第03讲 平行线的性质（解析版）

第03讲平行线的性质1.4【学习目标】1．掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理；2．了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念；【基础知识】一、平行线的性质性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；简称：两直线平行，同位角相等；性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角角相等；简称：两直线平行，内错角相等；性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；简称：两直线平行，同旁内角互补.要点：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”．(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．二、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．要点：（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．(2)两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．【考点剖析】例1．如图，已知AB∥CD，∠1=56°，则∠2的度数是（

）A．34° B．56° C．65° D．124°【答案】B【解析】因为AB∥CD，所以∠1＝∠2，又∠1＝56°，所以∠2＝56°．例2．如图，点A、D在射线AE上，直线ABCD，∠CDE=140°，那么∠A的度数为（

）A．140° B．60° C．50° D．40°【答案】D【分析】由ABCD，可知∠A=∠CDA，只要求出∠CDA即可解决问题．【解析】解：∵∠CDE=140°，∴∠CDA=180°-∠CDE=40°，∵ABCD，∴∠A=∠CDA=40°．故选：D．【点睛】本题考查平行线的性质、平角的定义等知识，熟练掌握“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．例3．如图，已知ABCD，∠1＝120°，则∠A的度数为（）A．120° B．110° C．60° D．70°【答案】C【分析】由ABCD，∠2＝∠1＝120°，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得答案．【解析】解：如图，∵ABCD，∠2＝∠1＝120°，∴．故选：C．【点睛】此题考查了平行线的性质．此题比较简单，注意掌握两直线平行，同旁内角互补定理的应用．例4．如图，则下面结论中正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】依据，即可得出，进而得到正确结论．【解析】解：,∴，故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟悉相关性质是解题的关键．例5．如图，点D在BA的延长线上，AE是∠DAC的平分线且，若，则∠C的大小为（

）A．30° B．60° C．80° D．120°【答案】A【分析】由AE是∠DAC的平分线且易得，由即可得出正确答案．【解析】AE是∠DAC的平分线且，．故选A．【点睛】本题主要考查角平分线的定义及平行线的性质，关键是根据题意得到角之间的等量关系．例6．如图，，点在直线上，且，，那么（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先证明，再利用求解从而可得答案．【解析】解：，，故选C【点睛】本题考查的是平行线的性质，平角的含义，垂直的定义，证明是解本题的关键．例7．与是内错角，，则（

）A．40 B．140C．40或140 D．的大小不确定【答案】D【分析】两直线平行时内错角相等，不平行时无法确定内错角的大小关系．【解析】内错角只是一种位置关系，并没有一定的大小关系，只有两直线平行时，内错角才相等．故选D．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键.平行线的性质：①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补.特别注意，内错角相等的条件是两直线平行．例8．将一副三角板（）按如图所示方式摆放，使得，则等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据平行线的性质和三角形外角的性质进行计算，即可得到答案.【解析】解：，．，．故选．【点睛】本题考查平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是掌握平行线的性质和三角形外角的性质.例9．如图，OC是∠AOB的角平分线，l//OB，若∠1=52°，则∠2的度数为（

）A．52° B．54° C．64° D．69°【答案】C【分析】先根据两直线平行，同旁内角互补求出∠AOB=128°，再根据角平分线的定义得到∠BOC=64°，继而根据平行线的性质即可求得答案.【解析】∵l//OB，∴∠1+∠AOB=180°，∴∠AOB=128°，∵OC平分∠AOB，∴∠BOC=64°，又∵l//OB，∴∠2=∠BOC=64°，故选：C.【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键.例10．如图所示，已知，，，的度数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】过点B作BM∥AC，求出∠EBM即可．【解析】过点B作BM∥AC，∵，∴，∴，，∵，∴，∴．故选：A．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题关键是熟练添加辅助线，利用平行线的性质求角．例11．如图，直线AB∥CD，直线EF分别与AB，CD交于点E，F，EG平分∠BEF，交CD于点G，若∠1＝65°，则∠2的度数是（）A．122.5° B．123° C．123.5° D．124°【答案】A【分析】求出∠BEG，再利用平行线的性质即可解决问题．【解析】∵∠1＝65°，∴∠BEF＝180°﹣65°＝115°，∵EG平分∠BEF，∴∠BEG＝∠BEF＝57.5°，∵AB∥CD，∴∠2+∠BEG＝180°，∴∠2＝180°﹣57.5°＝122.5°，故选A．【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．例12．如图，直线a∥b∥c，直角三角板的直角顶点落在直线b上，若∠1＝36°，则∠2等于()A．36°B．44°C．54°D．64°【答案】C【解析】如图，因为a∥b，所以∠1＝∠3，因为∠1＝36°，所以∠3＝36°．因为b∥c，所以∠2＝∠4，而直角三角板的直角顶点落在b上，所以∠3＋∠4＝90°，所以∠4＝90°－∠3＝54°，所以∠2＝∠4＝54°．例13．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角（

