直线与平面、平面与平面相对位置课件

直线与平面、平面与平面相对位置一、直线与平面以及两平面平行问题二、直线与平面以及两平面相交问题三、直线与平面以及两平面垂直问题四、综合作图题一、直线与平面以及两平面平行1、直线与平面平行2、平面与平面平行EFABQQPABCDMNEF3、基本作图1、直线与平面平行

几何条件:

直线必需平行于平面上的某一直线。PHaba'b'PVPHCDcdABabPEFABQ

若平面具有积聚性，则平面的积聚性投影应平行于直线的同面投影。2、平面与平面平行几何条件：一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两条相交直线。QPABCDMNEFPPHQHQPHQH若两个同一投影面垂直面平行，则两平面的积聚性投影相互平行。3、基本作图

（1）判别直线与平面是否平行（2）过空间一点作平面的平行线（3）过空间一直线作已知直线的平行面（4）判别平面与平面是否平行（5）过空间一点作已知平面的平行面【例一】判别直线与平面是否平行；efe′f′abca′b′c′d′d作a′d′∥e′f′EF不平行△ABC【例二】过空间一点作平面的平行线aa′deff′e′d′g′gb′b作ab∥fg并量取ab=35mm过空间点A作一条水平线AB=35mm，且平行于△DEF。【例三】过空间一直线作已知直线的平行面aba′b′eff′e′c′c过空间直线AB作EF的平行面。【例四】判别平面与平面是否平行？abca′b′c′hefgg′f′e′h′d′dAD∥HGBC∥HE两平面平行【例五】过空间一点作已知平面的平行面b′bcc′a′adefd′f′e′二、直线与平面以及两平面相交1、利用积聚性求交2、无积聚性时求交

直线与平面相交于一点，交点是直线与平面的共有点；两平面相交于一直线，交线是两平面的共有线。

在画法几何中平面图形通常被当作是不透明的，所以在投影图中还要表明直线被平面遮挡以及平面与平面互相遮挡的情况，即判断其投影的可见性。

求共有元素方法:1、利用积聚性求交HacbkmnNMABCKHMmnlPABCacPHkfFKNL

直线与平面或平面与平面相交的投影图中有积聚投影时，交点或交线的一个投影一定包含在该积聚投影中。根据交点或交线是相交元素所共有这一条件，便能直接从积聚投影中得出交点或交线的一个投影，而另一投影则可由此求得。可见性也可根据积聚投影直接加以判断。基本作图①一般线与投影面垂直面相交②投影面垂直线与一般面相交③一般面与投影面垂直面相交④两个同一投影面垂直面相交【例一】一般线与投影面垂直面相交xb´ba´acc´m´mnn´kVHacbkmnNMABCKk´k【例二】投影面垂直线与一般面相交1′1abce′f′c′b′e(f)a′(k)k′VHEFABCEe´f´a´b´e(f)bcaKk´(k)【例三】一般面与投影面垂直面相交VHMmnlPABCacPHkfFKNLnlmm´l´n´bacc´a´b´f´k´fk【例三】一般面与投影面垂直面相交aa′bb′cc′d′dee′ff′nn′m0m0′m′m【例四】两个同一投影面垂直面相交m(n)m′n′PHQHPVQVNMPQQVQHPVPH2、无积聚性时求交

由于相交的两元素各投影均无积聚性，所以它们的共有元素(交点或交线)，不能直接利用积聚性进行求解。解决办法：引入一个能产生积聚投影的辅助平面（一般为投影面垂直面或投影面平行面），从而作出所求的共有元素。这种方法可称为辅助平面法。可见性问题，也因原投影图中没有积聚投影可以利用，通常要借助交错直线的重影点来解决。MBCAFKNLFEABCQMNK

求作交线的步骤：1.含直线DE作辅助平面

2.求辅助平面与平面ABC的交线3.求交线与已知直线DE的交点

为便于在投影图上求作交线应选特殊位置辅助平面。1、一般位置直线与一般位置平面相交

4.判别可见性【例五】一般线与一般面相交m´n´QV

解题步骤：1、过EF作正垂面Q。2、求Q平面与ΔABC的交线MN。3、求交线MN与EF的交点K。f´e´efba´acb´c´mnFECABQMNKk´k4、可见性判别以正垂面为辅助平面作图利用重影点判别可见性f´e´efba´acb´c´kk´12

1´2´4´3´43()()判别可见性的原理是利用重影点。以铅垂面为辅助平面作图

1.含直线DE

作辅助

平面P2.求辅助平面P

与平

面ABC

的交线MN3.求交线MN

与已知

直线DE

的交点K【例五】一般线与一般面相交解题步骤：判别可见性【例五】一般线与一般面相交两平面的交线是一条直线，只要求得直线上的两点即可确定该交线，而这些点可以看作是一个平面上的直线与另一平面的交点。这样便把求平面与平面的交线问题，转化为求直线与平面的交点问题。

