广东省肇庆市四会江谷中学高一数学理下学期摸底试题含解析

广东省肇庆市四会江谷中学高一数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.学习“三角”时，小明同学在参考书上看到求sin18°精确值的一种方法，具体如下：设等腰△ABC的顶角∠A=36°．底角∠B的平分线交腰AC于D，且BC=1（如图），则AD=BD=1，于是，在△BCD中，可得CD=2sin18°．由△BAC∽△CBD得=，即=，整理得4sin218°+2sin18°﹣1=0，又sin18°（0，1），故解得sin18°=．现设α，β，α+β均属于区间（0，），若cos（﹣2β）?sin（2α+β）=cos（+2α）?sin（α+2β），则下列命题正确的是（）A．关于x的方程α?4x+β?2x+α=0有实数解B．关于x的方程α?（log4x）2+β?log4x﹣α=0无实数解C．关于x的方程sinx=有实数解D．关于x的方程cosx=无实数解参考答案：C2.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°，点C在以O为圆心的劣弧AB上变动，若其中、则的最大值是

（

）A.1

B．2

C．3

D．4参考答案：B3.已知幂函数的图像过点，若，则实数的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略4.若函数f（x）=2ax2﹣x﹣1在区间（0，1）内恰有一个零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1） B．（1，+∞） C．（﹣1，1） D．[0，1）参考答案：B【考点】函数零点的判定定理．【分析】讨论a的不同取值以确定方程是否是二次方程及二次方程的根的大致位置，再由方程的根与函数的零点的关系判断即可．【解答】解：若函数f（x）=2ax2﹣x﹣1在区间（0，1）内恰有一个零点，则方程2ax2﹣x﹣1=0在区间（0，1）内恰有一个根，若a=0，则方程2ax2﹣x﹣1=0可化为：﹣x﹣1=0方程的解为﹣1，不成立；若a＜0，则方程2ax2﹣x﹣1=0不可能有正根，故不成立；若a＞0，则△=1+8a＞0，且c=﹣1＜0；故方程有一正一负两个根，故方程2ax2﹣x﹣1=0在区间（0，1）内恰有一个解可化为（2a?02﹣0﹣1）（2a?12﹣1﹣1）＜0；解得，a＞1；故实数a的取值范围是（1，+∞），故选：B【点评】本题考查了方程的根的判断及分类讨论的数学思想应用，属于中档题．5.已知函数的图像关于直线对称且在区间上单调，则可取数值的个数为（

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：B考点：正弦函数的图象和性质及综合运用.【易错点晴】三角函数的图象和性质是中学数学中的重要内容和工具,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.本题以三角函数的解析式和图象性质为背景,考查的是三角函数的最大值最小值等有关知识和综合运用.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,建立方程组,或然后解方程组求出或,从而使得问题获解.6.已知幂函数f（x）=xα的图象过点，则函数g（x）=（x﹣2）f（x）在区间上的最小值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4参考答案：C【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】求出幂函数f（x）的解析式，从而求出g（x）的解析式，根据函数的单调性求出g（x）在闭区间上的最小值即可．【解答】解：∵幂函数f（x）=xα的图象过点，∴2α=，解得：α=﹣1，故g（x）==1﹣，而g（x）在[，1]递增，故g（x）min=g（）=﹣3，故选：C．【点评】本题考查了幂函数的定义，考查函数的单调性、最值问题，是一道基础题．7.集合，，给出下列四个图形，其中能表示以M为定义域，N为值域的函数关系的是(

)

参考答案：B略8.在同一坐标系中，函数与函数g（x）=的图像可能是参考答案：BA中，，对数函数的定义域不满足；B，当a>1时，指数函数和对数函数都是增函数，满足条件；C，D，指数函数的和对数函数在a取相同的值时，单调性相同，故都不满足条件9.计算sin43°cos13°+sin47°cos103°的结果等于（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】先将sin47°表示为sin（90°﹣43°），cos103°表示成cos（90°+13°），利用诱导公式化简后，再由两角差的正弦公式化简求值．【解答】解：sin43°cos13°+sin47°cos103°=sin43°cos13°+sin（90°﹣43°）cos（90°+13°）=sin43°cos13°﹣cos43°sin13°=sin（43°﹣13°）=sin30°=．故选A．10.函数的零点所在的一个区间是（

）A. B.

C.

D.参考答案：B满足,f(0)=1＞0.由零点存在性定理知，零点所在的一个区间为(,0).

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（5分）已知函数y=f（x）可用列表法表示如下，则f(f(1))=

．x ﹣1

0

1y 0

1 ﹣1参考答案：0考点： 函数的值．专题： 函数的性质及应用．分析： 根据函数y=f（x）的列表先求出f（1）的值，从而可化简f，再根据f（1）的值查找表格，可求出所求．解答： 根据表格可知f（1）=﹣1，f（﹣1）=0，∴f(f(1))=f（﹣1）=0．故答案为：0．点评： 本题主要考查了函数求值，解题的关键从内向外去括号，注意对应关系，属于基础题，送分题．12.已知函数的定义域为，则它的反函数定义域为

.参考答案：[-2，1)13.已知幂函数的图像过点，则_______________.参考答案：略14.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_

。

参考答案：略15.从甲、乙、丙三名同学中选2人参加普法知识竞赛，则甲被选中的概率为________.参考答案：16.某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为，那么成绩在的学生人数是_