）A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．以上结论都不对【答案】C【分析】此题要正确画出图形，根据平行线的性质，以及邻补角的定义进行分析．【解析】解：如图所示，∠1和∠2，∠1和∠3两对角符合条件．根据平行线的性质，得到∠1＝∠2．结合邻补角的定义，得∠1+∠3＝∠2+∠3＝180°．故选：C．【点睛】解决本题时要联想的平行线的性质定理，正确认识其基本图形，就不会忽视互补的情况．熟记结论：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补．例14．如图，若，，则：①；②；③平分；④；⑤，其中正确的结论是A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】由平行线的性质得出内错角相等、同位角相等，得出②正确；再由已知条件证出，得出，①正确；由平行线的性质得出⑤正确；即可得出结果．【解析】解：，，，故②正确；，，，故①正确；，故⑤正确；而不一定平分，不一定等于，故③，④错误；故选：C．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质，并能进行推理论证．例15．如图，中，是的平分线，，则图中能用字母表示的相等的角的对数有（

）A．3对 B．4对 C．5对 D．6对【答案】D【分析】由，可得，，，四对角相等，由是的平分线，可得，二对角相等即可得到答案．【解析】解：∵，∴，，，，∵是的平分线，∴，∴，能用字母表示的相等的角的对数有6对．，，，，，．故选：．【点睛】本题考查平行线的性质，与角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质和角平分线的定义是解题关键．例16．将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的个数是(