2.两一般位置平面相交【例六】两一般位置平面相交

求交线步骤：

1、用直线与平面求交点的方法求两平面的共有点；

n´bacc´b´a´hh´nmm´QV1´2´21PVkk´ee´2、判别可见性。MBCAKENH判别两平面的可见性n´bacc´b´a´hh´nmm´（）1´2´1

2()3

4

3´

4´判别可见性的原理是利用重影点。

在求直线与平面的交点时所选择的两条直线，位于同一平面上还是分别在两个平面上，对最后结果没有影响；判断各投影的可见性，需分别进行，各投影中皆以交线投影为可见与不可见的分界线，在分界线的任何一侧只需选一重影即可。另外，由于作图线较多，为避免差错，对作图过程中的各点最好加以标记。三面共点法求两平面的交线

用水平面作辅助面用三面共点法求两平面的交线三、直线与平面以及两平面垂直1、直线与平面垂直2、平面与平面垂直ABCDL1L2EFPHPV1、直线与平面垂直几何条件:直线必须垂直于该平面上的任意两相交直线；ABCDL1L2EFPHPV*垂直于一平面的直线，其投影垂直于该平面上投影面平行线的相应投影，也垂直于该平面的同面迹线。线面垂直定理基本作图：①判别直线是否与平面垂直②过空间一点作已知平面的垂线③过空间一点作已知直线的垂面【例一】判别直线是否与平面垂直1′122′e′ef′fa′abb′cc′KK′PHg′h′ghEF⊥△ABCGH⊥P平面【例二】过空间一点作已知平面的垂线1′122′f′fe′ea′abb′cc′【例三】过空间一点作已知直线的垂面bb′cc′faa′ef′e′2、平面与平面垂直几何条件：

一个平面上有一条直线垂直于另一平面或一平面通过另一平面的法线。基本作图：④判别两平面是否垂直⑤过空间一直线作已知平面的垂面QPL1L2NM【例四】判别两平面是否垂直e′ea′abb′cc′ff′gg′11′22′△ABC⊥△EFGd′d【例五】过空间一直线作已知平面的垂面1′122′f′fe′ea′abb′cc′gg′空间几何元素之间相对位置问题的求解方法小结1.若所求为点，则该点一定在某直线或平面上，找出这样的直线或平面，再在这些直线或平面上求点。

2.若所求为直线，①根据定理或已归纳的投影特性直接求出。②在包含该直线的平面上找出该直线，解题时，找出符合条件的两个点（或一点一方向）确定该直线即可。

3.若所求为平面，则求出构成该平面的两条相交（或平行）直线即可。

四、综合作图题示例

1、审题

明确题意、已知条件和作图要求。

2、空间分析

逆推分析法：假设满足题目要求的几何元素已经给出，将它和题目所给的几何元素一起，按题目要求的几何条件逐一分析，综合研究它们之间的相对位置和从属关系，进而探求由给定的几何元素确定所求的几何元素的途径，进而得出解题方法。轨迹分析法：根据题目要满足的若干几何条件逐个地运用空间几何元素轨迹的概念，分析所求的几何元素在该条件下的空间几何轨迹，然后综合这些空间几何轨迹取公共元素，进而得出解题方案。

3、确定作图步骤，运用基本作图完成投影图

解题方案选定后，就要决定作图步骤，先做什么，后做什么。并熟练运用各种基本作图方法，完成投影图。【例题1】求点K到直线AB的距离。a′bab′kk′m′mn′nKL真长l′l△ZKL△ZKL作图步骤1、过点K作直线AB的垂面KM*KN；2、求所作垂面与直线AB的交点L；3、连接KL，用直角三角形法求KL的实长。【例题2】已知直角三角形ABC的水平投影，及直角边AB的V投影，试完成其正面投影。b′cbaa′c′1′12′2作图步骤1、过点Ａ作直线AB的垂直面AⅠⅡ；2、在垂直面AⅠⅡ上，运用平面定线方法确定AC边；3、连线完成直角三角形ABC的投影。【例题3】作一直线与两交叉直线AB和CD相交，同时与直线EF平行。f2′211′nmm′n′abb′a′e′f′c′d′c′deABCDEF1MN【例题4】过点M作直线，使其与△ABC平行，且与直线EF相交。eff′e′m′ma′b′bacc′2′21′1nn′作图步骤1、过点M作平面MⅠⅡ平行于已知平面ABC；2、求平面MⅠⅡ与已知直线EF的交点N；3、连接MN【例题5】已知等边△ABC与H面的倾角α=30°，试完成该等边△ABC的两面投影。caa′c′bb′B0等边△ABC高BD的实长d′dα△ZBD△ZBD作图步骤1、求作等边△ＡＢＣ高的实长2、直角三角形法求作ＢＤ的Ｚ坐标差【例题6】过点K作直线KL与直线MN垂直，并与△ABC平行。gg′l′laa′bcc′b′k′kmnn′m′作图步骤1、过MN作平面MNG