在2个零点，即关于x的方程/(x)=-x—。有2个

不同的实根，即函数/(x)的图象与直线y=—x—a有2个交点，作出直线丁=一工一。与函

数/(幻的图象，如图所示，由图可知，一解得故选C.

【解题能力要求】转化与化归思想、数形结合思想

(方法技巧归纳】己知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法

.(1)直接法：直.接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.

(2)分离参数法：先将参数分离，转.化成求函数值域问题加以解决.

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形

结合求解.

3.2【典型考题变式】

【变式1：改编条件】函数/(X)=2'+log2W的零点个数为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】令y=2*,y=-log2|x|,在同一直角坐标系，作出函数y=2-'与y=-log2|X

的图像，如下图

y

2

^3-2Xl\O1k23x

由图像可知，函数“力=2'+蜒2凶的零点个数为2个.

【变式2：改编结论】若函数〃x)=|log“乂一2r(a>O,aHl)的两个零,点是根,〃，则

()

A.rnn=\B.nm>\C.mn<\D.以上都不对

【答案】C

t解析】由题设可得|logK=；S,不妨设4>1,画出方程两边函数y=|l

ogHj=的图像如图,

结合图像可知0<m(L力1,且Tog产=；!；，log/=；；；，

以上两式两边相减可得

loga(?MM)=；1j1［<0,所以0<WM<1,应选答案C。

,m1n2

【变式3：改编条件和结论】函数y=2f一*在［_2,2］的图像大致为

A.B.

【答案】D

【解析】:y=2>一6同是偶函数，设y=2，-eE,则/⑵=2x2?-e?=8-e?,所

以0</(2)<1,所以排除A,B；当0领Jx2时，y=2x2-ex,所以y'=4x—e"

又(yy=4-e"当0<x<ln4时，(y')'>0,当In4cx<2时，(y')'<0，所以

y=4x-e*在(0,ln4)单调递增，在(In4,2)单调递减，所以y'=4无一e'在［0,2］有

-1W4(ln4-l),所以y'=4x—e'在［0,2］存在零点£,所以函数>=2/一"在

［0,£)单调递减,在(£,2］单调递增,排除C,故选D.

指数型函数性质

4.1考题展示与解读

例4.［2021新高考I卷13］已知函数/(x)=x3(a.2'_2T)是偶函数，则

【答案】1

【分析】利用偶函数的定义可求参数。的值.

【解析】V/(x)=x3(a-2x-2-v),故〃—x)=—六。？*—2,),♦.•/(X)为偶函数,

3xx3x-A

故/(-x)=/(x),时x(a-2-2-)=-x(a-2--2'),整理得到(a-1)(2'+2)=0,

故a=l,

故答案为：I.

【方法技巧归纳】对指数型函数性质的问题，对奇偶性的问题，利用奇偶性定义和指数运算

进行判定，对已知函数性质，求参数问题，可以用特值法.

4.2【典型考题变式】

【变式1：改编条件】下列函数中，既是偶函数，又在(0,长。)上单调递增的是()

cosx

A.y=ln(|x|-l)c.yD.y^ex+e~x

w

【答案】D

【解析】四个函数均为偶函数，下面判断单调性;

对于A,y=ln(|x|—1)在区间(0,1］无意义，故A错误；

对于B,y=X—：在区间(0,1］上单调递减，故B错误；

COSX

对于C,y=cosx为周期函数，所以y丁在(0,+。。)上不具有单调性；

对于D,y=e*+e-*是偶函数，又在(0,+8)上单调递增.，故选：口学@科网

【变式2：改编结论】若函数〃x)=l—］七是奇函数，则使成立的x的取值

范围是.

【答案】［1,+8)

［解析］由题意得〃x)+/(_x)=0nl_7T三+］_亍三=0=(。_1)(2=1)=0=>4=1

21

X

^1-_^>A=>2>2=>X>1

2+13

【变式3：改编问法】已知函数必为=q普是定义在R上的奇函数，且函数以乃=?在

(0,+8)±单调递增，则实数a的值为()

A.-1B.-2C.1D.2

【答案】A

【解析】•.•函数/■(6=嗤1是定义在R上的奇函数，二函数r(o)=噤=o,则。=±1，若

函数g(x)=号=1+g在(0,+8)上单调递增，贝必<0，［a=-1，故选A.