)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，及直角三角板的特殊性解答．【解析】解：∵纸条的两边平行，∴（1）∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）；（2）∠3=∠4（两直线平行，内错角相等）；（4）∠4+∠5=180°（两直线平行，同旁内角互补）均正确；又∵直角三角板与纸条下线相交的角为90°，∴（3）∠2+∠4=90°，正确．故选：D．【点睛】本题考查平行线的性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．例17．如图，直线AB∥CD，EF分别交AB、CD于G、F两点，射线FM平分∠EFD，将射线FM平移，使得端点F与点G重合且得到射线GN．若∠EFC=110°，则∠AGN的度数是（）A．120° B．125° C．135° D．145°【答案】D【分析】先根据邻补角的定义可求得∠EFD=70°，再根据角平分线的定义求得∠EFM=35°，由平移的性质可得GN//FM，继而可得∠EGN=∠EFM=35°，再根据AB//CD，可得∠AGE=∠EFC=110°，再由∠AGN=∠AGE+∠EGN即可得解.【解析】∵∠EFC=110°，∠EFC+∠EFD=180°，∴∠EFD=70°，∵FM平分∠EFD，∴∠EFM=35°，∵将射线FM平移，使得端点F与点G重合且得到射线GN，∴GN//FM，∴∠EGN=∠EFM=35°，∵AB//CD，∴∠AGE=∠EFC=110°，∴∠AGN=∠AGE+∠EGN=110°+35°=145°，故选D.【点睛】本题考查了平行线的性质、平移的性质、角平分线的定义等，熟练掌握平移的性质是解本题的关键.例18．已知，如图，，则、、之间的关系为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据两直线平行，同旁内角互补以及内错角相等即可解答，此题在解答过程中，需添加辅助线．【解析】解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD．∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠α+∠AEF=180°，∠FED=∠γ，∴∠β=∠AEF+∠γ，即∠AEF=∠β-∠γ，∴∠α+∠β-∠γ=180°．故选：C．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．例19．如图，，则下列等式中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】两直线平行，内错角相等、同旁内角互补，在本题中，用这两条性质即可解答．【解析】解：∵ST∥QR，∴∠QRS=∠3，即∠QRP+∠1=∠3；∵OP∥QR，∴∠QRP=180°-∠2，∴180°-∠2+∠1=∠3，即∠2+∠3-∠1=180°．故选：B．【点睛】本题考查的是平行线的性质，需要注意平行线的性质的运用，比较简单．例20．如图，DH//EG//BC，DC//EF，那么与∠EFB相等的角（不包括∠EFB）的个数为（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】D【分析】根据平行线的性质由EG//BC得∠BFE=∠1，∠2=∠3，由DC//EF得∠BFE=∠2，则∠BFE=∠1=∠2=∠3，再利用DH//EG得∠4=∠5，∠3=∠4，所以∠BFE=∠1=∠2=∠3=∠4=∠5．【解析】解：如图所示，∵，∴∠BFE=∠1，∠2=∠3，∵，∴∠BFE=∠2，∴∠BFE=∠1=∠2=∠3，∵，∴∠4=∠5，∠3=∠4，∴∠BFE=∠1=∠2=∠3=∠4=∠5．故选：D．【点睛】题目主要考查平行线的性质，熟练掌握运用平行线的性质是解题关键．例21．如图，，A、B为直线上两点，C、D为直线上两点，则与的面积大小关系是（

）A．B．C．D．不能确定【答案】B【分析】首先过A、B两点作两条辅助线，根据平行线之间的距离相等和同底等高的三角形面积相等可得答案.【解析】过A作AM⊥l2，过B作BN⊥l2，∵l1∥l2，∴AM＝BN，∴.故选B.【点睛】本题考查了平行线之间的距离和三角形的面积，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.例22．如图，∠AOB的边OA为平面反光镜，一束光线从OB上的C点射出，经OA上的D点反射后，反射光线DE恰好与OB平行，若∠AOB＝40°，则∠BCD的度数是(

)A．60° B．80° C．100° D．120°【答案】B【解析】∵DE//OB,∴∠ADE=∠AOB=40°,∵OA为平面反光镜，∴∠ADE=∠ODC∴∠ODC=∠AOB=40°,∴∠BCD=∠ODC+∠AOB=80°.故选B.例23．一辆汽车在笔直的公路上行驶，在两次转弯后，前进的方向仍与原来相同，那么这两次转弯的角度可以是（

）A．先右转60°，再左转120° B．先左转120°，再右转120°C．先左转60°，再左转120° D．先右转60°，再右转60°【答案】B【解析】解：A选项画图如下：可得不平行；B选项画图如下：可得平行且方向相同；C选项画图如下：可得平行，但方向相反；D选项画图如下：可得不平行；故选B．例24．如图，则与的数量关系是(

