山东省泰安市长城中学2023-2024学年高三第二次调研数学试卷含解析

山东省泰安市长城中学2023-2024学年高三第二次调研数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列函数中，在区间上为减函数的是（）A． B． C． D．2．复数（为虚数单位），则的共轭复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．如图，在直三棱柱中，，，点分别是线段的中点，，分别记二面角，，的平面角为，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．4．已知甲盒子中有个红球，个蓝球，乙盒子中有个红球，个蓝球，同时从甲乙两个盒子中取出个球进行交换，（a）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为.（b）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为.则（）A． B．C． D．5．已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则下列结论正确的是（）A． B．复数的共轭复数是C． D．6．将函数的图象向右平移个周期后，所得图象关于轴对称，则的最小正值是（）A． B． C． D．7．我国古代数学名著《九章算术》有一问题：“今有鳖臑(biēnaò)，下广五尺，无袤；上袤四尺，无广；高七尺.问积几何？”该几何体的三视图如图所示，则此几何体外接球的表面积为()A．平方尺 B．平方尺C．平方尺 D．平方尺8．设曲线在点处的切线方程为，则（）A．1 B．2 C．3 D．49．已知，，，则（）A． B．C． D．10．已知等差数列的前n项和为，且，，若（，且），则i的取值集合是（）A． B． C． D．11．如图，在△ABC中，点M是边BC的中点，将△ABM沿着AM翻折成△AB'M，且点B'不在平面AMC内，点P是线段B'C上一点.若二面角P-AM-B'与二面角P-AM-C的平面角相等，则直线AP经过△AB'CA．重心 B．垂心 C．内心 D．外心12．已知函数，则不等式的解集为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则D（ξ1）＝_____，E（ξ1）﹣E（ξ2）＝_____．14．五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”.中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，如果把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧，可排成______种不同的音序.15．已知点是抛物线的准线上一点，F为抛物线的焦点，P为抛物线上的点，且，若双曲线C中心在原点，F是它的一个焦点，且过P点，当m取最小值时，双曲线C的离心率为______.16．已知函数，若，则___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）为了解网络外卖的发展情况，某调查机构从全国各城市中抽取了100个相同等级地城市，分别调查了甲乙两家网络外卖平台（以下简称外卖甲、外卖乙）在今年3月的订单情况，得到外卖甲该月订单的频率分布直方图，外卖乙该月订单的频数分布表，如下图表所示.订单：（单位：万件）频数1223订单：（单位：万件）频数402020102（1）现规定，月订单不低于13万件的城市为“业绩突出城市”，填写下面的列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为“是否为业绩突出城市”与“选择网络外卖平台”有关.业绩突出城市业绩不突出城市总计外卖甲外卖乙总计（2）由频率分布直方图可以认为，外卖甲今年3月在全国各城市的订单数（单位：万件）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表），的值已求出，约为3.64，现把频率视为概率，解决下列问题：①从全国各城市中随机抽取6个城市，记为外卖甲在今年3月订单数位于区间的城市个数，求的数学期望；②外卖甲决定在今年3月订单数低于7万件的城市开展“订外卖，抢红包”的营销活动来提升业绩，据统计，开展此活动后城市每月外卖订单数将提高到平均每月9万件的水平，现从全国各月订单数不超过7万件的城市中采用分层抽样的方法选出100个城市不开展营销活动，若每按一件外卖订单平均可获纯利润5元，但每件外卖平均需送出红包2元，则外卖甲在这100个城市中开展营销活动将比不开展营销活动每月多盈利多少万元？附：①参考公式：，其中.参考数据：0.150.100.050.0250.0100.0012.7022.7063.8415.0246.63510.828②若，则，.18．（12分）已知椭圆与抛物线有共同的焦点，且离心率为，设分别是为椭圆的上下顶点（1）求椭圆的方程；（2）过点与轴不垂直的直线与椭圆交于不同的两点，当弦的中点落在四边形内（含边界）时，求直线的斜率的取值范围.19．（12分）如图，在矩形中，，，点是边上一点，且，点是的中点，将沿着折起，使点运动到点处，且满足.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.20．（12分）在中，角、、所对的边分别为、、，且.（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求及的值.21．（12分）在中，，.已知分别是的中点.将沿折起，使到的位置且二面角的大小是60°，连接，如图：（1）证明：平面平面（2）求平面与平面所成二面角的大小.22．（10分）在孟德尔遗传理论中，称遗传性状依赖的特定携带者为遗传因子，遗传因子总是成对出现例如，豌豆携带这样一对遗传因子：使之开红花，使之开白花，两个因子的相互组合可以构成三种不同的遗传性状：为开红花，和一样不加区分为开粉色花，为开白色花．生物在繁衍后代的过程中，后代的每一对遗传因子都包含一个父系的遗传因子和一个母系的遗传因子，而因为生殖细胞是由分裂过程产生的，每一个上一代的遗传因子以的概率传给下一代，而且各代的遗传过程都是相互独立的．可以把第代的遗传设想为第次实验的结果，每一次实验就如同抛一枚均匀的硬币，比如对具有性状的父系来说，如果抛出正面就选择因子，如果抛出反面就选择因子，概率都是，对母系也一样．父系､母系各自随机选择得到的遗传因子再配对形成子代的遗传性状．假设三种遗传性状，(或)，在父系和母系中以同样的比例：出现，则在随机杂交实验中，遗传因子被选中的概率是，遗传因子被选中的概率是．称，分别为父系和母系中遗传因子和的频率，实际上是父系和母系中两个遗传因子的个数之比．基于以上常识回答以下问题：（1）如果植物的上一代父系､母系的遗传性状都是，后代遗传性状为，(或)，的概率各是多少？（2）对某一植物，经过实验观察发现遗传性状具有重大缺陷，可人工剔除，从而使得父系和母系中仅有遗传性状为和(或)的个体，在进行第一代杂交实验时，假设遗传因子被选中的概率为，被选中的概率为，．求杂交所得子代的三种遗传性状，(或)，所占的比例．（3）继续对（2）中的植物进行杂交实验，每次杂交前都需要剔除性状为的个体假设得到的第代总体中3种遗传性状，(或)，所占比例分别为．设第代遗传因子和的频率分别为和，已知有以下公式．证明是等差数列．（4）求的通项公式，如果这种剔除某种遗传性状的随机杂交实验长期进行下去，会有什么现象发生？

