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文档简介

浙江省91高中联盟2024届高三下学期联合考试数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数(),若函数在上有唯一零点,则的值为()A.1 B.或0 C.1或0 D.2或02.已知,则下列关系正确的是()A. B. C. D.3.在正方体中,,分别为,的中点,则异面直线,所成角的余弦值为()A. B. C. D.4.设双曲线的左右焦点分别为,点.已知动点在双曲线的右支上,且点不共线.若的周长的最小值为,则双曲线的离心率的取值范围是()A. B. C. D.5.△ABC的内角A,B,C的对边分别为,已知,则为()A. B. C.或 D.或6.已知集合,则集合的非空子集个数是()A.2 B.3 C.7 D.87.正三棱锥底面边长为3,侧棱与底面成角,则正三棱锥的外接球的体积为()A. B. C. D.8.对两个变量进行回归分析,给出如下一组样本数据:,,,,下列函数模型中拟合较好的是()A. B. C. D.9.命题:存在实数,对任意实数,使得恒成立;:,为奇函数,则下列命题是真命题的是()A. B. C. D.10.《周易》历来被人们视作儒家群经之首,它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识,是中华人文文化的基础,它反映出中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术语解释为:把阳爻“-”当作数字“1”,把阴爻“--”当作数字“0”,则八卦所代表的数表示如下:卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000震0011坎0102兑0113依此类推,则六十四卦中的“屯”卦,符号“”表示的十进制数是()A.18 B.17 C.16 D.1511.已知函数,若,则a的取值范围为()A. B. C. D.12.函数的大致图象是A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.某校高二(4)班统计全班同学中午在食堂用餐时间,有7人用时为6分钟,有14人用时7分钟,有15人用时为8分钟,还有4人用时为10分钟,则高二(4)班全体同学用餐平均用时为____分钟.14.的展开式中的常数项为______.15.已知椭圆,,若椭圆上存在点使得为等边三角形(为原点),则椭圆的离心率为_________.16.在数列中,,则数列的通项公式_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)设(1)证明:当时,;(2)当时,求整数的最大值.(参考数据:,)18.(12分)已知,函数.(1)若,求的单调递增区间;(2)若,求的值.19.(12分)在平面直角坐标系中,直线与抛物线:交于,两点,且当时,.(1)求的值;(2)设线段的中点为,抛物线在点处的切线与的准线交于点,证明:轴.20.(12分)已知函数(1)若函数有且只有一个零点,求实数的取值范围;(2)若函数对恒成立,求实数的取值范围.21.(12分)在中,角,,的对边分别为,,,,,且的面积为.(1)求;(2)求的周长.22.(10分)已知矩形纸片中,,将矩形纸片的右下角沿线段折叠,使矩形的顶点B落在矩形的边上,记该点为E,且折痕的两端点M,N分别在边上.设,的面积为S.(1)将l表示成θ的函数,并确定θ的取值范围;(2)求l的最小值及此时的值;(3)问当θ为何值时,的面积S取得最小值?并求出这个最小值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

求出函数的导函数,当时,只需,即,令,利用导数求其单调区间,即可求出参数的值,当时,根据函数的单调性及零点存在性定理可判断;【详解】解:∵(),∴,∴当时,由得,则在上单调递减,在上单调递增,所以是极小值,∴只需,即.令,则,∴函数在上单调递增.∵,∴;当时,,函数在上单调递减,∵,,函数在上有且只有一个零点,∴的值是1或0.故选:C【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题,零点存在性定理的应用,属于中档题.2、A【解析】

首先判断和1的大小关系,再由换底公式和对数函数的单调性判断的大小即可.【详解】因为,,,所以,综上可得.故选:A【点睛】本题考查了换底公式和对数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.3、D【解析】

连接,,因为,所以为异面直线与所成的角(或补角),不妨设正方体的棱长为2,取的中点为,连接,在等腰中,求出,在利用二倍角公式,求出,即可得出答案.【详解】连接,,因为,所以为异面直线与所成的角(或补角),不妨设正方体的棱长为2,则,,在等腰中,取的中点为,连接,则,,所以,即:,所以异面直线,所成角的余弦值为.故选:D.【点睛】本题考查空间异面直线的夹角余弦值,利用了正方体的性质和二倍角公式,还考查空间思维和计算能力.4、A【解析】