)A． B．C． D．【答案】D【分析】先设角，利用平行线的性质表示出待求角，再利用整体思想即可求解．【解析】设则∵∴∴故选：D．【点睛】本题考查了平行线的性质，关键是熟练掌握平行线的性质，注意整体思想的运用．例25．如图，在三角形中，点D、E分别在上，连接，且，，若，则的度数为______________．【答案】##度【分析】根据平行线的性质得出，求出，再根据平行线的判定得出，求出即可．【解析】解：∵，∴，∵，∴，∴；∴，∵，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质等知识点，能熟记平行线的性质和判定定理是解此题的关键．例26．如图，的平分线交于点F，交的延长线于点E，．求证：．请将下面的证明过程补充完整：证明：∵，∴①____________，（理由：②____________）∵平分，∴③____________．（理由：④____________）∴．（理由：⑤____________）∵，∴⑥____________．（理由：⑦____________）∴．∴．【答案】①；②两直线平行，内错角相等；③；④角平分线的定义；⑤等量代换；⑥；⑦同旁内角互补，两直线平行【分析】根据平行线的判定和性质定理推理即可．【解析】证明：∵，∴，（两直线平行，内错角相等）∵平分，∴．（角平分线的定义）∴．（等量代换）∵，∴．（同旁内角互补，两直线平行）∴．∴．故答案为：①；②两直线平行，内错角相等；③；④角平分线的定义；⑤等量代换；⑥；⑦同旁内角互补，两直线平行．【点睛】此题考查了平行线的判定和性质，正确掌握平行线的判定定理和性质定理，并熟练推理论证是解题的关键．例27．如图，点E、F分别是上的点，连接，分别交于点G、H，若，，求证：．【答案】见解析【分析】根据平行线的判定和性质进行解答即可．【解析】证明：∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，对顶角相等，熟练掌握同位角相等两直线平行，和内错角相等两直线平行，是解题的关键．例28．如图，点D，E，G分别在，，上，连接，点F在上，连接，，已知．(1)试判断与的关系，并说明理由；(2)若，求的度数．【答案】(1)，理由见解析(2)【分析】（1）根据，证明，，即可得出结论；（2）根据平行线的性质以及平角的性质可得答案．【解析】（1）解：，理由如下：，，，，，；（2），，，，，又，，∵，．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理以及性质定理是解本题的关键．【真题演练】一、单选题1．（2022·西藏·中考真题）如图，l1∥l2，∠1＝38°，∠2＝46°，则∠3的度数为（）A．46° B．90° C．96° D．134°【答案】C【分析】由题意易得∠1+∠3+∠2＝180°，然后问题可求解．【解析】解：∵l1∥l2，∴∠1+∠3+∠2＝180°，∵∠1＝38°，∠2＝46°，∴∠3＝96°，故选：C．【点睛】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．2．（2022·陕西·中考真题）如图，．若，则的大小为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据两直线平行线，内错角相等，求出∠1=∠C=58°，再利用两直线平行线，同旁内角互补即可求出∠CGE的大小，然后利用对顶角性质即可求解．【解析】解：设CD与EF交于G，∵AB∥CD∴∠1=∠C=58°∵BC∥FE，∴∠C+∠CGE=180°，∴∠CGE=180°-58°=122°，∴∠2=∠CGE=122°，故选：B．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握平行线性质是解题关键3．（2022·湖北襄阳·中考真题）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC（∠ABC＝30°，∠BAC＝60°）按如图方式放置，点A，B分别落在直线m，n上．若∠1＝70°．则∠2的度数为（

）A．30° B．40° C．60° D．70°【答案】B【分析】根据平行线的性质求得∠ABD，再根据角的和差关系求得结果．【解析】解：∵mn，∠1=70°，∴∠1=∠ABD=70°，∵∠ABC=30°，∴∠2=∠ABD-∠ABC=40°，故选：B．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，关键是熟练掌握平行线的性质．4．（2022·四川达州·中考真题）如图，，直线分别交，于点M，N，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若，则等于（