4.指数型函数与不等式

5.1考题展示与解读

例5.【2020年高考北京卷6】已知函数/(外=2'-彳-1,则不等式/。)>0的解集是()

A.(-1,1)B.y,_i)u(i,+8)C.(0,1)

D.(,,0)U(l，+8)

【答案】c

【解析】不等式f(X)>0化为2“>x+l,在同-直角坐标系下作出y=2x,y=x+l的图象(如

图)，得不等式/(x)>0的解集是(0/)，故选C.

【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了简单指数不等式的解法，考查数形结合思

想，考查数学运算、数学直观学科素养.解题关键是正确作出函数图象，利用图象解决问题.

5.2【典型考题变式】

2~x-l,x<0

【变式1：改编条件】函数f(x)={，满足f(x)>l的x的取值范围()

X2.X>O

A.(-1,1)B.(-1,+oo)C.{x|x>0或x<-2}D.{x|x>l或x<-l}

【答案】D

【解析】当蟀0时，f(x)>1即2X>2=21,/.-x>l,x<-1,当x>0时，f(x)>1即

2

x>bx>l,综上，x<-1或x>l,故选D.

【变式2：改编结论】设/■(4)=弓尸一炉，已知0<a<b<c,且若%o

是函数“幻的一个零点，则下列不等式不可能成立的是()

A.x0<aB.0<x0<1C.b<XQ<CD.a<xQ<b

【答案】D

【解析】因/■'(%)=(1)xlni-3x2,且(疗>0,吗<0,-3/±0,故

/■，(x)=(i)xln|-3x2<0.即函数〃©=(»*—炉单调递减，即该函数只有一个零点，因

此若x(j<a,则0>/(a)>f(b)>/(c］，即/'(al/Xb)/。:)<0成立，答案A正确；因

/■(1)=1-1<0，若xo<l<a<b<c,贝ijf(a)>O,f(b)>0,f(c)<0，若

0<%o<a<1<b<c,则/'(a)■/1(bl/XGCO也成立，故答案B正确。若b<而<c,则

/(a)>O,f(b)>0J©<0,则有<0成立，故答案C正确：若a<孙<b,

则/"(a)>O,f(b)<OJ(c)<0,，则<0不成立，应选答案D。

【变式3：改编问法】函数/(x)=，2*-；+也(1一九)的定义域是()

A.[-1,2)B.(-2,1)C.(-2,1]D.[-2,1)

【答案】D

2X—1>0

【解析】由题意得，{「陶=>-2<x<1,故函数“X)的定义域为[—2,1),故选D.学。

科网

5.指数型函数方程

6.1考题展示与解读

例6【2015高考山东，理10]设函数/(x)T,，则满足/(/(a))=2/®的a取

2,x21

值范围是()

■?1「2\

(A)-,1(B)[0,1](C)-,+oo(D)[l,+oo)

-3」|_3J

【命题意图探究】本题主要考查分段函数、函数方程及分类整合思想，是难题.

【答案】C

【解析】当。之1时，f(a)=2a>l,所以，/(/(«))=2/(a，,即a>1符合题意.

22

当时，"4)=为一1若/(〃可)=2m'，则/9)21,en：3a-l>La>-，所以

适合题意综上，a的取值范围是[故选C.

【解题能力要求】运算求解能力、分类整合思想

【方法技巧归纳】方程/(x)=0的根的个数等价于函数y=/(x)的图象与x轴的交点个数,

若函数y=/(x)的图象不易画出，可以通过等价变形，转化为两个熟悉的函数图象的交点

个数问题.

6.2【典型考题变式】

【变式1：改编条件】设函数/(x)={2，X~Q，若对于任意给定的ye(2,+oo)都存

log2x,x>0

在唯一的xeR,满足/(/(x))=2a2y2+冲，则正实数a的最小值是()

A.2B.-C.-D.4

24

【答案】C

【解析】函数〃上{®*>0的值域为员

,.,/(x)=2x,(xC0)的值域为(0J;/(x)=7og,x(x>0)的值域为凡

..4x)的值域为(0J上有两个解,

要想/(/(切=2『/+④在［E。y)上只有唯一的x€R满足，

必有/(/(X))>l(2fl>2+ay>0).