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

利用基本初等函数的单调性判断各选项中函数在区间上的单调性，进而可得出结果.【详解】对于A选项，函数在区间上为增函数；对于B选项，函数在区间上为增函数；对于C选项，函数在区间上为减函数；对于D选项，函数在区间上为增函数.故选：C.【点睛】本题考查函数在区间上单调性的判断，熟悉一些常见的基本初等函数的单调性是判断的关键，属于基础题.2、C【解析】

由复数除法求出，写出共轭复数，写出共轭复数对应点坐标即得【详解】解析：，，对应点为，在第三象限．故选：C．【点睛】本题考查复数的除法运算，共轭复数的概念，复数的几何意义．掌握复数除法法则是解题关键．3、D【解析】

过点作，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角的余弦值得答案．【详解】解：因为，，所以，即过点作，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，0，，，，，，0，，，1，，，，，，，设平面的法向量，则，取，得，同理可求平面的法向量，平面的法向量，平面的法向量．，，．．故选：D．【点睛】本题考查二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．4、A【解析】分析：首先需要去分析交换后甲盒中的红球的个数，对应的事件有哪些结果，从而得到对应的概率的大小，再者就是对随机变量的值要分清，对应的概率要算对，利用公式求得其期望.详解：根据题意有，如果交换一个球，有交换的都是红球、交换的都是蓝球、甲盒的红球换的乙盒的蓝球、甲盒的蓝球交换的乙盒的红球，红球的个数就会出现三种情况；如果交换的是两个球，有红球换红球、蓝球换蓝球、一蓝一红换一蓝一红、红换蓝、蓝换红、一蓝一红换两红、一蓝一红换亮蓝，对应的红球的个数就是五种情况，所以分析可以求得，故选A.点睛：该题考查的是有关随机事件的概率以及对应的期望的问题，在解题的过程中，需要对其对应的事件弄明白，对应的概率会算，以及变量的可取值会分析是多少，利用期望公式求得结果.5、D【解析】

首先求得，然后根据复数乘法运算、共轭复数、复数的模、复数除法运算对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】由题意知复数，则，所以A选项不正确；复数的共轭复数是，所以B选项不正确；，所以C选项不正确；，所以D选项正确.故选：D【点睛】本小题考查复数的几何意义，共轭复数，复数的模，复数的乘法和除法运算等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数形结合思想.6、D【解析】