）A．15° B．25° C．35° D．45°【答案】C【分析】根据平行线的性质得到∠DNM=∠BME=80°，由等腰直角三角形的性质得到∠PND=45°，即可得到结论．【解析】解：∵AB∥CD，∴∠DNM=∠BME=80°，∵∠PND=45°，∴∠PNM=∠DNM-∠DNP=35°，故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．5．（2020·江苏南通·中考真题）如图，已知AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，则∠C的度数是（）A．36° B．34° C．32° D．30°【答案】A【分析】过点E作EF∥AB，则EF∥CD，由EF∥AB，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠AEF的度数，结合∠CEF=∠AEF-∠AEC可得出∠CEF的度数，由EF∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”可求出∠C的度数．【解析】解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图所示．∵EF∥AB，∴∠AEF＝∠A＝54°，∵∠CEF＝∠AEF﹣∠AEC＝54°﹣18°＝36°．又∵EF∥CD，∴∠C＝∠CEF＝36°．故选：A．【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．二、填空题6．（2022·山东济宁·中考真题）如图，直线l1，l2，l3被直线l4所截，若l1l2，l2l3，∠1＝126°32'，则∠2的度数是___________．【答案】【分析】根据平行线的性质得，根据等量等量代换得，进而根据邻补角性质即可求解．【解析】解：如图l1l2，l2l3，，，，∠1＝，，故答案为：．【点睛】本题考查了邻补角，平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．7．（2014·福建南平·中考真题）将直尺和三角板按如图的样子叠放在一起，则∠1+∠2的度数是（）A．45°B．60°C．90°D．180°【答案】C．【解析】解：如图，∵a∥b，∴∠1=∠3，∠2=∠4．又∵∠3=∠5，∠4=∠6，∠5+∠6=90°，∴∠1+∠2=90°．故选C．【点睛】本题考查平行线的性质．8．（2011·山东日照·中考真题）两个角的两边分别平行，其中一个角是60°，则另一个角是_____度.【答案】60°或120°【解析】根据题意分两种情况画出图形，再根据平行线的性质解答．解：如图（1），∵AB∥DE，∴∠A=∠1=60°，∵AC∥EF，∴∠E=∠1，∴∠A=∠E=60°．如图（2），∵AC∥EF，∴∠A=∠1=60°，∵DE∥AB，∴∠E+∠1=180°，∴∠A+∠E=180°，∴∠E=180°-∠A=180°-60°=120°．故一个角是60°，则另一个角是60°或120°．三、解答题9．（2022·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形中，，．(1)求的度数；(2)平分交于点，．求证：．【答案】(1)(2)详见解析【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，即可求解；（2）根据平分，可得．再由，可得．即可求证．【解析】（1）解：∵，∴，∵，∴．（2）证明：∵平分，∴．∵，∴．∵，∴．∴．【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键【过关检测】一、单选题1．如图，直线a、b被直线c所截，，若，则等于（

）A．120 B．130 C．140 D．150【答案】A【分析】利用“两直线平行，同位角相等”可求出∠3的度数，再利用邻补角互补，即可求出∠1的度数．【解析】解：如图，∵，∴∠3=．又∵∠1+∠3=，∴．故选A．【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．2．下列图形中，由，能得到的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平行线的性质，逐项判断即可求解．【解析】解：A、因为，所以，故本选项不符合题意；B、如图，因为，所以，因为，所以，故本选项符合题意；C、因为，所以，故本选项不符合题意；D、由，不能得到，故本选项不符合题意；故选：B【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．3．如图，直线a、b被直线c、d所截，若，，，则的度数是（

）A．105° B．115° C．125° D．135°【答案】D【分析】由题意得∠1＝∠5=100°，然后得出∠5+∠2＝180°，证出，由平行线的性质即可得出答案．【解析】解：如图∵∠1＝∠5=100°，∠2＝80°，∴∠5+∠2＝180°，∴，∴∠4＝∠3＝135°，故选：D．【点睛】本题主要考查平行线的判定及性质，掌握平行线的判定及性质是解题的关键．4．如图，，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，交CD于点G，若，则∠EGF的度数是（

）A．55° B．50° C．45° D．40°【答案】A【分析】先根据邻补角的定义求出，再根据角平分线的定义得到，最后根据平行线的性质求解．【解析】解：∵，∴，∵EG平分∠BEF，∴，∵，∴，故选A．【点睛】本题考查了邻补角的定义，角平分线的定义，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．5．如图，，，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由平行线的性质可知，根据，，可知，进而可知，可求出，再根据对顶角相等即可求出．【解析】解：∵，，，，，，，．故选：D．【点睛】本题考查平行线的性质和对顶角的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质和对顶角的性质进行角的转化和计算．6．如图，∠ACB=90°，直线lmn，BC与直线n所夹角为25°，则∠a等于（