____．参考答案：5417.已知集合，（），若集合是一个单元素集（其中Z是整数集），则a的取值范围是_________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）某租赁公司拥有汽车辆．当每辆车的月租金为元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加元时，未出租的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费元，未租出的车每辆每月需要维护费元．（1）当每辆车的月租金定为时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？（月收益每辆车的租金租出车辆数车辆维护费．）参考答案：（1）、当每辆车的租金定为3600时，未租出去的车辆数为：所以能租出去的车辆数为当每辆车的租金定为3600时，租出去的车辆数为88辆。.......(4)（2）设每辆车的月租金定为元，则租赁公司的月收益为：整理得：

所以当每辆车的月租定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元。......(12)19.设集合A={x|2≤x≤4}，B={x|x＞3，或x＜1}，C={x|t+1＜x＜2t}，t∈R．（Ⅰ）求A∪?UB；（Ⅱ）若A∩C=C，求t的取值范围．参考答案：【考点】1E：交集及其运算；1H：交、并、补集的混合运算．【分析】（Ⅰ）由B与全集U，求出B的补集，找出A与B补集的并集即可；（Ⅱ）由A与C的交集为C，得到C为A的子集，确定出t的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）∵B={x|x＞3，或x＜1}，∴?UB={x|1≤x≤3}，∵A={x|2≤x≤4}，∴A∪?UB={x|1≤x≤4}；（Ⅱ）∵A∩C=C，∴C?A，当C=?时，则有2t≤t+1，即t≤1；当C≠?时，则，即1＜t≤2，综上所述，t的范围是t≤2．20.如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面边长为，侧棱长为4．E，F分别为棱AB，BC的中点，EF∩BD=G．（Ⅰ）求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1；（Ⅱ）求点D1到平面B1EF的距离d；（Ⅲ）求三棱锥B1﹣EFD1的体积V．参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）方法一：欲证明平面B1EF⊥平面BDD1B1，先证直线与平面垂直，观察平面BDD1B1为正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的对角面，所以AC⊥平面BDD1B1，故连接AC，由EF∥AC，可得EF⊥平面BDD1B1方法二：欲证明平面B1EF⊥平面BDD1B1，先证直线与平面垂直，由题意易得EF⊥BD，又EF⊥D1D，所以EF⊥平面BDD1B1（2）本题的设问是递进式的，第（1）问是为第（2）问作铺垫的．由第（1）问可知，点D1到平面B1EF的距离d即为点D1到平面B1EF与平面BDD1B1的交线B1G的距离，故作D1H⊥B1G，垂足为H，所以点D1到平面B1EF的距离d=D1H．下面求D1H的长度．解法一：在矩形BDD1B1及Rt△D1HB1中，利用三角函数可解．解法二：在矩形BDD1B1及Rt△D1HB1中，利用三角形相似可解．解法三：在矩形BDD1B1及△D1GB1中，观察面积大小关系可解．（3）本题的设问是递进式的，第（2）问是为第（3）问作铺垫的．解决三棱锥求体积的问题，关键在于找到合适的高与对应的底面，由第（2）问可知，D1H即为三棱锥B1﹣EFD1的高，所以B1EF为对应的底面．【解答】解：（Ⅰ）证法一：连接AC．∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是正方形，∴AC⊥BD，又AC⊥D1D，故AC⊥平面BDD1B1．∵E，F分别为AB，BC的中点，故EF∥AC，∴EF⊥平面BDD1B1，∴平面B1EF⊥平面BDD1B1．证法二：∵BE=BF，∠EBD=∠FBD=45°，∴EF⊥BD．又EF⊥D1D∴EF⊥平面BDD1B1，∴平面B1EF⊥平面BDD1B1．（Ⅱ）在对角面BDD1B1中，作D1H⊥B1G，垂足为H．∵平面B1EF⊥平面BDD1B1，且平面B1EF∩平面BDD1B1=B1G，∴D1H⊥平面B1EF，且垂足为H，∴点D1到平面B1EF的距离d=D1H．解法一：在Rt△D1HB1中，D1H=D1B1?sin∠D1B1H．∵，，∴．解法二：∵△D1HB1～△B1BG，∴，∴．解法三：连接D1G，则三角形D1GB1的面积等于正方形DBB1D1面积的一半，即，∴．（Ⅲ）=．21.某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示．已知两组技工在单位时间内加工的合格零件平均数都为9．（1）分别求出m，n的值；（2）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差s和s，并由此分析两组技工的加工水平；（3）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件个数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．【分析】（1）由两组技工在单位时间内加工的合格零件平均数都为9．利用茎叶图能求出m，n．（2）先分别求出，，由两组技工在单位时间内加工的合格零件平均数都为9，，得到乙组技工加工水平高．（3）质监部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，设两人加工的合格零件数分别为（a，b），利用列举法能求出该车间“质量合格”的概率．【解答】解：（1）∵两组技工在单位时间内加工的合格零件平均数都为9．∴由茎叶图得：，解得m=6，n=8．（2）=[（6﹣9）2+（7﹣9）2+（9﹣9）2+（11﹣9）2+（12﹣9）2]=．=[（7﹣9）2+（8﹣9）2+（9﹣9）2+（10﹣9）2+（11﹣9）2]=2．∵两组技工在单位时间内加工的合格零件平均数都为9，，∴两组技工平均数相等，但乙组技工较稳定，故乙组技工加工水平高．（3）质监部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，设两人加工的合格零件数分别为（a，b），则所有的（a，b）有：（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），（6，11），（7，7），（7，8），（7，9），（7，10），（7，11），（9，7），（9，8）