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第二节利用极坐标计算二重积分二重积分的计算法第九章1一、利用极坐标计算二重积分根据二重积分的定义下面我们来研究这个和式的极限在极坐标下的形式：设积分区域D为2对应有在极坐标系下,用同心圆r=常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积在内取点及射线

=常数,分划区域D为3即极坐标下的二重积分，同样可化成累次积分来计算。4设则特别,对5此时若f≡1则可求得D的面积思考:下列各图中域D分别与x,y轴相切于原点,试答:问

的变化范围是什么?(1)(2)6例1.计算二重积分解:在极坐标系下原式故7例2.计算二重积分解:在极坐标系下原式故8例3.计算其中解:在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于故坐标计算.9注:利用上题可得一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式事实上,①故①式成立.又10例4.

求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:设由对称性可知11例计算二重积分其中D为圆周所围成的闭区域.解:利用极坐标原式12例5.计算其中D为由圆所围成的及直线解：平面闭区域.13*三、二重积分换元法

定积分换元法满足一阶偏导数连续;雅可比行列式(3)变换则定理:变换:是一一对应的,14例如,直角坐标转化为极坐标时,15例10.

试计算椭球体解:由对称性令则D的原象为的体积V.16内容小结则极坐标系情形:若积分区域为17计算二重积分其中:(1)D为圆域(2)D由直线解:(1)

利用对称性.围成.思考与练习

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