..<x)>2即7og?x>2,解得：x>4.

当r>4时n与加(x))存在一一对应的关系。

二问题转化为2a2y2+丹〉Lye(Z+oo)，且必).

••.(2@T)0+i)>0解得：y>^~或者y<-1(舍去).

2aa

，W2彳导:9故选C.

2a4

X

【变式2：改编结论】已知函数/(6=区^-<x<e2^,与函数g(x)=e),若/(x)

与g(x)的图象上分别存在点M,N,使得MN关于直线y=x对称，则实数上的取值范围

是().

1］「2］(2、「3一

A.—,cB.—,2eC.—,2eD..—,3e

_e\eJ\e)Le

【答案】B

【解析】由题设问题可化为函数y=g(x)的反函数y=loggx的图像与/(%)=依在区间

丁磊］上有解的问题。即方程近=log『在区间［7/］上有解，由此可得-4〈依《2,

422F2

即一一<k<~,所以一一<k<2e,应填答案——,2e。

xxe\_e

【变式3：改编问法】设函数/(力={1「",若互不相等的实数Q/,C满足

-x+5,x>2

/(a)=/(》)=/(c),则2"+2”+2c的取值范围是()

A.(16,32)B.(18,34)C.(17,35)D.(6,7)

【答案】B

【解析】画出函数/（x）的图象如图所示，不妨令a<b〈c,则1—2"=2"—1,则

2"+2”=2.结合图象可得4<c<5,故16<2'<32,...18<2"+2〃+2'<34.选B.学

科#网

三'课本试题探源

必修1P62页习题2.1B第1题：求不等式。2口>。且。71）中x的取值范围.

【解析】当0<a<l时，y=a*在区间+~）上是减函数，所以原不等式等价于

2x-7v4x-l,解得1>-3；

当。>1时，丁=优在区间（-8,+8）上是增函数，所以原不等式等价于2x—7>4x—1,

解得x>—3>

综上所述，当0<。<1时，x的取值范围为（一3,+8）；当a>l时，x的取值范围为（一8,-3）.

四'典型高考模拟试题演练

一、单选题

2

1.（2021•陕西高三其他模拟（理））已知函数〃、）=不行（4>1）,给出下列四个命题：

①〃x）在定义域内是减函数；

②g（x）="x）-l是非奇非偶函数；

③/z（x）=/'（x）+/（l-X）的图象关于直线x=l对称；

④F（X）=|〃X）T是偶函数且有唯一一个零点.

其中真命题有（）

A.①③B.②③C.③④D.①④

【答案】D

【分析】

利用复合函数单调性的求法判断〃》）=岛（。>1）单调性，判断g（-x）+g（x）=0是否成立

即可判断g(x)的奇偶性，应用特殊值求出M。)、力⑵，反证法判断图象是否关于直线x=l

对称，利用尸(x)=V(x)-l|的性质即可确定零点的个数.

【详解】

29

函数f(x)=/w(a>l)可看成函数〃=优+1(〃>1)与函数y=£的复合函数，

2

①函数“在R上是增函数，函数y在(0,+?)上是减函数，故f(x)在定义

域内是减函数，真命题；

②g(x)=y(x)-l=-^-l,且g(T)+g(x)=0,故g(x)是奇函数,假命题；

③〃(O)=/(O)+f⑴=1+高，〃(2)=〃2)+/(-1)=岛+葛，若〃(0)=〃(2),则。=1,

假命题；

④g(x)=/(x)—l是奇函数，则*x)=|/(x)-l|是偶函数，且当x>0时，

产(》)=/四一1|=1一品在(0,+?)上是增函数，故F(x)>F(0)=0,函数有唯一个零

点0,真命题.

故选：D.

2.(2021.四川省绵阳南山中学高三其他模拟(文))函数/")=的图象大致为()

【答案】B

【分析】

先判断函数的奇偶性排除选项A,再根据/(1)>1排除选项D,又当x―物时，f(x)f+=»,

排除选项C,即得解.

【详解】

由题得{RXKO},函数的定义域关于原点对称.