）A．25° B．55° C．65° D．78°【答案】C【分析】先根据mn得出∠1的度数，再由余角的定义求出∠2的度数，根据平行线的性质即可得出结论．【解析】解：如图，∵mn，边BC与直线n所夹角为25°，∴∠1=25°，∴∠2=90°-25°=65°．∵lm,∴∠α=∠2=65°．故选：C．【点睛】本题考查的是平行线的性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等．7．如图，，平分，交于点D．若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据角平分线的定义、平行线的性质和平角的定义进行求解即可．【解析】解：∵平分，，∴，∵，∴，∴；故选：B．【点睛】本题考查利用平行线的性质求角，利用角平分线和平行线的性质合理的进行角的转化是解题的关键．8．如图，小明在笔记本的横格线中画了两条线段、，点、、、都在格线上，是上一点．若，，则的度数为（

）A．32° B．34° C．36° D．38°【答案】C【分析】根据平行线的性质求解即可．【解析】解：由题意得，∴∠BAD=∠2=119°，∠DCE=∠1=25°，∴∠ACE=180°-∠BAD=61°，∴∠3=∠ACE-∠DCE=36°，故选C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．9．如图，直线ABCD，点E在CD上，点O、点F在AB上，∠EOF的角平分线OG交CD于点G，过点F作FH⊥OE于点H，已知∠OGD＝148°，则∠OFH的度数为（