由函数的图象平移变换公式求出变换后的函数解析式，再利用诱导公式得到关于的方程，对赋值即可求解.【详解】由题意知，函数的最小正周期为,即,由函数的图象平移变换公式可得，将函数的图象向右平移个周期后的解析式为，因为函数的图象关于轴对称，所以，即，所以当时，有最小正值为.故选：D【点睛】本题考查函数的图象平移变换公式和三角函数诱导公式及正余弦函数的性质；熟练掌握诱导公式和正余弦函数的性质是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.7、A【解析】

根据三视图得出原几何体的立体图是一个三棱锥，将三棱锥补充成一个长方体，此长方体的外接球就是该三棱锥的外接球，由球的表面积公式计算可得选项.【详解】由三视图可得，该几何体是一个如图所示的三棱锥，为三棱锥外接球的球心，此三棱锥的外接球也是此三棱锥所在的长方体的外接球，所以为的中点，设球半径为，则,所以外接球的表面积，故选：A．【点睛】本题考查求几何体的外接球的表面积，关键在于由几何体的三视图得出几何体的立体图，找出外接球的球心位置和半径，属于中档题.8、D【解析】

利用导数的几何意义得直线的斜率，列出a的方程即可求解【详解】因为，且在点处的切线的斜率为3，所以，即.故选：D【点睛】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题9、C【解析】

利用二倍角公式,和同角三角函数的商数关系式,化简可得,即可求得结果.【详解】，所以，即.故选:C.【点睛】本题考查三角恒等变换中二倍角公式的应用和弦化切化简三角函数,难度较易.10、C【解析】

首先求出等差数列的首先和公差，然后写出数列即可观察到满足的i的取值集合.【详解】设公差为d，由题知，，解得，，所以数列为，故.故选：C.【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量的求解，属于基础题.11、A【解析】

根据题意P到两个平面的距离相等，根据等体积法得到SΔPB'M【详解】二面角P-AM-B'与二面角P-AM-C的平面角相等，故P到两个平面的距离相等.故VP-AB'M=VP-ACM，即故B'P=CP，故P为CB'中点.故选：A.【点睛】本题考查了二面角，等体积法，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.12、D【解析】

先判断函数的奇偶性和单调性，得到，且，解不等式得解.【详解】由题得函数的定义域为.因为，所以为上的偶函数，因为函数都是在上单调递减.所以函数在上单调递减.因为，所以，且，解得.故选：D【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查函数的奇偶性和单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、20.2【解析】

分别求出随机变量ξ1和ξ2的分布列，根据期望和方差公式计算得解.【详解】设a，b∈{1，2，1，4，5}，则p（ξ1＝a），其ξ1分布列为：ξ112145PE（ξ1）（1+2+1+4+5）＝1．D（ξ1）[（1﹣1）2+（2﹣1）2+（1﹣1）2+（4﹣1）2+（5﹣1）2]＝2．ξ2＝1.4|a﹣b|的可能取值分别为：1.4，2.3，4.2，5.6，P（ξ2＝1.4），P（ξ2＝2.3），P（ξ2＝4.2），P（ξ2＝5.6），可得分布列．ξ21.42.34.25.6PE（ξ2）＝1.42.34.25.62.3．∴E（ξ1）﹣E（ξ2）＝0.2．故答案为：2，0.2．【点睛】此题考查随机变量及其分布，关键在于准确求出随机变量取值的概率，根据公式准确计算期望和方差.14、1【解析】

按照“角”的位置分类,分“角”在两端,在中间,以及在第二个或第四个位置上,即可求出.【详解】①若“角”在两端,则宫、羽两音阶一定在角音阶同侧，此时有种；②若“角”在中间,则不可能出现宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧；③若“角”在第二个或第四个位置上,则有种；综上，共有种.故答案为：1．【点睛】本题主要考查利用排列知识解决实际问题,涉及分步计数乘法原理和分类计数加法原理的应用,意在考查学生分类讨论思想的应用和综合运用知识的能力,属于基础题.15、【解析】