/(-x)=一r-='।「=-/(x),所以函数/(x)是奇函数，

所以排除选项A：

又,(1)=一『>0,所以排除选项D：

又当xf3时，f(x)=《士，e-'fO,指数函数丫=«，是爆炸式增长，所以+oo,

XX

/(x)~+8,所以排除选项C；

故选：B

3.(2021•全国高三其他模拟(理))已知。月=则下列结论一定正确

a〃+1

的是()

A.ln(tz+Z?)>2B.ln(a-/?)>0

C.2U+1<2bD.2rt+2ft<23

【答案】B

【分析】

(,a+1/J+l1paJ+l1

a>tb>\,且J=即J=—+」_得一一上—二，>o,构造函数

a/?+1ab+1b+1ab+1b+1

f(x)=£,x>l,求导后利用导数的正负求得函数单调递增，利用/(。)-/。+1)>0得

a-b>\,结合赋值法即可判断出结果.

【详解】

.,...eb+'+\印""1阳e"eM1八

a>\,b>l,且一=-----，即一=----+----得--------=---->0

ab+\ab+\b+\ab+\b+\

设〃x)=?,x>l,

则/（"=£与11>0恒成立,

在（1，茁）上单调递增,

/、/xea尸1

a>b+\,即。一〃>1,

故ln（a-b）>0,B正确；

令。=42=2满足。-6>1,但山（。+与>2不成立，故A错误;

令。=41=2满足4一万>1,2"+I<2’不成立，故C错误；

令。=41=2满足。―匕>1,2"+2”<23不成立，故D错误；

故选：B.

4.（2021•全国高三其他模拟（理））已知函数〃x）为奇函数，当x<0时，/（x）=2'+2,

则〃1）=（）

A.-4B.--C.4D.-

22

【答案】B

【分析】

由奇函数的性质有f⑴,结合x<0的函数解析式即可求值.

【详解】

由题设知：/(D=-/(-D=-(2-1+2)=-1.

故选：B

5.（2021.山东高三其他模拟）已知函数/（x）=|U'（:<D，满足对任意西工々，都

（«-2）x+3a,（x>l）

有3^J<o成立，则。的取值范围是（）

占一尤2

A.«e（0,l）B.ae,C.ae（0,1D.«e：,2）

【答案】C

【分析】

将条件"*）［"*）<0等价于函数函数〃x）为定义域上的单调减函数，由分段函数的单

X\~X2

调性要求，结合指数函数、诙函数的单调性得到关于。的不等式组，求解即得.

【详解】

由题意，函数/%）对任意的x户马都有<0成立，

ax-',(x<l)

即函数f（x）=为R上的减函数,

(Q-2)X+3〃,(XN1)

0<a<l

可得，a-2<0，解得0<“43,

4

\>a-2+3a

故选:C.

,2、

3/［\log—3

6.（2021•全国高三其他模拟（理））若a=5'叼/=仁］31=（6广f，则（）

A.c>a>hB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c

【答案】D

【分析】

根据指对数运算法则化简成相同真数，底数不同的对数式，然后根据指数函数的单调性求得

数的大小关系.

【详解】

23|33

由指数、对数运算性质知，6=5"叼=5"呵,c=5”叼=5,脸，

333

贝U由log2->log?->log4-知

5陛4>5吹尚>5^4,U\ia>b>c

故选：D

7.（2021•全国高三其他模拟）设xeR,则“4、>2'''是。>1”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】

把命题4，>2,化简为x>0,再考查以x>0,x>l分别为题设，结论和结论，题设的两个

命题真假即可作答.

【详解】

因4'>2*。22*>2'o2x>xox>0,

乂x>0&x>l,而x>l=x>0,即“x>0"是"x>l"的必要不充分条件，

所以“4、>2,”是“x>l”的必要不充分条件.

故选：B

8.（2021•全国高三其他模拟）毛衣柜里的樟脑丸会随着时间挥发而体积缩小，刚放进的新

丸体积为。，经过f天后体积V与天数r的关系式为丫若新丸经过50天后，体积变

为丁,则一个新丸体积变为点〃需经过的时间为（）

A.125天B.100天C.75天D.50天

【答案】C

【分析】

根据题意将当t=50时代入计算出e"=够，然后再代入计算即可求出结果.