依题意可得即可得到,从而求出双曲线的离心率的取值范围;【详解】解:依题意可得如下图象,所以则所以所以所以,即故选:A【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质,属于中档题.5、D【解析】

由正弦定理可求得,再由角A的范围可求得角A.【详解】由正弦定理可知,所以,解得,又,且,所以或。故选:D.【点睛】本题主要考查正弦定理,注意角的范围,是否有两解的情况,属于基础题.6、C【解析】

先确定集合中元素,可得非空子集个数.【详解】由题意,共3个元素,其子集个数为,非空子集有7个.故选:C.【点睛】本题考查集合的概念,考查子集的概念,含有个元素的集合其子集个数为,非空子集有个.7、D【解析】

由侧棱与底面所成角及底面边长求得正棱锥的高,再利用勾股定理求得球半径后可得球体积.【详解】如图,正三棱锥中,是底面的中心,则是正棱锥的高,是侧棱与底面所成的角,即=60°,由底面边长为3得,∴.正三棱锥外接球球心必在上,设球半径为,则由得,解得,∴.故选:D.【点睛】本题考查球体积,考查正三棱锥与外接球的关系.掌握正棱锥性质是解题关键.8、D【解析】

作出四个函数的图象及给出的四个点,观察这四个点在靠近哪个曲线.【详解】如图,作出A,B,C,D中四个函数图象,同时描出题中的四个点,它们在曲线的两侧,与其他三个曲线都离得很远,因此D是正确选项,故选:D.【点睛】本题考查回归分析,拟合曲线包含或靠近样本数据的点越多,说明拟合效果好.9、A【解析】

分别判断命题和的真假性,然后根据含有逻辑联结词命题的真假性判断出正确选项.【详解】对于命题,由于,所以命题为真命题.对于命题,由于,由解得,且,所以是奇函数,故为真命题.所以为真命题.、、都是假命题.故选:A【点睛】本小题主要考查诱导公式,考查函数的奇偶性,考查含有逻辑联结词命题真假性的判断,属于基础题.10、B【解析】

由题意可知“屯”卦符号“”表示二进制数字010001,将其转化为十进制数即可.【详解】由题意类推,可知六十四卦中的“屯”卦符号“”表示二进制数字010001,转化为十进制数的计算为1×20+1×24=1.故选:B.【点睛】本题主要考查数制是转化,新定义知识的应用等,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11、C【解析】

求出函数定义域,在定义域内确定函数的单调性,利用单调性解不等式.【详解】由得,在时,是增函数,是增函数,是增函数,∴是增函数,∴由得,解得.故选:C.【点睛】本题考查函数的单调性,考查解函数不等式,解题关键是确定函数的单调性,解题时可先确定函数定义域,在定义域内求解.12、A【解析】

利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断.【详解】由题意可知函数为奇函数,可排除B选项;当时,,可排除D选项;当时,,当时,,即,可排除C选项,故选:A【点睛】本题考查了函数图象的判断,函数对称性的应用,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、7.5【解析】

分别求出所有人用时总和再除以总人数即可得到平均数.【详解】故答案为:7.5【点睛】此题考查求平均数,关键在于准确计算出所有数据之和,易错点在于概念辨析不清导致计算出错.14、160【解析】

先求的展开式中通项,令的指数为3即可求解结论.【详解】解:因为的展开式的通项公式为:;令,可得;的展开式中的常数项为:.故答案为:160.【点睛】本题考查二项式系数的性质,关键是熟记二项展开式的通项,属于基础题.15、【解析】

根据题意求出点N的坐标,将其代入椭圆的方程,求出参数m的值,再根据离心率的定义求值.【详解】由题意得,将其代入椭圆方程得,所以.故答案为:.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及几何性质,属于中档题.16、【解析】