）A．26° B．30° C．32° D．36°【答案】A【分析】先由平角定义求得∠CGO，再由平行线的性质求得∠BOG，由角平分的定义得∠HOF，最后根据三角形的内角和定理求得结果．【解析】解：∵∠OGD=148°，∴∠CGO=180°-∠OGD=32°，∵ABCD，∴∠BOG=∠CGO=32°，∵OG平分∠EOF，∴∠HOF=2∠BOG=64°，∵FH⊥OE，∴∠OHF=90°，∴∠OFH=180°-∠OHF-∠HOF=26°，故选：A．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平角的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，关键在求∠BOG．10．如图，AB∥CD，点E，P在直线AB上（P在E的右侧），点G在直线CD上，EF⊥FG，垂足为F，M为线段EF上的一动点，连接GP，GM，∠FGP与∠APG的角平分线交与点Q，且点Q在直线AB，CD之间的区域，下列结论：①∠AEF+∠CGF＝90°；②∠AEF+2∠PQG＝270°；③若∠MGF＝2∠CGF，则3∠AEF+∠MGC＝270°；④若∠MGF＝n∠CGF，则∠AEF∠MGC＝90°．正确的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】①过点F作FH∥AB，利用平行线的性质以及已知即可证明；②利用角平分线的性质以及平行线的性质得到∠3=2∠2，∠CGF+2∠1+∠3=180°，结合①的结论即可证明；③由已知得到∠MGC＝3∠CGF，结合①的结论即可证明；④由已知得到∠MGC＝(n+1)∠CGF，结合①的结论即可证明．【解析】解：①过点F作FH∥AB，如图：∵AB∥CD，∴AB∥FH∥CD，∴∠AEF=∠EFH，∠CGF=∠GFH，∵EF⊥FG，即∠EFG=∠EFH+∠GFH=90°，∴∠AEF+∠CGF=90°，故①正确；②∵AB∥CD，PQ平分∠APG，GQ平分∠FGP，∴∠APQ=∠2，∠FGQ=∠1，∴∠3=∠APQ+∠2=2∠2，∠CGF+∠FGQ+∠1+∠3=∠CGF+2∠1+∠3=180°，即2∠1=180°-2∠2-∠CGF，∴2∠2+2∠1=180°-∠CGF，∵∠PQG=180°-(∠2+∠1)，∴2∠PQG=360°-2(∠2+∠1)=360°-(180°-∠CGF)=180°+∠CGF，∴∠AEF+2∠PQG=∠AEF+180°+∠CGF=180°+90°=270°，故②正确；③∵∠MGF＝2∠CGF，∴∠MGC＝3∠CGF，∴3∠AEF+∠MGC＝3∠AEF+3∠CGF＝3(∠AEF+∠CGF)=390°＝270°；3∠AEF+∠MGC＝270°，故③正确；④∵∠MGF＝n∠CGF，∴∠MGC＝(n+1)∠CGF，即∠CGF=∠MGC，∵∠AEF+∠CGF=90°，∴∠AEF∠MGC＝90°，故④正确．综上，①②③④都正确，共4个，故选：A．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识点，作辅助线求得∠AEF+∠CGF=90°，是解此题的关键．二、填空题11．如图，直线，，则的度数是______．【答案】##80度【分析】如图，根据平角的定义（等于的角叫做平角）求出的度数，根据平行线的性质得出，代入求出即可．【解析】如图，∵，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，两直线平行，同位角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；熟练掌握平行线的性质是解题关键．12．如图、已知，，则的度数为___________．【答案】##33度【分析】根据平行线的性质可得，即可求得的度数．【解析】解：∵，，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题关键．13．如图，直线ab，三角板的直角顶点放在直线b上，若∠1＝40°，则∠2＝_______°．【答案】【分析】先由直线ab，根据平行线的性质，得出∠3＝∠1＝40°，再由已知直角三角板得∠4＝90°，然后由∠2+∠3+∠4＝180°求出∠2．【解析】解：已知直线ab，∴∠3＝∠1＝40°，∠4＝90°，∠2+∠3+∠4＝180°，∴∠2＝180°﹣40°﹣90°＝50°，故答案为：50．【点睛】此题考查了平行线性质，关键是由平行线性质得出同位角相等求出∠3．14．如图，AD是△ABC的角平分线，DEAC，DE交AB于点E，DFAB，DF交AC于点F，图中∠1与∠2的关系是_________．【答案】∠1=∠2【分析】根据角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠CAD，∠2=∠BAD，从而得解．【解析】解：∠1=∠2，理由如下：∵DEAC，∴∠1=∠CAD，∵DFAB，∴∠2=∠BAD，又∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，∴∠1=∠2，故答案为：∠1=∠2．【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．15．如图，∠A＝70°，O是AB上一点，直线OD与AB所夹角∠BOD＝83°，要使，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转________度．【答案】13【分析】反向推理，若OD旋转到时，则，求，进而解决此题．【解析】解：若OD旋转到时，则，∵，∴，∴，∴要使，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转13度．故答案为：13．【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定，是解决本题的关键．16．如图，于点C，交于点B，若，则的度数是_______度．【答案】30【分析】根据平行线的性质求出∠3，根据垂直的定义可得∠HCE＝90°，根据角的和差计算即可．【解析】解：如图，∵，∴∠3＝∠1＝60°，∵，∴∠HCE＝90°，∴∠2＝90°－∠3＝90°－60°＝30°，故答案为：30．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．17．如图所示，已知，∶∶∶∶，则______．【答案】##120度【分析】由条件可得，可表示出，再结合，∶∶∶∶可得求解的度数，进而可求得的度数．【解析】解：，，，由，：：：：，可设，，，，解得，，．故答案为：．【点睛】本题主要考查平行线性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①同位角相等两直线平行，②内错角相等两直线平行，③同旁内角互补两直线平行，④，．18．如图，已知，∠ABG为锐角，AH∥BG，点C从点B（C不与B重合）出发，沿射线BG的方向移动，CD∥AB交直线AH于点D，CE⊥CD交AB于点E，CF⊥AD，垂足为F（F不与A重合），若∠ECF＝n°，则∠BAF的度数为_____度．（用n来表示）【答案】n或180﹣n【分析】分两种情况讨论：当点在线段上；点在延长线上，根据平行线的性质，即可得到结论．【解析】解：过A作AM⊥BC于M，如图1，当点C在BM延长线上时，点F在线段AD上，∵AD∥BC，CF⊥AD，∴CF⊥BG，∴∠BCF＝90°，∴∠BCE+∠ECF＝90°，∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∴∠B+∠BCE＝90°，∴∠B＝∠ECF＝n°，∵AD∥BC，∴∠BAF＝180°﹣∠B＝180°﹣n°，过A作AM⊥BC于M，如图2，当点C在线段BM上时，点F在DA延长线上，∵AD∥BC，CF⊥AD，∴CF⊥BG，∴∠BCF＝90°，∴∠BCE+∠ECF＝90°，∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∴∠B+∠BCE＝90°，∴∠B＝∠ECF＝n°，∵AD∥BC，∴∠BAF＝∠B＝n°，综上所述，∠BAF的度数为n°或180°﹣n°，故答案为：n或180﹣n．【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．三、解答题19．完成下面的证明：已知：如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，且DE∥BA，DF∥CA．求证：．证明：∵DE∥BA∴_______=_______（