【详解】

解析：由题意知a>0,当f=50时，有=

呜=（"「得白哂

QQ

所以当丫=丁。时，有=4=小0”.

所以，=75.

故选：C

9.（2021・辽宁高三其他模拟）渔民出海打鱼，为了保证运回鱼的新鲜度（以鱼肉内的三甲

胺的多少来确定鱼的新鲜度，三甲胺是一种挥发性碱性氨，是氨的衍生物，它是由细菌分解

产生的，三甲胺积聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质，进而腐败），负被打上船后，

要在最短的时间内将其分拣，冷藏，已知某种鱼失去的新鲜度力与其出海后时间♦（分）满足

的函数关系式为〃（f）=〃?”'，若出海后20分这种鱼失去的新鲜度为20%；出海后30分钟，

这种鱼失去的新鲜度为40%,那么若不及时处理，打上船的这种鱼大约在多长时间刚好失

去50%的新鲜度（）考数据：lg2“0.3

A.23分钟B.33分钟C.50分钟D.56分钟

【答案】B

【分析】

h（2O}=ma20=0.2（1Y（1Y

由题得3。八，，解方程可得Mt）=0°5x2博，再解方程0.05x21。=0.5即

h[30）=ma=0.4v7（J（J

可得答案.

【详解】

/?（20）=ma2{}=0.2i

由题意可得%（30）=.3。=0.4'解得°=2而，瓶=0.05.

（_i_V

/?（?）=0.05x2记.

令力⑺=0.05x2,=0.5,即2三=10，

两边同时取对数，故"10•譬=33分钟

1g2

故选：B

10.（2021.湖南高三其他模拟）若a=0.3°7,b=0.1°3,c=1.2°\则a,b,c的大小关系

是（）

A.a>b>cB.c>b>aC.b>c>aD.a>c>b

【答案】B

【分析】

根据指数函数与暴函数的图象与性质确定。，瓦c的范围，对于a,b需要借助中间数据0.303进

行比较，然后与。比较大小即可.

【详解】

•••函数y=0.3"在/?上是减函数，

.•.0<0.3°7<0.3°3<0.3°=1,

又,基函数y=X03在（0,+8）上单调递增，0.3<0.7,

.­.0<0.3°3<0.7°-3.所以

而函数y=1.2,是R上增函数，

.­.C=1.203>1.2°=1,:.c>b>a

故选：B.

11.（2021•河北唐山一中高三其他模拟）在流行病学中，基本传染数凡是指在没有外力介入，

同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.凡一般由疾病的感染周期、

感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.假设某种传染病的基本传染

数以=3.8,平均感染周期为7天，那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要

（）轮传染？（初始感染者传染个人为第一轮传染，这4个人每人再传染几个人为

第二轮传染……）

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【分析】

根据题意列出方程，利用指数运算性质求解即可.

【详解】

感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n轮传染，

则每轮新增感染人数为7V,

经过〃轮传染，总共感染人数为：

+|

1+9+琉+…I_/2«

1一%

1_□Qzr+I

即——：—=1000,解得〃a4.94,

1-3.8

所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要5轮传染，

故选：B

【点睛】

等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等

比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前"项和公式时,

应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.

12.（2021•重庆一中高三其他模拟）已知〃力=加+加是定义在［。-1,2目上的偶函数，那

么y=/（a"+。）的最大值是（）

A.1B.-C.5/3D.—

3、27

【答案】D

【分析】

根据题意，由函数奇偶性的定义分析“、6的值，即可得），=八。”+力的解析式，由复合函数

单调性的判断方法分析¥=/（"'+与的单调性，据此分析可得答案.

【详解】

解：根据题意，/（6=加+区是定义在ST,20上的偶函数，则有（。-1）+2。=3«-1=（）,

则a=；,

同时/（一x）=/（x），即at2+加=〃（_幻2+力（_l），则有法=0,必有6=0,

则/*）=$2,其定义域为［-］,|］,

11o107

则y=/（«"+力=力（尹，设r=（-）",若--W-）"则有«-.-iog3->o,

2

在区间［-iog3§，+»）上，r>0且为减函数，

一。）=31/在区间（0,9上为增函数，

1224

则产〃（$"］在「1。5；，+8）上为减函数，其最大值为/（1=方■,

故选：D.