由点坐标可确定抛物线方程，由此得到坐标和准线方程；过作准线的垂线，垂足为，根据抛物线定义可得，可知当直线与抛物线相切时，取得最小值；利用抛物线切线的求解方法可求得点坐标，根据双曲线定义得到实轴长，结合焦距可求得所求的离心率.【详解】是抛物线准线上的一点抛物线方程为，准线方程为过作准线的垂线，垂足为，则设直线的倾斜角为，则当取得最小值时，最小，此时直线与抛物线相切设直线的方程为，代入得：，解得：或双曲线的实轴长为，焦距为双曲线的离心率故答案为：【点睛】本题考查双曲线离心率的求解问题，涉及到抛物线定义和标准方程的应用、双曲线定义的应用；关键是能够确定当取得最小值时，直线与抛物线相切，进而根据抛物线切线方程的求解方法求得点坐标.16、【解析】

根据题意，利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，利用函数奇偶性的性质求解即可.【详解】因为函数，其定义域为，所以其定义域关于原点对称，又，所以函数为奇函数，因为，所以.故答案为:【点睛】本题考查函数奇偶性的判断及其性质；考查运算求解能力；熟练掌握函数奇偶性的判断方法是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析，有90%的把握认为“是否为业绩突出城市”与“选择网络外卖平台”有关.（2）①4.911②100万元.【解析】

（1）根据频率分布直方图与频率分布表，易得两个外卖平台中月订单不低于13万件的城市数量，即可完善列联表.通过计算的观测值，即可结合临界值作出判断.（2）①先根据所给数据求得样本平均值，根据所给今年3月订单数区间，并由及求得，.结合正态分布曲线性质可求得，再由二项分布的数学期望求法求解.②订单数低于7万件的城市有和两组，根据分层抽样的性质可确定各组抽取样本数.分别计算出开展营销活动与不开展营销活动的利润，比较即可得解.【详解】（1）对于外卖甲：月订单不低于13万件的城市数量为，对于外卖乙：月订单不低于13万件的城市数量为.由以上数据完善列联表如下图，业绩突出城市业绩不突出城市总计外卖甲4060100外卖乙5248100总计92108200且的观测值为，∴有90%的把握认为“是否为业绩突出城市”与“选择网络外卖平台”有关.（2）①样本平均数，故==，，的数学期望，②由分层抽样知，则100个城市中每月订单数在区间内的有（个），每月订单数在区间内的有（个），若不开展营销活动，则一个月的利润为（万元），若开展营销活动，则一个月的利润为（万元），这100个城市中开展营销活动比不开展每月多盈利100万元.【点睛】本题考查了频率分布直方图与频率分布表的应用，完善列联表并计算的观测值作出判断，分层抽样的简单应用，综合性强，属于中档题.18、（1）（2）或【解析】

（1）由已知条件得到方程组，解得即可；（2）由题意得直线的斜率存在，设直线方程为，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，由得到的范围，设弦中点坐标为则，所以在轴上方，只需位于内（含边界）就可以，即满足，得到不等式组，解得即可；【详解】解：（1）由已知椭圆右焦点坐标为，离心率为，，，所以椭圆的标准方程为；（2）由题意得直线的斜率存在，设直线方程为联立，消元整理得，，由，解得设弦中点坐标为，所以在轴上方，只需位于内（含边界）就可以，即满足，即，解得或【点睛】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质，直线与椭圆的综合应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19、（1）见解析；（2）【解析】

（1）取的中点，连接，，由，进而，由，得.进而平面,进而结论可得证（2）（方法一）过点作的平行线交于点，以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面平面的法向量，由二面角公式求解即可（方法二）取的中点，上的点，使，连接，得，，得二面角的平面角为，再求解即可【详解】（1）证明：取的中点，连接，，由已知得，所以，又点是的中点，所以.因为，点是线段的中点，所以.又因为，所以，从而平面，所以，又，不平行，所以平面.（2）（方法一）由（1）知，过点作的平行线交于点，以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则点，，，，所以，，.设平面的法向量为，由，得，令，得.同理，设平面的法向量为，由，得，令，得.所以二面角的余弦值为.（方法二）取的中点，上的点，使，连接，易知，.由（1）得，所以平面，所以，又，所以平面，所以二面角的平面角为.又计算得，，，所以.【点睛】本题考查线面垂直的判定，考查空间向量求二面角，考查空间想象及计算能力，是中档题20、（1）（2）；【解析】

（1）由代入中计算即可；（2）由余弦定理可得，所以，由，变形即可得到答案.【详解】（1）因为，可得：，∴，或（舍），∵，∴.（2）由余弦