）∵DF∥CA∴_______=________（

）∴【答案】，（两直线平行，同位角相等）；，（两直线平行，内错角相等）【分析】根据平行线的性质得出，，推出即可；【解析】证明：∵，∴（两直线平行，同位角相等），∵，∴（两直线平行，内错角相等），∴；故答案为：，两直线平行，同位角相等，，两直线平行，内错角相等．【点睛】本题考查了平行线的性质：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，解题关键结合图形灵活应用平行线的性质．20．如图，直线MN与直线AB、CD相交于点E、F，已知，．求∠2的度数．【答案】∠2=115°．【分析】根据平行线的性质得到∠EFD的度数，进而可得∠2的度数．【解析】解：∵AB∥CD，∴∠1=∠EFD=65°，∴∠2=180°-∠EFD=180°-65°=115°．【点睛】本题主要考查平行线的性质，解题关键是熟练应用平行线的性质．21．已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DF∥CA，∠FDE＝∠A；(1)求证：DE∥BA．(2)若∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，求∠B的度数．【答案】(1)见解析(2)36°【分析】(1)根据平行线的性质与判定方法证明即可；(2)设∠EDC=x°，由∠BFD=∠BDF=2∠EDC可得∠BFD=∠BDF=2x°，根据平行线的性质可得∠DFB=∠FDE=2x°，再根据平角的定义列方程可得x的值，进而得出∠B的度数．（1）证明：∵DF∥CA，∴∠DFB=∠A，又∵∠FDE=∠A，∴∠DFB=∠FDE，∴DE∥AB；（2）解：设∠EDC=xº，∵∠BFD=∠BDF=2∠EDC，∴∠BFD=∠BDF=2xº，由（1）可知∠DFB=∠FDE=2xº，∴∠BDF+∠EDF+∠EDC=2xº+2xº+xº=180º，∴x=36，又∵DE∥AB，∴∠B=∠EDC=36º．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．22．如图，∠BAP+∠APD=180°，∠1=∠2，求证：∠E=∠F．证明：∵∠BAP+∠APD＝180°（已知），∴______∥______（______），∴∠BAP＝______（______），又∵∠1＝∠2（已知），∴∠FPA＝______．∴______∥______（______），∴∠E＝∠F（______）．【答案】AB；CD；同旁内角互补，两直线平行；∠APC；两直线平行,内错角相等；∠EAP；AE；PF；内错角相等,

两直线平行；两直线平行，内错角相等【分析】根据∠BAP+∠APD=180°可得AB//CD，从而可得∠BAP＝∠APC，结合∠1=∠2根据角的和差即可得出∠FPA=∠EAP，继而证明AE//FP后即可得出结论．【解析】证明：∵∠BAP+∠APD=180°（已知）；∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）；∴∠BAP=∠APC（两直线平行,内错角相等）；又∵∠1=∠2（已知），∴∠FPA=∠EAP，∴AE∥PF（内错角相等,两直线平行）；∴∠E=∠F（两直线平行，内错角相等）.【点睛】本题考查平行线的性质和判定，能正确识图，利用定理得出角度之间的关系是解题关键．23．如图，点E、F分别是上的点，连接，分别交于点G、H，若，，求证：．【答案】见解析【分析】根据平行线的判定和性质进行解答即可．【解析】证明：∵，，∴，∴，∴，∴