2

13.（2021•全国高三其他模拟（文））（墨.

1Q

【答案】H

【分析】

利用指数塞和对数的运算宜接求出.

【详解】

1Q

故答案为：

14.（2021・上海市青浦高级中学局三其他模拟）已知常数。>0,函数/*）=J一的图象

经过点尸（P，g）、。（4，-"）,若2i=16pq,贝心=一。

【答案】4:

【分析】

首先将点P,。代入函数，并且变形为罗=-：，翁=-6,两式相乘并结合已知条件即可求

【详解】

2"_6_1_6

由条件可知于石=二=擀=二，得景1①

T_1_1___]_

2"+aq~~5^~~aq~~5，得翳=-6(2)

1+F2

①X②得立£=1,

-2Pq

•/2p+q=16pq

2

=1,又。＞0,得。=4.

16

故答案为：4

15.(2021・四川高三三模(理))函数/U),g(x)分别是定义在H上的偶函数和奇函数，且

J(x)+2g(x)=ex,若对任意x£(0,2],不等式y(2x)-mg(x)N0成立，则实数机的取值范围是

【答案】(―，4夜]

【分析】由函数的奇偶性列方程组求解函数./U),g(x)的解析式，由_X2x)-〃?g(x巨0分离参数

得m4华?，通过换元法构造新函数结合基本不等式求取最值即可有结果.

g(x)

【详解】根据题意，函数兀)g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，旦./U)+2g(x)=e',①

可得“一力+2g(-x)=el即/(%)-2g(x)=e-*,②

联立①②，解得/(x)=；(，+eT),g(x)=；(e'-e-'),

设/=ex—e~x,

由不£(0,2],可得，由"炉_二在xc(O,2]递增，可得"(0,/—二),

对任意x£(0,2],不等式人2戈)-〃吆(工巨0成立，

即m<〃2x)_2"/)2x丫+2产+2J2)

g(x)tLt)

又由f«0,e2—e-2],piij/+1>2>/2,

当且仅当f=0时等号成立，

贝ij止a=2x伫*l^=2x匚土2=2X(7+2]的最小值为4及，

g(x)e-，t<t)

若m«1((J在(°2]上恒成立，必有机《4\万，

即用的取值范围为(—co,4^2J

故答案为：(-8,4a].

【点睛】

方法点睛：已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：

(1)函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决：

(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画

出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

16.(2021.浙江学军中学高三其他模拟)已知函数/(x)=—三+彳3>0,"1)名。)=，

若对任意的不等式/(x)g(x-l)<3-"x)恒成立，则实数a的取值范围是

【答案】(0，1)U(2,+8)

【分析】

113

/(x)g(x-l)<3-/(X)恒成立等价于滔、+]-；X<0恒成立，构造函数/I(x)

113

=士+；-；犬，然后利用导数求函数的最大值即可.

a'-122

【详解】

8(工)=宁，g(x-l)=^—

1+XX

a-I2

因此/(x)g(x-l)<3-/(x),BP/(x)[g(x-l)+l]<3

,.,xe[l,+oo)

当“>1时，〃(x)<0,即网力在xefl,y)上单调递减

•••〃(》)3=可1)=二1+51一：3<。解得。>2

U—1Z乙

故。＞2

1

当0＜。＜1时，-y—＜0,则力（力=J1+

u—1“-122\2z.）

即当0＜。＜1时，//（犬）＜0在》€口,+8）恒成立

综上：«e（0,1）U（2,a）

故答案为：（0,1）U（2,+8）

【点睛】

恒成立问题解题思路：

（1）参变量分离：

（2）构造函数：①构造函数，研究函数的单调性，求出函数的最值，解不等式即可；②构

造函数后，研究函数单调性，利用单调性解不等式，转化之后参数分离即可解决问题.

17.（2021.湖南高三其他模拟）已知函数/"）=优3＞0且"1）的图像过点A（-3,8）.

（1）求函数.f（x）的解析式；

（2）若函数/（x）在区间何2向上的最大值是最小值的4倍，求实数加的值.

【答案】（1）/