由题意可得,又,数列的奇数项为首项为1,公差为2的等差数列,对分奇数和偶数两种情况,分别求出,从而得到数列的通项公式.【详解】解:∵,∴①,②,①﹣②得:,又∵,∴数列的奇数项为首项为1,公差为2的等差数列,∴当为奇数时,,当为偶数时,则为奇数,∴,∴数列的通项公式,故答案为:.【点睛】本题考查求数列的通项公式,解题关键是由已知递推关系得出,从而确定数列的奇数项成等差数列,求出通项公式后再由已知求出偶数项,要注意结果是分段函数形式.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析;(2).【解析】

(1)将代入函数解析式可得,构造函数,求得并令,由导函数符号判断函数单调性并求得最大值,由即可证明恒成立,即不等式得证.(2)对函数求导,变形后讨论当时的函数单调情况:当时,可知满足题意;将不等式化简后构造函数,利用导函数求得极值点与函数的单调性,从而求得最小值为,分别依次代入检验的符号,即可确定整数的最大值;当时不满足题意,因为求整数的最大值,所以时无需再讨论.【详解】(1)证明:当时代入可得,令,,则,令解得,当时,所以在单调递增,当时,所以在单调递减,所以,则,即成立.(2)函数则,若时,当时,,则在时单调递减,所以,即当时成立;所以此时需满足的整数解即可,将不等式化简可得,令则令解得,当时,即在内单调递减,当时,即在内单调递增,所以当时取得最小值,则,,,所以此时满足的整数的最大值为;当时,在时,此时,与题意矛盾,所以不成立.因为求整数的最大值,所以时无需再讨论,综上所述,当时,整数的最大值为.【点睛】本题考查了导数在证明不等式中的应用,导数与函数单调性、极值、最值的关系和应用,构造函数法求最值,并判断函数值法符号,综合性强,属于难题.18、(1);(2).【解析】

(1)利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为,然后解不等式,可得出函数的单调递增区间;(2)由得出,并求出的值,利用两角差的正弦公式可求出的值.【详解】(1)当时,,由,得,因此,函数的单调递增区间为;(2),,,,,,.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质,利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键,属中等题.19、(1)1;(2)见解析【解析】

(1)设,,联立直线和抛物线方程,得,写出韦达定理,根据弦长公式,即可求出;(2)由,得,根据导数的几何意义,求出抛物线在点点处切线方程,进而求出,即可证出轴.【详解】解:(1)设,,将直线代入中整理得:,∴,,∴,解得:.(2)同(1)假设,,由,得,从而抛物线在点点处的切线方程为,即,令,得,由(1)知,从而,这表明轴.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系,涉及联立方程组、韦达定理、弦长公式以及利用导数求切线方程,考查转化思想和计算能力.20、(1);(2).【解析】

(1)求导得到,讨论和两种情况,计算函数的单调性,得到,再讨论,,三种情况,计算得到答案.(2)计算得到,讨论,两种情况,分别计算单调性得到函数最值,得到答案.【详解】(1),①当时恒成立,所以单调递增,因为,所以有唯一零点,即符合题意;②当时,令,函数在上单调递减,在上单调递增,函数。(i)当即,所以符合题意,(ii)当即时,因为,故存在,所以不符题意(iii)当时,因为,设,所以,单调递增,即,故存在,使得,不符题意;综上,的取值范围为。(2)。①当时,恒成立,所以单调递增,所以,即符合题意;②当时,恒成立,所以单调递增,又因为,所以存在,使得,且当时,。即在上单调递减,所以,不符题意。综上,的取值范围为.【点睛】本题考查了函数的零点问题,恒成立问题,意在考查学生的分类讨论能力和综合应用能力.21、(1)(2)【解析】

(1)利用正弦,余弦定理对式子化简求解即可;(2)利用余弦定理以及三角形的面积,求解三角形的周长即可.【详解】(1),由正弦定理可得:,即:,由余弦定理得.(2)∵,所以,,又,且,,的周长为【点睛】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用,三角形的面积公式,也考查计算能力,属于基础题.22、(1)(2),的最小值为.(3)时,面积取最小值为【解析】

(1),利用三角函数定义分别表示,且,即可得到关于的解析式;,,则,即可得到的范围

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